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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-25 17:04:36 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-25 17:04:36 +0100
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index 0000000..ed919dd
--- /dev/null
+++ b/divers/vieux/6-chap-Galois.tex
@@ -0,0 +1,1382 @@
+\chapter{Méthodes globales}
+
+\section{Fonction zêta de Dedekind}
+
+\begin{thm}\label{pôle en 1 de Dedekind}
+Soient $K/\QQ$ une extension finie galoisienne et $\mc{O}_K$ la normalisation
+de $\ZZ$ dans $K$. La fonction zêta de Dedekind,
+$$
+\zeta_K(s):=\prod_{\wp \in \SP\max(\mc{O}_K)} \frac{1}{1-\mathrm{N}\wp^{-s}}
+$$
+est absolument convergente pour $s$ réel $>1$ et il existe une constante $C_K>0$
+telle que
+$$
+\zeta_K(s)\sr{s\ra 1+}{\sim} \frac{C_K}{s-1}.
+$$
+\end{thm}
+
+En particulier, on a bien
+$$
+\log \zeta_K(s)\sr{s\ra 1+}{\sim} \log(\frac{1}{s-1})
+$$
+comme utilisé en \ref{point clé Frob}.
+
+\begin{rmr}
+On peut montrer plus précisément que $\zeta_K$ se prolonge en une fonction méromorphe
+sur $\CC$. La méthode que nous donnons ici, plus élémentaire, prouve
+en fait sans beaucoup plus de travail que $\zeta_K$ se prolonge à une fonction
+méromorphe sur $\mathrm{Re} s > 1-[K/\QQ]^{-1}$.
+\end{rmr}
+
+Dans la première section, nous allons démontrer quelques faits généraux sur
+l'anneau $\OO_K$.
+
+\section{Anneaux de Dedekind}
+
+\begin{dfn}
+Un anneau intègre $A$ est dit de \emph{Dedekind} s'il est normal, noethérien de dimension $1$.
+\end{dfn}
+
+Il en résulte que si $\wp\in \SP\max(A)$, le localisé $A_\wp$ est un anneau
+de valuation discrète (cf \ref{dimension localisé}). De plus, tout
+idéal premier non nul est maximal.
+
+\begin{prp}\label{décomposition idéaux}
+Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$
+et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_\wp(\got{a})$, $\wp\in S$,
+tels que $$\got{a}=\prod_{\wp\in S} \wp^{n_\wp(\got{a})}.$$
+De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
+$n_{\wp}(\got{a})\leq n_{\wp}(\got{a}')$ pour tout $\wp\in \SP\max(A)$,
+où l'on pose $n_{\wp}(\got{a})=0$ (resp. $n_{\wp}(\got{a}')=0$)
+pour $\wp\notin S_{\got{a}}$ (resp. $\wp\notin S_{\got{a}'}$).
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+Pour chaque $\wp\in \SP\max(A)$, notons comme d'habitude $\got{a}A_{\wp}$
+l'idéal du localisé $A_\wp$ engendré par l'image de $\got{a}$ par $A\ra A_\wp$.
+Comme $A_\wp$ est un anneau de valuation discrète, il existe un unique
+entier $n_{\wp}\geq 0$ tel que $\got{a}A_{\wp}=\wp^{n_\wp}A_{\wp}$.
+
+
+Montrons que pour presque tout $\wp$, l'entier $n_\wp$ ainsi défini
+est nul. Remarquons que si $n_\wp>0$, $\wp$ contient $\got{a}$
+car si $a\notin \wp$, $(a)A_\wp=A_\wp$.
+L'anneau quotient $A/\got{a}$ est noethérien et comme $\got{a}\neq 0$,
+il est de dimension nulle. Son spectre est donc fini (\ref{anneau dimension nulle}) ;
+il n'existe donc qu'un nombre fini d'idéaux premier $\wp$ contenant $\got{a}$.
+Soit $X$ l'ensemble de $\wp$ tels que $n_{\wp}>0$\footnote{On peut
+vérifier que c'est l'ensemble des idéaux premiers associés au
+$A$-module $A/\got{a}$, cf \ref{idéaux premiers associés}.}.
+Considérons l'idéal $\got{a}':=\prod_{\wp\in X} \wp^{n_{\wp}}$.
+L'idéal $\got{a}$ et l'idéal $\got{a}'$ coïncident localement :
+pour tout $\wp\in \SP(A)$, $\got{a}A_{\wp}=\got{a}'A_{\wp}$. (Pour $\wp=(0)$
+cela résulte du fait qu'ils sont tous deux non nuls.)
+La conclusion résulte alors du lemme ci-dessous, appliqué aux inclusions
+$\got{a}\hra \got{a}+\got{a}'$ et $\got{a}'\hra \got{a}+\got{a'}$.
+L'unicité et le second énoncé découlent de la démonstration.
+%[À FAIRE ?]
+\end{proof}
+
+\begin{lmm}
+Soient $A$ un anneau et $i:M_1\hra M_2$ une injection entre deux $A$-modules.
+Supposons que pour tout $\wp\in\SP(A)$,
+$i_\wp:M_1\otimes_A A_\wp\ra M_2\otimes_A A_\wp$ soit un isomorphisme.
+Alors, $i$ est un isomorphisme.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Soit $K$ le conoyau de $i$, \cad le quotient $M_2/M_1$ ; on veut montrer qu'il
+est nul.
+La suite exacte $$0\ra M_1\sr{i}{\ra} M_2 \ra K\ra 0$$
+induit pour chaque $\wp$, par platitude de la localisation (\ref{platitude localisation})
+une suite exacte :
+$$
+0\ra M_1\otimes_{A} A_\wp \sr{i}{\ra} M_2\otimes_A A_\wp \ra K\otimes_A A_\wp=:K_{\wp}\ra 0.
+$$
+Notre hypothèse indique que $K_\wp$ est nul pour tout $\wp\in \SP(A)$.
+Un tel $A$-module est nécessairement nul. Supposons en effet qu'il existe
+$k\in K$ non nul. On a donc une inclusion $A/\got{a}\iso Ak\hra K$, où l'annulateur
+$\got{a}$ de $k$ est différent de $A$. Soit $\wp$ un idéal premier de $A$ contenant
+$\got{a}$. Par hypothèse, $A/\got{a}\otimes_A A_\wp$ est nul. C'est absurde
+car $0\neq A_\wp/\wp A_\wp$ est un quotient de $A_\wp / \got{a}A_\wp$.
+\end{proof}
+
+
+
+\begin{prp}
+Soit $A$ un anneau de Dedekind. Tout idéal fractionnaire non nul
+est inversible.
+\end{prp}
+
+Cf. \ref{fractionnaire} et \ref{inversible} pour les définitions.
+
+\begin{proof}
+Si $A$ est un anneau de valuation discrète, cela résulte
+du fait qu'un tel idéal $I$ est isomorphe comme $A$-module à $A$.
+Dans le cas général, on remarque que l'évaluation
+$I\otimes_A I^{\vee}\ra A$ est un isomorphisme si et seulement si
+c'est vrai après localisation en tous les idéaux maximaux. Comme la
+formation du dual commute à la localisation, on se ramène donc au cas précédent.
+\end{proof}
+
+On vérifie immédiatement que si $I$ est un idéal fractionnaire non nul,
+$$
+\begin{array}{l}
+\{x\in K, xI\subset A\}\ra \Hom_A(I,A)=:I^{\vee}\\
+x \mapsto \big(i\mapsto xi\big)
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme.
+
+\begin{dfn}
+Un corps $K$, extension finie de $\QQ$, est appelé un \emph{corps de nombres}.
+La normalisation de $\ZZ$ dans ce corps est appelé l'\emph{anneau des entiers} de
+$K$.
+\end{dfn}
+
+
+\begin{thm}\label{Pic fini}
+Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
+des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
+\end{thm}
+
+Chaque classe $C\in \pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
+Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(\OO_K/\got{c})$.
+Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
+supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
+Si $\got{c}=\prod \wp^{n_\wp}$, $N(\got{c})=\prod N(\wp)^{n_\wp}$ si bien qu'à la fois
+les $N(\wp)$ et les $n_\wp$ sont bornés. Comme $N(\wp)$ est une puissance du nombre premier
+$p=\wp\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
+il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod \wp^{n_\wp}$.
+
+Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
+du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
+Admettons un instant le fait suivant :
+\begin{lmm}
+Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
+existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
+\end{lmm}
+Soit $C\in \pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
+et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
+un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
+(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
+$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
+
+Démontrons le lemme. On a vu en \ref{normalisation finie} que $\OO_K$ est un
+$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
+car $\OO_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
+Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $\OO_K$ sur $\ZZ$ et notons
+$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K\hra \CC$.
+Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
+Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
+tel que
+$$
+m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
+$$
+Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
+deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
+appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
+$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
+
+
+\begin{lmm}\label{déterminant-norme}
+Soit $u:\QQ^n\ra \QQ^n$ une application linéaire inversible qui stabilise $\ZZ^n$.
+Alors,
+$$
+|\mathrm{d\acute{e}t}(u)|=\#\ZZ^n/u(\ZZ^n).
+$$
+En particulier, le terme de droite est fini.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+En effet, il existe des bases $e_i,f_j$ de $\ZZ^n$ et des entiers non nuls $d_i$ tels que
+$u(e_i)=d_i f_i$ pour chaque $i\in [1,n]$.
+En particulier, $\mathrm{d\acute{e}t}(u)=\prod_i d_i=\# \bigoplus_i \ZZ f_i/d_i\ZZ f_i=\#\ZZ^n/u(\ZZ^n)$.
+\end{proof}
+
+%Normaliser notations Spec max (sans point cf. ci-dessous versus avec ci-dessus).
+
+
+\begin{thm}[Théorème des unités de Dirichlet]\label{Dirichlet-unités}
+Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
+$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
+Alors, le groupe $\OO_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $\OO_K$
+est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
+\end{thm}
+
+Compte tenu de la définition, on a $r_\RR+2r_\CC=[K:\QQ]$ : la $\RR$-algèbre $K_\RR$
+est de dimension $[K:\QQ]$. On dit que $r_\RR$
+(resp. $r_\CC$) est le nombre de plongements réels (resp. complexes) de $K$.
+%Pour $\iota : K\hra \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ choisi, on notera
+%$\iota_\RR$ (resp. $\iota_\CC$) le morphisme $\KK\ra \RR^{r_\RR}$ (resp.
+%$K\ra \CC^{r_\CC}$) correspondant.
+
+\begin{proof}
+C'est sans surprise que nous allons considérer l'image de $\OO_K$ dans $K_\RR$ :
+
+\begin{lmm2}
+Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
+$K\hra K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(\OO_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
+est un \emph{réseau}, \cad un sous-groupe \emph{discret} de $\RR^n$ tel que
+le quotient soit \emph{compact}.
+\end{lmm2}
+De façon équivalente, son image est un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
+engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants (\cite{Topologie@Bourbaki}, chap.~\textsc{vii}).
+
+\begin{proof}
+On sait déjà que $\OO_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
+$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
+Comme $\OO_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $\OO_K$ sur $\ZZ$
+qui forme une base du $\QQ$-espace vectoriel $K$.
+L'image de cette base par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K\ra K_\RR$, est une base
+du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
+à l'aide de discriminants, cf. \ref{covolume-discriminant} \emph{infra}.}.
+\end{proof}
+
+\emph{Fixons dorénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
+Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}\ra \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
+et $\log_{\CC}:\CC^{\times}\ra \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
+un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
+$$
+\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times\ra \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
+$$
+Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}\ra
+\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
+
+
+Soit $u\in \OO_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
+est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
+= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
+Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
+$$
+\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
+$$
+Cela résulte de l'égalité
+$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
+jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
+des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
+(de même avec un nombre arbitraire de facteurs) donc
+l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
+le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
+des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
+
+Enfin, l'image inverse par $\log: \OO_K^{\times} \ra \RR^{r_\RR+r_\CC}$
+de toute partie bornée est \emph{finie}.
+Soit en effet $E\subset \OO_K^{\times}$, ou plus généralement
+$E\subset \OO_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
+bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
+est bornée.
+Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
+sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
+Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
+du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
+il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
+pour $e\in \OO_K$.
+
+Il en résulte que $\log(\OO_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
+tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
+de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.
+
+Il en résulte également que le noyau de $\OO_K^{\times}\ra \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.
+
+Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.
+
+\begin{lmm2}[Lemme chinois non archimédien]
+Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in \OO_K^{\times}$
+tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
+\end{lmm2}
+
+\begin{proof}
+Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.
+
+\begin{sslmm2}
+Il existe une constante $\mu_K$
+telle que pour tout $0\neq \alpha\in \OO_K$, il existe $0\neq \beta\in \OO_K$ satisfaisant :
+$$\left\{ \begin{array}{l}
+\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
+\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
+\end{array}\right.$$
+\end{sslmm2}
+
+\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
+Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Supposons donnés des nombres réels positifs
+satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
+Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
+$$
+E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
+\CC^{r_\CC},\
+\left\{ \begin{array}{l}
+|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
+|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
+\end{array}\right.\}
+$$
+(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)
+
+On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
+le produit est muni de la mesure produit.
+L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
+fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
+à l'origine et convexe. Son volume est
+$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
+Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
+$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
+\mathrm{covol}(\iota(\OO_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
+À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
+$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
+\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
+Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
+ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap \OO_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
+conditions du lemme.
+\end{proof}
+
+Démontrons le «~lemme chinois~».
+Choisissons $k$ et considérons un $\alpha\in \OO_K$ non nul quelconque. En vertu
+du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
+normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
+strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
+$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
+une unité $u\in \OO_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.
+\end{proof}
+
+\begin{lmm2}
+Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
+ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
+sur une ligne soit nulle.
+Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Exercice.
+%À faire.
+\end{proof}
+\end{proof}
+
+Revenons à la démonstration du théorème \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
+\begin{lmm}
+Soit $K$ un corps de nombres.
+On a
+$$
+\zeta_K(s):=\prod_{\wp\in \SP\max(\OO_K)} \frac{1}{1-\mathrm{N}\wp^{-s}}=
+\sum_{(0)\neq \got{a}\subset \OO_K} \frac{1}{\mathrm{N}(\got{a})^{s}}
+$$
+et la série de droite converge absolument pour $s>1$.
+\end{lmm}
+\begin{proof}
+L'égalité de droite résulte de ce que chaque idéal non nul
+se décompose en un produit de puissances d'idéaux premiers, comme
+dans le cas où $K=\QQ$.
+La convergence résulte de ce que pour chaque nombre premier $p$,
+et tout $s>0$,
+$$\prod_{p|\wp} (1-N\wp^{-s})^{-1}\leq \Big((1-p^{-s})^{-1}\Big)^{[K:\QQ]}.$$
+On a donc $\zeta_K(s)\leq \zeta_{\QQ}(s)^{[K:\QQ]}$.
+(Voir aussi \ref{point clé Frob}.)
+
+
+\end{proof}
+
+
+
+De façon générale, on appelle \emph{série de Dirichlet} toute
+série de la forme $\sum_n \lambda_n n^{-s}$. La fonction zêta
+de Dirichlet est donc une série de Dirichlet. Nous renvoyons le
+lecteur à \cite{Cours@Serre}, chapitre ?,
+pour une courte introduction et une démonstration du théorème de la progression
+arithmétique à l'aide de ces séries.
