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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-25 17:04:36 +0100
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@@ -0,0 +1,1837 @@
+\chapter{Méthodes adiques}
+
+%[ILLUSTRATION DE KATO ! ENFANTS ET NOMBRES $p$-adiques.]
+%[INTRO]
+
+\section{Préliminaires}
+
+Bien que nous soyons principalement intéressés par les nombres $p$-adiques, nous commençons
+par une section générale, qui nous permettra de considérer également des anneaux plus
+« géométriques » que $\ZZ$, comme $\QQ[t],\FFp[t]$. Certains détails sont laissés
+en exercice au lecteur.
+
+%[RÉFÉRENCES]
+
+\subsection{Complétion : définitions}
+
+Si $A$ est un anneau et $\MM_A$ un idéal maximal, pour tout $n\in \NN$,
+nous notons $A_n$ le quotient $A/\MM_A^{n+1}$. Pour $n=0$, c'est le \emph{corps résiduel}
+de $A$, \cad $A/\MM_A$. Pour chaque $n\in \NN$, on dispose
+d'applications surjectives naturelles :
+$\pi_{n+1,n}:A_{n+1}\surj A_n$ envoyant $x \mod \MM_A^{n+2}$ sur $x \mod \MM_A^{n+1}$ ainsi que
+de la surjection évidente $\pi_n:A\surj A_n$.
+
+Supposons que $A$ soit une $S$-algèbre et soit $f\in S[X_1,\dots,X_n]$.
+Si l'équation $f=0$ a une solution (à coefficients) dans $A$, elle en a
+nécessairement, par réduction, une dans chaque $A_n$. Considérer les $A_n$ permet
+de définir des conditions nécessaires à l'existence de solution à des équations.
+%À virer probablement.
+%\begin{exm2}
+%L'équation $y^2=tX^3+t$ n'a pas de solution dans $\QQ[t]$ car elle n'en a pas
+%dans $\QQ[t]/t^2$ (alors qu'elle en a dans $\QQ[t]/t=\QQ$).
+%De même l'équation [...] n'a pas de solution dans $\ZZ$
+%car elle n'en a pas dans $\ZZ/2^2$ (alors qu'elle en a dans $\ZZ/2$).
+%\end{exm2}
+On souhaiterait également que les $A_n$, pour $n$ croissant, forment une approximation
+de plus en plus fine de $A$. Le moins que l'on puisse demander est que
+ces approximations successives suffisent pour distinguer deux éléments de $A$,
+\cad\footnote{Puisque l'on est dans un groupe additif, on peux supposer que
+le second élément est l'élément nul.} que pour
+tout $a\neq 0$ dans $A$, il existe $n\gg 0$ tel que $\pi_n(a)\neq 0$.
+Cela revient à supposer que $$\cap_{n\geq 0} \MM_A^n=(0).$$
+On définit une topologie sur $A$ de la façon suivante :
+les ouverts sont les sous-ensembles $U$ de $A$ tels que pour tout $u\in U$,
+il existe $n\geq 0$ tel que $u+\MM_A^{n+1}\subset U$. On peut donc mesurer
+la petitesse d'un élément par la fonction
+$$\begin{array}{l}
+v_{\MM_A}:A\ra \NN\cup \{+\infty\}\\
+a\mapsto \max\{n\in \NN,\ a\in \MM_A^{n}\}
+\end{array}
+$$
+Pour $a,a'\in A$, on a $v(aa')\geq v(a)+v(a')$ et $v(a+a')\geq \min\{v(a),v(a')\}$.
+
+L'hypothèse $\cap_{n\geq 0} \MM_A^n=(0)$ est équivalente
+au fait que $v(a)=+\infty$ (\cad $a$ est aussi petit que possible) si et seulement si $a=0$.
+Cela est également équivalent au fait que $A$ soit \emph{séparé} pour cette topologie,
+dite $\MM_A$-\emph{adique} ; en particulier, les limites, si elles existent,
+sont alors uniquement définies. De façon équivalente,
+$$
+\begin{array}{l}
+A\ra \prod_n A_n\\
+a \mapsto \big(\pi_n(a)\big)_n
+\end{array}$$
+est \emph{injective}.
+
+Comme on le constate si $A$ est un corps, l'anneau de droite est très gros comparé à
+$A$. Plus précisément,
+l'image de $A$ n'est pas dense pour la topologie produit, où chaque $A_n$ est muni
+de la topologie quotient, qui est discrète.
+Ainsi, afin également de traduire l'idée d'« approximation successive »,
+on considère le sous-anneau $\widehat{A}$ de $\prod_n A_n$,
+constitué des suites « cohérentes », pour lesquelles
+l'élément au cran $n+1$ relève l'élément au cran $n$.
+En symboles :
+$$
+\widehat{A}:=\{(a_n)_{n\geq 0}\in \prod_n A_n, \pi_{n+1,n}(a_{n+1})=a_n\}.
+$$
+(Le terme de droite s'écrit aussi $\lim_n A_n$ : c'est la limite
+du système \emph{projectif} des $\pi_{n+1,n}:A_{n+1}\ra A_n$.)
+Le morphisme diagonal $A\ra \prod_n A_n$ se factorise naturellement à travers
+l'injection $\widehat{A}\hra \prod_n A$ en le morphisme canonique :
+$$
+A\ra \widehat{A},
+$$
+qui fait de $\widehat{A}$ une $A$-algèbre ; c'est également l'adhérence
+de l'image de $A$ dans $\prod_n A_n$. L'anneau $\widehat{A}$ est appelé
+le \emph{séparé-complété} en $\MM_A$ de $A$ ; cette appellation étant conforme
+à l'usage qui en est fait en topologie compte tenu des remarques précédentes.
+Si $A$ est séparé pour la topologie $\MM_A$-adique, $A\ra \widehat{A}$ une injection ; on dit
+qu'il est \emph{complet} pour cette topologie, si c'est une surjection.
+Remarquons que le critère de Cauchy pour s'assurer de la convergence d'une suite
+est très simple : si $A$ est complet, $(x_i)_{i\geq 0}$ est convergente
+si et seulement si $(x_{i+1}-x_i)$ tend vers zéro.
+
+Un élément $(a_n)$ de $\widehat{A}$ est inversible si et seulement si $a_0\in A_0=A/\MM_A$
+est non nul. En effet, chaque $A_n$ est local d'idéal maximal
+$\MM_AA_n$ de sorte que si $a_0\neq 0$, $a_n\in A_n^{\times}$ pour tout $n\in\NN$.
+L'unicité de l'inverse force le système des $(a_n)^{-1}$ à être cohérent.
+Ainsi, $\widehat{A}$ est \emph{local}\footnote{Rappelons \ref{1.1}
+qu'un anneau \emph{local} est
+un anneau dans lequel il existe un seul idéal maximal, qui
+est alors le complémentaire de l'ensemble des éléments inversibles.}
+d'idéal maximal le noyau de $\widehat{A}\surj A/\MM_A$, noté $\MM_{\widehat{A}}$.
+On a donc $\widehat{A}/\MM_{\widehat{A}}\iso A/\MM_A$ et $\MM_A\widehat{A}\subset
+\MM_{\widehat{A}}$.
+
+Si l'on suppose $A$ \emph{noethérien}, d'après le lemme
+de Nakayama (\ref{Nakayama}), pour tout idéal maximal $\MM_A$,
+$A$ est séparé pour la topologie $\MM_A$-adique.
+D'après \ref{complété-cas noethérien}, $\widehat{A}$ est plat
+sur $A$ et $\MM_{\widehat{A}}=\MM_A \widehat{A}$.
+On s'intéressera essentiellement au cas où $A$ est (intègre) principal,
+par exemple $\ZZ$ ; dans ces cas particulier, on peut donner
+une démonstration élémentaire directe de ces résultats (cf. par exemple
+\cite{Cours@Serre}).
+
+
+\subsection{Nombres $p$-adiques, séries formelles et anneaux
+de valuation discrète}
+Appliquons la construction précédentes aux anneaux $\ZZ$ et $k[t]$ ($k$ un corps).
+On note $\ZZ_p$ le complété en $(p)$ de $\ZZ$ et, pour tout anneau $k$,
+$k\[t\]$ le complété de $k[t]$ en $(t)$. On les appelle respectivement
+\emph{anneau des entiers} $p$-\emph{adiques} et \emph{anneau des séries
+formelles}\footnote{On pensera un élément de $k\[t\]$ comme une expression
+$\sum_{i\in\NN} a_i t^i$, où les $a_i$ appartiennent à $k$, le produit étant
+défini comme pour les polynômes. Insistons sur le fait qu'aucune condition
+n'est imposée sur les coefficients (d'où l'adjectif « formel ») ; l'anneau
+$k$ n'ayant pas de structure supplémentaire (topologie, etc.), c'est bien naturel.}
+sur $k$.
+Ces anneaux sont locaux, complets (comme c'est le cas en toute généralité)
+mais aussi, si $k$ est un corps pour le second, intègres et principaux.
+%[p.21 ...]
+Un \emph{anneau de valuation discrète} (avd en abrégé) est un anneau principal intègre ayant un
+unique idéal premier non nul. Dans un tel anneau, si $\pi$ est un générateur
+de l'idéal maximal, tout élément $a\in A-\{-0\}$ s'écrit de façon unique
+$a=u\pi^r$ où $u\in A^{\times}$ est une unité et $r\in \NN$. Cet entier,
+qui coïncide avec l'entier $v_{\MM_A}(a)$ introduit plus haut est la \emph{valuation}
+de $a$. Dans le cas d'un anneau de valuation discrète, on a égalité
+$v(aa')=v(a)+v(a')$. Un générateur de l'idéal maximal est appelé une \emph{uniformisante}.
+Deux uniformisantes différent par la multiplication par une unité.
+
+Les anneaux $\ZZ_p$ et $k\[t\]$, pour $k$ un corps, sont
+des anneaux de valuation discrète ;
+on note $\QQ_p$ et $k((t))$ leurs corps des fractions : le corps
+des nombres $p$-adiques (resp. le corps des \emph{séries de Laurent} formelles).
+On étend la valuation à $\ZZ\cup \{+\infty\}$ par $v(ab^{-1})=v(a)-v(b)$ ($b$ non nul),
+ce qui est indépendant des choix. On procède de même pour tout avd $A$. Le sous-anneau
+$A$ de $K=\mathrm{Frac}(A)$ est alors l'ensemble des éléments de $K$ de valuation positive.
+
+Pour faire un pas de plus en direction de l'analyse, faisons la définition suivante :
+\begin{dfn2}
+Soit $K$ un corps. On appelle \emph{valeur absolue} sur $K$ toute application
+$|\cdot | : K\ra \RR_{+}$ satisfaisant les trois conditions
+suivantes, pour chaques $x,y\in K$ :
+$$
+\left\{ \begin{array}{l}
+|x|=0 \Longrightarrow x=0\\
+|xy|=|x||y|\\
+|x+y|\leq |x|+|y|
+\end{array} \right.
+$$
+Elle est dite \emph{non archimédienne} si pour $|x+y|\leq \max\{|x|,|y|\}$ ;
+de façon équivalente, $\{|n|,n\in \ZZ\}\subset \RR $ est borné.
+\end{dfn2}
+À chaque corps valué $(K,|\cdot|)$, on associe une topologie métrique sur $K$ par
+$d(x,y)=|x-y|$.
+Si la valeur absolue est non archimédienne, la boule unité fermée
+$A_K:=\{x\in K, |x|\leq 1\}$ est un sous-anneau de $K$ ; c'est aussi
+l'ensemble des $x\in K$ tel que l'ensemble $\{x^n, n\in \NN\}$ est borné.
+
+\begin{exms2}
+Pour chaque corps $K$, la fonction valant $0_{\RR}$ en $0_K$ et $1_{\RR}$ ailleurs
+est une valeur absolue dite \emph{triviale}, notée $|\cdot|_{\mathrm{triv}.}$. La topologie
+correspondante sur $K$ est la topologie discrète.\\
+Les corps $\QQ,\RR,\CC$ munis de la valeur absolue usuelle $|\cdot|_{\infty}$
+sont des corps valués.
