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-rw-r--r--chapitres/AC.tex1
-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex10
-rw-r--r--chapitres/RT.tex42
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex28
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index 776302d..1bd32bf 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -1240,6 +1240,7 @@ Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens.
\begin{définition2}
+\label{définition fonction zêta Hasse}
\XXX
$A$ $𝐙$-algèbre de type fini.
\[
diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index f591e1d..8e2750e 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -227,6 +227,16 @@ d'Archimède dans lequel il introduit un système pour nommer les grands nombres
\subsubsection{}Définir $Σ(K)$ (ensemble des classes d'équivalences de
valeurs absolues). Fonctorialité.
+\begin{proposition2}
+\label{fonctorialité valeurs absolues}
+Soit $K\bo k$ une extension.
+Le morphisme de restriction $Σ(K) → Σ(k)$ est
+\emph{surjectif}. Si l'extension est finie,
+le cardinal des fibres est majoré par $[K:k]_{\sep}$.
+\end{proposition2}
+
+%ZS, tome 2, p. 29 par exemple.
+
\begin{théorème2}
\XXX
Le théorème d'approximation=th. restes chinois pour valeurs absolues.
diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
index 37ef526..7284426 100644
--- a/chapitres/RT.tex
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -36,11 +36,31 @@
\section{Degré de transcendance}
+
+\begin{proposition2}
+Une extension est de type fini si et seulement si
+elle est finie sur une extension transcendante
+pure « finie ».
+\end{proposition2}
+
+\begin{corollaire2}
+\label{finitude clôture algébrique dans tf}
+Soit $K \bo k$ une extension de type fini.
+La clôture algébrique de $k$ dans $K$ est finie
+sur $k$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{corollaire2}
+\label{sous-extension de tf est tf}
+Toute sous-extension d'une extension de type fini est
+de type fini.
+\end{corollaire2}
+
+% cf. p. ex A.VI.§16.nº7.
+
\section{Extensions radicielles. $p$-bases}
-\section{Extensions séparables}
-\section{Extension régulières, linéairement disjointes}
-\subsection{Extensions linéairement disjointes (facultatif)}
+\subsection{Extensions linéairement disjointes}
La démonstration de \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii), et particulièrement le lemme
\ref{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}, motivent la définition suivante (voir aussi
@@ -244,7 +264,7 @@ D'après le critère précédent, il suffit en effet de vérifier que le produit
tensoriel $⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i]$ est intègre.
dans le cas particulier où $I$ est fini.
Ceci résulte de l'existence d'un isomorphisme (donné par le produit des polynômes)
-$⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i]\iso k[X_α,\,α∈\coprod_{i∈I} A_i]$ (\ref{produit
+$⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i] ⥲ k[X_α,\,α∈\coprod_{i∈I} A_i]$ (\ref{produit
tensoriel d'anneaux de polynômes}).
(On vérifie sans peine que l'application produit induit un isomorphisme même si $I$
est infini.)
@@ -391,6 +411,20 @@ A_i)$.
+\section{Extensions séparables}
+
+\begin{théorème2}
+\label{critère de MacLane}
+$L \bo K$ est séparable si et seulement si elle
+est linéairement disjointe de $K^{p^{-∞}}$ sur $K$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{corollaire2}
+\label{extension corps parfait est séparable}
+Toute extension d'un corps \emph{parfait} est séparable.
+\end{corollaire2}
+
+
\section{Théorème de Lüroth}
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 8b40f6c..19d2373 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -2788,7 +2788,7 @@ Soit $A$ une $F$-algèbre étale de rang $d$, $ψ$ un caractère
(\emph{additif}) non trivial de $F$ et $χ$ un caractère de $A^×$.
On pose
$$
-g(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a).
+𝔤(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a).
$$
\end{définition2}
@@ -2796,11 +2796,11 @@ Une telle somme est appelée \emph{somme de Gauß}. Elles semblent
avoir été introduites par Cauchy.
Par la suite, nous noterons $ψ_A$ le caractère (additif) $ψ\circ \Tr_{A/F}$.
-Remarquons que $g(χ,ψ)∈𝐐(ζ_p,ζ_{q-1})$.
+Remarquons que $𝔤(χ,ψ)∈𝐐(ζ_p,ζ_{q-1})$.
