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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1171,7 +1171,12 @@ que l'on a
Si $K$ est archimédien, ces résultats sont classiques : cf.
par exemple \cite[chap. VII, §6]{distributions@Schwartz}
ou \cite[chap. VII, §1]{analysisI@Hormander}. La détermination
-des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une gaussienne.
+des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une
+gaussienne\footnote{On veut montrer que $∫_𝐑 e^{-2 i π xy}e^{-πx²}dx=e^{-πy²}$.
+Or, le terme de gauche est une fonction $g$ de $y$ satisfaisant
+l'équation différentielle $g′(y)=-2πyg(y)$. On a donc $g(y)=C e^{- π y²}$,
+où $C=∫_𝐑 e^{-π x²}dx>0$. Enfin, par Fubini et changement de variable, on a
+$C²=∫_{𝐑²} e^{-π (x²+y²)}dxdy= 2π ∫_{𝐑^+} e^{-π ρ²}ρdρ=1$.}.
Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique.
(ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a
\[
@@ -2760,7 +2765,7 @@ telle que
\[
μ_U(f_U)=∏_{s ∈ Σ} μ_s(f_s),
\]
-lorsque $f_U=⊠_s f_s:(x_s)↦ ∏_s f_s(x_s)$,
+lorsque $f_U=\mathop{\bigboxtimes}\lim_s f_s:(x_s)↦ ∏_s f_s(x_s)$,
où les fonctions $f_s$ appartiennent à $𝒞_c(𝒳_s,𝐂)$
lorsque $s ∉ U$, et sont dans $𝒞_c(𝒱_s,𝐂)=𝒞(𝒱_s,𝐂)$
et presque toutes égales à $𝟭_{𝒱_s}$ lorsque $s ∈ U$.
@@ -3483,7 +3488,7 @@ il existe par le principe des tiroirs deux éléments
$b=∑_{x ∈ ℬ} n_x x$ et $b′=∑_{x ∈ ℬ} m_x x$, où $0 ≤ n_x,m_x ≤ r$,
tels que $a=b-b′=∑_x a_x x$ appartienne à  l'idéal $𝔞$. Par construction, on a
$N_{K \bo 𝐐}(a)=∏_σ |σ(a)| ≤ r^d μ_ℬ$ car chaque coefficient $|a_x|$ est majoré
-par $r$ et $\# \Hom_𝐐(K,𝐂)=d$.
+par $r$ et $\# \Hom_{𝐐}(K,𝐂)=d$.
Pour achever la démonstration du corollaire, il suffit de vérifier
que tout idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$ est dans la classe d'un idéal
de norme inférieure ou égale à $μ_ℬ$.
@@ -3518,7 +3523,7 @@ Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles
que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait
$f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
-$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x$
+$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_{x ∈ Σ(K)} f_x$
de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$,
c'est-à-dire envoyant un adèle $(a_x)$ sur le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} f_x(a_x)$.
C'est une fonction continue, que l'on notera aussi simplement
@@ -3527,7 +3532,7 @@ externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien évidemment pas de retrouver
les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractères additifs QA}
ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de considérer la partie
archimédienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}:K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
-des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}$,
+des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$,
et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathrm{ultr}} → 𝐂$.
Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$.
@@ -3546,7 +3551,7 @@ presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
%des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
%p. 178 et p. 189. \XXX
Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
-$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i)
@@ -3620,6 +3625,7 @@ de groupes compacts a presque tous ses facteurs triviaux.
\subsubsection{Caractères additifs de $𝐤_𝐀$, où $𝐤=𝐅_p(t)$, $p>0$ premier}
+\label{caractères additifs kA}
Notons $∞$ la place correspondant à l'idéal
premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $𝐤$
et $ψ_∞$ le caractère additif du corps local $𝐤_∞$,
@@ -3692,9 +3698,9 @@ Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=[×±1]^*𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
\begin{théorème2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
\label{Pontrâgin pour adèles}
Soit $K$ un corps global.
-Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$,
+Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$
% dire que OPS ψ_x tous non triviaux ?
-Le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↦ [×a]^*ψ$
+et (pour chaque tel $ψ$) le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↦ [×a]^*ψ$
est un isomorphisme. De plus, $K$ est orthogonal à lui-même :
si $a_𝐀 ∈ K_𝐀$ et $ψ(λ a_𝐀)=1$ pour tout $λ ∈ K$, on a $a_𝐀 ∈ K$.
\end{théorème2}
@@ -3730,7 +3736,7 @@ $a_x=(a_y)_{y↦ x}$. Comme $ψ_{K,x}$ est supposé non trivial
et que $\Tr_{L_x \bo K_x}(a_xL_x)=K_x$ sauf si $a_x=0$.
