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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 09:51:46 (GMT)
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 09:51:46 (GMT)
commit9b397c6baf243cfab623ede077eff43b67f0d05f (patch)
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Diffstat (limited to 'divers')
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-rw-r--r--divers/bouts-a-deplacer.tex105
-rw-r--r--divers/conventions.tex15
-rw-r--r--divers/exercices.txt160
-rw-r--r--divers/idees.txt1
-rw-r--r--divers/notes.txt1
-rw-r--r--divers/style.txt23
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-rw-r--r--divers/tikz-exemples.tex364
-rw-r--r--divers/titre.txt3
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diff --git a/divers/Mittag-Leffler_topologique.tex b/divers/Mittag-Leffler_topologique.tex
new file mode 100644
index 0000000..b5ac958
--- /dev/null
+++ b/divers/Mittag-Leffler_topologique.tex
@@ -0,0 +1,90 @@
+\begin{lemme2}\label{lim1=0}
+Soit $(X_i)_{i∈I}$ un système projectif d'espaces topologiques compacts.
+Faisons les hypothèses suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item l'ensemble ordonné $I$ est \emph{filtrant à droite} :
+pour toute paire $(i,i')∈I²$, il existe $j∈I$
+tel que $i≤j$ et $i'≤j$ ;
+\item les morphismes de transitions $π_{ij}:X_j→X_i$ sont \emph{surjectifs}.
+\end{enumerate}
+Alors, pour tout $k∈I$, la projection canonique $\lim_i X_i→X_k$,
+$(x_i)_{i∈I}\mapsto x_k$, est \emph{surjective}.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $I_k$ l'ensemble des éléments $i∈I$ tels que $k≤i$ ;
+sous l'hypothèse (i) c'est une partie \emph{cofinale} de $I$ :
+pour tout $i∈I$, il existe $j∈I_k$ tel que $i≤j$.
+
+\begin{sous-lemme3}
+Soient $(X_i)_{i∈I}$ un système projectif filtrant à droite d'espaces topologiques
+et $J⊆I$ une partie cofinale. Alors, l'application
+de restriction $r_J:\lim_{i∈I} X_i→\lim_{j∈J} X_j$ est un homéomorphisme.
+\end{sous-lemme3}
+
+\begin{démo}
+Injectivité. Si $x,x'∈\lim_{i∈I} X_i$ et $x≠x'$,
+il existe $i∈I$ tel que $x_i≠x'_i$. Soit $j∈J$ tel que $i≤j$.
+Nécessairement $x_j≠x'_j$ car $x_i=π_{ij}(x_j)$ (resp. $x'_i=π_{ij}(x'_j)$).
+Ainsi $r_J(x)≠r_J(x')$.
+
+Surjectivité. Soient $(y_j)_{j∈J}$ et $i∈I$. Pour tout $j∈J$ tel
+que $i≤j$, considérons l'élément $x_i^{(j)}=π_{ij}(y_j)$ de $X_i$. Si $j≤j''$ sont
+deux éléments de $J$, il résulte de la formule
+$π_{ij''}=π_{ij}π_{jj''}$ que $x_i^{(j)}=x_i^{(j'')}$. D'autre part,
+l'ensemble $J$ étant filtrant à droite (car $I$ l'est), toute paire
+$(j,j')$ de $J²$ est dominée par un élément $j''$ de $J$.
+Il en résulte que $x_i^{(j)}=x_i^{(j'')}=x_i^{(j')}$, de sorte
+que $x_i^{(j)}$ est indépendant du choix de $j$.
+Nous le noterons dorénavant $x_i$. Constatons d'ores et
+déjà que pour $j∈J$, $x_j=x_{j}^{(j)}=y_j$.
+Il reste à vérifier que l'élément $(x_i)_{i∈I}$ de $∏_i X_i$ est compatible.
+Si $i≤i'$, on veut vérifier que $π_{ii'}(x_i')=x_i$.
+Considérons $j∈J$ tel que $i'≤j$. Puisque $x_{i'}=x_{i'}^{(j)}$ (resp.
+$x_i=π_{i}^{(j)}$), lui-même égal à $π_{i'j}(y_j)$
+(resp. $π_{ij}(y_j)$), on a bien $π_{ii'}(x_i')=x_i$.
+
+Bicontinuité. Par définition de la topologie produit
+sur $\lim_{i∈J} X_i$, la continuité de $r_J$
+est équivalente à la continuité, pour chaque $j∈J$, de l'application composée
+$\lim_{i∈I} X_i\sr{r_J}{→}\lim_{i∈J} X_i →X_j$.
+Cette application coïncide avec l'application canonique
+$\lim_{i∈I} X_i → X_i$, qui est --- là encore par définition ---
+continue. D'autre part, l'application $\lim_J X_j →
+X_i$, $(x_j)↦x_i^(j)$ est continue de sorte que
+l'inverse de l'application de restriction est également
+continu. Par compacité des espaces, on en déduit que
+$r_J$ est un homéomorphisme.