\subsubsection{}\label{factorisation-somme-Gauss}Si $A$ est un produit de corps $K_i$, de degré $d_i$ sur $F$, on montre immédiatement l'égalité
$$
-g(χ,ψ)=ε(A)∏_i g(χ_i,ψ_{K_i}),
+𝔤(χ,ψ)=ε(A)∏_i 𝔤(χ_i,ψ_{K_i}),
$$
où $ε(A)=(-1)^{∑_i (d_i+1)}$.
@@ -2815,21 +2815,21 @@ Pour tout un caractère non trivial $χ$ de $A^×/F^×$,
et tout caractère (additif) non trivial $ψ$ de $F$,
on a l'égalité suivante :
$$
-qJ(χ)=g(χ,ψ).
+qJ(χ)=𝔤(χ,ψ).
$$
\end{proposition2}
\begin{démo}
On a :
$$
-g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big),
+𝔤(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big),
$$
où $a$ parcourt l'ensemble des relèvements de $x$ à $A^×$.
Si $\Tr(x)=0$, $∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)=(q-1)$ ; dans le
cas contraire, elle vaut $∑_{t∈F^×} ψ(t)=-1$ (car $∑_{t∈F} ψ(t)=0$).
Ainsi,
$$
-g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) -
+𝔤(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) -
\underbrace{∑_{x∈A^×/F^×} χ^{-1}(x)}_{0}\big).
$$
\end{démo}
@@ -2839,7 +2839,7 @@ Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial
de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial.
Alors,
$$
-|g(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}.
+|𝔤(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}.
$$
\end{proposition2}
@@ -2847,11 +2847,11 @@ $$
En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la
formule
$$
-|g(χ,ψ)|²=g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big),
+|𝔤(χ,ψ)|²=𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big),
$$
on trouve immédiatement
$$
-|g(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big).
+|𝔤(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big).
$$
Si $z=1$, la somme $∑_x ψ\big(x(1-z)\big)=∑_x 1$ vaut $\# {A'}^×$.
Si $A'$ est un \emph{corps} et $z≠1$, elle vaut $∑_{y∈{A'}^×}
@@ -2895,7 +2895,7 @@ le cas $b≠0$.
\label{Hasse-Davenport}
Soit $F'$ une extension finie de $F$ de degré $r$. Alors,
$$
-g(χ_{F'},ψ_{F'})=g(χ,ψ)^r.
+𝔤(χ_{F'},ψ_{F'})=𝔤(χ,ψ)^r.
$$
\end{théorème2}
@@ -2941,7 +2941,7 @@ $1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon.
\begin{démo}
(i) résulte de la formule générale :
-$$g(χ,ψ)g(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$
+$$𝔤(χ,ψ)𝔤(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$
(ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons
de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme
@@ -2977,7 +2977,7 @@ nous allons démontrer qu'il existe sous cette hypothèse une
suite d'extensions $𝐐=K₀⊂\cdots ⊂K_i ⊂ K_{i+1} ⊂\cdots ⊂K_n=𝐐(ζ_p)$,
avec $[K_{i+1}:K_i]=2$.
-Posons $S=∑_χ g(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$.
+Posons $S=∑_χ 𝔤(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$.
Par définition, $S=-∑_{x∈F^×} \big( ∑_χ χ(x)\big) ψ(x)$.
Puisque $∑_χ χ(x)=0$ pour $x≠1$, $p-1$ sinon, et $ψ(1)=ζ_p$, on a donc
l'égalité
@@ -2987,11 +2987,11 @@ $$
de sorte que $𝐐(ζ_p)=𝐐(S)$.
Une somme de nombres constructibles étant constructible \XXX, il suffit donc de démontrer
-que chaque $g(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant.
+que chaque $𝔤(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant.
Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est.
Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$,
-$m≥0$, si bien que l'égalité $g(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi})
+$m≥0$, si bien que l'égalité $𝔤(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi})
ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi.
Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles.
(Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 9b1931d..5f9d63c 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -32,9 +32,11 @@
\title{Corps locaux, corps globaux}
+\externaldocument{AC}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
+\externaldocument{RT}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{verselles}
\externaldocument{corps-finis}
@@ -141,7 +143,7 @@ cette convention est étendue au cas où $p=∞$. (On rappelle que $𝐐_∞=
de théorie de l'intégration. Le niveau de généralité de ces
rappels est justifié par l'usage qui en sera fait dans la
théorie des corps globaux (analyse sur les adèles).
-Le lecteur est invité à consulter par exemple \cite{INT@Bourbaki},
+Le lecteur est invité à consulter par exemple \BourbakiINT{chap. VII},
ou \cite{Integral@Nachbin} qui en reprend
les points essentiels, pour plus de détails.
@@ -368,7 +370,7 @@ des fonctions $ψ$ considérées. Soit $𝔉$ un ultrafiltre plus fin que ce d
filtre. Par compacité de l'ensemble $[(φ₀: φ)^{-1},(φ : φ₀)]$,
auquel appartiennent les $I_ψ(φ)$, la limite $\lim_{ψ,𝔉} I_ψ(φ)$ existe ; notons la $I(φ)$.
(Le lecteur peu versé dans la théorie des filtres et ultrafiltres
-pourra avantageusement consulter \cite{TG@Bourbaki} ou bien
+pourra avantageusement consulter \BourbakiTG{I.§6.nº4} ou bien
\cite[chap. II, §8]{Integral@Nachbin} pour une variante de cet
argument reposant sur le théorème de Tychonoff.)
Il résulte de ce qui précède et du passage à la limite que l'on a
@@ -871,9 +873,9 @@ corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.
\begin{définition2}
\label{niveau caractère}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
-On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus petit
-entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
-et $-∞$ sinon.
+On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus grand
+entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
+et $+∞$ sinon.
\end{définition2}
Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.
@@ -987,11 +989,11 @@ Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
et de caractéristique résiduelle $p>0$.
On a l'égalité
\[
-n(e_{K})=-v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
+n(e_{K})=v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
\]
entre le niveau du caractère additif non trivial
$e_{K}$ défini en \ref{caractère corps local}
-et l'opposé de la valuation de la différente
+et la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}
@@ -1001,17 +1003,9 @@ si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et s
La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}
-\begin{remarques2}
-\begin{enumerate}
-\item Cette formule est un indice selon lequel
-il serait préférable de changer le signe
-dans la définition du niveau. C'est ce que font
-certains auteurs, dont A. Weil.
-\item En caractéristique, l'interprétation du niveau
+En caractéristique, l'interprétation du niveau
de $e_{K,ω}$ est plus subtile.
Voir le théorème de Riemann-Roch pour un énoncé global.
-\end{enumerate}
-\end{remarques2}
\begin{proposition2}
\label{niveau reste nul si extension nette}
@@ -1021,7 +1015,8 @@ Si le niveau de $ψ$ est nul, il en est de même
du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$. %Plus généralement, […]
\end{proposition2}
-Cela devrait avoir un rapport avec Riemann-Hurwitz \XXX.
+Pour un extension au cas global et non nécessairement
+net, cf. \ref{Riemann-Hurwitz}.
\begin{démo}
Trivial : cf. \refext{AVD-D}{}.
@@ -1079,9 +1074,9 @@ fonction sur $\chap{K}$.
\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
\item Si $K$ est ultramétrique et $r ∈ 𝐙$, on a
\[
-ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}}.
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-(r+n(ψ))}}.
\]
-En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
+En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{-n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
\begin{enumerate}
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
@@ -1097,7 +1092,7 @@ où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \emph{auto-duale}
(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{-n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $√{|a|} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
@@ -1106,7 +1101,7 @@ $ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\end{proposition2}
\subsubsection{}
-\label{dépendence Fourier local en caractère}
+\label{dépendance Fourier local en caractère}
On note $ℱ_ψ$ la transformation de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. Il résulte immédiatement de (vi)
que l'on a
@@ -1143,7 +1138,8 @@ donc ramener le calcul du lemme d'orthogonalité pour les groupes finis
sus-mentionné.)
(iii) La première formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
et la troisième sont immédiates. Le fait que $𝒮(K)$
-est un cas particulier du fait général suivant : le produit
+soit stable par multiplication par les caractères $ψ_a$ est
+un cas particulier du fait général suivant : le produit
d'une fonction localement constante par une fonction localement
constante à support compact est localement constante à support
compact.
