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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex31
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index 37bbb45..1c15972 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -832,6 +832,7 @@ conclure.
%
\subsection{L'algorithme de Buchberger}\label{section-algorithme-de-buchberger}
+\subsubsection{Le $S$-polynôme}\label{definition-s-polynome}
Soient $f_1,f_2\in k[Z_1,\ldots,Z_d]$ : on définit le \textbf{polynôme
de syzygie standard} ou \textbf{$S$-polynôme} $S(f_1,f_2)$ entre
$f_1$ et $f_2$ de la manière suivante :
@@ -1282,6 +1283,36 @@ C'est une conséquence immédiate de la proposition précédente et
de \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}.
\end{proof}
+\begin{proposition2}\label{borne-degre-base-groebner-sur-une-variable-dominante}
+Soit $\preceq$ un ordre monomial sur $k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ tel que $Y$
+soit supérieur à tout monôme en $Z_1,\ldots,Z_d$. Soient
+$h_1,\ldots,h_n \in k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ tels que $\deg_Y(h_i) \leq N$
+pour tout $i$, où $N$ est une certaine constante (ici, $\deg_Y(h)$
+désigne le degré partiel du polynôme $h$ en la variable $Y$). Alors
+la base de Gröbner $f_1,\ldots,f_r$ réduite de $I = (h_1,\ldots,h_n)$
+vérifie également $\deg_Y(f_i) \leq N$ pour tout $i$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'hypothèse effectuée sur l'ordre garantit que $\deg_Y(h) =
+\deg_Y(\initial(h))$ pour tout $h$. Il suffit de montrer que, dans
+l'algorithme de Buchberger \ref{algorithme-de-buchberger}, aucun
+polynôme de degré en $Y$ strictement supérieur à $N$ n'est jamais
+ajouté à la base (et que, dans l'algorithme de
+réduction \ref{algorithme-reduction-base-de-groebner} ou, en fait,
+dans l'algorithme de division \ref{algorithme-division}, on n'augmente
+jamais le degré en $Y$, mais c'est évident). Le point essentiel à
+vérifier est donc que si $h_i$ et $h_j$ vérifient $\deg_Y(h_i) \leq N$
+alors le $S$-polynôme $S(h_i,h_j)$ défini
+en \ref{definition-s-polynome} vérifie la même inégalité. Mais son
+terme initial est strictement inférieur à $\ppcm(\initial(h_i),
+\initial(h_j))$, lequel a bien un degré en $Y$ majoré par $N$, donc
+c'est le cas de $S(h_i,h_j)$.
+\end{proof}
+
+\XXX --- Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas
+la construction algorithmique. Par ailleurs, il faudrait sans doute
+déplacer cette proposition à un autre endroit.
+
\section{Idéaux de dimension $0$}