+
+Ainsi, $\zeta_K(s)=\sum_{n\geq 1} \frac{N_n}{n^s}$ où $N_n$ est le nombre d'idéaux
+de $\OO_K$ de norme $n$. Si l'on note, pour chaque classe $[C]\in \pic(\OO_K)$,
+$N_n([C])$ le nombre de tels idéaux dans $[C]$, on a alors tautologiquement :
+$$
+\zeta_K=\sum_{[C]\in \pic(\OO_K)} \zeta_{K,[C]},
+$$
+où la somme est \emph{finie} (\ref{Pic fini}) et
+$$
+\begin{array}{ll}
+\zeta_{K,C}(s)& :=\sum_{\got{a}\in [C]\subset \OO_K} \frac{1}{\mathrm{N}(\got{a})^{s}}\\
+& = \sum_{n\geq 1} \frac{N_n([C])}{n^s}
+\end{array}
+$$
+
+À défaut de pouvoir estimer $N_n([C])$ pour $n$ grand, nous allons estimer
+$\sum_{i=1}^n N_i([C])$. Que cela nous suffise est expliqué plus bas.
+
+\begin{thm}
+Soit $K$ un corps de nombres.
+Pour toute classe $\mathsf{C}\in \pic(\OO_K)$, il existe une
+constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
+$$
+\{\got{a}\subset \OO_K, \text{tel que } \got{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+$$
+soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t\ra +\infty$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soit $\mathsf{C}\in \pic(\OO_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
+La correspondance
+$$
+\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset \OO_K
+$$
+établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
+$$
+\{(\alpha)\subset \OO_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
+|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
+$$
+Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
+les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
+Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
+quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / \OO_K^{\times}$,
+où $\OO_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
+en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
+C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
+la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset \OO_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
+se factorise.
+Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
+$$
+\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
+$$
+Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
+$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
+$$
+\xymatrix{
+\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
+X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
+}
+$$
+Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
+dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
+arbitraire.
+On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
+$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
+de domaine fondamental pour l'action de $\OO_K^{\times}$, telle
+que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
+soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
+Le théorème résultera alors du lemme suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
+
+\begin{lmm2}
+Soient $Y$ une jolie partie, en particulier mesurable et bornée,
+de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
+Alors, si $\vol(Y)>0$,
+$$
+\#(B\cap aY)\sr{a\ra +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
+$$
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Cf. appendice \ref{calcul volume}, où l'on donne en particulier un sens précis
+à l'adjectif « joli ».
+\end{proof}
+
+Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod
+\{\infty\}$
+et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
+un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
+On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités}
+que $\log:\OO_K\ra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
+nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
+l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
+Ainsi, le logarithme induit une injection :
+$P(\got{b}_\mathsf{C})\hra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+
+Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
+de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
+de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
+$D\oplus P \iso \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
+canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}\surj \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+%[FIGURE]
+Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le
+logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
+$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$,
+la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour
+tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.)
+Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul et même \emph{joli} (exercice).
+%DÉFINIR JOLI !!!!
+\end{proof}
+
+\begin{lmm}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $\sum_n a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet. Supposons que $a_n$ tende vers $0$.
+Alors, $\sum_n a_n n^{-s}$ converge pour $s>1$ et $(\sum_n a_n n^{-s})(s-1)$ tend
+vers $0$ quand $s$ tend vers $1+$.
+\item $\zeta_{\ZZ}(s)\sim \frac{1}{s-1}$.
+\end{enumerate}
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Le second point résulte immédiatement de la comparaison entre la série
+de Riemann et l'intégrale $\int_1^t \frac{dx}{x^s}$.
+Le premier point se démontre avec $2\varepsilon$ de façon parfaitement
+standard.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}
+Soit $\sum_n a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet telle que $\sum_{i=1}^n a_i:=A_n\sim C n$,
+$C\neq 0$.
+Alors, $\sum_n a_n n^{-s}$ est convergente pour $s>1$ et $(\sum_n a_n n^{-s})(s-1)$ tend
+vers $C$.
+\end{crl}
+
+\begin{proof}
+Laissée en exercice. Indication : utiliser la transformation d'Abel
+et remarquer que
+$$n^{-s}-(n-1)^{-s}=n^{-s}(1-(1-\frac{1}{n})^{-s})=n^{-s}\Big(\frac{-s}{n}+
+\mathsf{O}(n^{-2})\Big).$$
+\end{proof}
+
+\section{Simple connexité de $\ZZ$ et groupe de Galois de $X^n-X-1$ : énoncés}
+
+\subsection{}
+Bien que nous ne considérerons que des anneaux de Dedekind dans les applications,
+il est sans doute intéressant de commencer par une définition générale.
+Tout d'abord nous allons généraliser la notion d'algèbre étale au cas où
+la base n'est pas un corps. Nous verrons plus bas que ces deux notions
+coïncident bien.
+
+\begin{dfn}[Algèbre étale sur une autre]
+Soit $A$ un anneau.
+On dit qu'une $A$-algèbre $B$ est \emph{étale}
+si elle satisfait les conditions suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item $B$ une $A$-algèbre de \emph{présentation finie},
+\cad que $B$ est isomorphe à un quotient $A[T_1,\dots,T_n]/\got{a}$, où
+$\got{a}$ est un idéal de type fini.
+Si $A$ est noethérien, cela revient à dire que $B$ une $A$-\emph{algèbre} de type fini.
+
+\item $B$ est \emph{formellement étale} sur $A$ : pour toute $A$-algèbre test $T$,
+et tout idéal $\got{t}\subset T$ de carré nul, l'application
+$$
+\Hom_A(B,T)\ra \Hom_A(B,T/\got{t})
+$$
+est une bijection.
+
+\item $B/A$ est \emph{plat}.
+\end{enumerate}
+\end{dfn}
+
+On peut montrer que la dernière condition est conséquence des deux premières.
+Une récurrence immédiate montre que la condition~2 est équivalente
+à la condition~2': pour toute $A$-algèbre test $T$,
+et tout idéal $\got{t}\subset T$ tel $\got{t}^N=0$ pour un $N\in \NN$, l'application
+$\Hom_A(B,T)\ra \Hom_A(B,T/\got{t})$ est une bijection.
+
+\begin{rmr}
+Si l'on remplace dans 2), bijection par injection (resp. surjection),
+on dit que $B/A$ est \emph{net} (ou non ramifié) (resp. \emph{lisse}). Nous n'utiliserons
+pas ces notions.
+\end{rmr}
+
+
+
+\begin{lmm}\label{cb-étale}
+Soient $B/A$ une algèbre étale et $A'/A$ quelconque.
+Alors, $B\otimes_A A'/A'$ est étale.
+\end{lmm}
+
+\begin{proof}
+Seule la seconde condition (formellement étale) est à vérifier (cf. \ref{cb-plat}
+pour la troisième).
+Considérons donc un diagramme commutatif en traits pleins :
+$$
+\xymatrix{
+B \ar[r] \ar@{.>}[rrd] & B' \ar@{.>}[rd]|-{\star} \ar[rrd] & & \\
+A \ar[u] \ar[r] & A' \ar[u] \ar[r] & T' \ar@{->>}[r] & T'/\got{t}'
+}
+$$
+où $B'=B\otimes_A A'$, $t'$ est un idéal de $T'$ de carré nul.
+On veut montrer l'existence d'une unique flèche $\star$ faisant commuter
+le diagramme.
+Comme $B/A$ est formellement étale, il existe une unique flèche ($A$-linéaire) $B\ra T'$
+faisant commuter le diagramme. Elle induit l'unique application $\star$ ($A'$-linéaire)
+relevant $B\ra T'/\got{t}'$.
+\end{proof}
+
+\begin{prp}\label{séparable-formellement étale}
+Soient $k$ un corps et $K/k$ une extension finie.
+Alors, $K/k$ est formellement étale si et seulement elle est séparable.
+\end{prp}
+\begin{proof}
+Montrons que séparable implique formellement étale.
+Par hypothèse, il existe $f\in k[X]$ \emph{séparable} tel que
+$K\isononcan k[X]/f$. Sous $A$ une $k$-algèbre et $\got{a}$ un idéal de carré nul.
+Il s'agit de montrer que l'application de réduction modulo $\got{a}$ induit
+une bijection :
+$$
+\{x\in A, f(x)=0\} \ra \{\sur{x}\in A/\got{a}, f(\sur{x})=0\}.
+$$
+Injectivité. Soient $x,y\in A$, tels que $f(x)=f(y)=0$ et $x=y+a$, $a\in \got{a}$.