+Pour chaque anneau de valuation discrète $A$, et tout nombre réel $0<c<1$, la formule
+$|a|:=c^{v(a)}$ pour $a\in \mathrm{Frac}(A)^{\times}$, étendue à $0_{\RR}$ en $0_A$, définit
+une valeur absolue non archimédienne. En particulier, les corps $\QQ_p$ et $k((t))$ sont
+naturellement valués. La valuation de $\QQ_p$ est souvent normalisée de sorte
+que $|p|=p^{-1}$ (\cad $c=p^{-1}$). Par restriction à $\QQ\hra \QQ_p$ on en déduit
+une valeur absolue sur $\QQ$\footnote{Signalons pour le lecteur curieux le fait suivant,
+dû à Ostrovsky : à \emph{équivalence près} les seules valeurs absolues de $\QQ$ sont
+les $|\cdot|_p$ ($p$ premier), $|\cdot|_{\infty}$ et $|\cdot|_{\mathrm{triv}.}$.
+On dit que deux valeurs absolues sont équivalentes si elles définissent les mêmes
+topologies. On peut montrer que cela revient à supposer qu'il existe une constante
+$c\in \RR^{\times}_{+}$ telle que l'on passe de l'une à l'autre par élévation à la puissance
+$c$.}.
+\end{exms2}
+%[p.22 Ostrovsky : en exercice !]
+Revenons à la théorie de Galois.
+
+\subsection{Théorie de Galois et localisation}
+
+Soient $K/\QQ$ une extension galoisienne et $p$ un nombre premier.
+Suivant \ref{fonctorialité}, on forme le diagramme :
+$$
+\xymatrix{
+K \ar@{-}[r] & K\QQ_p \\
+\QQ \ar@{-}[r] \ar@{-}[u] & \QQ_p \ar@{-}[u] }
+$$
+où $K\QQ_p=:K_p$ est une extension composée. Concrètement, si $K/\QQ$ est le corps
+de décomposition d'un polynôme $f\in \QQ[X]$, $K_p$ est un corps
+de décomposition de $f$ vu comme polynôme dans $\QQ_p[X]$. Abstraitement,
+$K_p$ est un quotient de l'algèbre $K\otimes_{\QQ} \QQ_p$.
+On a déjà vu en \emph{loc. cit.} qu'un tel diagramme induit une injection
+$$\ga(K_p/\QQ_p)\hra \ga(K/\QQ).$$
+De même qu'en \ref{Dedekind}, on souhaite utiliser ces sous-groupes $\ga(K_p/\QQ_p)$ pour
+en déduire une information, autrement difficile à obtenir, sur $\ga(K/\QQ)$.
+
+On aimerait que la structure supplémentaire de corps (discrètement) valué complet
+sur $\QQ_p$, qui ouvre la voie vers des méthodes plus analytiques, nous permette
+d'étudier $\ga(K_p/\QQ_p)$. À cette fin, il est raisonnable d'espérer munir $K_p$
+d'une valeur absolue ou d'une valuation. Cela est possible en vertu du théorème suivant :
+
+\begin{thm}\label{normalisation avd}
+Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$
+et $L/K$ une extension finie séparable. Alors, la clôture intégrale $B$
+de $A$ dans $L$ est libre de rang $[L:K]$ sur $A$ et est un anneau de valuation
+discrète complet. Il existe un entier $e\geq 1$ divisant $[L:K]$ tel que
+la valuation $v_B$ restreinte à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
+\end{thm}
+
+Nous allons démontrer ce théorème dans la (longue) section suivante ;
+nous y comblons aussi quelques lacunes précédentes (par exemple dans la
+démonstration de \ref{point clé Frob}) et généralisons quelques énoncés
+(\ref{structalgdimfinie} en \ref{décomposition algèbre artinienne} par exemple).
+Le lecteur en trouvera une démonstration plus courte mais dans un esprit
+différent dans \cite{CL@Serre}, chap.~\textsc{ii}, \S~2.
+
+\section{Un peu d'algèbre commutative}
+
+Tout d'abord, remarquons que si l'on applique le procédé du théorème \ref{normalisation avd}
+à une extension triviale, on a $A\iso B$ ; en d'autres termes :
+
+\begin{lmm}\label{avd=normal}
+Un anneau de valuation discrète est normal.
+\end{lmm}
+
+Cela montre également que l'anneau de valuation discrète $B\leq L$ que nous
+cherchons doit être intégralement clos : il doit donc contenir la normalisation de $A$.
+
+\begin{proof}
+Soient $A$ un tel anneau, $K$ son corps des fractions et $x\in K$ entier sur $A$ :
+il existe $n\geq 1$, $a_0,\dots,a_{n-1}\in A$ tels que
+$$
+x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0=0.
+$$
+Supposons $v(x)<0$. Dans ce cas, pour $0\leq i \leq n-1$,
+$v(a_ix^i)\geq v(x^i)\geq v(x^{n-1})=(n-1)v(x)$. Ainsi,
+$$
+v(a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0)\geq (n-1)v(x).
+$$
+Pourtant le terme de droite, $x^{n}$ a une valuation strictement plus petite. Contradiction.
+\end{proof}
+
+Ce genre d'argument sera grandement amplifié en \ref{polygone de Newton}.
+
+\begin{lmm}
+Soient $A\subset B$ deux anneaux de valuation discrète de même corps des fractions. Alors,
+$A=B$.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Commençons la démonstration sous la seule hypothèse que $A$ et $B$
+satisfont les propriétés suivantes : il s'agit d'anneaux \emph{intègres}
+tels que si un élément n'est pas dans l'anneau, son inverse, dans son corps
+des fractions, est dans l'anneau.
+Ce sont ce qu'on appelle des \emph{anneaux de valuation}. L'ensemble
+des idéaux d'un tel anneau est totalement
+ordonné (exercice). En particulier, un anneau de valuation est local.
+Soit $K$ le corps de fractions de $A$ ; c'est aussi celui de $B$.
+Soit $0\neq m_B\in \MM_B$ ; son inverse $m_B^{-1}$ n'appartient pas à $B$ et \emph{a fortiori}
+pas à $A$. Donc $m_B\in A$, et finalement $\MM_B\subset \MM_A$.
+(On dit dans ce cas que le morphisme $A\ra B$ est \emph{local} :
+$\SP(B)\ra \SP(A)$ envoie l'idéal maximal sur l'idéal maximal.)
+Montrons maintenant que $\MM_B$ est un idéal premier de $A$.
+Soient $a,a'$ dans $A$ tels que $aa'\in \MM_B$. Un élément de $B-\MM_B$
+est une unité de $B$ donc si ni l'un ni l'autre de ces éléments n'est dans $\MM_B$,
+ils sont tous deux inversibles dans $B$, de même que leur produit ; absurde.
+
+
+Comme $A$ est un anneau de valuation \emph{discrète}, son seul
+idéal premier non nul est $\MM_A$. Ainsi, $(0)\neq \MM_B=\MM_A$.
+Or un anneau de valuation est déterminé par son corps des fractions
+et son idéal maximal : $A=\{x\in K^{\times}, x^{-1}\notin \MM_A\}\cup \{0\}$,
+et $B=A$.
+\end{proof}
+
+\begin{prp}\label{normalisation finie}
+Soit $A$ un anneau \emph{normal} noethérien de corps des fractions $K$.
+Soient $L/K$ une extension finie \emph{séparable} et $B$ la normalisation
+de $A$ dans $L$. Alors, $B$ est un $A$-module de type fini.
+\end{prp}
+
+Si $A$ est un anneau de valuation discrète (donc normal, \cad intègre,
+et intégralement clos et noethérien cf. \ref{normal} et \ref{avd=normal}), le $A$-module
+$B$ étant sans torsion, il est
+également \emph{libre} (de type fini).
+
+Nous ferons un usage essentiel de la proposition suivante :
+
+\begin{prp}\label{trace non dégénérée}
+Soit $L/K$ une extension finie séparable. L'accouplement défini par la trace
+$$
+\begin{array}{l}
+L\otimes_K L \ra K\\
+x\otimes y \mapsto \mathrm{Tr}_{L/K}(xy)
+\end{array}
+$$
+est \emph{non dégénéré} : l'application $K$-linéaire
+$$
+\begin{array}{l}
+L\ra \Hom_{K-\mathrm{lin}.}(L,K)\\
+x\mapsto \mathrm{Tr}_{L/K}(x\cdot)
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme.
+\end{prp}
+
+La réciproque est également vraie, cf \ref{trace-étale}.
+L'accouplement est non dégénéré si et seulement si, pour
+tout $x\in L$ non nul, il existe $y\in L$ tel
+que $\TR(xy)\neq 0$. C'est équivalent à la \emph{surjectivité} de la trace.
+Puisque $\TR_{L/K}(1)=[L:K]\cdot 1$, seul le cas de la caractéristique
+positive peut poser problème.
+
+
+\begin{proof}
+Soit $K\sep$ une clôture algébrique de $K$.
+Il suffit de montrer que l'application $K\sep$-bilinéaire
+$$\big(L\otimes_K L\sr{\mathrm{Tr}_{L/K}}{\ra} K\big)\otimes_K K\sep=
+(L\otimes_K K\sep)\otimes_{K\sep} (L\otimes_K K\sep)\sr{\mathrm{Tr}_{L_{K\sep}/K\sep}}{\ra}
+K\sep$$
+est non dégénérée.
+Dans ce cas, qui est « décomposé » car $L\otimes_K K\sep \iso_{K\sep} {K\sep}^{X}$
+($X=\Hom_{K}(L,K\sep)$), la situation est simple : l'accouplement
+correspond à
+$$\begin{array}{l}
+{K\sep}^{X}\otimes_{K\sep} {K\sep}^{X}\ra K\sep\\
+(x_i)\otimes (y_i)\mapsto \sum_{i\in X} x_i y_i
+\end{array}$$
+Ce dernier est bien non dégénéré.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Démonstration de \ref{normalisation finie}]
+Puisque $A$ est normal, $\TR_{L/K}(B)\subset A$ : la trace d'un élément de $b$
+appartient à $K$ et est algébrique sur $A$. Pour tout $A$-sous-module $M$ de $L$,
+notons $M^{\star}$ le $A$-module
+$\{x\in L, \TR_{L/K}(xM)\subset A\}$. Ainsi, $B\subset B^{\star}$.
+Si $M$ est un $A$-module libre de type fini, $M^{\star}$ l'est également
+par non dégénérescence de la trace.
+Soient $d=[L:K]$ et $e_1,\dots,e_d$ une base de $L$ sur $K$ ; puisque
+$KB=L$, on peut supposer ces éléments dans $B$. On a donc :
+$$
+\oplus_1^d Ae_i \subset B \subset B^{\star} \subset \big(\oplus_1^d Ae_i\big)^{\star}.
+$$
+Le terme de droite est (libre) de type fini ; $B$ est donc également de type fini.
+CQFD.
+\end{proof}
+Remarquons que $B$ est également noethérien donc normal.
+
+\begin{rmr}
+Si $A$ est un anneau local noethérien complet, la conclusion de la proposition
+tient encore même si $L/K$ n'est pas séparable (Nagata~M.).
+%Mettre en japonais (de même que les noms russes etc.)
+On dit, suivant A.~Grothendieck,
+qu'un tel anneau est \emph{japonais}. Pour vérifier qu'un anneau est japonais,
+il suffit de démontrer la proposition précédente pour $L/K$ radicielle.
+\end{rmr}
+
+
+Poursuivons par quelques lemmes.
+Ce premier lemme est un des points de départ de la théorie de la dimension
+des anneaux commutatifs.
+
+\begin{lmm}\label{entier sur corps}
+Soit $A\subset B$ deux anneaux. Supposons $B$ entière sur $A$ et intègre.
+Alors, $A$ est un corps si et seulement si $B$ est un corps.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Si $B$ est un cors et $0\neq a\in A$, $a^{-1}\in B$ et est entier sur $A$.
+Il en résulte que $(a^{-1})^n+a_{n-1}(a^{-1})^{n-1}+\cdots+a_0=0$ où les coefficients
+sont dans $A$. En multipliant cette égalité par $a^{n-1}$, on voit que $a^{-1}\in A$.
+Réciproquement, si $A$ est un corps, et $0\neq b\in B$, la sous-algèbre $A[b]$ de $B$
+est intègre et de type finie sur le corps $A$. C'est donc un corps. En particulier,
+$b$ est inversible dans $A[b]$ et \emph{a fortiori} dans $B$.
+\end{proof}
+
+Commençons notre brève étude des fibres de $\SP(B)\ra \SP(A)$ dans le
+cas où $A$ est local.