@@ -1157,19 +1153,18 @@ précède on a les égalités :
\[
\begin{array}{rcl}
ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r})) & = & [-a]^*ℱℱ(𝟭_{𝔪^r}) \\
- & = & [-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}}) \\
- & = & \frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}[-a]^* 𝟭_{𝔪^r} \\
+ & = & [-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-n(ψ)-r}}) \\
+ & = & \frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{-n(ψ)}}[-a]^* 𝟭_{𝔪^r} \\
& = & c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
\end{array}
\]
-où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus
-$+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
+où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{-n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
La conclusion en résulte par linéarité des endomorphismes $ℱ²$ et $[×(-1)]^*$.
(v) D'après ce qui précède, un mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est
auto-duale relativement à un caractère additif non trivial $ψ$
-si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{n(ψ)}{2}}$.
+si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{-n(ψ)}{2}}$.
L'existence et l'unicité en découle.
-(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=-v(a)+n(ψ)$ et de (v).
+(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=n(ψ)+v(a)$ et de (v).
\end{démo}
Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
@@ -1177,6 +1172,7 @@ dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
\begin{exemple2}
+\label{exemple Fourier et Gauss}
Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
@@ -1191,7 +1187,8 @@ où $G(χ)$ est la somme de Gauß
\[
∑_{x ∈ 𝐅_p} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
\]
-Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez}.
+Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez} et \ref{facteur epsilon ultramétrique},
+\emph{infra}.
\end{exemple2}
%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
@@ -1269,7 +1266,7 @@ un caractère du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal co
Si $K$ est archimédien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↦ u^{-a})$ est appelé \emph{conducteur} de $χ$.
Les quasi-caractères $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi
bien dans le cas ultramétrique qu'archimédien. Si $K$ est réel, le quasi-caractère $x↦ x^{-1}$ n'est autre
-que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathrm{sgn}(x)$ est le signe du réel non nul $x$.
+que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.
\begin{démo}
Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un
@@ -1372,8 +1369,8 @@ pur. D'autre part, la mesure $\frac{dt}{t}$ est une mesure de Haar
sur $G$ (voir \ref{sorites mesures multiplicatives locales}).
Ainsi, la transformation de Mellin, du moins restreinte à des
droites verticales de $𝐂$, peut être vue comme un cas particulier
-de transformation de Fourier générale (cf. p. ex., Bourbaki,
-Théories spectrales, II.§1.nº2 ou Katznelson, « An introduction… », chap. VII).
+de transformation de Fourier générale (cf. p. ex., \BourbakiTS{II.§1.nº2}
+ou \cite[chap. VII]{introduction@Katznelson}.
Notons également que ce lien est également visible en faisant le changement de variable
$t=e^x$, qui échange transformation de Mellin et transformation de Fourier
sur $𝐑$. %Dym, McKean, « Fourier… », § 2.6 p. 103
@@ -1553,8 +1550,8 @@ nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ ; si les
niveaux $n(ψ)$ et $n(ψ ′)$ sont égaux, $c=1$ (cf. \emph{loc. cit.}).
Si $ψ$ est de niveau nul, c'est-à-dire si $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus$×$}}₁$,
nous nous autorisons à l'omettre des notations.
-Pour étudier la dépendance en $χ$ de ces
-transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
+Pour étudier la dépendance en $χ$ dans les familles $χ ω_s$
+de ces transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s).
\]
@@ -1581,6 +1578,7 @@ considérée en \ref{transformation Mellin réelle}
et $1$ désigne le caractère multiplicatif trivial.
\subsubsection{Cas archimédien : calculs}
+\label{Mellin local archimédien}
Supposons maintenant le corps local $K$ archimédien quelconque.
Les gaussiennes
\[
@@ -1698,9 +1696,9 @@ rappelle sans équivoque un facteur eulérien, analogue
des facteurs Gamma considérés ci-dessus.
(Rappelons que la notation sous-entend que
la caractère additif $ψ$ utilisé est de niveau nul.)