+Comme $a^2=0$, la formule de Taylor nous donne $0=f(y+a)=f(y)+af'(y)=af'(y)$.
+D'autre part, nous savons que $(f,f')=k[X]$, donc $(f(y),f'(y))=A$. Comme $f(y)$
+est nul, $f'(y)$ est une unité et finalement $af'(y)=0$ entraîne $a=0$ \cad
+$x=y$.
+
+Surjectivité. Soit $x\in A$ tel que $f(x)=a\in \got{a}$. Il s'agit de montrer qu'il
+existe $x'$ congru à $x$ modulo $\got{a}$ tel que $f(x')=0$. L'élément
+$f(x)$ étant nilpotent, l'égalité $(f(x),f'(x))=1$ montre que $f'(x)$ est une unité
+de $A$. On remarque alors que $f\big(x-f'(x)^{-1}a\big)=a$.
+
+
+Réciproquement, supposons que $K/k$ est une extension finie de corps
+telle que $K/k$ soit formellement étale. Compte tenu de \ref{cb-étale}
+et \ref{corps étale}, il s'agit de montrer que si $k$ est un corps
+et $A$ une $k$-algèbre finie (locale si l'on veut), formellement étale, $A$ est réduit.
+C'est là un fait général, cf. ci-dessous, qui se ramène d'ailleurs à
+ce cas particulier.
+\end{proof}
+
+\begin{lmm}\label{étale-réduit}
+Soient $A$ un anneau local réduit et $B$ une $A$-algèbre finie étale locale telle
+que $A\ra B$ soit local. Alors $B$ est réduite.
+\end{lmm}
+
+Ce résultat est également valable sans supposer $B/A$ fini.
+
+\begin{proof}[Démonstration dans le cas $A$ noethérien](Nous
+renvoyons le lecteur courageux à ÉGA IV, chap 8 pour le cas général, que nous n'utiliserons
+pas.)
+Sous nos hypothèse, $B/A$ est \emph{fidèlement} plat, cf. \ref{plat-local}.
+Ainsi, si $A\hra A'$, $B\hra B_{A'}=B\otimes_A A'$.
+D'après \ref{idéaux premiers minimaux},
+$A$ n'a qu'un nombre fini d'idéaux premiers minimaux,
+$\wp_i$, $1\leq i \leq n$.
+Comme $A$ est \emph{réduit}, il s'injecte dans le produit $\prod A/\wp_i=:A'$.
+Comme $B/\wp_i$ est étale sur $A/\wp_i$,
+on se ramène au cas où $A$ est intègre.
+Dans ce cas,
+on peut considérer $A'=\mathrm{Frac}(A)$ et finalement supposer,
+pour la même raison, que $A$ est un corps.
+
+Soit donc $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie étale locale. Montrons que
+$A$ est réduite \cad est un corps. Comme constaté plus haut,
+on peut supposer $k$ algébriquement clos.
+Soit $\MM$ l'idéal maximal de $A$. Le corps résiduel $A/\MM$ est nécessairement
+isomorphe à $k$. De plus l'idéal $\MM$ est nilpotent dans $A$.
+Ainsi $\Hom_k(A,A)\ra \Hom_k(A,k)$ est une bijection.
+Les deux endomorphismes $A\surj k \hra A$ et $A\sr{\mathrm{Id}}{\ra} A$
+ayant même image dans $\Hom_k(A,k)$, ils doivent coïncider. On a alors $k\iso A$.
+\end{proof}
+
+\begin{dfn}
+Soit $A$ un anneau. On dit que $A$ (ou $\SP(A)$) est \emph{connexe}
+s'il ne possède pas d'idempotents non triviaux.
+\end{dfn}
+
+Tout anneau intègre est connexe, $\ZZ[X]/X^2$ est connexe
+mais $\RR\times \RR$ n'est pas connexe.
+
+\begin{dfn}
+Soit $A$ un anneau. Une $A$-algèbre $B$ est un \emph{revêtement étale} de $A$,
+si $A\ra B$ est un morphisme \emph{fini} étale.
+On dit que $A$ (ou $\SP(A)$) est \emph{simplement connexe}
+s'il est connexe et si pour tout revêtement étale $B/A$, avec
+avec $B$ connexe, alors $A\iso B$.
+\end{dfn}
+
+
+Un corps $k$ est donc simplement connexe si et seulement si il est
+séparablement clos.
+Nous démontrerons plus bas \ref{Spec(Z)} le célèbre théorème :
+
+\begin{thm}[Minkowski]\label{Spec(Z) simplement connexe}
+$\SP(\ZZ)$ est simplement connexe.
+\end{thm}
+
+\begin{rmr}
+En symboles, cela s'écrit :
+$$
+\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(\ZZ))=\{1\}.
+$$
+On renvoie le lecteur curieux à \cite{sga1} pour une définition,
+due à A.~Grothendieck, du groupe
+$\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(A))$ pour tout anneau noethérien connexe $A$.
+Cette dernière coïncide, pour $A$ un corps $k$, au groupe de Galois sur $k$
+d'une clôture séparable de $k$. Enfin si $A=\CC[X_1,\dots,X_n]/(f_1,\dots,f_r)$
+est une $\CC$-algèbre de type fini connexe, on sait montrer (\sga{1}{xii}{5.2}) que si
+l'espace topologique connexe (\emph{op. cit.} 2.6)
+$$X=\{\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in \CC^n, f_1(\mathbf{x})=\cdots=f_r(\mathbf{x})=0\}$$
+est simplement connexe au sens usuel, alors
+$$
+\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(A))=\{1\}.
+$$
+Par exemple, $\CC[t]$ ne possède pas de revêtement étale connexe non trivial\footnote{
+La situation est totalement différente en caractéristique positive :
+si $\FF$ est une clôture algébrique de $\FF_p$,
+on peut vérifier que le normalisé de $\FF[t]$ dans l'extension
+d'Artin-Schreier $\FF(t)[X]/(X^p-X-t^{-1})$ est (fini) étale
+sur $\FF[t]$, connexe !, et malgré tout de degré $p$ sur $\FF[t]$.}.
+Le lecteur pourra consulter par exemple \cite{Douady-Douady}
+pour une démonstration élémentaire
+dans le cas particulier où $A$ est régulier de dimension $1$, \cad $X$ une \emph{surface
+de Riemann}.
+\end{rmr}
+
+Nous en déduirons le théorème suivant :
+
+\begin{thm}[$\got{S}_n$ par simple connexité]\label{S_n-4}
+Pour tout $n\geq 1$, le polynôme $X^n-X-1$ est irréductible sur $\QQ$
+de groupe de Galois $\got{S}_n$.
+\end{thm}
+
+%\section{Critères numériques de non ramification}
+\section{Vers des critères numériques de non ramification}
+
+
+Commençons par un nouveau critère pour décider si une $k$-algèbre est étale.
+
+\begin{prp}\label{trace-étale}
+Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie.
+Elle est étale sur $k$ si et seulement si la trace induit
+un isomorphisme
+$$
+A\ra A^{\vee}:=\Hom_k(A,k).
+$$
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+On a déjà vu que la condition est nécessaire (\ref{trace non dégénérée}).
+En procédant comme dans \emph{loc. cit.} (\cad en passant à la clôture
+algébrique) on voit qu'il suffit de démontrer
+que si la trace est non dégénérée alors $A$ est \emph{réduit}.
+Soit $a\in A$ un élément nilpotent. Pour tout $x\in A$,
+$ax$ est également nilpotent donc le morphisme de multiplication
+$m_{ax}:A\ra A$ est de trace nulle. Il en résulte que $a$ appartient
+au noyau de $A\ra A^{\vee}$ ; il est donc nul.
+\end{proof}
+
+
+\begin{thm}\label{caractérisation nr}
+Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions
+$K$. Soient $L/K$ une extension finie séparable et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
+Le morphisme $B/A$ est étale si et seulement si l'extension résiduelle
+$k_L/k_K$ est séparable et l'indice de ramification égal à $1$.