+\end{démo}
+
+(Le lecteur généralisera sans peine cette démonstration
+au cas des limites filtrantes à droite dans des catégories quelconques.)
+
+La surjectivité de l'application $π_k:\lim X_i→X_k$,
+se ramène donc au cas particulier où $k$ est le plus petit élément de l'ensemble
+$I$. Soit $x∈X_k$ ; il est fermé car $X_k$ est compact donc séparé.
+La famille des fermés $X'_i=π_{ki}^{-1}(x)⊆X_i$,
+munie des restrictions des $π_{ij}$, est un système projectif indexé par
+$I$ qui satisfait la condition (ii).
+On s'est donc ramené à démontrer que le sous-lemme suivant.
+
+\begin{sous-lemme3}
+La limite d'un système projectif d'espaces compacts non vides
+est non vide.
+\end{sous-lemme3}
+
+\begin{démo}
+Soit $F⊆I$ une partie finie, munie de la relation d'ordre induite.
+Le sous-ensemble $K_F=(\lim_{i∈F} X_i)×∏_{i∉F} X_i$ de
+$∏_{i∈I} X_i$ est \emph{fermé}. Il est d'autre part non
+vide car si $j∈I$ majore $F$, et $x_j∈X_j$, la famille des $π_{ij}(x_j)$
+est un élément de $\lim_{i∈F} X_i$. Puisque l'ensemble des parties
+finies de $I$ est filtrant à droite pour l'inclusion, et que $F⊆F'$
+entraîne $K_F⊃K_{F'}$ on en déduit immédiatement que toute
+intersection finie de fermés $K_{F}$ est non vide.
+D'autre part, l'ensemble $\lim_{i∈I} X_i$ étant
+l'intersection des fermés $K_F$ ($F⊆I$, finie),
+on a donc $\lim _{i∈I} X_i≠\vide$ car $∏_i X_i$ est
+\emph{compact}.
+\end{démo}
+\end{démo}
diff --git a/divers/bouts-a-deplacer.tex b/divers/bouts-a-deplacer.tex
new file mode 100644
index 0000000..3f29128
--- /dev/null
+++ b/divers/bouts-a-deplacer.tex
@@ -0,0 +1,105 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\input{commun}
+\input{smf}
+\input{adresse}
+\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+\input{encoredesmacros}
+
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+%\usepackage{makeidx}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
+%\usepackage{pxfonts}
+
+\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+%\makeindex
+
+\title{Bouts à déplacer}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Bouts à déplacer}
+\fi
+
+\begin{théorème2}\label{second théorème quotient fini}
+Soient $B$ un anneau nœthérien réduit et $G$ un groupe fini agissant sur $B$ par
+automorphismes. Si $\# G$ est inversible sur $B$, l'anneau
+$A=\Fix_G(B)$ est nœthérien et le morphisme $A→B$ est \emph{fini}.
+\end{théorème2}
+
+L'hypothèse que $B$ est réduit n'est là que pour simplifier légèrement
+la démonstration : le résultat ci-dessus est vrai sans cette
+hypothèse.
+
+\begin{démo}
+Commençons par montrer que $A$ est nœthérien.
+Considérons le morphisme $A$-linéaire $\Tr:B→A$, $x\mapsto \frac{1}{|G|}∑_{g∈G}
+g(x)$, parfois appelé « opérateur de Reynolds ». Soient $I$ un idéal de $A$ et
+$x∈IB∩A$. De l'égalité $x=\Tr(x)$ on tire immédiatement que
+$x∈I\Fix_G(B)=I$. Ainsi, $IB∩A=I$, pour tout idéal $I⊆A$,
+l'inclusion opposée étant en effet triviale. On en déduit que l'anneau $A$
+est nœthérien.
+
+Démontrons maintenant que $A→B$ est un morphisme fini.
+
+\begin{enumerate}
+\item (Réduction au cas d'un produit de corps.)
+Considérons l'ensemble fini $\{𝔭_i\}_{i∈I}$ des idéaux premiers minimaux de $B$.
+Pour chaque $i$, $𝔭_i^G$ est un idéal premier \emph{minimal} de $B^G$.
+En effet, si $𝔮\subsetneq 𝔭^G$ est un idéal premier, le morphisme
+$B/B^G$ étant entier, il existe d'après \ref{relèvement de paires}
+une paire d'idéaux premiers de $B$,
+$𝔮'⊂𝔭'$ au-dessus de $𝔮⊂𝔭^G$. On peut supposer $𝔭'=𝔭$ car $G$ agit
+transitivement sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(B^G)$
+(\emph{op. cit.}, n°2, th. 2).