+Rappelons (\ref{spectre quotient}) qu'en toute généralité, la fibre en
+$\wp_A$ de ce morphisme s'identifie canoniquement avec $\SP(B/\wp_AB)$.
+
+\begin{lmm}\label{going-up1}
+Soient $A$ un anneau local d'idéal maximal $\MM_A$ et $B$ une $A$-algèbre finie.
+L'application $$\SP(B/\MM_AB)\ra \SP\max(B)$$ est une bijection :
+un idéal premier de $B$ qui est maximal contient l'idéal $\MM_AB$ et réciproquement.
+En conséquence, l'ensemble des idéaux maximaux de $B$ est fini, de cardinal inférieur
+à $dim_{A/\MM_A} B\otimes_A A/\MM_A$ et
+$\MM_B$ appartient à l'image de $\SP(B)\ra \SP(A)$.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Comme $B/\MM_AB$ est une $A/\MM_A$-algèbre \emph{finie}, son spectre est également fini
+(cf. \ref{structalgdimfinie}).
+Vérifions la première assertion.
+Soit $\wp$ un idéal maximal de $B$ ; le quotient $B/\wp$ est un corps.
+Si $N$ est le noyau de $A\ra B\surj B/\wp$, on a $A/N\hra B/\wp$ et $B/\wp$ est
+fini sur $A/N$.
+D'après le lemme précédent, les quotient $A/N$ est donc un corps ; comme $A$ est local,
+$N=\MM_A$ et finalement $\MM_AB\subset \wp$. On montre de même que si $\wp_B$ est maximal,
+il contient $\MM_A$.
+\end{proof}
+
+Pour $B/A$ comme dans \ref{entier sur corps},
+le morphisme $\SP(B)\ra \SP(A):\wp_B\mapsto \wp_B\cap A$
+n'est pas injectif en général. Dans la proposition suivante, nous allons voir
+qu'il résulte du lemme \ref{entier sur corps} qu'il est strictement croissant au sens suivant
+et du lemme \ref{going-up1} qu'il est surjectif.
+
+\begin{lmm}\label{going-up}
+Soient $B$ un anneau et $A$ un sous-anneau sur lequel $B$ est entier.
+\begin{enumerate}
+\item $\SP(B)\ra \SP(A)$ est surjectif.
+Si $B$ est libre de rang $d$ sur $A$, le cardinal des fibres
+est au plus $d$,
+\item si $\wp_B\subsetneq \wp_B'$ sont deux idéaux premiers distincts de $B$,
+$\wp_B\cap A\neq \wp'_{B}\cap A$.
+
+\end{enumerate}
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+Soit $\wp\in \SP(A)$ ; l'anneau localisé en $\wp$, $A_\wp$ est
+naturellement un sous-anneau de l'algèbre $B_{\wp}=B\otimes_A A_\wp$.
+Considérons le diagramme commutatif :
+$$\xymatrix{
+\SP(B_{\wp}) \ar@{^(->}[r] \ar[d] & \SP(B) \ar[d] \\
+\wp\in \SP(A_\wp) \ar@{^(->}[r] & \SP(A)
+}$$
+Comme $B_{\wp}/A_{\wp}$ entière (cf. \ref{normalisation et localisation}),
+$\wp$ --- identifié à son image dans $\SP(A)$ --- appartient à l'image de la
+flèche verticale de gauche (\ref{going-up1}). La surjectivité en découle. L'inégalité
+sur le cardinal des fibres résulte également de \ref{going-up1}.
+
+Supposons maintenant qu'il existe une inclusion stricte
+$\wp_B\subset \wp_B'\subset B$ telle que $\wp_B\cap A= \wp'_{B}\cap A=\wp_A$.
+Quitte à remplacer $A$ par $A_\wp$, on peut supposer $A$ local d'idéal maximal $\wp$.
+(Cette réduction est légitime car $\wp_B$ et $\wp_B'$, qui contiennent $\wp$,
+appartiennent tous deux à $\SP(B_{\wp})\hra \SP(B)$.)
+On a vu en \ref{going-up1} que les idéaux de $B$ au-dessus $\wp$ sont tous maximaux.
+Il ne peut donc pas y avoir d'inclusion stricte.
+\end{proof}
+
+\begin{dfn}\label{dimension}
+Soit $A$ un anneau. On appelle \emph{dimension} de $A$ la borne supérieure
+des entiers $d$ tels qu'il existe une chaîne strictement croissante
+$$
+\wp_0\subsetneq \wp_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \wp_{d}\subset A
+$$
+d'idéaux premiers.
+\end{dfn}
+
+Un corps est de dimension nulle ; un anneau de valuation discrète est de dimension
+$1$.
+
+
+\begin{rmr}\label{rmr-dimension}
+Prendre garde que même si $A$ est noethérien, il peut être
+de dimension infinie.
+%(par exemple : [...]).
+Par contre, on peut montrer que tout anneau \emph{local} noethérien
+est de dimension finie (cf. \cite{Algebre@Serre}).
+\end{rmr}
+
+
+
+Voici une généralisation de \ref{structalgdimfinie}.
+
+\begin{prp}\label{décomposition algèbre artinienne}
+Soient $A$ un anneau local noethérien complet et $B$ une $A$-algèbre finie.
+Alors le spectre maximal $\SP\max(B)$ est fini et
+$$
+B\iso \prod_{\wp\in \SP\max(B)} B_{\wp}.
+$$
+\end{prp}
+
+Un anneau local satisfaisant cette propriété (pour tout $B$) est appelé un anneau
+local \emph{hensélien}. Ils jouent un rôle crucial en géométrie algébrique.
+Il résulte immédiatement de la propriété ci-dessus que si $A$ est local hensélien
+et $B$ est une $A$-algèbre finie locale, $B$ est également hensélien.
+
+\begin{lmm2}\label{anneau dimension nulle}
+Soit $C$ un anneau noethérien de dimension nulle. Alors, $\SP(C)$ est fini
+et $C\iso \prod_{\wp\in \SP(C)}C_\wp$.
+\end{lmm2}
+
+Remarquons que nous appliquerons ce lemme à l'anneau $B/\MM_A^n$, dont on sait déjà
+que son spectre est fini. Le lecteur pourra donc omettre le passage correspondant
+de la démonstration qui va suivre dans conséquence.
+
+\begin{proof}
+
+
+\begin{itemize}
+
+\item Un anneau noethérien de dimension nulle est \emph{artinien} : toute suite décroissante
+d'idéaux est stationnaire. \\
+En effet,
+d'après \ref{idéaux premiers associés}, il existe une filtration
+$0=C_{-1}\subset C_0 \subset \cdots \subset C_n=C$ de $C$ par des idéaux
+dont les quotients successifs sont isomorphes, comme
+$C$-modules, à $C/\wp$ pour $\wp\in \SP(C)$ variable.
+Comme $C$ est de dimension nulle, tout idéal premier est maximal ; $C/\wp$ est donc
+un corps et $C$ est de longueur finie (comme $C$-module).
+La conclusion résulte de \ref{longueur finie et artinien}.
+\item Le spectre $\SP(C)$ est fini. \\
+Soient $\wp_1,\dots,\wp_n$ des idéaux premiers distincts
+de $C$. Comme ils sont maximaux par le théorème de Bézout,
+$$
+C\surj \prod_1^n C/\wp_i.
+$$
+D'après \ref{additivité longueur}, $\mathrm{long}_C(C)\geq \mathrm{long}_C(\prod_1^n C/\wp_i)$.
+Comme $\mathrm{long}_C(\prod_1^n C/\wp_i)=\sum_1^n \mathrm{long}_C C/\wp_i\geq n$
+et que chaque $C/\wp_i$ est de longueur $1$, on voit que le nombre d'idéaux maximaux
+de $C$ est borné par $\mathrm{long}_C(C)<+\infty$.
+
+\item Soit $\wp_1,\dots,\wp_r$ les idéaux premiers de $C$. Le nilradical
+de $C$, $\mc{N}=\cap_{\wp\in \SP(C)} \wp$ est de type fini : il existe donc
+$N\in \NN$ tel que $\mc{N}^N=(0)$. Il en résulte, comme dans la démonstration
+de \ref{structalgdimfinie}, que $\cap_{\wp} \wp^N=(0)$
+et finalement que
+$$
+C\ra \prod_{\wp\in \SP(C)} C/\wp^{N}
+$$
+est un isomorphisme.
+
+\item Chaque $C/\wp^{N}$ est isomorphe à $C_{\wp}$.\\
+Ces anneaux sont locaux : tout idéal maximal contenant $\wp^N$ contient $\wp$.
+La conclusion résulte de \ref{spectre d'un produit}.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+Nous allons démontrer la proposition en appliquant le lemme précédent
+aux quotients $B_n:=B/\MM_A^{n+1}$, pour $n$ variable et passer à la limite.
+
+Il est intéressant que pour autant que les anneaux $B_n$ grossissent,
+leurs spectres sont tous canoniquement en bijection :
+
+\begin{lmm2}\label{épaississements}
+Soit $C$ un anneau et $I$ un idéal de $C$. Pour tout $n\in \NN$,
+l'application canonique
+$$
+\SP(C/I)\ra \SP(C/I^{n+1})
+$$
+est une bijection.
+\end{lmm2}
+\begin{proof} En effet, si $I^{n+1}\subset \wp$, $I\subset \wp$.\end{proof}
+
+
+Fixons $n\in \NN$. L'anneau quotient $A_n=A/\MM_A^{n+1}$ est noethérien, local
+et de dimension nulle (tout idéal premier contenant $\MM_A^{n+1}$ est égal à $\MM_A$).
+Il en résulte que la $A_n$ algèbre finie $B_n:=B\otimes_A A_n=B/\MM_A^{n+1}B$
+est noethérien et de dimension nulle (\ref{épaississements} et \ref{structalgdimfinie}).
+
+Nous avons vu plus haut que $\SP(B_0)$ est canoniquement en bijection
+avec $\SP\max(B)$.
+Ainsi, le lemme précédent, appliqué aux $B_n$ se réécrit :
+$$
+B_n \iso \prod_{\wp_n\in \SP(B_n)} (B_n)_{\wp_n}\isononcan \prod_{\wp\in \SP\max(B)}
+B_{\wp}/\MM_A^{n+1}.
+$$
+On utilise implicitement le lemme suivant pour identifier $(B_n)_{\wp_n}$
+à $B_{\wp}/\MM_A^{n+1}$ si $\wp$ est l'image de $\wp_n$ par $\SP(B_n)\ra \SP(B)$.
+
+\begin{lmm2}
+Soient $A$ un anneau, $I$ un idéal et $\wp_I\in \SP(A/I)$. Soit $\wp$
+l'image inverse de $\wp_I$ dans $A$. Alors,
+il existe un isomorphisme canonique
+$$
+(A_{\wp})/(IA_{\wp})\isononcan (A/I)_{\wp_I}.
+$$
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+En effet, ces deux anneaux représentent le foncteur
+$$C\in \ob \mathsf{Ann} \mapsto \{f\in \Hom(A,C),\ f(I)=0\ \& \ f(A-\wp)\in C^{\times}\}\in
+\ob \Ens.$$
+\end{proof}
+
+Comme $B$ est un $A$-module \emph{libre} de type fini, il est \emph{séparé} et \emph{complet}
+pour la topologie $\MM_A$-adique : $B\ra \widehat{B}$ est un isomorphisme.
+
+
+Ainsi,
+$$
+B\iso \lim_n B_n=\prod_{\wp\in \SP\max(B)} \lim_n (B_\wp)/\MM_A^{n+1}=\prod_{\wp\in
+\SP\max(B)} \widehat{B_\wp}.
+$$
+Nécessairement (cf. \ref{spectre d'un produit}),
+$B_\wp\iso \widehat{B_\wp}$.
+
+Soient $A,L/K,B$ comme dans le théorème \ref{normalisation avd}.
+On a vu que $B$ est intègre donc local, normal, noethérien, de type fini sur $A$, complet.
+Il est de dimension $1$ car il est de dimension inférieure à $1$
+(cf \ref{going-up}) sans être un corps (cf \ref{entier sur corps}).
+Il reste à vérifier que c'est un anneau de valuation discrète.
+
+\begin{lmm2}
+Tout anneau local normal noethérien de dimension $1$ est un anneau
+de valuation discrète : son idéal maximal est principal.
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+Soient $C$ un tel anneau, $\MM_C$ son idéal maximal et $x\in \MM_C-\MM_C^2$.