+\end{thm}
+
+On dit classiquement dans ce cas que l'extension $L/K$ est \emph{non ramifiée}.
+
+\begin{proof}
+La condition est nécessaire : si $B/A$ est étale, $B\otimes_A k_K / k_K$ l'est également.
+Comme $B\otimes_A k_K=B/\MM_A=B/\pi_B^e$, et comme $B/\pi_B^e$ est réduit (cf.
+\ref{étale-réduit}), on a $e=1$ et $B/\pi_B=k_L$ séparable sur $k_K$.
+
+Réciproquement, supposons $(B/\MM_A)=:k'$ étale sur $(A/\MM_A):=k$ étale (on
+vient de voir que l'hypothèse se traduit sous cette forme) et montrons
+que $B/A$ est étale. Comme $k'/k$ est étale donc monogène,
+il existe $\sur{P}\in k[X]$ tel que $k'\isononcan k[X]/\sur{P}$. Soit
+$P\in A[X]$ un polynôme unitaire relevant $\sur{P}$ et considérons
+la $A$-algèbre finie, locale $B':=A[X]/P$. Comme $(P',P)=1$,
+on vérifie comme en \ref{séparable-formellement étale} que $B'$
+est étale sur $A$. Pour tout $n\in \NN$, considérons
+le diagramme obtenu par tensorisation avec $A_n:=A/\MM_A^{n+1}$ :
+$$
+\xymatrix{
+B'_n \ar@{.>}[rd] \ar[rrd]^{\mathrm{isom}.} & & \\
+A_n \ar[u] \ar[r] & B_n \ar[r] & k'=B_0\isononcan B'_0
+}
+$$
+Comme $B'_n/A_n$ est étale, il existe un \emph{unique} relèvement $B'_n\ra B_n$,
+$A_n$-linéaire, de l'isomorphisme résiduel.
+Comme $B'$ et $B$ sont finis sur $A$ donc complet pour la topologie $\MM_A$-adique,
+on en déduit un $A$-morphisme $B'\ra B$, qui induit un isomorphisme
+après tensorisation avec $k$. C'est donc une surjection en vertu
+du lemme de Nakayama. D'autre part, $B'$ est libre sur $A$ de rang $[k':k]$
+et $B$ est libre de rang $e[k':k]\geq [k':k]$, où $e$ est l'indice de ramification.
+La surjection $B'\ra B$ est donc nécessairement un isomorphisme (et $e=1$).
+Comme $B'$ est étale sur $A$, $B/A$ est bien étale.
+\end{proof}
+
+Isolons un résultat important de la démonstration :
+
+\begin{thm}
+Soit $A$ un anneau local complet\footnote{Ou plus généralement un anneau
+local hensélien mais la démonstration est légèrement plus compliquée ;
+cf. \cite{Anneaux@Raynaud}.} de corps résiduel $k$. Alors,
+le foncteur
+$$
+\begin{array}{l}
+\{A-\mathrm{Alg}. \text{ finies locales étales}\} \ra \{\text{extension finies séparables
+de } k\} \\
+B\mapsto B\otimes_A k=:\sur{B}
+\end{array}
+$$
+est une \emph{équivalence de catégories}.
+En d'autres termes, toute extension séparable de $k$ s'obtient par ce procédé
+et
+pour $B_1,B_2$ comme ci-dessus, on a :
+$$
+\Hom_{A-\mathrm{Alg}.}(B_1,B_2)\iso \Hom_k(\sur{B_1},\sur{B_2}).
+$$
+\end{thm}
+
+De même,
+$\{A-\mathrm{Alg}. \text{ finies étales}\} \ra \{k-\mathrm{Alg}. \text{ finies étales}\}$
+est une équivalence de catégories.
+
+\begin{proof}
+Il s'agit essentiellement d'une redite.
+Pour le second point, on relève un polynôme unitaire définissant
+définissant l'extension monogène.
+Vérifions maintenant que
+$\Hom_{A-\mathrm{Alg}.}(B_1,B_2)\iso \Hom_k(\sur{B_1},\sur{B_2})$ est un isomorphisme :
+si $\sur{B_1}\ra \sur{B_2}$ est donné, comme $B_1/A$ est étale,
+il existe pour chaque $n$ un \emph{unique} morphisme de $A$-algèbres
+$B_1\ra B_{2n}$ relevant le composé $B_1\ra \sur{B_1}=B_{10}\ra B_{20}$.
+Comme $B_2\iso\lim_n B_{2n}$ (car $B_2$ est complet, étant de type fini sur $A$),
+on a bien un unique morphisme $B_1\ra B_2$.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}\label{composé non ramifiées}
+Soient $A$ et $K$ comme en \ref{caractérisation nr} et $K_1,K_2$ deux extensions
+non ramifiées de $K$. Alors, tout extension composée $L$ de $K_1$ et $K_2$ est
+non ramifiée.
+\end{crl}
+\begin{proof}
+Soient $A_1$ (resp. $A_2$) l'anneau des entiers de $K_1$ (resp. $K_2$)
+et $k_1$ (resp. $k_2$) son corps résiduel. Soit $l$ une extension composée
+de $k_1$ et $k_2$ sur $k$. D'après le théorème précédent, il existe
+une $A$-algèbre locale finie étale $B$ de corps résiduel $l$. De plus,
+$B$ est un anneau de valuation discrète (monogène sur $A$)
+et les inclusions $k_i\hra l$ se relèvent en des inclusions $A_i\hra B$.
+Le corps des fractions $L'$ de $B$ contient donc $K_1$ et $K_2$ et $L'/K$
+est non ramifiée sur $K$. Comme $L$ est $K$-isomorphe à un sous-corps
+de $L'$, et qu'une sous-extension d'une extension non ramifiée est
+non ramifiée, on a le résultat voulu.
+\end{proof}
+
+
+
+\subsection{Différente}\label{différente}
+Soient $A$ un anneau de Dedekind, $K$ son corps des fractions et $L/K$ un extension
+finie séparable. Soit $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $L$ ; c'est un anneau
+de Dedekind (\ref{} [À rédiger]), \emph{localement} libre de type fini sur $A$, de rang $[L:K]$.
+Dans tout ce paragraphe, nous faisons l'hypothèse supplémentaire que
+$B/A$ \emph{libre}. C'est le cas pour $A$ local ou plus généralement principal
+(Par exemple $\ZZ$ ou $\FF_p[X]$).
+
+Dans ce cas, on dispose
+d'un morphisme $A$-linéaire trace $\TR_{B/A}:B\ra A$. On pose alors,
+comme en \ref{normalisation finie},
+$B^{\star}:=\{y\in L,\ \TR_{B/A}(yB)\subset A\}$ ; c'est un idéal fractionnaire non nul de $L$
+contenant $B$.
+Pour tout idéal fractionnaire non nul $I$ de $L$, notons
+$I^{\vee}:=\{x\in L,\ xI \subset B\}$ ; il est isomorphe au $B$-dual abstrait.
+
+
+\begin{dfn}
+On appelle \emph{différente} de $B/A$, l'idéal ${B^{\star}}^{\vee}$ de $B$.
+On note $\mc{D}_{L/K}$ cet idéal.
+\end{dfn}
+
+Mesurons l'obstruction à ce que $B\ra B^{\star}$ soit un isomorphisme.
+
+\begin{prp}\label{net-discriminant}
+Soient $\wp$ un idéal premier de $B$ et $p:=A\cap \wp$. Alors,
+$L/K$ est non ramifiée en $\wp$ (\cad $B_\wp/A_p$ est étale) si et seulement
+si $\wp$ ne divise pas $\mc{D}_{L/K}$.
+\end{prp}
+
+\begin{proof}
+La formation de $\mc{D}_{L/K}$ commute à la localisation et à la complétion.
+% Expliquer !
+On peut donc supposer $A$ et $B$ des anneaux de valuation complets.