+
+Soit $\Frac{\,B}$ (resp.
+$\Frac{\,B^G}$) l'anneau total des fractions de $B$ (resp. $B^G$)·;
+c'est un produit de corps dans lequel $B$ (resp. $B^G$) s'injecte,
+isomorphe au semi-localisé de $B$ en les $\{𝔭_i\}_{i∈I}$ (resp.
+$\{𝔭_i^G\}_{i∈I}$). Soit $S=B-⋃𝔭_i$ ; on a donc $\Frac{\,B}=S^{-1}B$.
+D'après (\emph{op. cit.}, §1, n°1, prop. 23), on a $(S^{-1}B)^G=(S^G)^{-1}B^G$,
+de sorte que $(\Frac{\,B})^G=\Frac{\,B^G}$ et
+$B⊗_{B^G} \Frac{\,B^G}≅\Frac{\,B}$.
+
+Supposons $\Frac{\,B}$ fini sur $\Frac{\,B^G}$, de sorte qu'il existe d'après
+l'isomorphisme précédent un nombre fini $n$ \emph{d'éléments de $B$}, qui engendrent $\Frac{\,B}$
+sur $\Frac{\,B^G}$. Observons que l'opérateur $\tr:B→B^G$ définit,
+par composition avec le produit, un accouplement $B⊗_{B^G} B→ B^G$
+qui est parfait sur les anneaux de fractions :
+on se ramène à montrer que si $e_i$ est un idempotent
+correspondant au facteur $K_i=\Frac{\,B/𝔭_i}$ de $\Frac{\,B}$, l'élément
+$\tr(e_i)$ est non nul ; il est en effet égal à $\frac{|G_i|}{|G|}$,
+où $G_i$ est le stabilisateur de $e_i$.
+Les $n$ éléments ci-dessus définissent donc un \emph{plongement} $B^G$-linéaire
+de $B$ dans $(B^G)^n$. On peut conclure par nœthérianité.
+
+\item (Réduction au cas, connu, d'un corps.)
+Soit donc $B=∏_i K_i$ un produit fini de corps et posons $X=\Spec(B)=∐_i η_i$.
+Si $X=X₁∐X₂$, où $X₁$ et $X₂$ sont $G$-stables, $X/G=(X₁/G)∐(X₂/G)$ de sorte
+que l'on se ramène immédiatement au cas où $X/G$ est connexe, \cad où l'action
+de $G$ est \emph{transitive}. Pour tout $i$, notons $G_i$ le groupe de
+décomposition correspondant. D'après le cas classique (cas d'un corps),
+$η_i → η_i/G_i$ est fini étale. Il en résulte que le morphisme
+$X→ ∐ η_i / G_i$ est fini. Enfin, puisque pour tout $i$,
+$η_i/G_i\iso X/G$ (\emph{loc. cit.}, §2, n°2, prop. 4), le résultat en découle.
+\end{enumerate}
+\end{démo}
+
+\begin{miseengarde2}
+Il n'est pas vrai en général que si $B$ est nœthérien
+et $G$ fini d'ordre arbitraire, $A=\Fix_G(B)$ est nœthérien. \XXX
+\end{miseengarde2}
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\end{document}
+\fi
diff --git a/divers/conventions.tex b/divers/conventions.tex
new file mode 100644
index 0000000..ae3493f
--- /dev/null
+++ b/divers/conventions.tex
@@ -0,0 +1,15 @@
+Tous les anneaux, et en particuliers les corps, sont,
+sauf mention explicite du contraire, commutatifs (unitaires)\footnote{Cela a lieu
+dans par exemple dans la section \ref{base-normale}.}.
+Si $B$ est une $A$ algèbre, on dira que $B$ est \emph{finie} sur $A$
+si $B$ est un $A$-\emph{module} de type fini.
+Un corps $k$ étant donné on dira parfois «(sous-)algèbre» pour (sous-)$k$-algèbre.
+Enfin, on notera $\Hom_k(A,B)$ l'ensemble des morphismes de $k$-\emph{algèbres}. S'il
+s'agit de l'ensemble des applications linéaires, cela sera précisé dans la notation.
+Dans un même esprit, compte tenu de la multiplicité des anneaux,
+si $M,N$ sont deux $A$-modules, on écrira souvent $M\isononcan_A N$ pour
+insister sur le fait qu'ils sont isomorphes en tant que $A$-modules.
+
+Pour $n\in \NN$ un entier, on note $[1,n]$ l'ensemble $\{1,\dots,n\}$,
+qui est vide pour $n=0$.
+
diff --git a/divers/exercices.txt b/divers/exercices.txt
new file mode 100644
index 0000000..9a86b76
--- /dev/null
+++ b/divers/exercices.txt
@@ -0,0 +1,160 @@
+1) Lili et Lulu.