+(D'après \ref{Nakayama2}, $\MM_C^2\subsetneq \MM_C$.)
+Le quotient $C/(x)$ est de dimension nulle donc il existe $n$ tel que
+$\MM_{C/(x)}^n=(0)$. En d'autres termes, $\MM_{C}^n\subset (x)$. Considérons
+$n$ minimal pour cette propriété, de sorte qu'il existe $y\in \MM_C^{n-1}-(x)$.
+Comme $$\left\{\begin{array}{l} \MM_C y \subset (x) \\ y\notin (x) \end{array}\right.,$$
+on voit que $\MM_C (\frac{y}{x})\subset C$.
+Deux cas se présentent.
+\begin{itemize}
+\item $\MM_C (\frac{y}{x})\subset \MM_C$, auquel cas $\frac{y}{x}$ est algébrique
+sur $C$ (rappelons que $\MM_C$ est de type fini), donc appartient à $C$. Absurde !
+\item $\MM_C (\frac{y}{x})=C$, auquel cas $1=\pi\frac{y}{x}$, pour un $\pi\in \MM_C$.
+Mézalor, pour tout $m\in \MM_C$, $m=\underbrace{\frac{my}{x}}_{\in A}\pi$, \cad
+$(\pi)=\MM_C$.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+Achevons la démonstration de \ref{normalisation avd}.
+Fixons les notations :
+$$
+\xymatrix{
+k_L:=B/\pi_L \ar@{-}[d]^{\deg=:f} & \ar@{->>}[l] B \ar@{^(->}[r] \ar@{-}[d] & L
+\ar@{-}[d]^{\mathrm{s\acute{e}p},\deg=n} \\
+k_K:=A/\pi_K & A \ar@{->>}[l] \ar@{^(->}[r] & K
+}
+$$
+où $\pi_K$ et $\pi_L$ sont des uniformisantes respectives des anneaux
+de valuation discrète $A$ et $B$. Soit $e\geq 1$, tel que $\pi_K=\pi_L^{e}u_B$, pour
+une unité $u_B\in B^{\times}$ : $e=v_L(\pi_K)$.
+L'extension $k_L/k_K$ est appelée \emph{extension résiduelle}.
+
+\begin{lmm2}\label{n=ef}
+Avec les notations précédentes, $$n=ef.$$
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+On a vu (\ref{} [À rédiger]) que $B$ est libre de rang $n$. La $k_K$-algèbre $B\otimes_A k_K=B/\pi_K=
+B/\pi_L^e$ est donc de dimension $n$. D'un autre côté, on peut filtre $B/\pi_L^e$
+par les sous-$k_K$-module $\pi_L^{i}B/\pi_L^e$, pour $i=0,\dots,e$.
+Les gradués de cette filtration décroissante sont les $(\pi_L^{i})/(\pi_K^{i+1})$ ($0\leq i \leq
+e-1$). La conclusion résulte de ce que ces $k_k$-espaces vectoriels
+sont tous isomorphes à $k_L=\pi_L^0/\pi_L^1$, donc de $k_K$-dimension $f$.
+En effet,
+$$
+\begin{array}{l}
+k_L\ra (\pi_L^{i})/(\pi_K^{i+1})\\
+(B\ni b \mod \pi_L)\mapsto (b\pi_L^i \mod \pi_L^{i+1})
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme.
+\end{proof}
+
+
+\begin{dfn2}
+On dit qu'une extension $L/K$ comme plus haut est \emph{totalement ramifiée}
+si $e=n$, autrement dit, si l'extension résiduelle correspondante est triviale.
+De façon générale, on appelle $e$ l'\emph{indice de ramification} de l'extension
+considérée.
+\end{dfn2}
+
+C'est donc automatiquement le cas si $k_K$ est algébriquement clos, par exemple
+si $A=\CC[[t]]$.
+
+\begin{exm2}
+$\QQ_p(\sqrt{p})/\QQ_p$ : $n=e=2$, $f=1$.
+\end{exm2}
+
+\begin{crl2}\label{extension-va}
+Sous les hypothèses du théorème, il existe une unique valeur absolue $|\cdot|_L$
+sur $L$ prolongeant celle de $K$, $|\cdot|_K$.
+\end{crl2}
+
+\begin{proof}
+L'existence résulte de la définition suivante : $|x|_L=a^{v_L(x)/e}$, pour $x\in L$,
+où $a\in ]0,1[$ est tel que $|x|_K=a^{v_K(x)}$ pour tout $x\in K$.
+\end{proof}
+
+On peut remarquer que cette valeur absolue coïncide nécessairement avec
+$|\mathrm{N}_K(x)|_K^{1/n}$ (exercice).
+
+\begin{crl2}
+Sous les hypothèses précédentes, si $L/K$ est galoisienne,
+on a $v_L(x)=v_L(\sigma x)$ pour tout $\sigma\in \ga(L/K)$ et tout $x\in L$.
+\end{crl2}
+
+\begin{proof}
+Cela revient à démontrer que $|x|_L=|\sigma x|_L$. Cela découle
+de l'unicité de la valuation prolongeant $|\cdot|_K$.
+\end{proof}
+
+\section{Puiseux-Newton}
+
+\begin{dfn}
+Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$
+un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton}
+l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus
+des couples $(i,v(a_i))$, avec $0\leq i \leq n$ et $a_i\neq 0$.
+\end{dfn}
+
+
+\begin{thm}\label{polygone de Newton}
+Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
+complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$.
+Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant
+celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets
+du polygone de Newton. Alors,
+$$
+f=g_1\cdots g_r
+$$
+où :
+\begin{enumerate}
+\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$,
+\item Les racines de $g_i$ sont toutes de $v_L$-valeur absolue :
+$$
+-\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}=:v_i.
+$$
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+
+\begin{crl}[Eisenstein]\label{Eisenstein}
+Soit $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme à coefficients dans $\ZZ$.
+Supposons qu'il existe un nombre premier $p$ tel que $p|a_i$ mais $p^2$ ne divise pas $a_0$.
+Alors $f$ est irréductible.
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+
+\end{proof}
+
+\begin{exm}
+Exemple numérique pour montrer qu'un polynôme n'est pas irréductible.
+\end{exm}
+
+\begin{proof}
+Quitte à diviser les coefficients par $a_n$, ce qui a pour effet de translater verticalement
+le polygone, et aucun effet sur les racines, on peut supposer que $a_n=1$.
+Soient $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ les racines de $f$ dans $L$ ordonnées par valuation :
+$$
+\underbrace{\alpha_1,\dots,\alpha_{d_1}}_{v_1},\underbrace{\alpha_{d_1+1},\dots,
+\alpha_{d_1+d_2}}_{v_2},\dots,\underbrace{\alpha_{d_1+\cdots+d_{r-1}+1},\dots,
+\alpha_{d_1+\cdots+d_{r-1}+d_r=n}}_{v_r},
+$$
+où $v_1<\cdots < v_r$.
+Le terme constant $a_0$ est, au signe près, le produit des racines ;
+sa valuation est :
+$$
+v(a_0)=d_1v_1+\cdots+d_r v_r.
+$$
+Pour chaque $0\leq i < d_r$, $a_i$ est, au signe près, une somme de $n-i$ produits de racines ;
+ainsi :
+$$
+v(a_i)\geq d_1v_1+\cdots+d_{r-1}v_{r-1}+(d_r-i)v_r\ (0\leq i < d_r).
+$$
+Comme, au signe près,
+$$a_{d_r}=\alpha_1\cdots\alpha_{n-d_r}+\big(\text{somme dont chaque terme a
+une valuation}>\big),$$
+on a :
+$$
+v(a_{d_r})= d_1v_1+\cdots+d_{r-1}v_{r-1}.
+$$
+De même, on montre
+que pour $i\in [1,r]$,
+$$
+v(a_{d_r+\cdots+d_i})=d_1v_1+\cdots+d_{i-1}v_{i-1}
+$$
+et, pour $0\geq j < d_{i-1}$,
+$$
+v(a_{d_r+\cdots+d_i+j})\geq d_1v_1+\cdots+(d_{i-1}-j)v_{i-1}.
+$$
+Enfin $v(a_n)=0$.
+Ces égalités et inégalité traduisent exactement le fait que
+les sommets du polygone de Newton sont du type indiqué dans l'énoncé.
+
+Enfin, si $g_i:=\prod_{f(\alpha)=0,\,v_L(\alpha)=v_i}(X-\alpha)$
+appartient à $K[X]$ car deux racines conjuguées ont la même valuation.
+%[FIGURE !]
+\end{proof}
+
+Nous utiliserons ce théorème dans deux cas : $K=\QQ_p$ ou $K=k((t))$.
+Commençons par une application.
+
+\section{Groupe de Galois de l'exponentielle tronquée}
+
+\textbf{Cette section est une traduction rapide, non relue, du franglais vers le français
+de l'examen final.}
+
+\subsection{Énoncé ; résultats $p$-adiques}
+
+Soit $f_n(X)=1+X+\frac{X^2}{2}+\cdots+\frac{X^n}{n!}\in \QQ[X]$
+le $n$-ième polynôme de Taylor à l'origine de la fonction exponentielle.
+
+Nous allons démontrer, suivant Robert F. Coleman \cite{} :
+
+\begin{thm2}[Issai Schur, 1930 : $\got{S}_n$ par voie $p$-adique]\label{S_n-2}
+Le groupe de Galois de $f_n$ est soit le groupe alterné
+$\got{A}_n$ si $4|n$ soit le groupe symétrique $\got{S}_n$.
+\end{thm2}
+
+Ce théorème est à comparer avec \ref{S_n-1} (cf. \ref{S_n}).
+
+Fixons un nombre premier $p$.
+
+Écrivons $n=b_1p^{n_1}+b_2p^{n_2}+\cdots+b_s p^{n_s}$, où $n_1>n_2>\cdots>n_s$ et $0<b_i<p$.
+Posons $x_i=b_1p^{n_1}+b_2p^{n_2}+\cdots+b_i p^{n_i}$.
+Alors, les sommets du polygone de Newton $p$-adique de $f_n$ sont les
+$$
+\big(x_i,-v_p(x_i !)\big),\ 1\leq i \leq s.
+$$
+
+Il en résulte que :
+\begin{itemize}
+\item Si $p^m$ divise $n$, $p^m$ divise également le degré de chaque facteur de
+$f_n$ sur $\QQ_p$.
+\item Si $p^k\leq n$, $p^k$ divise le degré du corps de décomposition de
+$f_n$ sur $\QQ_p$.
+\end{itemize}
+
+Il résulte que $f_n$ est irréductible.
+De plus, si $\frac{n}{2}<p\leq n$ est un nombre premier,
+$\ga_{\QQ}(f_n)$ contient un $p$-cycle.
+
+Pour distinguer $\got{A}_n$ de $\got{S}_n$ nous aurons besoin de connaître
+le discriminant de $f_n$ :
+
+\begin{lmm2}
+Le discriminant $D_n$ de $f_n$ is $(-1)^{\binom{n}{2}}(n!)^n$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+On écrit $D_n$ comme le produit de dérivées ; produit que l'on calcule
+en remarquant que $f'_n(X)=f_n(X)-\frac{X^n}{n!}$.
+\end{proof}
+
+On achève la démonstration du théorème, pour $n\geq 8$ en faisant appel
+au postulat de Bertrand \ref{Bertrand} et au théorème de Jordan \ref{Jordan} ci-dessous.
+Les cas restants se traitent à la main par des techniques semblables (exercice).
+
+\subsection{Un théorème de Jordan}
+
+On veut démontrer :
+
+\begin{thm2}\label{Jordan}
+Soit $G$ un sous-groupe transitif de $\got{S}_n$ qui contient un $p$-cycle
+pour un nombre premier $p$ strictement compris entre $\frac{n}{2}$ et $n-2$.
+Alors $G$ contient $\got{A}_n$.
+\end{thm2}
+
+Nous ferons usage de la terminologie suivante :
+
+\begin{dfn2}
+Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $\got{S}_X$ agissant
+transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
+$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$
+sont $\vide,X$, et les singletons.
+\end{dfn2}
+De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de
+partition\footnote{En particulier, par définition,
+chaque constituant est non vide.}
+$\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable
+sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe
+un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$).
+
+Établissons quelques lemmes généraux.
+
+\begin{lmm2}
+Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif.