+Le morphisme $B/A$ est non ramifié en $\wp$ si et seulement si
+ $B/p$ est étale sur $k=A/p$. C'est équivalent à supposer la trace
+de la $k$-algèbre $B/p$ non dégénérée. Soit $(x_i)_{1\dots n}$ une base
+de $B$ sur $A$. Comme les $x_i$ modulo $p$ forment une base de $B/p$ sur $k$,
+on a finalement montré que $B/A$ est étale si et seulement si
+$\deter\big(\TR(x_i x_j)\big)$ est une unité de $A$ (rappelons que $A$ est local).
+Le $A$-module $B^\star$ est libre, et les $x_i^{\star}$ définis
+par $\TR_{B/A}(x_i x_j^{\star})=\delta_i^j$ en sont une base. L'inclusion
+$B\subset B^\star$ se traduit numériquement en les égalités :
+$$
+x_i = \sum_j \underbrace{\alpha_{i,j}}_{\TR(x_i x_j)} x_j^\star.
+$$
+Ainsi, $B=u(B^\star)$, pour $u:B^\star\ra B^\star$, dont le déterminant
+est précisément $\deter\big(\TR(x_i x_j)\big)$.
+Finalement $B=B^\star$ si et seulement si $B/A$ est étale. La première condition
+signifie que $\mc{D}_{L/K}=B$, \cad que l'idéal maximal de $B$ ne divise pas
+$\mc{D}_{L/K}$.
+\end{proof}
+
+\begin{crl}
+Presque tous les idéaux maximaux de $B$ sont non ramifiés.
+\end{crl}
+
+\subsection{Formes différentielles, suite (facultatif)}\label{dérivations-2}
+
+On continue la discussion commencée en \ref{dérivations-1}.
+
+\begin{prp2}\label{étale implique omega_1 nul}
+Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre formellement étale. Alors,
+pour tout $B$-module $M$, toute $A$-dérivation $B\ra M$ est nulle.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+Soit $M$ un $B$-module. Munissons $B\oplus M$ d'une structure de $A$-algèbre en posant,
+pour tout $b\in B$ et $m\in M$ :
+$$
+(b,m)\cdot (b',m')=(bb',bm'+b'm).
+$$
+On notera $M_{\varepsilon}$ cette algèbre ; $M$ en est naturellement
+un idéal, de carré nul. L'anneau quotient $M_{\varepsilon}/M$ est canoniquement isomorphe, par la
+première projection, à $B$.
+Tautologiquement, toute $A$-dérivation $d:B\ra M$ induit un morphisme
+de $A$-algèbres $f_d:B\ra M_{\varepsilon}$ en posant $f_d(b,m)=(b,d(m))$.
+Réciproquement, tout morphisme de $A$-algèbres $B\ra M_{\varepsilon}$ induisant
+l'identité $B\ra B=M_{\varepsilon}/M$ provient d'une unique $A$-dérivation $B\ra M$.
+Plus suggestivement, on a une bijection :
+$$
+\mathrm{D\acute{e}r}_A(B,M)\iso \Hom_{A-\mathrm{alg}.}(B,M_{\varepsilon})_{\mathrm{Id}}.
+$$
+On écrira aussi $\Hom_{A-\mathrm{alg}./B}(B,M_{\varepsilon})$ le terme de droite.
+Si $B/A$ est formellement étale, comme $M$ est de carré nul,
+il existe un \emph{unique} morphisme relevant l'identité $B\ra B$, nécessairement l'application
+$(\mathrm{Id},0):B\ra M_{\varepsilon}$. Finalement $\mathrm{D\acute{e}r}_A(B,M)=\{0\}$,
+CQFD.
+\end{proof}
+
+On appelle $M_{\varepsilon}$ la $B$-algèbre des nombres duaux sur $M$.
+
+
+
+
+Soit $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Comme en \ref{graphe endomorphisme},
+considérons le noyau $I_{\Delta}$ du morphisme $B\otimes_A B\surj B$.
+Considérons le quotient $I_{\Delta}/I_{\Delta}^2=I\otimes_{B\otimes_A B}
+B$ ; c'est un $B$-module.
+\begin{dfn2}
+On note $\Omega^1_{B/A}$ le $B$-module $I/I^2$ ; c'est le module
+des différentielles de $B/A$.
+On note $d_{B/A}$ le morphisme $A$-linéaire :
+$$
+x\mapsto 1\otimes x - x\otimes 1\in \Omega^1_{B/A}.
+$$
+Il vérifie : $d_{B/A}(xy)=xd_{B/A}(y)+yd_{B/A}(x)$, pour tout $x,y\in B$.
+\end{dfn2}
+
+Comme annoncé en \ref{dérivations-1}, on a :
+
+\begin{prp2}
+Soit $d:B\ra M$ une $A$-dérivation. Il existe une unique application
+$B$-linéaire $f:\Omega^1_{B/A}\ra M$ telle que $d=f\circ d_{B/A}$.
+\end{prp2}
+
+\begin{proof}
+Vérifions l'existence. Soient $M$ un $B$-module et $d:B\ra M$ une $A$-dérivation.
+Considérons l'application
+$$
+\begin{array}{l}
+\pi:B\otimes_A B \ra M_{\varepsilon}\\
+\left\{\begin{array}{l}
+b\otimes 1 \mapsto b \\
+1\otimes b \mapsto f_d(b)
+\end{array}\right.\\
+\end{array}\
+$$
+Comme $\pi(1\otimes b - b\otimes 1)=f_d(b)-b\in M$, on voit que $\pi(I_{\Delta})\subset M$ :
+cela résulte du fait que $I_{\Delta}$ est engendré comme $B$-module (via $p_1$)
+par les éléments $1\otimes b - b\otimes 1$ (cf. par ex. \ref{points fixes 1}).
+Comme $M$ est de carré nul, $\pi$ se factorise en
+$$\widetilde{\pi}:B\otimes_A B / I_{\Delta}^2\ra M_{\varepsilon}.$$
+Le sous-$B$-module $\Omega^1_{B/A}=I_{\Delta}/ I_{\Delta}^2$ de $B\otimes_A B / I_{\Delta}^2$
+s'envoie donc par $\widetilde{pi}$ dans $M$ ; c'est la factorisation souhaitée
+$u:\Omega^1_{B/A}\ra M$.
+On vérifie sans difficulté que $u\circ d_{B/A}=d$. En effet,
+$u(1\otimes b - b \otimes 1 \mod I_{\Delta}^2)=f_d(b)-b=d(b)$.
+
+L'unicité résulte de ce que $\Omega^1_{B/A}$ est engendré comme $B$-module
+par les $d_{B/A}(b)$, $b\in B$.
+\end{proof}
+
+\begin{prp2}
+Soit $B/A$ comme en \ref{différente} et supposons
+$B=A[X]/f$ pour un polynôme unitaire $f$.
+Alors,
+$$\mathrm{Ann}_B(\Omega^1_{B/A})=\mc{D}_{B/A}.$$
+\end{prp2}
+
+\begin{rmr2}
+Il n'est pas difficile de vérifier que pour tout $A$-algèbre $A'$,
+si l'on pose $B':=B\otimes_A A'$, on a $\Omega^1_{B/A}\otimes_B B'\iso \Omega^1_{B'/A'}$.
+Comme d'autre part, si $A$ est un anneau de valuation discrète complet
+et $B/A$ telle que l'extension résiduelle soit \emph{séparable},
+on peut montrer (\cite{CL@Serre}, chap.~\textsc{iii}) que $B/A$ est bien monogène.
+Il en résulte que la conclusion de la proposition précédente est
+valable dès que les extensions résiduelles sont séparables.
+(On utilise implicitement le fait que la différente se comporte également bien
+par localisation et complétion.)
+\end{rmr2}
+
+\begin{proof}
+Il est immédiat que si $B=A[X]/f=A[x]$, $\Omega^1_{B/A}$ est engendré par $dx$,
+d'annulateur $f'(x)$. Or, on va voir ci-dessous %(\ref{calcul différente})
+que dans ce cas, $\mc{D}_{L/K}=(f'(x))$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Calcul}
+
+\begin{prp2}\label{calcul différente}
+Soit $L/K$ comme en \ref{différente}. Soit $x\in B$ tel que $L=K(x)$
+et notons $f:=\mathrm{Irr}_K(x)\in A[X]$.