+Soit un pentagone régulier dan le plan, centré en l'origine.
+On lui fait subir des réflexions le long de ses arêtes.
+Étant donné sa nouvelle position, trouver une méthode pour le ramener
+à sa position initiale.
+
+Une réponse.
+On regarde (non pas la conjugaison complexe mais)
+l'automorphisme ζ_5 → ζ_5^3 [3 est d'ordre 4 dans ℤ/5^×], qui donne (dans ℂ) un autre pentagone
+(« Lulu » ; le premier étant « Lili »). Il suffit
+de faire en sorte que Lili *et* Lulu se rapproche de l'origine.
+On utilise la discrétude de l'image de ℤ[ζ_5] par (Id,autom) dans
+ℂ². (j'ai pas vérifié)
+
+2) Soit k'/k extension finie de corps de car. p>0. Supposons
+leur p-rang fini. Alors, pour toute extension finie K de k, il existe
+une extension finie *étale* K'/K où K' est isomorphe (comme corps)
+à une extension finie de k'.
+[c'est utile]
+
+3) algèbres artiniennes : si k=k^alg, il existe
+un nombre infini de classes d'isom de k-algèbres
+de rang n pour n≥7 [facile], fini si n≤6 [calculatoire]
+(cf. court article élémentaire de Poonen)
+
+4) [chapitre 9, Nullstellensatz]
+a) démo du théorème dans le cas d'un corps
+algébriquement clos indénombrable
+b) application aux questions d'irréductibilité :
+si A est intègre, corps des fractions K,
+f∈A[X.] non constant, géométriquement irréductible sur K
+alors, il existe a∈A non nul tel que si a∉℘,
+f irréductible modulo ℘.
+(cf. ÉGA IV, 9.7.5. L'usage de Chevalley n'est *pas*
+nécessaire)
+[À mettre en application sans doute, plutôt qu'en exercice]
+
+5) extensions biquadratiques et quaternioniques.
+Démontrer le théorème suivant :
+ Soit k de car. ≠2, K=k(a^½,b^½) biquadratique.
+ K est contenue dans une extension quaternionique sur k
+ssi la forme quadratique ax²+by²+abz² est équivalente (sur k) à x²+y²+z².
+
+Exemple : Q(2^½,3^½)⊂Q((6+3.2^½+2.3½+2.2^½.3^½)^½)
+(cf. 2x²+3y²+6z² ~ x²+y²+z²).
+
+6) Extensions de groupe D_10. (cf. chapitre d'exemples,
+extension universelle pour ℤ/3 etc.)
+[2009-4-17 (vendredi)]
+
+Soit k=ℚ(X,Y) et c:k→k l'automorphisme défini par
+c(X)=Y et c(Y)=(X+1)/(XY-1).
+
+Fait : c^5=Id.
+Avec t défini par t(X)=Y et t(Y)=X, on plonge donc D_10
+dans le groupe de Cremona.
+
+Fait : k^D_10=ℚ(a,b,(a-3)^-1),
+où a,b définis par ∏_i=0^4(T-c^i(X))=T^5-aT^4+bT^2+...
+
+(valable sur ℤ d'après Gaëtan)
+
+On a discr(polynôme)=((a-3)R(a,b))².
+
+D'un autre côté, si P=T^5-5T^2+12 on montre
+que la résolvante ∏_{α,β}(T-(α+β))=QR où
+deg(Q)=deg(R)=5. Ainsi, Gal(P)=D_10.
+(C'est pas ℤ/5, comme on le voit par exemple par
+réduction modulo p.)
+Or, comme l'a observé Jean Lannes, si α et β sont des
+racines, on a souvent αβ-1 également racine. Ceci
+s'explique en partie par le calcul général ci-dessus.
+Enfin, il a également observé que souvent (condition
+sur a,b à déterminer), l'extension K=ℚ(racines)/ℚ(racine
+du discriminant)=K₀, de groupe ℤ/5 si discr≠carré est non
+ramifiée. D'après Gaëtan, c'est lié au fait que
+si l'extension O_K₀⊂O_K était ramifié, on aurait
+Inertie→D_10 surjective. (En effet, I↠±1 et si
+extension ramifiée, on a élément d'ordre 5). Or, dans
+le cas modéré, l'inertie ne peut pas se surjecter sur
+le groupe D_10 (l'inertie est pro-cyclique).
+
+7) Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique p.
+Expliquer que le foncteur V↦V⊗K des Fq-ev de dimension finie,
+vers les K-ev de dimension finie munis d'un isom. (Id×Frob)^*V≃V
+[càd un isomorphisme q-linéaire] est une équivalence de catégories.
+
+C'est utilisé par Drinfel'd dans « Variétés des modules de
+F-faisceaux (prop. 1.1) et c'est utile.