-Généralement attribuée à Margaret Matchett (thèse « On the Zeta Function for
+Généralement attribuée à Margaret \textsc{Matchett} (thèse « On the Zeta Function for
Ideles », 1946), cette formule est un des points de départ de la méthode
-— due indépendamment à Iwasawa Kenkiti et John Tate — pour
+— due indépendamment à \textsc{Iwasawa} Kenkiti et John \textsc{Tate} — pour
démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions zêta \emph{globales}.
\end{remarque2}
@@ -1775,8 +1773,9 @@ Alors, on a l'égalité :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ),
\]
-où l'on a noté pour simplifier $ζ$ (resp. $\chap{f}$, etc.) pour $ζ_ψ$ (resp. $ζ_ψ$, etc.).
-Le terme de gauche se réécrit
+où l'on note pour simplifier— et ce jusqu'à la fin de la démonstration — $ζ$
+(resp. $\chap{f}$, etc.) pour $ζ_ψ$ (resp. $ℱ_ψ(f)$, etc.).
+En effet, le terme de gauche se réécrit
\[
∫_{K^× × K^×} f(x)\chap{g}(y)χ(x y^{-1}) |y|  d
{μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}.
@@ -1879,16 +1878,128 @@ de l'égalité $Δ([×a]^*f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)$, on
a $Δ(f)=0$. CQFD.
Pour une discussion du cas archimédien, voir \cite[§1]{Fonction@Weil}.
+\subsection{Facteurs $ε$}
+
\subsubsection{}
-\XXX
+\label{définition fonction L locale}
+Soit $χ=χ₁ ω_s$ comme en \ref{description quasi-caractères}.
+Posons
+\[L(χ)=
+\begin{cases}
+\displaystyle ζ_K(s) & \text{si } K \text{ est archimédien}\\
+\displaystyle \frac{1}{1-χ(ϖ)} & \text{si } K \text{ est ultramétrique et }χ \text{ net}\\
+\displaystyle 1 & \text{sinon}.
+\end{cases}
+\]
+% Deligne, §3.2
+Il résulte des calculs effectués en \ref{Mellin local archimédien} et \ref{Matchett}
+que l'on a $L(χ)=ζ_ψ(g,χ)$, où $ψ$ est de niveau nul
+et $g$ est une gaussienne ou bien la fonction caractéristique
+de l'anneau des entiers. Sauf si $K$ est ultramétrique et $χ$
+ramifié : remplacer $ζ_ψ(g,χ)=0$ par $1$.
+(Voir \cite[§23.2]{Bushnell-Henniart} pour une interprétation
+plus conceptuelle dans le cas ultramétrique.)
+Il est naturel de considérer pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
+le quotient $ζ_ψ(f,χ)/L(χ)$.
+
+\subsubsection{}
+\label{définition facteur epsilon local}
+D'après \ref{prolongement méromorphe et équation
+fonctionnelle cas local}, il existe un « \emph{facteur epsilon} »\index{facteur epsilon},
+indépendant de $f$, tel que l'on ait :
+\[
+ε_ψ(χ)×\frac{ζ_ψ(f,χ)}{L(χ)}=\frac{ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ})}{L(\chap{χ})}.
+\]
+D'après \emph{loc. cit.}, on a $ε_ψ(χ)=γ_ψ(χ)×\frac{L(χ)}{L(\chap{χ})}
+∈ 𝐂^×$. Les deux formules suivantes résultent respectivement
+de \ref{dépendance Fourier local en caractère}
+et \ref{Fourier et mesure locaux} (formule d'inversion).
+% détailler ? \XXX
+
+\begin{proposition2}
+\label{epsilon par translation et produit}
+Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non trivial et $χ$ un caractère multiplicatif.
+\begin{enumerate}
+\item Pour tout $a ∈ K^×$, $ε_{ψ_a}(χ)=χ(a)|a|^{-½}ε_ψ(χ)$.
+\item \label{epsilonepsilon} $ε_ψ(χ) ε_ψ(\chap{χ})=χ(-1)$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+Notons que les mêmes formules sont valables pour le facteur $γ$.
+D'après (i), la détermination de ces facteurs se ramène au cas particulier où le caractère
+additif $ψ$ est de niveau fixé.
+
+\subsubsection{Formulaire archimédien}
+
+Si $K$ est réel ou complexe, et $χ=χ₁ ω_s$
+comme ci-dessus où $χ₁:x↦ x^{-a}$, on a :
+\[
+ε_{𝐞_K}(χ)=i^a.