+Alors, $\mc{D}_{L/K}$ divise l'idéal $(f'(x))$ et il y a égalité
+si et seulement si $B=A[x]$.
+\end{prp2}
+
+Notons $n=[L:K]$.
+Soit $C:=A[x]\subset B$. Génériquement, $C\ra B$ est un isomorphisme.
+\begin{sslmm2}
+Le $A$-module $C^\star$ est libre de base les $\frac{x^i}{f'(x)}$ pour
+$0\leq i \leq n-1$.
+\end{sslmm2}
+\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
+Soient $x_1,\dots,x_n$ les racines distinctes de $f$.
+L'égalité formelle
+$$
+\frac{1}{f(X)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{f'(x_k)(X-x_k)}
+$$
+montre que
+$$\TR\big(\frac{x^i}{f'(x)}\big)=0$$
+pour $0\leq i \leq n-2$ et $1$ sinon. La conclusion résulte
+alors de la définition de $C^\star$.
+Il résulte du sous-lemme que la matrice $\TR\big(x^i\cdot \frac{x^j}{f'(x)})$
+est inversible : elle est nulle au-dessus de l'anti-diagonale et les coefficients
+anti-diagonaux valent $1$.\end{proof}
+
+Démontrons la proposition.
+Notons $\got{r}:=\{t\in C,\ tB\subset C\}$ ; c'est un idéal de $B$
+que l'on appelle le \emph{conducteur} de $B$ dans $C$.
+Pour démontrer la proposition, il nous suffit de prouver
+que
+$$\got{r}=f'(x)\mc{D}_{B/A}.$$
+Cela résulte de la chaîne d'équivalence suivante :
+$$
+\begin{array}{ll}
+t\in \got{r} \leftrightarrow & tB\subset C \leftrightarrow f'(x)^{-1}tB\subset C^\star
+\leftrightarrow \TR(f'(x)^{-1}tB)\subset A \\
+& \leftrightarrow f'(x)^{-1}t \in \mc{D}_{B/A}^{-1} \leftrightarrow t\in f'(x) \mc{D}_{B/A}^{-1}
+\end{array}
+$$
+%\begin{crl2}
+%Soient $p$ un nombre premier, $f\in \ZZ_p[X]$ un polynôme unitaire irréductible
+%et $L$ un corps de décomposition de $f$ sur $\QQ_p$.
+%Alors, $p$ est ramifié dans $L$ si et seulement si
+%$f \mod p$ et $f' \mod p$ ont une racine commune modulo $p$.
+%\end{crl2}
+%\begin{proof}
+%Soit $K$ un corps de rupture de $f$ ; $L$ est un composé sur $\QQ_p$ de tels corps.
+%\end{proof}
+
+
+
+\subsection{Application}
+
+\begin{thm2}
+Soit $n\geq 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible sur $\QQ$
+et de groupe de Galois isomorphe à $\got{S}_n$.
+\end{thm2}
+
+Nous allons démontrer ce théorème en admettant le théorème \ref{Spec(Z) simplement connexe}
+(démontré en \ref{Spec(Z)}) et l'irréductibilité
+de $f_n$ (démontrée en \ref{Selmer})
+
+Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
+des entiers. Supposons que le nombre premier
+$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après \ref{composé non ramifiées} il est alors
+ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
+est le composé de tels corps.
+Compte tenu de \ref{calcul différente} (voir aussi
+\ref{étale implique omega_1 nul}), $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
+modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
+Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
+que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
+et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
+Nous allons traduire ce dernier point en un énoncé groupique.
+
+
+Commençons par fixer les notations. Soit $\wp$ un idéal premier de
+$A_n$ au-dessus d'un nombre premier quelconque $p$. Notons $D(\wp)$
+le sous-groupe de $G_n:=\ga(K_n/\QQ)$ laissant stable $\wp$.
+On a un morphisme canonique de $D(\wp)$ vers
+le groupe de Galois de l'extension résiduelle $\ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$.
+On a vu en \ref{spécialisation} que c'est une surjection
+car $\FF_p$ est parfait.
+
+Voici un critère, groupique, de non ramification :
+
+\begin{prp2}\label{net-groupique}
+Soient $K/\QQ$ une extension finie galoisienne, $\OO_K$ l'anneau des entiers
+de $K$ et $\wp$ un idéal maximal de $\OO_K$.
+Alors, $I(\wp)$ est trivial si et seulement si $\wp$ est non ramifié
+dans $K$.
+\end{prp2}
+\begin{proof}
+Soit $K_{\wp}$ le corps des fractions du complété de $\OO_K$ en $\wp$.
+Comme ce complété est une composante de l'algèbre $\OO_K\otimes_{\ZZ} \ZZ_p$
+(cf. \ref{décomposition algèbre artinienne}),
+$K_{\wp}$ est un des corps résiduel de la $\QQ_p$-algèbre étale
+$K\otimes_{\QQ} \QQ_p$, donc un composé de $K$ et $\QQ_p$ sur $\QQ$.
+En particulier (cf. \ref{fonctorialité}) c'est une extension
+finie galoisienne de $\QQ_p$.
+Tout élément de $\sigma\in D(\wp)$ laisse stable $\wp$, donc
+induit une application continue pour la topologie $\wp$-adique $\OO_K\ra \OO_K$
+qui, par complétion et passage au corps des fractions,
+induit un élément $\widehat{\sigma}\in \ga(K_{\wp}/\QQ_p)$.
+L'application ainsi définie
+$$D(\wp)\ra \ga(K_{\wp}/\QQ_p)$$ est injective ;
+c'est en fait un isomorphisme car l'image de $\ga(K_{\wp}/\QQ_p)$
+dans $\ga(K/\QQ)$ par le morphisme de restriction
+se factorise nécessairement à travers $D(\wp)$ (et est un inverse de l'application
+précédente) :
+$\ga(K_{\wp}/\QQ_p)$ stabilise son anneau de valuation, qui contient $\wp$.
+On a vu en \ref{n=ef} que l'extension $K_{\wp}/\QQ_p$ est de degré $ef$ où
+$f=\#\ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$ est le degré de l'extension résiduelle
+et $e$ l'indice de ramification.
+Ainsi, la surjection $D(\wp)\surj \ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$ est un isomorphisme
+si et seulement si $e=1$, \cad si l'extension est non ramifiée en $\wp$.
+\end{proof}
+
+Appliquons cette proposition dans notre cas particulier
+et précisons ce qu'il arrive dans le cas ramifié.
+Notons $X_n$ l'ensemble des racines de $f_n$ dans $K_n$.
+\begin{lmm2}
+Soit $\wp$ un idéal maximal de $A_n$. Le sous-groupe $I(\wp)\subset \got{S}_{X_n}$ est
+ou bien engendré par une transposition ou bien trivial.
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Supposons $p=\wp\cap \ZZ$ non ramifié dans $K_n$. Dans ce cas,
+et seulement dans ce cas, $I(\wp)$ est trivial.
+
+Considérons maintenant le cas où $p$ est ramifié.
+Soit $\sur{X_n}$ l'ensemble des racines de $f_n$ dans $\kappa(\wp)$.
+Le morphisme de réduction modulo $\wp$ : $A_n\ra \kappa(\wp)$, induit
+une surjection $X_n\surj \sur{X_n}$. Par hypothèse, $f_n$ a une racine double modulo $p$ ;
+on a vu qu'elle est d'ordre exactement deux et unique. En particulier $\sur{X_n}$
+est d'ordre $n-1$. Notons $x_1,x_2$ les deux seuls éléments de $X_n$ ayant même image
+dans $\sur{X}_n$. Soit $\sigma$ un élément du groupe de décomposition
+$D(\wp)$ ; comme $\sur{\sigma(x_1)}=\sur{\sigma}(\sur{x_1}=\sur{x_2})=\sur{\sigma(x_2)}$,
+on a l'inclusion
+$$D(\wp)\subset \{\sigma \in G_n,\ \sigma\{x_1,x_2\}=\{x_1,x_2\}\}.$$
+Il en résulte immédiatement que le groupe d'inertie satisfait :
+$$
+I(\wp)\subset \mathrm{Ker}\big(\got{S}_{X_n}\cap \mathrm{Stab}_{\{x_1,x_2\}}\ra
+\got{S}_{\sur{X_n}}\big)=\langle (x_1 x_2 ) \rangle.