+
+8)
+On the 12th of May 2004, Bhargav Bhatt wrote:
+
+> Hello,
+
+> Say we have two algebraic numbers x,y such that
+> [Q(x):Q] = m, [Q(y):Q] = n, (m,n) = 1.
+
+> Is it true that Q(x,y) = Q(x+y)?
+
+> I've been stuck on this seemingly innocuous looking problem for a while.
+
+My crummy newsreader doesn't remember this far back so apologies
+for starting a new thread.
+
+The news is that in fact it is true. Thanks to Hendrik Lenstra
+for pointing me to
+
+MR0258803 (41 #3449)
+Isaacs, I. M.
+Degrees of sums in a separable field extension.
+Proc. Amer. Math. Soc. 25 1970 638--641.
+
+which in fact essentially solves the problem with Q replaced
+by any field. It's always true in characteristic zero, but there
+are some cases in characteristic p where one has to be careful
+(it's not always true in the char p case).
+
+I'll sketch the proof in the characteristic zero case (which is much
+simpler than the more delicate characteristic p arguments in the paper).
+Let E be the Galois closure of Q(x,y) and let G=Gal(E/Q). Let H be the subgroup
+of G corresponding to Q(x) and let K be the subgroup corresponding
+to Q(y). Then [G:H]=m and [G:K]=n so G:H intersect K]=mn and the
+conjugates of x+y are precisely x_i+y_j as x_i runs through the
+conjugates of x and y_j through the conjugates of y. As we had
+already established in the thread, we now have to rule out the possibility
+that x+y=x_i+y_j for some conjugates x_i \not=x of x and y_j \not=y of y.
+This equation implies that x-x_i=y_j-y=u is a non-zero element of E.
+
+Now here's the trick in Isaac's paper. Let V be the sub-Q-vector
+space of E generated by the conjugates of x, and let W be the sub-Q-vector
+space generated by the conjugates of y. Then u is in both V and W,
+and hence V, W, and V intersect W are all non-zero Q-vector spaces with a
+G-action. Now what can be we say about V intersect W? Well, G acts on the x_i
+via permutations and H is the stabiliser of x, so (as a representation
+of G) V is a subquotient of Ind_H^G(1). Similarly W is a subquotient of
+Ind_K^G(1), and one checks that (Ind_H^G(1),Ind_K^G(1))=1 e.g. by
+Mackey's decomposition theorem, because G=HK. Moreover the common
+irreducible representation giving rise to this 1 is easily seen to
+be the trivial representation. Hence
+G acts trivially on V intersect W! But this is a contradiction because
+it implies that x-x_i is a non-zero rational number t, so x is conjugate
+to x+t and hence to x+2t, x+3t,... .
+
+A delicate argument but I'm certainly convinced by it. Again thanks to
+Lenstra for pointing me to the paper of Isaacs.
+
+Kevin Buzzard
+
+9) Montrer que les polynômes symétriques en deux variables à
+coefficients dans $𝐅_p$ satisfaisant la relation de
+cocycle :
+f(y,z)-f(x+y,z)+f(x,y+z)-f(x,y)=0
+sont les $λ(x^q+y^q-(x+y)^q)/p$.
+
+Ceci « explique » la formule d'addition pour les vecteurs de
+Witt tronqué à l'ordre deux : c'est la seule extension de
+$\Ga$ par $\Ga$.
+Pour le calcul (que je n'ai pas fait), cf. Lazard,
+« Sur les groupes de Lie formels à un paramètre », Ⅲ.
diff --git a/divers/idees.txt b/divers/idees.txt
new file mode 100644
index 0000000..b314948
--- /dev/null
+++ b/divers/idees.txt
@@ -0,0 +1 @@
+chercher une macro \marge
diff --git a/divers/notes.txt b/divers/notes.txt
new file mode 100644
index 0000000..aac8d15
--- /dev/null
+++ b/divers/notes.txt
@@ -0,0 +1 @@
+[...] = à compléter
diff --git a/divers/style.txt b/divers/style.txt
new file mode 100644
index 0000000..8b96692
--- /dev/null
+++ b/divers/style.txt
@@ -0,0 +1,23 @@
+Quelques conventions de style :
+
+La composition des fonctions peut se noter avec \circ (ou ∘ en Unicode
+si ça marche). La fonction identité se note \Id.
+
+? Un lemme peut-il être un énoncé non intermédiaire ?
+
+Faire la chasse aux rats (p. ex. : « on note »
+au lieu de « on note »).
+
+Mettre des notes historiques en fin de chapitre (cf.
+le Ireland et Rosen). Y expliquer un peu où l'on va
+et quels sont les avantages (if any) des points de vue développés.
+
+☡ Attention aux « En particulier » abusifs.
+
+(F.) Quelques soient ↔ (D.) Quels que soient ?