+\end{lmm2}
+
+\begin{lmm2}
+Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$,
+$H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$
+agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors,
+$G$ agit également transitivement sur $X$.
+\end{lmm2}
+
+Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe
+primitif de $\got{S}_n$ contenant un $p$-cycle.
+
+\begin{lmm2}
+Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $\got{S}_X$, $C$ un sous-groupe
+de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$.
+Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué
+\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement
+sur $F$.
+\end{lmm2}
+
+\begin{lmm2}
+Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$.
+Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $\got{S}_X$ tel que $G_F$ agisse
+transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive.
+(C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit
+transitivement sur $X-x$.)
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
+\begin{itemize}
+\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
+il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
+En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
+remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
+(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)
+
+\item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement
+sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.)
+
+\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
+sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{thm2}[Camille Jordan, 1870]
+Soit $G$ un sous-groupe primitif de $\got{S}_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier
+et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$
+contient $\got{A}_n$.
+\end{thm2}
+
+\begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.]
+La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes :
+$G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $\got{A}_n$.
+Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que
+nous supposons satisfaite.
+En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$
+dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ;
+on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$).
+Notons $G_F=G\cap \got{S}_F\subset \got{S}_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement
+sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\
+Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\
+Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son
+normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants :
+\begin{itemize}
+\item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons
+que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N\surj \got{S}_F$, via le morphisme
+de restriction, bien défini ici.
+\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait
+$N_{\pi}\surj \got{S}_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit
+transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$.
+\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $\got{S}_{P}$
+est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne.
+\item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image
+de $D\ra \got{S}_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D\surj A_F$.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+Voici enfin le dernier ingrédient, plus classique, pour achever la
+démonstration du théorème.
+
+\subsection{Le postulat de Joseph
+Bertrand}\label{Bertrand}
+
+On veut démontrer :
+
+\begin{thm2}[Pafnuty Tschebyshef, 1852]
+Pour tout entier $n\geq 2$, il existe un nombre premier $\frac{n}{2}<p\leq n$.
+\end{thm2}
+
+De la même façon, on voit que pour $n\geq 8$, $n-2$ convient.
+
+Soit $n\geq 3$ et posons $N=\binom{2n}{n}$.
+
+\begin{proof}
+\begin{enumerate}
+\item De l'inégalité $v_p(N)\leq \log_p(2n)$, il résulte que
+pour $p>\sqrt{2n}$, la valuation $p$-adique de $N$ est au plus~$1$.
+\item Observons que si $p$ satisfait : $\frac{2}{3}n<p\leq n$ alors $p$ ne divise pas $N$.
+\item Enfin, pour tout nombre réel $x\geq 2$,
+$$\prod_{p\leq x} p \leq 4^{x-1}.$$
+\end{enumerate}
+Il résulte de ces faits que si $n$ est un contre-exemple
+au théorème, on a :
+$$\frac{4^{n}}{2n}\leq (2n)^{\sqrt{2n}}4^{\frac{2}{3}n-1}.$$
+C'est absurde, du moins pour $n$ grand ; plus exactement $>4000$.
+Enfin, du fait que
+$$2,3,5,7,13,23,43,83,163,317,631,1259,2503,4001$$
+sont des nombres premiers, la conclusion du théorème est également
+valable pour $n$ petit.
+\end{proof}
+
+\subsection{Laguerre polynomials}
+
+$$L_n(X)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-X)^k}{k!}.$$
+
+\section{Théorème de Puiseux}
+
+\begin{thm}\label{Puiseux}
+Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
+Alors,
+$$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
+\end{thm}
+
+Nous aurons besoin de la proposition suivante :
+
+\begin{prp}
+Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
+et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
+$K$. On suppose l'extension résiduelle $k_L/k_K$ triviale, \cad
+$L/K$ \emph{totalement ramifiée}.
+Alors, $A[X]/f\iso B=A[\pi_B]$ où $\pi_B$ est une uniformisante
+de $B$ et $f$ est le polynôme minimal de $\pi_B$ sur $K$.
+C'est un polynôme d'Eisenstein, \cad unitaire, chaque $a_i$ appartenant à $\MM_A$ et
+le terme constant $a_0$ n'appartenant pas à $\MM_A^2$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+%Comme $k_L/k_K$ est finie séparable, il existe $\sur{x}\in k_L$ qui engendre $k_L$
+%sur $k_K$. Soit $x\in B$ arbitraire le relevant. Noson $f$ son polynôme minimal
+%sur $K$. Ses coefficients sont entiers sur $A$ et dans $K$ donc $f\in A[X]$.
+%Comme $\sur{f}(\sur{x})=f(x) \mod \MM_A = 0$,
+%par concordance des degrés, $\sur{f}$ est le polynôme minimal de $\sur{f}$ ;
+%en particulier, il est irréductible. L'anneau quotient $A_f:=A[X]/f$
+%est donc local : $A[X]
+Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
+et dans $K$. Comme la valuation $\MM_A$-adique (étendue à $L$) de $x$ est $1/e=1/n$,
+le polygone de Newton de $f$ a pour unique pente
+$-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{polygone de Newton}).
+%[DESSIN ; cf. p 25'].
+Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que
+$v(a_i)\geq 1$ pour chaque $a_i$.
+Le morphisme $A[X]/f\ra B$ est injectif car $f$ est le polynôme minimal de $x$.
+Il devient un isomorphisme une fois tensorisé avec $A/\MM_A=:k_A$ :
+Cela résulte des propriétés des coefficients de $f$ pour le premier et de l'hypothèse de
+ramification totale pour le second.
+Le lemme de Nakayama \ref{Nakayama} montre donc que c'est une surjection donc
+un isomorphisme.
+\end{proof}
+
+\begin{dfn}\label{dfn-ramification}
+Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$,
+$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
+et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
+Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$,
+$$
+G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\}
+$$
+Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment
+une filtration décroissante de $G$.
+\end{dfn}
+
+Plus généralement on définit classiquement de tels sous-groupes en supposant
+seulement $k_L/k_K$ séparable. Récemment,
+斎藤毅 (SAITÔ Takeshi) et Ahmed Abbes
+ont étendu cette construction au cas général en utilisant des méthodes
+de géométrie algébrique « rigide » (cf. \cite{imparfait-I@Abbes-Saito}
+et \ref{intersection} pour une interprétation
+plus géométrique des groupes ci-dessus).
+
+Étudions les gradués de la filtration précédente.
+
+\begin{prp}
+Soit $G$ comme en \ref{dfn-ramification}.\\
+Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
+$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
+\begin{enumerate}
+\item $G_0\iso G$,
+\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
+\item L'application
+$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
+\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
+choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
+$$
+G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
+$$
+\item On a des isomorphismes canoniques :
+$$
+\begin{array}{l}
+ U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\
+ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
+\end{array}
+$$
+pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement.
+\end{enumerate}
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$.
+Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
+induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
+$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
+$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
+Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
+réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
+pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$.
+
+2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité
+$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big),
+$$
+où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer
+que $G_i\subset G$ est un sous-groupe.
+
+3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité
+$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de
+l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité
+$$
+\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}.
+$$
+jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et donc
+$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est
+bien indépendante du choix de l'unité $u$.
+
+Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte
+que pour chaque $\sigma'\in G_i$,
+$$
+\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}=
+\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L.
+$$
+Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$,
+l'égalité
+$$
+\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
+\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
+$$
+entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
+noyau est par définition $G_{i+1}$.
+
+4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit
+un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$.
+Enfin,
+$$
+\begin{array}{l}
+U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
+1+x\mapsto x
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite).
+Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace
+vectoriel de dimension $1$.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}
+Sous les hypothèses précédentes :
+\begin{enumerate}
+\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
+\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
+\end{enumerate}
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
+et d'ordre premier à la caractéristique.
+
+Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe
+fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
+pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
+\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
+\end{proof}
+
+
+Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème \ref{Puiseux}.
+
+Soit $L$ une extension finie g aloisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où
+$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
+$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
+précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
+Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
+de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
+de groupe $\mu_n(k)$.
+Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
+$$
+\xymatrix{
+L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
+K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
+}
+$$
+L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
+Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
+Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
+et finalement $K\sep=\cup_n K_n$.
+
+Pour l'application que nous avons en vue (\ref{Irréductibilité-Hilbert}), nous aurons besoin
+d'une variante complexe analytique du théorème précédent.
+
+
+\section{Groupes de ramification et nombres d'intersection
+(facultatif)}\label{intersection}
+
+Une fois familiarisé avec les définitions, les résultats de cette section
+sont de nature essentiellement tautologique
+mais ont l'intérêt d'ouvrir
+la voie vers une géométrisation de la ramification via la théorie des schémas.
+
+\begin{dfn}
+Soit $k$ un corps. On appelle \emph{courbe affine} sur $k$
+toute $k$-algèbre de type fini $C$ qui est de dimension $1$.
+On dit que $C$ est \emph{régulière} en un idéal premier $c$
+si son localisé en ce point est un anneau de valuation discrète (pour $c$ maximal)
+ou un corps (pour $c$ premier non maximal). L'ensemble
+des idéaux premiers réguliers est noté $\reg{\SP(C)}$.
+\end{dfn}
+
+De façon générale, un anneau local noethérien $A$, d'idéal maximal $\MM_A$
+et de corps résiduel $k$, est dit \emph{régulier} si $\dim(A)=\dim_k \MM_A/\MM_A^2$
+(cf. \ref{rmr-dimension}).
+
+Par la suite, on dira souvent « point » en lieu et place de « idéal premier ».
+
+\begin{exm}
+La $\QQ$-algèbre $C_{\mathrm{rebr}}:=\QQ[X,Y]/(Y^2-X^3)$ est une $\QQ$-courbe affine.
+On peut montrer qu'elle est intègre mais non normale : $z:=y/x\in
+\mathrm{Frac}(C_{\mathrm{rebr}})$ est entier sur $C_{\mathrm{rebr}}$ car
+$z^2=x$ mais $z$ n'appartient pas à $C_{\mathrm{rebr}}$.
+Elle n'est pas régulière en « l'origine » $(X,Y)$
+mais l'est en tout autre point (exercice).
+\end{exm}
+
+\begin{dfn}\label{graphe endomorphisme}
+Soit $g$ un $k$-endomorphisme d'une $k$-courbe affine $C$.
+On appelle \emph{graphe} de $g$, et on note $\Gamma_g$, l'idéal de
+$C\otimes_k C$ noyau du morphisme
+$$\begin{array}{l}
+C\otimes_k C \sr{m_g}{\ra} C\\
+a\otimes b \mapsto a\cdot g(b).
+\end{array}
+$$
+On note $\Delta=\Gamma_{\mathrm{Id}}$ le graphe de l'identité, appelé
+\emph{diagonale}. C'est le noyau de la multiplication
+$m:C\otimes_k C \surj C$.
+\end{dfn}
+
+Rappelons qu'en \ref{auto décomposition}, nous avons déjà considéré
+une situation semblable en dimension nulle : la $k$-algèbre considérée
+était alors \emph{finie} sur $k$.
+
+\begin{lmm}\label{points fixes 1}
+Soient $C,g$ comme ci-dessus et munissons $C\otimes_k C$ d'une structure
+de $C$-module par multiplication sur le facteur de gauche.
+L'idéal $\Gamma_g$ est engendré comme $C$-module par les
+$g(b)\otimes 1 - 1 \otimes b$, où $b\in C$.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Les éléments ci-dessus appartiennent tautologiquement à $\Gamma_g$, qui
+est un idéal. Réciproquement, si $x=\sum a_i\otimes b_i$ est tel que
+$\sum a_i g(b_i)=0$, on a $x=\sum \big(a_ig(b_i)\otimes 1 - a_i\otimes b_i\big)$.
+Le terme entre parenthèse n'est autre que $a_i\cdot\big(g(b_i)\otimes 1 - 1 \otimes b_i\big)$.
+\end{proof}
+
+Le lemme suivant justifie s'il en était besoin la terminologie :
+
+\begin{lmm}\label{points fixes 2}
+Soit $x\in \SP(C\otimes_k C)$. Si
+$$\Delta\subset x$$
+on a
+$$
+p_1^{-1}(x)=p_2^{-1}(x).
+$$
+\end{lmm}
+
+Rappelons que $p_1,p_2$ sont les deux morphismes $C\rra C\otimes_k C$.