+$$
+La conclusion en résulte.
+\end{proof}
+
+
+\begin{prp2}
+Soit $K/\QQ$ comme en \ref{net-groupique}. Si $I$ est le sous-groupe de $\ga(K/\QQ)$ engendré
+par les groupes d'inertie $I(\wp)$, $\wp\in \SP\mathrm{max}.(\OO_K)$,
+l'extension $K^{I}/\QQ$ est non ramifiée.
+\end{prp2}
+Il résulte alors du théorème \ref{Spec(Z) simplement connexe} que $K^I=\QQ$,
+\cad que $I=\ga(K/\QQ)$.
+\begin{proof}
+Soit $I_p$ le sous-groupe engendré par les $I(\wp)$ où $p|\wp$.
+C'est un sous-groupe distingué de $\ga(K/\QQ)$. En effet,
+si $\sigma\in \ga(K/\QQ)$, $\sigma(\wp)$ est un idéal
+maximal de $\OO_K$ au-dessus de $p$ et l'on a évidemment
+$\sigma D(\wp) \sigma^{-1}=D(\sigma{\wp})$. L'égalité analogue pour
+les groupes d'inertie montre que $I_p\triangleleft \ga(K/\QQ)$.
+
+Comme $\displaystyle K^I=\cap_p K^{I_p}$, il suffit de vérifier que $K':=K^{I_p}$ est non
+ramifiée en $p$. Soit
+$$\xymatrix{
+K & \wp\\
+K'\ar@{-}[u] & \wp'=\wp\cap \OO_{K'} \\
+\QQ \ar@{-}[u] & p=\wp\cap \ZZ
+}
+$$
+une tour d'extensions galoisiennes (sans hypothèse supplémentaire sur $K'$)
+et des idéaux maximaux correspondants.
+On a une surjection $\ga(K/\QQ)\surj \ga(K'/\QQ)$.
+Le lecteur vérifiera sans difficulté (exercice ou \cite{CL@Serre}, chap. \textsc{i}, prop.~22)
+% À FAIRE !!
+qu'elle induit des surjections naturelles
+$D(\wp)\surj D(\wp')$ et $I(\wp)\surj I(\wp')$.
+Dans notre cas, comme $\ga(K'/\QQ)=\ga(K/\QQ)/I_p$, $I(\wp')$ est nul dans ce quotient.
+Enfin, on a vu plus haut qu'une extension est non ramifiée dès que ses groupes
+d'inerties sont triviaux.
+\end{proof}
+
+% COMPLÈTEMENT N'IMPORTE QUOI
+%\begin{rmr2}
+%En passant à la limite sur les extensions finies de $\QQ_p$ une surjection
+%$$D_p:=\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ_p)\surj \ga(\FF/\FF_p)\iso \lim_n \ZZ/n\ZZ=: \widehat{\ZZ}.$$
+%On peut montrer qu'il existe un générateur $\tau$ du noyau $I_p$
+%et un élément $\sigma$ de $\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ)$ s'envoyant sur $1\in \widehat{\ZZ}$
+%tels que $\langle \tau,\sigma \rangle =\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ_p)$ et
+% $$\sigma^{-1}\tau \sigma = \tau^p.$$
+%Le groupe de Galois de $\sur{\QQ}_p/\QQ$ a donc une structure relativement simple.
+%En particulier il est pro-résoluble, \cad limite projective de groupes
+%finis résolubles.
+%\end{rmr2}
+
+Il résulte de ces lemmes que le groupe de Galois de $K_n/\QQ$ est engendré
+par des transpositions. Comme c'est un sous-groupe \emph{transitif} de $\got{S}_{X_n}$,
+le graphe associé à ces transpositions\footnote{Les sommets
+sont les éléments de $X_n$ et $xy$ est une arête si et seulement si
+$(xy)$ est une de ces transpositions.} est \emph{connexe}. Il
+en résulte que c'est $\got{S}_{X_n}$ tout entier. Ceci achève
+la démonstration de \ref{S_n-4} modulo le résultat des deux sections suivantes.
+
+
+\subsection{Constante de Minkowski}\label{Spec(Z)}
+
+\begin{thm2}[Minkowski]
+Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
+non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
+connexe alors $\ZZ\iso A$.
+\end{thm2}
+
+La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
+groupe de Picard.
+
+Quand le corps de base est $\QQ$, on préfère souvent mesurer la ramification
+à l'aide d'un entier. Si $K/\QQ$ est finie et $x_1,\dots,x_n$ est une base
+de l'anneau des entiers $\OO_K$ sur $\ZZ$, on pose :
+$$
+\got{d}_{K/\QQ}:=|\mathrm{d\acute{e}t}(\TR_{K/\QQ}(x_ix_j))|.
+$$
+Cette quantité est indépendante du choix de la base et est appelé
+le \emph{discriminant} de l'extension. On a vu
+en \ref{net-discriminant} (démonstration) que $K/\QQ$ est non ramifiée
+en $p$ si et seulement si $p$ ne divise pas $\got{d}_{K/\QQ}$.
+Bien que nous n'utiliserons pas ce fait, signalons que
+ $\got{d}_{K/\QQ}=\mathrm{N}(\mc{D}_{K/\QQ})$.
+
+Soient $n=[K:\QQ]$ et $\sigma_i$, $1\leq i \leq n$ les différents plongements
+de $K$ dans $\CC$. On a
+$$
+\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2=\got{d}_{K/\QQ}
+$$
+car
+$\big(\TR_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$.
+
+
+\begin{lmm2}\label{covolume-discriminant}
+Soient $K/\QQ$ une extension finie.
+Alors
+$$
+\mathrm{covol}(\OO_K\hra K_{\RR})=2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}.
+$$
+\end{lmm2}
+\begin{proof}
+Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
+$K\hra \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
+\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K\hra \CC$.
+Le morphisme
+$\OO_K\ra K_{\RR}\isononcan \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}\iso \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
+est de la forme
+$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
+Passer de la matrice ayant ces colonnes à
+$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
+La formule en résulte.
+\end{proof}
+
+\begin{thm2}
+On a l'inégalité :
+$$
+\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
+$$
+où $n=[K:\QQ]$.
+\end{thm2}
+
+\begin{proof}
+Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
+Soit
+$$
+A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
+$$
+le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
+L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
+de $A$ a une norme inférieure à $1$.
+Admettons que
+$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
+Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
+$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(\OO_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+il existe un élément non nul de $tA\cap \OO_K$, nécessairement
+de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
+L'inégalité en résulte immédiatement.
+
+Effectuons le calcul volumique. Posons
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
+2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
+$$
+où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
+En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
+f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
+$$
+on trouve :
+$$
+f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
+$$
+Soit
+$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
+\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
+de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
+Calculons $g$ :
+$$\begin{array}{ll}
+g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
+& = 2\pi g_{r-1}(1)
+\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
+& = ... \\
+& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
+\end{array}
+$$
+Finalement,
+$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
+\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
+comme annoncé.
+
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Irréductibilité de $X^n-X-1$ sur $\QQ$}\label{Selmer}
+
+Nous allons reproduire l'ingénieuse démonstration du mathématicien norvégien
+Ernst Selmer. parue en \osn{1956}.
+
+Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
+les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
+$$
+S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
+$$
+et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
+Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
+a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
+racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
+produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
+il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
+En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
+que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
+
+Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
+si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
+on a
+$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
+Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
+en sommant le carré des deux égalités on trouve :
+$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
+En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
+les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
+qui n'est pas le cas.
+Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
+$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
+on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
+$$
+\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
+$$
+Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
+et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
+$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
+on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
+l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
+CQFD.