+(On dirait que le second est plus courant ; c'est ce que fait Bourbaki.)
+
+Point à la fin d'une phrase s'achevant par un diagramme ?
+(D.) ne le fait pas dans « categories.tex »
+(F.) il me semble que l'usage est d'en mettre un. (Mais où ?)
+
diff --git a/divers/test/bidouille-unicode.tex b/divers/test/bidouille-unicode.tex
new file mode 100644
index 0000000..037cbe5
--- /dev/null
+++ b/divers/test/bidouille-unicode.tex
@@ -0,0 +1,30 @@
+\documentclass[10pt]{article}
+\usepackage[mathletters]{ucs}
+\usepackage[utf8x]{inputenc}
+\ifnum\pdfoutput>0
+\pdfmapline{dgjkata dgjkata <dgjkata.pfb}
+\DeclareFontFamily{U}{dgjkata}{\skewchar\font127 }
+\DeclareFontShape{U}{dgjkata}{m}{n}{<->dgjkata}{}
+\DeclareSymbolFont{dgjkata}{U}{dgjkata}{m}{n}
+\DeclareSymbolFontAlphabet{\dgjkata}{dgjkata}
+\DeclareMathSymbol{\katakanapi}{\mathord}{dgjkata}{"34}
+\DeclareUnicodeCharacter{"30D4}{\katakanapi}
+\else
+\DeclareUnicodeCharacter{"30D4}{\pi}
+\fi
+\ifnum\pdfoutput>0
+\pdfmapline{dmjkj dmjkj <dmjkj.pfb}
+\DeclareFontFamily{U}{dmjkj}{\skewchar\font127 }
+\DeclareFontShape{U}{dmjkj}{m}{n}{<->dmjkj}{}
+\DeclareSymbolFont{dmjkj}{U}{dmjkj}{m}{n}
+\DeclareSymbolFontAlphabet{\dmjkf}{dmjkj}
+\DeclareMathSymbol{\betsou}{\mathord}{dmjkj}{'267}
+\else
+\newcommand{\betsou}{{\mathrm{betsou}}}
+\fi
+\DeclareUnicodeCharacter{"5225}{\betsou}
+%
+\begin{document}
+\[e^{iピ} = -1\]
+\[別 = 0\]
+\end{document}
diff --git a/divers/test/foo b/divers/test/foo
new file mode 100644
index 0000000..a2ee799
--- /dev/null
+++ b/divers/test/foo
@@ -0,0 +1,3 @@
+Répertoire pour faire des tests.
+Machintruc.
+Ça marche.
diff --git a/divers/tikz-exemples.tex b/divers/tikz-exemples.tex
new file mode 100644
index 0000000..09fa515
--- /dev/null
+++ b/divers/tikz-exemples.tex
@@ -0,0 +1,364 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\input{commun}
+\input{smf}
+\input{adresse}
+\input{gadgets}
+\input{francais}
+\input{numerotation}
+\input{formules}
+\input{encoredesmacros}
+
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\title{Tikz : exemples}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\else
+\chapter{Tikz : exemples}
+\fi
+
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em]{
+X_1&X_2&X_3&\;\cdots\;&X_{2n-1}&X_{2n}&X_{2n+1}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$f_1$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$g_1$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$f_2$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node[swap]{$g_{n-1}$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node{$f_n$} (diag-1-6);
+\draw[->] (diag-1-7) -- node[swap]{$g_n$} (diag-1-6);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{verbatim}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em]{
+X_1&X_2&X_3&\;\cdots\;&X_{2n-1}&X_{2n}&X_{2n+1}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$f_1$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$g_1$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$f_2$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node[swap]{$g_{n-1}$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node{$f_n$} (diag-1-6);
+\draw[->] (diag-1-7) -- node[swap]{$g_n$} (diag-1-6);
+\end{tikzpicture}
+\end{verbatim}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+T(X)&T(X')\\S(Y)&S(Y')\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$h$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$h'$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$T(u)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$S(v)$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{verbatim}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+T(X)&T(X')\\S(Y)&S(Y')\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$h$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$h'$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$T(u)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$S(v)$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{verbatim}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\categ{C}&\categ{D}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=80,in=100] node [auto=false] (F) {}
+node [pos=0.45] {$\scriptstyle F$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to node [auto=false] (G) {} node [pos=0.25]
+{$\scriptstyle G$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=-80,in=-100] node [auto=false] (H)
+{} node [pos=0.45,swap] {$\scriptstyle H$} (diag-1-2);
+\draw[->] (F) -- node{$\scriptstyle u$} (G);
+\draw[->] (G) -- node{$\scriptstyle v$} (H);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{verbatim}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\categ{C}&\categ{D}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=80,in=100] node [auto=false] (F) {} node
+[pos=0.45] {$\scriptstyle F$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to node [auto=false] (G) {} node [pos=0.25]
+{$\scriptstyle G$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=-80,in=-100] node [auto=false] (H) {}
+node [pos=0.45,swap] {$\scriptstyle H$} (diag-1-2);
+\draw[->] (F) -- node{$\scriptstyle u$} (G);
+\draw[->] (G) -- node{$\scriptstyle v$} (H);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{verbatim}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+\categ{C}&\categ{D}&\categ{E}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=40,in=140] node [auto=false] (F) {}
+node {$\scriptstyle F$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=-40,in=-140] node [auto=false] (F')
+{} node [swap] {$\scriptstyle F'$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-2) to [out=40,in=140] node [auto=false] (G) {}
+node {$\scriptstyle G$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-1-2) to [out=-40,in=-140] node [auto=false] (G')
+{} node [swap] {$\scriptstyle G'$} (diag-1-3);
+\draw[->] (F) -- node{$\scriptstyle u$} (F');
+\draw[->] (G) -- node{$\scriptstyle v$} (G');