+
+
+\begin{proof}
+Soient $x$ un idéal contenant la diagonale
+et $a\in p_1^{-1}(x)\subset C$. Par hypothèse, $p_1(a)=a\otimes 1 \in x$ ;
+comme $p_1(a)-p_2(a)=a\otimes 1 - 1 \otimes a \in \Delta\subset x$, on a également
+$p_2(a)\in x$.
+L'inclusion opposée se démontre de même.
+\end{proof}
+
+\begin{dfn}
+Sous les hypothèses précédentes, on dit que $c\in \SP(C)$ est un
+\emph{point fixe} si $(\Delta,\Gamma_g)\subset m^{-1}(c)$ et
+on note $F_g$ leur ensemble.
+Enfin, on dit que les points fixes sont \emph{isolés}
+si l'anneau quotient
+$$
+(C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g)
+$$
+est de dimension finie sur le corps $k$.
+\end{dfn}
+
+Dans ce cas, on considère $\dim_k (C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g)$
+comme le « nombre d'intersection » de la diagonale $\Delta$
+avec le graphe $\Gamma_g$ de $g$ (cf. \emph{infra}).
+
+Les points fixes de l'identité ne sont jamais isolés car
+$F_{\mathrm{Id}}\iso C$ n'est pas de dimension finie sur
+$k$. En effet, s'il en était ainsi, pour tout $\wp\in \SP(C)$, $C/\wp$ serait
+intègre et de dimension finie sur $k$ donc un corps, \cad
+$\wp$ maximal. Par hypothèse, $\dim(C)=1$ donc il existe
+un idéal premier non maximal.
+
+Cette terminologie est également justifiée par le lemme suivant :
+
+\begin{lmm}
+Soient $C$ une $k$-courbe affine et $g$ un $k$-endomorphisme.
+\begin{enumerate}
+\item Si $c\in F_g$ est un point fixe, on a
+$g^{-1}(c)=c$.
+\item Si $k$ est \emph{algébriquement clos},
+et $c$ est un idéal \emph{maximal} de $C$, si $g^{-1}(c)=c$,
+$c$ est un point fixe.
+\item Si les points fixes sont isolés, les points fixes sont tous
+des idéaux maximaux.
+\item Supposons pour simplifier $C$ intègre.
+Si les points fixes sont isolés, $\SP(m):\SP(C)\ra \SP(C\otimes_k C)$
+induit une bijection entre $F_g$ et
+le sous-ensemble $\SP((C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g))$ de $\SP(C\otimes_k C)$.
+\end{enumerate}
+\end{lmm}
+
+
+\begin{proof}
+\begin{enumerate}
+\item Compte tenu de \ref{points fixes 1}
+et du fait que l'on a toujours l'inclusion $\Delta=m^{-1}(\{0\})\subset m^{-1}(c)$,
+l'inclusion $\mathrm{Fix}(g)\subset m^{-1}(c)$
+est équivalente au fait que $g(a)-a\in c$ pour tout $a\in C$.
+
+\item Soit $c\in \SP(C)$ tel que $g^{-1}(c)=c$. Le morphisme $g$ induit donc
+par passage au quotient un morphisme $k$-linéaire $\sur{g}:C/c\ra C/c$.
+Si $c$ est un idéal maximal et $k$ algébriquement clos, on a $k\iso C/c$
+(cf. \ref{Nullstellen}). Nécessairement $\sur{g}=\mathrm{Id}$,
+\cad $g(a)-a\in c$ pour tout $a\in C$, \cad $\mathrm{Fix}(g)\subset m^{-1}(c)$.
+
+\item Si $c\in F_g$,
+on a la chaîne de surjections $C\otimes_k C / \mathrm{Fix(g)} \surj C\otimes_k C / m^{-1}(c)
+\iso C/c$. Si les points fixes sont isolés, $C/c$ est donc de dimension
+finie sur $c$ ; cela n'est possible que si c'est un corps \cad $c$ maximal.
+
+\item
+Supposons donc l'anneau quotient $C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)$ artinien
+et considérons $\wp\in \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))$.
+Alors (\ref{points fixes 2}) $p_1^{-1}(\wp)=p_2^{-1}(\wp)=:c$. De plus,
+$c\neq (0)$\footnote{Il faudrait modifier légèrement la rédaction
+pour couvrir le cas où $C$ n'est pas intègre.}, sans quoi $C\hra C\otimes_k C/\wp$ où le
+terme de droite est de dimension finie sur $k$.
+
+On vérifie sans peine que $m^{-1}(c)\subset \wp$ :
+si $\alpha=\sum a_i\otimes b_i\in m^{-1}(c)$,
+on a $p_1m(\alpha)=\sum a_ib_i\otimes 1\in \wp$.
+Comme
+$$a_ib_i\otimes 1=(a_i\otimes 1)\big(\underbrace{b_i\otimes 1 -1 \otimes b_i}_{\in \wp}\big)+
+a_i\otimes b_i$$
+on a bien $\alpha\in \wp$.
+Finalement, $m^{-1}(c)$ étant maximal (car $C\otimes_k C/m^{-1}(c)\iso C/c$ et $c$ est
+non nul donc maximal), on a $\wp=m^{-1}(c)$.
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+En d'autres termes, dans le cas des singularités isolées
+sur un corps algébriquement clos, les idéaux premiers de $\SP((C\otimes_k C)/\mathrm{Fix(g)})$
+correspondent bijectivement, via $\SP(m):\SP(C)\ra \SP(C\otimes_k C)$,
+aux idéaux maximaux $c$ de $\SP(C)$ tels que $g^{-1}(c)=c$.
+
+
+
+Avant d'énoncer le résultat principal de cette section, fixons quelques notations.
+Si $x\in F_g$, le morphisme $g:C\ra C$ induit un morphisme également noté
+$g$ entre les localisés en $x$ : $g:C_x\ra C_x$. (Cela résulte
+de ce que $g^{-1}(x)=x$). Si de plus $x\in \reg{\SP(C)}$ est un idéal
+maximal, l'anneau $C_x$ est un anneau de valuation discrète. Nous noterons
+$v_x$ la valuation associée et $\pi_x$ une uniformisante.
+
+\begin{prp}
+Soient $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, $C$ une courbe affine intègre sur $k$,
+$g$ un $k$-endomorphisme de $C$ dont les points fixes sont isolés.
+Supposons que $F_g \subset \reg{\SP(C)}$.
+On a alors,
+$$
+\dim_k C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g) = \sum_{x\in F_g} v_x(g(\pi_x)-\pi_x)).
+$$
+\end{prp}
+
+Ainsi l'entier $v_x(g(\pi_x)-x))$, qui est la contribution
+du point fixe à $ \dim_k C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)$, peut à juste titre
+être considéré comme la multiplicité d'intersection
+en $x$ de la diagonale et du graphe de $g$.
+
+%[DESSIN!]
+
+\begin{proof}
+Ainsi, l'isomorphisme
+$$
+C\otimes_k C / \Delta \sr{m}{\iso} C
+$$
+induit un isomorphisme
+$$
+C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso C/\langle g(a)-a ,\ a\in C\rangle.
+$$
+L'isomorphisme
+$$
+C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso \prod_{\wp\in \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))}
+\Big(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\Big)_{\wp},
+$$
+et la bijection $F_g\iso \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))$
+se traduisent donc en :
+$$
+C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso \prod_{x\in F_g} C_x/\langle g(a_x)-a_x ,\ a_x\in C_x\rangle.
+$$
+La conclusion résulte aussitôt du fait que $\langle g(a_x)-a_x ,\ a_x\in C_x\rangle=
+\big(g(\pi_x)-\pi_x\big)$ et du fait que pour $r\neq 0$, $\dim_k C_x/(r)=v_x(r)$.
+\end{proof}
+
+
+
+Ainsi, la filtration de ramification (du moins dans les cas
+anneaux de valuation discrètes qui sont des $k$-algèbres), correspond
+à la filtration par le nombre d'intersection du graphe avec la diagonale.
+
+\section{Théorème de irréductibilité de Hilbert}
+
+\begin{thm}\label{Puiseux-analytique}
+Soit $f(t,X)\in \CC[t,X]$ un polynôme unitaire en $X$ de degré $n$.
+Il existe $\varphi(t)=\sum_{i\geq 0} c_i t^{i/n}\in \CC\[t^{1/n}\]$ telle que
+$f(t,\varphi(t))=0$ et la série entière complexe $\sum_{i\geq 0} c_i X^i$ soit
+convergente au voisinage de $0$.
+\end{thm}
+
+Nous en donnerons une démonstration plus bas.
+
+\begin{crl}
+Soit $f(t,X)=X^n+a_1(t)X^{n-1}+\cdots+a_n(t)\in \CC(t)[X]$.
+Il existe un entier relatif $r$, un réel $R>0$ et une série
+de Puiseux $\varphi(t)=\sum_{i\geq -r} c_i t^{-i/n}$ tels que
+$\varphi$ converge absolument pour tout nombre réel $t>R$ et
+que pour de tels $t$ on ait $f(t,\varphi(t))=0$.
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+C'est un simple changement de variable, dont voici les détails.
+Pour passer d'un voisinage de l'origine à un voisinage de $+\infty$, on
+pose $t_{\infty}=\frac{1}{t}$. On a alors,
+en mettant au même dénominateur les $a_i(t_{\infty})\in \CC(t_\infty)$,
+on a $f(t_{\infty},X)=X^n+\frac{\widetilde{a_1}(t_\infty)}{P(t_\infty)}X^{n-1}
++\cdots+\frac{\widetilde{a_n}(t_\infty)}{P(t_\infty)}$
+pour un $P(t_\infty)\in \CC[t_\infty]-\{0\}$ et des $\widetilde{a_i}(t_\infty)\in \CC[t_\infty]$.
+Finalement, $f(t_{\infty},X)=\frac{1}{P^n(t_\infty)} g(t_\infty,(P(t_\infty)X))$, où
+$g\in \CC[t_\infty,Y]$. D'après le théorème précédent, il
+existe une série $\sum_{i\geq 0} c_i t_\infty^{i/n}$ racine de $g$
+qui converge pour $|t_\infty^{1/n}|$ assez petit.
+Il en résulte que $\frac{1}{P(1/t)}\sum_{i\geq 0} c_i t^{-i/n}$ est une racine
+de $f(t,X)$, qui converge pour $|t^{1/n}|$ suffisamment grand.
+Comme $\frac{1}{P(1/t)}$ est une série de Puiseux en $1/t$ convergente
+pour $t\gg 0$, on a le résultat.
+\end{proof}
+
+Démontrons le théorème précédent. Compte tenu de \ref{Puiseux}, quitte
+à effectuer un changement de variable $t\mapsto t^{n}$, il
+nous suffit de démontrer le théorème suivant :
+
+\begin{thm}\label{clôture algébrique C[[t]]}
+Tout élément de $\CC\[t\]$ algébrique sur $\CC[t]$
+est convergent dans un voisinage de $0$.
+\end{thm}
+
+En d'autres termes, $\CC[t]$ est algébriquement clos dans $\CC\[t\]$.
+\begin{rmr}
+L'argument que nous allons donner montre d'une part que l'anneau
+$\CC\{t\}$ des séries convergentes au voisinage de $0$ est également
+algébriquement clos dans $\CC((t))$ et d'autre part qu'il
+en est plus généralement ainsi si l'on remplace $\CC$ par un corps $k$
+muni d'une valuation non triviale pour laquelle il est complet.
+\end{rmr}
+
+\begin{proof}[Démonstration de \ref{clôture algébrique C[[t]]}]
+Soit $\varphi=\sum_{0}^{\infty} \alpha_i t^i$ algébrique sur $\CC[t]$.
+Notons $f(t,X)$ son polynôme minimal sur $\CC(t)$ :
+$$f(t,X)=\prod_{i=1}^d (X-\varphi_i),$$
+où $\varphi_i \in \sur{\CC((t))}$ et $\varphi_1=\varphi$.
+Rappelons que le corps $\CC((t))$ peut-être muni d'une valeur absolue
+en posant $|t|=c$ pour un $c\in ]0,1[$. Fixons $c$ et notons encore $|\cdot|$ l'unique
+extension de celle-ci à $\sur{\CC((t))}$ (\ref{extension-va}).
+Comme $f$ est séparable, ses racines $\varphi_i$ sont distinctes et
+$\delta:=\min_{i>1}|\varphi-\varphi_i|>0$. Pour un entier $N$ indéterminé,
+introduisons $Y$ défini par
+$$
+X=Y+\sum_{0}^N \alpha_i t^i.