Ceci permet de conclure.
-\emph{Surjectivité du morphisme $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$}.}
+\emph{Surjectivité du morphisme $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$.}
Soit $ψ ∈ \chap{L_𝐀}$ et fixons un isomorphisme
de $K_𝐀$-algèbres $ι:L_𝐀 ⥲ K_𝐀^n$ comme en \ref{adèles et cb}.
Il résulte de la dualité pour $K_𝐀$ qu'il existe un vecteur
@@ -3753,45 +3759,36 @@ Question : si non trivial et trivial sur $K$,
non trivialité partout n'est-elle pas automatique
(par approximation) ? \XXX
-\begin{proposition2}
-\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
-Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$
-et $ω$ une forme différentielle non nulle.
-Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_x)=\{1\}$.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-\end{démo}
-
-\begin{remarque2}
-Dans le cas des corps de fonctions, on
-peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
-% cf. Tate, cours à Harvard.
-\end{remarque2}
-
-\subsubsection{}
-Nous allons maintenant considérer le dual
-du groupe abélien compact $K_𝐀 ∕ K$ des classes
-d'adèles. La surjection $K_A ↠ K_𝐀 ∕ K$ induit
-une injection $\chap{K_𝐀 ∕ K} ↪ \chap{K_𝐀}$ dont l'image
-est constituée des caractères de $K_𝐀$ triviaux sur $K$.
-Dorénavant, nous identifierons souvent (et sans commentaire) $\chap{K_𝐀 ∕ K}$ à son image
-par cette injection. Soit $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀$,
-trivial sur $K$. On en déduit un morphisme $K → \chap{K_𝐀 ∕ K}$.
-Il résulte formellement du l'égalité $K^⊥=K$
-que ce morphisme est un isomorphisme.
-% injectivité triviale.
-% surjectivité : écrire un tout petit truc.
-Ainsi :
-
\begin{corollaire2}
\label{dual des classes de adèles}
-Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
+Soient $K$ un corps global et $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
Le morphisme canonique $K ⥲ \chap{K_𝐀/K}$, $λ↦ [× λ]^* ψ$
-est un \emph{isomorphisme}.
+est un \emph{isomorphisme}. De plus, le niveau des caractères locaux $ψ_x$
+est nul pour presque tout $x$.
\end{corollaire2}
+\begin{démo}
+Vérifions la première assertion. Si $ψ′$ est un caractère de $K_𝐀$, il existe
+un unique $a_𝐀 ∈ K_𝐀$ tel que $ψ′=[×a_𝐀]^* ψ$.
+Si $ψ′_{|K}$ est trivial, on a $a_𝐀 ∈ K^⊥=K$. CQFD.
+Vérifions maintenant que le niveau des composantes locales est presque toujours nul.
+D'après l'isomorphisme précédent et le fait qu'un élément
+de $K^×$ est une unité en presque toute place, il suffit
+de vérifier l'énoncé pour un seul caractère non trivial $ψ$ des classes
+d'adèles. Soit $L\bo K$ une extension
+séparable, $x$ une place de $K$ nette dans $L$, et $ψ_x$ un caractère additif
+de $K_x$ de niveau nul. Pour chaque $y↦ x$, le caractère $ψ_y =ψ_x ∘ \Tr_{L_y \bo
+K_x}$ de $L_y$ est de niveau nul (\ref{niveau reste nul si extension nette}).
+Comme presque toutes les places sont nettes (\refext{AVD-D}{extension est presque partout nette}
+[résulte aussi de \ref{adèles et cb} \XXX]),
+on constate que si le résultat à démontrer est vrai pour un caractère $ψ$
+sur $K$, il l'est également pour $ψ ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$.
+D'après \ref{caractères additifs QA} et \ref{caractères additifs kA},
+il en est ainsi lorsque $K$ est $𝐐$ ou $𝐤$. Ceci suffit pour conclure.
+(Voir \cite[IV.§2, corollaire 1]{BNT@Weil} pour un argument topologique
+n'utilisant pas cette réduction au cas particuliers des corps $𝐐$ et $𝐤$.)
+\end{démo}
+
\begin{corollaire2}
\label{caractères séparent les points}
Soit $K$ un corps global. Les caractères
@@ -3805,108 +3802,106 @@ $ψ_{x,y}(x) ≠ ψ_{x,y}(y)$.
Par translation, on peut supposer $y=0$.
Soit $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
D'après le corollaire précédent, il faut montrer
-qu'il existe un $λ ∈ K$ tel que $ψ(λ x) ≠ 0$.
+qu'il existe un $λ ∈ K$ tel que $ψ(λ x) ≠ 1$.