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{verbatim}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+\categ{C}&\categ{D}&\categ{E}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=40,in=140] node [auto=false] (F) {}
+node {$\scriptstyle F$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=-40,in=-140] node [auto=false] (F') {}
+node [swap] {$\scriptstyle F'$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-2) to [out=40,in=140] node [auto=false] (G) {}
+node {$\scriptstyle G$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-1-2) to [out=-40,in=-140] node [auto=false] (G')
+{} node [swap] {$\scriptstyle G'$} (diag-1-3);
+\draw[->] (F) -- node{$\scriptstyle u$} (F');
+\draw[->] (G) -- node{$\scriptstyle v$} (G');
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{verbatim}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+G(F(X))&G(F(Y))\\G(F'(X))&G(F'(Y))\\G'(F'(X))&G'(F'(Y))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$G(u(X))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$G(u(Y))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$v(F'(X))$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$v(F'(Y))$} (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$G(F(z))$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(F'(z))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- node{$G'(F'(z))$} (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{verbatim}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+G(F(X))&G(F(Y))\\G(F'(X))&G(F'(Y))\\G'(F'(X))&G'(F'(Y))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$G(u(X))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$G(u(Y))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$v(F'(X))$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$v(F'(Y))$} (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$G(F(z))$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(F'(z))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- node{$G'(F'(z))$} (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{verbatim}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+G(F(X))&G(F'(X))&G(F''(X))\\G'(F(X))&G'(F'(X))&G'(F''(X))\\
+G''(F(X))&G''(F'(X))&G''(F''(X))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-3-2) -- (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[pos=0.3,sloped]{$\scriptstyle(v\boxempty u)(X)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[pos=0.3,sloped]{$\scriptstyle(v'\boxempty u')(X)$} (diag-3-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{verbatim}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+G(F(X))&G(F'(X))&G(F''(X))\\G'(F(X))&G'(F'(X))&G'(F''(X))\\
+G''(F(X))&G''(F'(X))&G''(F''(X))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-3-2) -- (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[pos=0.3,sloped]
+{$\scriptstyle(v\boxempty u)(X)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[pos=0.3,sloped]
+{$\scriptstyle(v'\boxempty u')(X)$} (diag-3-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{verbatim}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+&&P(i)\\T&X&\\&&P(j)\\};
+\draw[->] (diag-2-1) to [out=60,in=180] node{$\scriptstyle t(i)$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[auto=false,above left=-.5ex]{$\scriptstyle s(i)$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-1) to [out=300,in=180] node[swap]{$\scriptstyle t(j)$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap,auto=false,below left=-.5ex]{$\scriptstyle s(j)$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle P(i\to j)$} (diag-3-3);
+\draw[->,dotted] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{verbatim}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+&&P(i)\\T&X&\\&&P(j)\\};
+\draw[->] (diag-2-1) to [out=60,in=180] node{$\scriptstyle t(i)$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[auto=false,above left=-.5ex]{$\scriptstyle s(i)$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-1) to [out=300,in=180] node[swap]{$\scriptstyle t(j)$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap,auto=false,below left=-.5ex]{$\scriptstyle s(j)$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle P(i\to j)$} (diag-3-3);
+\draw[->,dotted] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{verbatim}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+T&T\\P(V(i'))&P(V(i''))\\P(i)&P(i)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle t(i')$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$\scriptstyle P(\gamma')$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle t(i'')$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$\scriptstyle P(\gamma'')$} (diag-3-2);
+\draw[double] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[draw=none] (diag-2-1) to node [pos=0.5,auto=false] (mid) {$\cdots$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (mid);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (mid);
+\draw[double] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{verbatim}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+T&T\\P(V(i'))&P(V(i''))\\P(i)&P(i)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle t(i')$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$\scriptstyle P(\gamma')$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle t(i'')$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$\scriptstyle P(\gamma'')$} (diag-3-2);
+\draw[double] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[draw=none] (diag-2-1) to node [pos=0.5,auto=false] (mid) {$\cdots$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (mid);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (mid);
+\draw[double] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{verbatim}
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto,
+ elem/.style={rectangle,draw=black!50,text height=1.5ex,text depth=.5ex},
+ isin/.style={pos=0.5,auto=false,sloped,allow upside down}]
+ % Le "allow upside down" est essentiel pour ne pas que les signes ∈ se
+ % retrouvent dans le mauvais sens !