+$$
+Réécrivant $f$ en termes de $Y$, on a :
+$$
+f(t,X)=f(t,Y+\sum_{j=0}^N \alpha_j t^j)=g(t,Y),
+$$
+où les racines de $g$ sont maintenant les $\psi_i:=\varphi_i-\sum_{0}^N \alpha_j t^j$.
+Remarquons que $\varphi_1=\varphi$ est convergente si et seulement si
+il en est ainsi de $\psi:=\psi_1$. De plus $|\psi|\leq |t|^{N+1}$.
+Pour $i>1$, on a $|\psi_1-\psi|=|\varphi_i-\varphi|\geq \delta$ ;
+pour $N$ suffisamment grand (de sorte que $|\psi|$ soit suffisamment petit), on
+a donc $|\psi_i|\geq \delta$. Enfin, pour ces valeurs de $N$, les $\mu_i:=\frac{\psi_i}{t^N}$
+satisfont : $|\mu_1|\leq |t|<1$ et $|\mu_i|\geq \frac{\delta}{|t|^N}$, pour $i>1$.
+Pour $N$ plus grand encore, le terme de droite est strictement supérieur à $1$.
+La convergence de $\mu_1$ étant équivalente à celle de $\varphi$, on
+a donc vérifié que l'on peut supposer notre élément $\varphi$ de valeur
+absolue $<1$ et de conjugués $\varphi_i$, $i>1$, de valeurs absolues $>1$.
+Le produit $f(t,X)=\prod_i (X-\varphi_i)$ appartient maintenant à
+$\CC(t)[X]$ car on a divisé un élément algébrique sur $\CC[t]$ par $t^N$.
+Quitte à multiplier $f$ par une puissance convenable de $t$, on peut
+écrire :
+$$
+f(t,X)=\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{0,i}t^i)}_{a_0(t)}+
+\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{1,i}t^i)}_{a_1(t)}X+\cdots +
+\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{d,i}t^i)}_{a_d(t)}X^d
+$$
+où l'un des coefficients constant $b_{j0}$ est non nul.
+
+Compte tenu de notre hypothèse sur les valuations des racines,
+le polygone de Newton de son image dans $\CC((t))[X]$
+n'a qu'une pente strictement négative, de longueur horizontale $1$, les autres
+étant strictement
+positives. (Ce qui ne contredit \emph{pas}
+l'irréductibilité sur $\CC(t)$.)
+Ce polygone est au-dessus de la droite des abscisses
+%[FIGURE ; page 27']
+%\begin{figure}[htbp]
+% \begin{center}
+% \includegraphics[angle=-90]{puiseux}
+% \end{center}
+% \caption{\footnotesize Polygone de Newton}
+%\end{figure}
+
+Il en résulte que $v(a_1)=0$, \cad que $b_{1,0}\neq 0$, les autres coefficients
+constants étant tous nuls :
+$$
+f(t,X)=(\sum_{j\geq 1} b_{0,j}t^j)+(\underbrace{b_{1,0}}_{\neq 0}+\cdots)X+\sum_{i=2}^d
+\big(\sum_{j\geq 1} b_{i,j}t^j\big)X^i.
+$$
+Comme $\varphi$ est une racine de $f$, on a donc
+$$
+-b_{1,0}\varphi=\underbrace{a_0(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}+
+\underbrace{\widetilde{a_1}(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}\varphi + \sum_{i=2}^d
+\underbrace{a_i(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}\varphi^i,
+$$
+ce que l'on réécrit :
+$$
+\varphi=\sum_{i=0}^d\big(\sum_{j\geq 1} c_{i,j}t^j\big)\varphi^i.
+$$
+On sait d'autre part que $\varphi=\sum_{i\geq 1} \alpha_i t^i$ ;
+l'équation précédente se traduit en un système d'équations
+polynomiales :
+$$
+(\star)\ \alpha_{m+1}=P_m(\alpha_1,\dots,\alpha_m; (c_{i,j})),
+$$
+où les polynômes $P_m$, $m\geq 1$, sont à coefficients dans $\NN$ (et donc \emph{positifs}).
+Les coefficients $c_{i,j}$ sont en nombre fini ; notons $M:=\max_{i,j} |c_{i,j}|$.
+Considérons le cas universel où $d$ est infini et les coefficients $c_{i,j}$ tous égaux
+à $M$, pour $j\in \NN-\{0\}$, $i\in \NN$.
+Soit $\varphi_M\in \CC\[t\]$, racine de l'équation :
+$$
+\varphi_M=\sum_{i\geq 0} (Mt+Mt^2+\cdots)\varphi_M^i.
+$$
+Le terme de droite n'est autre que la série formelle
+$$\big(\frac{Mt}{1-t}\big)\frac{1}{1-\varphi_M},$$
+et comme $\varphi_M$ s'annule en $0$,
+$$\varphi_M=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{Mt}{1-t}}.$$
+
+Soient $\beta_i$, $i\geq 1$, les coefficients de cette série \emph{convergente}.
+Le premier coefficient $\beta_1=M$ est positif ; il résulte
+de l'équation $(\star)$ (ou bien de la formule explicite pour cette racine
+carrée) que tous les $\beta_m$ sont positifs. Enfin, la même équation, et l'inégalité
+$$
+|\alpha_{m+1}|\leq P_m(|\alpha_1|,\dots,|\alpha_m|,|c_{i,j}|)
+$$
+montre par récurrence que pour chaque $m$, $|\alpha_m|\leq \beta_m$.
+On amorce cette récurrence en remarquant que par hypothèse sur $M$,
+$|\alpha_1|=|c_{1,0}|\leq M=\beta_1$.
+\end{proof}
+
+Voici l'énoncé du théorème d'irréductibilité de Hilbert :
+
+\begin{thm}[Hilbert]\label{Irréductibilité-Hilbert}
+Soit $f\in \QQ(t)[X]$ irréductible sur $\QQ(t)$ de degré $d$ et de groupe de Galois
+$G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$. Notons $\Sigma_f\subset \QQ$ l'ensemble des pôles
+de coefficients de $f$. Alors, il existe une infinité de $a\in \ZZ-\Sigma_f$
+tels que $f_a:=f(a,X)$ soit irréductible sur $\QQ$, de groupe de Galois
+$G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.
+\end{thm}
+
+\begin{exm}
+On peut montrer que le groupe de Galois de l'équation $X^n-X-t$ est $\got{S}_n$.
+%\ref{} [À FAIRE !])
+Il en résulte qu'il existe une infinité de $a\in \ZZ$
+tel que $f_a=X^n-X-a$ soit irréductible sur $\QQ$ de groupe de Galois $\got{S}_n$.
+%(On a vu en \ref{Selmer}, que par exemple $X^n-X-1$ est irréductible.)
+\end{exm}
+
+\begin{prp}\label{Hibert-n variables}
+Variante sur $\QQ(t_1,\dots,t_n)$.
+\end{prp}
+%À faire !
+
+
+\begin{lmm}[Lemme clé]
+Soit $\varphi(t)=\sum_{i\geq -r} c_i t^{-i/n}$ une série de Puiseux à coefficients
+réels, convergente pour $t\geq R$ qui n'est pas un polynôme à coefficients
+rationnels. Soit
+$$\Omega_{\varphi}:=\{t\in \ZZ\cap [R,+\infty[,\ \varphi(t)\in \ZZ\}.
+$$
+Il existe $\varepsilon>0$ tel que
+$$
+\# \Omega_{\varphi}\cap [1,B]\sr{B\ra +\infty}{=}\mathsf{O}(B^{1-\varepsilon}).
+$$
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Si $\varphi$ est un polynôme, à coefficients non tous rationnels,
+il ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs rationnels en des entiers.
+On donc supposer dans la suite que $\varphi$ n'est pas un polynôme.
+Il existe $n\geq 1$ tel que les exposants de la dérivée $(n-1)$-ième
+$\varphi^{(n-1)}$ sont tous négatifs (et $\varphi^{(n-1)}\neq 0$).
+En particulier,
+$$\varphi^{(n-1)}(t)\sr{t\ra +\infty}{\sim} c_1 t^{-\mu}$$
+pour une constante $c_1\in \RR^{\times}$ et un nombre rationnel $\mu>0$.
+
+\begin{sslmm}Il existe $\alpha,c>0$ tels que si $t\gg 1$,
+$[t,t+ct^{\alpha}]\cap \Omega_{\varphi}$ contient au plus $n-1$ points.
+\end{sslmm}
+\begin{proof}
+Soient $t_1<\cdots<t_n$ $n$ points de $\Omega_\varphi$ et posons
+$y_i:=\varphi(t_i)\in \ZZ$.
+Il existe un unique polynôme $P$ de degré $n-1$ interpolant $\varphi$ en les
+$t_i$ :
+$$
+P(t)=\sum_j y_j \frac{\prod_{i\neq j}(t-t_i)}{\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)}.
+$$
+La fonction $\varphi-P$ étant nulle en ces $n$ points, il existe $\xi\in [t_1,t_n]$
+tel que $\varphi^{(n-1)}(\xi)=P^{(n-1)}(\xi)$. Le terme de droite
+est, à un facteur près, le coefficient dominant de $P$ :
+$$
+P^{(n-1)}(\xi)=(n-1)!\sum_j \frac{y_j}{\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)}\in \QQ.
+$$
+En particulier, le dénominateur est inférieur à $|\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)|\leq
+|t_n-t_1|^{\frac{n(n-1)}{2}}$. Pour $t_1$ suffisamment grand,
+$$0<|\varphi^{(n-1)}(\xi)\leq c_2t_1^{-\mu}$$
+pour une constante $c_2>0$ si bien que si $l:=t_n-t_1$ on a à la fois :
+$$
+\left\{\begin{array}{l}
+1\leq l^{\frac{n(n-1)}{2}}|\varphi^{(n-1)}(\xi)| \\
+l^{\frac{n(n-1)}{2}} c_2t_1^{-\mu} \geq 1
+\end{array}\right.
+$$
+Il en résulte que $$l\geq c_3 t_1^{\alpha}$$ où
+$\alpha=\frac{2\mu}{n(n-1)}$ et $c_3>0$.
+\end{proof}
+
+Posons $\varepsilon:=\frac{1}{1+\alpha}<1$.
+Pour $B>1$ fixé, décomposons $[1,B]$
+en $[1,B^\varepsilon]\cap [B^\varepsilon,B]$. Dans le premier intervalle, le nombre d'éléments
+de $\Omega_{\varphi}$ est tautologiquement $\mathsf{O}(B^{\varepsilon})$.
+L'intervalle restant $[B^\varepsilon,B]$ se décompose en intervalles de longueur
+$cB^{\alpha \varepsilon}$, qui s'intersectent en au plus $n-1$ points avec $\Omega_{\varphi}$.
+Ces intervalles étant en nombre $\mathsf{O}(B/B^{\alpha\varepsilon})$,
+on a donc
+$$\# \Omega_{\varphi}\cap [1,B]=\mathsf{O}(B^{\varepsilon}+B^{1-\alpha\varepsilon})=
+\mathsf{O}(B^\varepsilon).$$
+\end{proof}
+
+Soit $f$ comme dans \ref{Irréductibilité-Hilbert}.
+Chaque $a\in \ZZ$ définit une surjection
+$A=\QQ[t]\ra \QQ$, $t\mapsto a$, \cad un idéal maximal $\MM_a=(t-a)$
+de $\QQ[t]$. On a vu a plusieurs reprises (cf. par exemple \ref{spécialisation})
+que le groupe de Galois de $f_a$ est isomorphe à un
+sous-groupe de $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$ : le groupe de Galois de la spécialisation
+est plus petit que le groupe de Galois « générique ».
+On veut montrer qu'ils sont en fait souvent isomorphes.
+Par un argument relativement standard de théorie de Galois, nous ramènerons
+cette question à la proposition suivante (qui donne son nom au théorème).
+
+\begin{prp}\label{Irréductibilité-prp}
+Sous les hypothèses de \ref{Irréductibilité-Hilbert}, il existe une infinité de $a\in
+\ZZ-\Sigma_f$ tel que $f_a$ soit irréductible sur $\QQ$. Plus généralement,
+on a un énoncé semblable avec un nombre arbitraire fini de polynômes.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Quitte à remplacer $f(t,X)$ en $f(t,q(t)X)$, pour un polynôme $q\neq 0$,
+et factoriser, on peut supposer $f\in \QQ[t,X]$, unitaire en $X$.