Ceci résulte du fait que $x ∉ K$ et de l'égalité
$K^⊥=K$ (\ref{Pontrâgin pour adèles}).
\end{démo}
+\begin{remarque2} \XXX
+\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
+On peut montrer que si $K$ un corps global de caractéristique $p>0$
+et $ω$ une forme différentielle non nulle,
+pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_x)=\{1\}$.
+De plus, on peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
+% cf. Tate, cours à Harvard.
+\end{remarque2}
+
\subsubsection{Transformation de Fourier sur $K_𝐀$}
\label{définition Fourier adélique}
-Soit $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
-sur $K$. Il résulte de ce qui précède
-que les niveaux $n(ψ_x)$ sont nuls pour presque tout $x$.
-Notons $ℱ_{ψ_x}$ les transformées de Fourier
-locales auto-duales (\ref{Fourier et mesure locaux}).
-Pour chaque fonction $f=⊠′_x f_x$ produit externe restreint
-comme en \ref{Bruhat-Schwartz adélique},
-il résulte de \emph{loc. cit.} que les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$
-sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_x}$
-et induisent donc une fonction $ℱ_ψ(f)=⊠′_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sur $K_𝐀$.
-De plus, chaque $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient à $𝒮(K_x)$
-(\emph{loc. cit.}, (i)) si bien que $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
-
-\XXX Si l'on note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=\colim μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ la mesure de Radon sur $K_𝐀$ déduite
-des $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$, définie par
-\[
-μ^{\mbox{\minus $+$}}(f)= ∫_{K_𝐀(U)} f_U μ^{\mbox{\minus $+$}}_U,
-\]
-où [...] (cf. \ref{mesure produit-colimite}).
-
-On a bien sûr l'égalité
-\[
-ℱ_ψ(f)(t)=∫_{K_𝐀} f ψ_t   dμ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ
-\]
-pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, où
-$ψ_t=[× t]^* ψ$.
-
-\begin{exemple2}[Cas du corps des nombres rationnels]
-Considérons :
-
-— une fonction $f^∞ ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$ ;
-
-— un élément $N∈ 𝐙-\{0\}$ ;
-
-— un élément $o$ un élément de $𝐐$.
-
-Alors,
-\[
-ℱ_{ψ_𝐐}(f^∞ ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
-\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^∞) \big) ⊠
-\big( [×o]^* ψ_𝐐^{≠ ∞} 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big),
-\]
-où $ψ_𝐐^{ ≠ ∞}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
+Soient $K$ un corps global et $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
+sur $K$. Pour chaque place $x$ de $K$, considérons la transformée
+de Fourier locale autoduale $ℱ_{ψ_x}$ (\ref{Fourier et mesure locaux}).
+Si $f=\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_x f_x$
+appartient à l'espace de Bruhat-Schwartz (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
+les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_x}$ :
+cela résulte du fait que le niveau $n(ψ_x)$ sont presque tous nuls
+(\ref{dual des classes de adèles}) et de la dualité locale (\ref{Fourier et
+mesure locaux}, (i) et (v)). La fonction $ℱ_ψ(f):=
+\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\lim_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient
+donc également à $𝒮(K_𝐀)$. On peut réécrire cette définition de la
+transformation de Fourier $ℱ_ψ$ sous une forme globale.
+Notons $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure de Radon
+produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ sur $K_x$
+(\ref{mesure produit-colimite}),
+de sorte que si $f$ est une fonction continue sur $K_𝐀$
+prolongement par zéro d'une fonction $f_U$ sur l'ouvert $K_𝐀(U)$
+(\ref{définition adèles}), on a
+\[
+μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ(f)= ∫_{K_𝐀(U)} f_U μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_U} =
+∏_{u ∈ U} \Big( ∫_{K_u} f_u μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_u} \Big),
+\]
+où le terme de droite est une définition du terme central.
+Avec ces notations, il est tautologique que pour chaque $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$
+et chaque adèle $a ∈ K_𝐀$, on a
+\[
+ℱ_ψ(f)(a_𝐀)=∫_{K_𝐀} f ψ_{a}   dμ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ,
+\]
+où $ψ_{a}=[× a]^* ψ$. Explicitons maintenant cette construction dans deux cas
+particuliers.
+
+— Transformation de Fourier sur $𝐐_𝐀$. Considérons une
+fonction $f^{\mathrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif
+$N∈ 𝐙-\{0\}$ et un rationnel $o ∈ 𝐐$. Il résulte
+des égalités $𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
+du formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii) et
+de la formule du produit $∏_p |N|_p=1/|N|$ que l'on a l'égalité
+\[
+ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
+\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathrm{arch}}) \big) ⊠
+\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$},
+\]
+où $ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
-$\chap{𝐙}=\lim_P 𝐙/P ⥲ ∏_p 𝐙_p$.