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\Hom(F(X),F(X))&\Hom(F(X),F(X'))&\Hom(F(X'),F(X'))\\
+\Hom(X,G(F(X)))&\Hom(X,G(F(X')))&\Hom(X',G(F(X')))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \theta(X,F(X))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle \theta(X,F(X'))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle \theta(X',F(X''))$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle F(z)\circ\tiret$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$\scriptstyle \tiret\circ F(z)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle G(F(z))\circ\tiret$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- node[swap]{$\scriptstyle \tiret\circ z$} (diag-2-2);
+\node[elem](elem-1-1) at ($ (diag-1-1)+(2em,4ex) $) {$\scriptstyle\Id_{F(X)}$};
+\node[elem](elem-1-2) at ($ (diag-1-2)+(0,4ex) $) {$\scriptstyle F(z)$};
+\node[elem](elem-1-3) at ($ (diag-1-3)+(-2em,4ex) $) {$\scriptstyle\Id_{F(X')}$};
+\draw[draw=none] (elem-1-1) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-1);
+\draw[draw=none] (elem-1-2) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-2);
+\draw[draw=none] (elem-1-3) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-3);
+\node[elem](elem-2-1) at ($ (diag-2-1)+(2em,-4ex) $) {$\scriptstyle\eta(X)$};
+\node[elem](elem-2-2) at ($ (diag-2-2)+(0,-4ex) $) {$\scriptstyle G(F(z))\circ \eta(X) = \eta(X') \circ z$};
+\node[elem](elem-2-3) at ($ (diag-2-3)+(-2em,-4ex) $) {$\scriptstyle\eta(X')$};
+\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-1);
+\draw[draw=none] (elem-2-2) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-2);
+\draw[draw=none] (elem-2-3) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{verbatim}
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto,
+ elem/.style={rectangle,draw=black!50,text height=1.5ex,text depth=.5ex},
+ isin/.style={pos=0.5,auto=false,sloped,allow upside down}]
+ % Le "allow upside down" est essentiel pour ne pas que les signes ∈ se
+ % retrouvent dans le mauvais sens !
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\Hom(F(X),F(X))&\Hom(F(X),F(X'))&\Hom(F(X'),F(X'))\\
+\Hom(X,G(F(X)))&\Hom(X,G(F(X')))&\Hom(X',G(F(X')))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \theta(X,F(X))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle \theta(X,F(X'))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle \theta(X',F(X''))$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle F(z)\circ\tiret$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$\scriptstyle \tiret\circ F(z)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle G(F(z))\circ\tiret$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- node[swap]{$\scriptstyle \tiret\circ z$} (diag-2-2);
+\node[elem](elem-1-1) at ($ (diag-1-1)+(2em,4ex) $) {$\scriptstyle\Id_{F(X)}$};
+\node[elem](elem-1-2) at ($ (diag-1-2)+(0,4ex) $) {$\scriptstyle F(z)$};
+\node[elem](elem-1-3) at ($ (diag-1-3)+(-2em,4ex) $) {$\scriptstyle\Id_{F(X')}$};
+\draw[draw=none] (elem-1-1) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-1);
+\draw[draw=none] (elem-1-2) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-2);
+\draw[draw=none] (elem-1-3) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-3);
+\node[elem](elem-2-1) at ($ (diag-2-1)+(2em,-4ex) $) {$\scriptstyle\eta(X)$};
+\node[elem](elem-2-2) at ($ (diag-2-2)+(0,-4ex) $) {$\scriptstyle G(F(z))\circ \eta(X) = \eta(X') \circ z$};
+\node[elem](elem-2-3) at ($ (diag-2-3)+(-2em,-4ex) $) {$\scriptstyle\eta(X')$};
+\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-1);
+\draw[draw=none] (elem-2-2) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-2);
+\draw[draw=none] (elem-2-3) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{verbatim}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\end{document}
+\fi
diff --git a/divers/titre.txt b/divers/titre.txt
new file mode 100644
index 0000000..37cf1e0
--- /dev/null
+++ b/divers/titre.txt
@@ -0,0 +1,3 @@
+Idées de titre à déposer ici !
+« La théorie de Galois et ses ramifications ». [jeu de mots douteux ?]
+