+D'après le théorème de Puiseux, et sa variante analytique, il existe un
+entier $e\in \NN-\{0\}$ (qui divise le degré $d$ de $f$ en $X$) et
+$d$ séries $\varphi_1,\dots,\varphi_d\in \sur{\QQ}((t^{-1/e}))$ convergentes pour
+tout $|t|\gg 1$ (on suppose choisi un plongement $\sur{\QQ}\hra \CC$) telles
+que $$f(t,X)=\prod_{i=1}^d(X-\varphi_i(t)).$$
+Pour tout sous-ensemble $I\subset [1,d]$, notons
+$$g_I(t,X):=\prod_{i\in I}(X-\varphi_i(t))$$
+le produit des facteurs correspondants.
+Comme $f$ est supposé irréductible dans $\QQ(t)[X]$, si
+$I$ n'est ni $\vide$, ni $[1,d]$, $g_I\notin \QQ(t)[X]$.
+Pour tout tel $I$, il existe donc un coefficient $c_I$ de $g_I$ qui appartienne
+à $\sur{\QQ}((t^{-1/e}))-\QQ(t)$. D'autre part, les $c_I$ sont entiers sur
+$\QQ[t]$ (car les $\varphi_i$ le sont) si bien qu'il existe $N\in \ZZ-\{0\}$
+tel que si $c_I(a)\in \QQ$ pour un $a\in \ZZ$, $Nc_I(a)\in \ZZ$. D'après le
+lemme clé précédent, appliqué aux parties réelles et imaginaires des
+$Nc_I$, il existe une
+infinité de $a\in \ZZ$ tels que les $c_I(a)$ n'appartiennent pas à $\QQ$. Pour
+de telles valeurs, les $g_I(a,X)$, qui sont les diviseurs non triviaux
+de $f_a$ dans $\CC[X]$, n'appartiennent pas à $\QQ[X]$. Ainsi $f_a$ est irréductible
+sur $\QQ$. L'énoncé avec plusieurs polynômes se démontre de même.
+\end{proof}
+
+On laisse le soin au lecteur de préciser une version quantitative de la proposition
+précédente et du théorème de Hilbert.
+
+\begin{proof}[Fin de la démonstration de \ref{Irréductibilité-Hilbert}]
+Supposons $f\in \QQ[t,X]$ unitaire (cf. \emph{supra}).
+Soit $K$ une clôture galoisienne de $\QQ(t)_f:=\QQ(t)[X]/f$ ; d'après le théorème
+de l'élément primitif, il existe $F\in \QQ[t,X]$ séparable unitaire tel que $K$ soit
+$\QQ(t)$-isomorphe à $\QQ(t)_F:=\QQ(t)[X]/F$. Ainsi, $G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}$
+est isomorphe à $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.
+
+Le discriminant de $f$ (resp. $F$) est un polynôme en $t$, non nul par hypothèse.
+Ces deux polynômes n'ont donc qu'un nombre fini de zéros dans $\QQ$ si bien que pour
+presque tout $a\in \QQ$ (\cad tous sauf un nombre fini), $f_a$ et $F_a$ sont séparables.
+D'après la proposition \ref{Irréductibilité-prp}, il existe une infinité de $a\in \ZZ$
+tels que $F_a:=F(a,X)$ et $f_a:=f(a,X)$ soient irréductibles sur $\QQ$, et séparables.
+Pour ces valeurs, le groupe de Galois $G_{F_a}$ de la spécialisation est
+isomorphe à un sous-groupe de $G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}$, \emph{a priori} plus
+petit. Comme d'une part $\# G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}=\deg_X F$
+(car $\QQ(t)_F/\QQ(t)$ est galoisienne)
+et d'autre part $\#G_{F_a}\geq \deg_X F_a=\deg_X F$
+(car $F_a$ est supposé irréductible), on a finalement
+$G_{F_a}\isononcan G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}\isononcan G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$
+pour $a\in A\subset \ZZ$, où $A$ est infini. Pour conclure, il nous suffit de démontrer
+que pour $a$ comme précédemment, $f_a$ et $F_a$ ont des corps de décomposition
+sur $\QQ$ isomorphes, sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs.
+On aura alors $G_{f_a}\isononcan G_{F_a}$ donc isomorphe à $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.
+
+
+L'idée est la suivante : il existe des critères
+simples en terme d'algèbre linéaire pour tester si une extension
+contient une clôture galoisienne d'une extension séparable donnée ou bien si elle est contenue
+dans une telle clôture. La nature même de ces énoncés fait que
+leur validité « générique » (\cad sur $\QQ(t)$) entraîne leur validité
+pour presque tout $a$ comme ci-dessus. Voici les détails.
+
+Par hypothèse $\QQ(t)_F$ décompose $f$ : on a un isomorphisme
+de $\QQ(t)_F$-algèbres, $\QQ(t)_f\otimes_{\QQ(t)} \QQ(t)_F\isononcan \QQ(t)_F^d$.
+Heuristiquement, on veut «~étendre~» cet isomorphisme à un «~ouvert~» de
+$\QQ[t]$\footnote{Le langage des schémas permet de rendre formaliser cette heuristique
+en topologisant $\SP(\QQ[t])$, de telle sorte que l'ensemble à un élément
+$\SP(\QQ(t))\hra \SP(\QQ[t])$ soit un point \emph{générique}, \cad d'image dense (sic!).}.
+Plus précisément : $\QQ(t)_f=\big(\QQ[t,X]/f\big)\otimes_{\QQ[t]}\QQ(t)$,
+et de même pour $F$, si bien que l'isomorphisme précédent se réécrit
+$$
+\big((\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t]} \QQ[t,X]/F\big)\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t)
+\isononcan \big(\QQ[t,X]/F\big)^d \otimes_{\QQ[t]} \QQ(t).
+$$
+Considérons $A_1:=(\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t]} (\QQ[t,X]/F)$ et $A_2:=\big(\QQ[t,X]/F\big)^d$. Ce
+sont des $(\QQ[t,X]/F)$-algèbres, finies et libres, qui sont « génériquement » isomorphes,
+\cad que $A_1\otimes_{\QQ[t]} \mathrm{Frac}(\QQ[t])\isononcan_{\QQ(t)_F}
+A_2\otimes_{\QQ[t]} \mathrm{Frac}(\QQ[t])$.
+Un tel isomorphisme n'est pas nécessairement défini sur $\QQ[t]$ mais c'est
+le cas presque partout : il suffit d'éviter les pôles, cf. \ref{isomorphisme-générique}.
+%[DÉTAILLER ! FAIRE ATTENTION QUE COMME MODULE C'EST TRIVIAL : ON VEUT
+%UN MORPHISME D'ALGÈBRES !]
+Pour chaque $a\in \QQ$, la $\QQ$-algèbre $\QQ_{f_a}:=\QQ[X]/f_a$ est la réduction
+modulo $(t-a)$ de $\QQ[t,X]/f$ : $$\QQ[X]/f_a\isononcan_{\QQ} (\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t],a}
+\QQ,$$ où $\QQ[t]\ra \QQ$ est le morphisme d'évaluation en $t$, $t\mapsto a\in \QQ$.
+On vient de voir que, quitte à restreindre $A$, on peut donc supposer que
+pour $a\in A\subset \ZZ$, $\QQ_{f_a}$
+soit décomposée par l'extension $\QQ_{F_a}$ au sens où
+$$\QQ_{f_a}\otimes_{\QQ} \QQ_{F_a}\isononcan_{\QQ_{F_a}} \QQ_{F_a}^d.$$
+Comme $\QQ_{F_a}$ est un corps, cela signifie simplement que
+$\QQ_{F_a}$ est un corps de décomposition de $f_a$\footnote{Remarquez que
+l'on retrouve ainsi sans usage de discriminant le fait que $f_a$ est
+presque toujours séparable.}.
+On veut montrer qu'en fait $\QQ_{F_a}$ est une clôture normale de $\QQ_{f_a}$.
+Pour cela nous ferons usage du lemme suivant qui permet de passer
+simplement d'un énoncé générique à un énoncé spécialisé.
+
+\begin{sslmm2}\label{critère-linéaire-normal}
+Soient $L/K$ une extension finie séparable de degré $d$
+et $L'/L$ est une clôture galoisienne de $L/K$. Alors, il existe
+une $K$-surjection
+$$
+L\otimes_K \cdots \otimes_K L=:L^{\otimes_K d!}\surj L'.
+$$
+Réciproquement si $L'/K$ satisfait ce critère,
+elle est contenue dans une clôture galoisienne de $L/K$.
+\end{sslmm2}
+\begin{proof}
+Soit $L'/K$ une clôture galoisienne de $L/K$, de groupe de Galois
+$G=\ga(L'/K)$. Par hypothèse, $L'$ est engendré par les sous-corps $g(L)$
+conjugués de $L$. Il
+en résulte que le morphisme
+$$\begin{array}{l}
+\underbrace{L\otimes_K \cdots \otimes_K L}_{\# G\text{\ fois}}\ra L'\\
+\otimes_{g\in G} a_g \mapsto \prod_{g\in G} g(a_g)
+\end{array}
+$$
+est une surjection. Comme $\# G\leq d!$
+et que pour tout $r\geq 1$ il existe une surjection $L^{\otimes_K r}\surj L$,
+il existe au moins une surjection $L^{\otimes_K d!}\surj L^{\otimes_K \# G}$ qui
+permet, par composition, de répondre à la question.
+
+Réciproquement, soient $L'/K$ comme plus haut. Si $\widetilde{L}/K$ est
+une clôture galoisienne de $L/K$, on a une inclusion de $K$-algèbres :
+$$
+L^{\otimes_K d!}\hra \widetilde{L}^{\otimes_K d!}.
+$$
+Par hypothèse $L'$ est un corps résiduel de la $K$-algèbre étale de gauche.
+Une algèbre étale sur $K$ étant isomorphe au produit de ses corps résiduels,
+$L'$ est donc un sous-corps d'un corps résiduel de l'algèbre de droite.
+Or on sait (d'après \ref{auto décomposition} et une récurrence) que le terme
+de droite est une $K$-algèbre isomorphe à un produit de copies de $\widetilde{L}$.
+Finalement $L'$ est isomorphe à un sous-corps de $\widetilde{L}$.
+\end{proof}
+
+Par hypothèse $\QQ(t)_F/\QQ(t)$ est une clôture galoisienne de $\QQ(t)_f/\QQ(t)$ :
+il existe donc une surjection $\QQ(t)_f^{\otimes_{\QQ(t)} d!}\surj \QQ(t)_F$,
+où $d=\deg_X f$. Comme
+$$
+\QQ(t)_f^{\otimes_{\QQ(t)} d!}\isononcan_{\QQ(t)} \big((\QQ[t,X]/f)^{\otimes_{\QQ[t]} d!}\big)
+\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t),
+$$
+la proposition \ref{isomorphisme-générique} montre comme plus haut
+que pour presque toute les valeurs de $a\in \QQ$,
+il existe une surjection de $\QQ$-algèbres $\QQ_{f_a}^{\otimes_{\QQ} d!}\surj \QQ_{F_a}$.
+D'après le lemme précédent, cela montre que $\QQ_{F_a}$ est contenue dans
+une clôture normale de $\QQ_{f_a}$ (pour $a\in A-\{\text{ens. fini}\}$).
+Comme on sait déjà que pour ces valeurs $\QQ_{F_a}/\QQ$ diagonalise $\QQ_{f_a}$,
+on a bien montré que c'est une clôture normale de $\QQ_{f_a}$.
+CQDF.
+\end{proof}
+
+Enfin, voici une application :
+
+\begin{thm}[$\got{S}_n$ par voie générique]\label{S_n-3}
+Pour tout $n\geq 1$, il existe une infinité
+d'entiers $a_0,\dots,a_{n-1}\in \ZZ$ tel que le polynôme
+$X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0$ soit irréductible sur $\QQ$
+de groupe de Galois $\got{S}_n$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Cela résulte d'une part du fait que le groupe de Galois sur $\QQ(t_0,\dots,t_{n-1})$
+de $X^n-t_{n-1}X^{n-1}+\cdots+(-1)^n t_0$ est $\got{S}_n$ et d'autre part du
+théorème d'irréductibilité de Hilbert sous la forme
+\ref{Hilbet-n variables} [À rédiger : variantes à
+plusieurs variables].
+\end{proof}
+