-Cela résulte immédiatement de l'égalité
-$𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
-de \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii), et de la formule du produit
-$∏_p |N|_p=1/|N|$.
-
-On peut déduire de cette expression une \emph{formule
-de Poisson adélique}
+l'on note $\chap{𝐙}$ le complété profini $∏_p 𝐙_p = \lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
+Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
+\chap{𝐙}}$ satisfait la \emph{formule de Poisson adélique}
\[
-∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ)
+∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ), \tag{$⋆⋆$}
\]
-qui sera généralisée ci-dessous (\ref{Fourier adélique} (iii)).
-Par linéarité, on peut supposer $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ comme
-ci-dessus. Compte tenu de ce qui précède, il nous faut
-vérifier l'égalité
+En effet, compte tendu du calcul $(⋆)$ de la transformée de Fourier,
+la formule de Poisson à établir se réécrit :
\[
-∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^∞(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o) \chap{f^∞}(λ)
+∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o)
+\chap{f^{\mathrm{arch}}}(λ).
\]
-qui résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
-appliquée à la fonction $φ(λ)=f^∞(N λ + o)$, dont la transformée
-de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^∞}(\frac{λ}{N})$.
-\end{exemple2}
-
+Cette dernière résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
+appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mathrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée
+de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$.
+Par linéarité et l'observation faite en (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
+la formule de Poisson $(⋆⋆)$ est valable pour toute fonction $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ ;
+c'est aussi un cas particulier de la formule \ref{Fourier adélique} établie ci-dessous.
-\begin{exemple2}[Cas du corps des fonctions rationnelles]
-Considérons :
-— une fonction $f^∞ ∈ 𝒮(𝐅_p((t^{-1}))=𝒮(𝐤_∞)$ ;
-
-— un élément $N ∈ 𝐅_p[t]-\{0\}$ ;
-
-— un élément $x$ un élément de $𝐤$.
-
-On a alors comme ci-dessus l'égalité
+—- Transformation de Fourier sur $𝐤_𝐀$. Notons $𝐤$ le corps $𝐅_p(t)$, pour un
+nombre premier $p$ fixé, et considérons maintenant une fonction
+$f^∞ ∈ 𝒮(𝐅_p((t^{-1}))=𝒮(𝐤_∞)$, un élément $N ∈ 𝐅_p[t]-\{0\}$, et
+un élément $o$ de $𝐤$. Comme ci-dessus, on établit sans peine l'égalité
\[
-ℱ_{ψ_𝐤}(f^∞ ⊠ 𝟭_{x+N \chap{𝐅_p[t]}})=
+ℱ_{ψ_𝐤}(f^∞ ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐅_p[t]}})=
\big( \frac{1}{p^{\deg(N)}} ℱ_{ψ_∞}(f^∞) \big) ⊠
-\big( [×x]^* ψ_𝐤^{ ≠ ∞} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐅_p[t]}}\big),
+\big( [×o]^* ψ_𝐤^{ ≠ ∞} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐅_p[t]}}\big),
\]
où $ψ_𝐤^{ ≠ ∞}=(ψ_{𝐤_x})_{x ≠ ∞}$ désigne le caractère additif
-du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$,
+du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$ (\ref{caractères additifs kA}),
et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P ⥲ ∏_{x ≠ ∞} 𝒪_{𝐤_x}$.
-Bien entendu les formules de \emph{op. cit.}
-permettent également le calcul, par dévissage,
-de $ψ_{ψ_∞}(f^∞)$. On a notamment
-$ψ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= q^½ [× ϖ_∞]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$
-On en tire en particulier que $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_𝐤})(0)=μ_{ψ_𝐤}(𝒪_𝐤)$
-est égal à $q^½$. Ce résultat sera généralisé
-en \ref{mesure quotient adélique}. [\XXX rapport pas si clair.]
-
-
+Le formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} permet
+le calcul explicite de $ℱ_{ψ_∞}(f^∞)$ par dévissage ;
+par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p^½ [× t]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$.
+\commentaire{Problème (de niveau)}
+On en tire en particulier que la valeur en zéro de $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}})$,
+qui coïncide par définition avec la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_𝐤}(𝒪_{𝐤_𝐀})$ de $𝒪_{𝐤_𝐀}$,
+est égale à $p^½$.
+\commentaire{Rapport avec \ref{mesure quotient adélique} ?}
Dans ce cas, la formule de Poisson adélique est moins immédiate.
La méthode esquissé ci-dessus dans le cas du corps des
rationnels nous ramène en effet au théorème