+\]
+Vérifions-le brièvement dans le cas réel.
+Le cas complexe est laissé en exercice au lecteur
+(cf. \cite[§2.5]{Fourier@Tate}).
+Pour $a=0$, c'est une trivialité : on applique
+la définition \ref{définition facteur epsilon local}
+lorsque $f$ est la gaussienne $g_𝐑$ (invariante par Fourier).
+Le cas $a=1$ se ramène au cas précédent : considérer la dérivée
+de $g_𝐑$ et utiliser le fait que la transformation de Fourier échange
+dérivation et multiplication par $i$.
+
+\subsubsection{Formulaire ultramétrique}
+\label{facteur epsilon ultramétrique}
+Lorsque $χ$ est net et $ψ$ de niveau nul, on a :
+\[
+ε_ψ(χ)=1.
+\]
+En effet, $ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=𝟭_𝒪$ donc $ζ_ψ(ℱ_ψ(𝟭_𝒪),\chap{χ})=L(\chap{χ})$
+et, plus trivialement encore, $ζ_ψ(𝟭_𝒪,χ)=L(χ)$.
+Considérons maintenant le cas général : $χ$ est éventuellement ramifié,
+de conducteur $a=a(χ) ≥ 0$ (\ref{définition conducteur})
+et $ψ$ de niveau $n=n(ψ)$. Considérons la fonction $f=χ^{-1} 𝟭_{𝒪^×}$,
+où $χ^{-1}$ désigne abusivement le prolongement par zéro de la
+fonction $χ^{-1}:K^× → 𝐂$ à $K$. Elle appartient à $𝒮(K)$ et
+est constante sur les classes modulo $𝔪^a$ : si $x ∈ 𝒪^×$
+et $y ∈ 𝒪$, on a $χ(x)=χ(x+y ϖ^a)$ car $χ(1+x^{-1}y ϖ^a)=1$.
+En conséquence (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii) et (iii).b),
+sa transformée de Fourier $ℱ_ψ(f)$ est à support contenu dans $𝔪^{-(n+a)}$.
+Pour simplifier les calculs, supposons dorénavant que $n+a=0$,
+comme il est loisible d'après \ref{epsilon par translation et produit}, (ii).
+Ainsi, $ℱ_ψ(f)$ est à support dans $𝒪$. D'autre part, par définition,
+c'est la fonction $x↦ ∫_{𝒪^×} χ^{-1}(y) ψ(xy)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(y)$.
+À moins que $χ_{|𝒪^×}$ ne soit trivial (c'est-à-dire $χ$ net, ou encore $a=0$).
+on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant déjà été traité, supposons maintenant $a>0$.
+Pour $x ∈ 𝒪-\{0\}$, le changement de variable $z=xy$
+et la formule \ref{module=module} entraîne :
+$ℱ_ψ(f)(x)=\chap{χ}^{-1}(x) ∫_{x^{-1} 𝒪^×} χ^{-1}(z) ψ(z)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(z)$.
+Pour la même raison que précédemment, cette intégrale est nulle
+si $x$ n'appartient pas à $𝒪^×$. (Si $x ∈ 𝔪$, la fonction $χ^{-1} 𝟭_{x^{-1}𝒪}$
+est constante modulo $𝔪^{a-1}$ et la valeur en $1$ de sa transformée
+de Fourier est nulle.)
+Finalement,
+\[
+ℱ_ψ(χ^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×})=𝔤(χ,ψ) ⋅ \big( \chap{χ}^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×} \big),
+\]
+où la constante multiplicative est la \emph{somme de Gauß} \index{somme de Gauß}
\[
-γ(χ,s)=?
+𝔤(χ,ψ)=∫_{𝒪^×} χ^{-1} ⋅ ψ   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
+Ceci est une généralisation du calcul \ref{exemple Fourier et Gauss}.
+Enfin, par construction, $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(𝟭_{𝒪^×},1)(=μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×))$
+et, d'après ce qui précède, $ζ_ψ(\chap{f},\chap{χ})=𝔤(χ,ψ) ζ_ψ(𝟭_{𝒪^×},1)$.
+En résumé, on a a démontré la proposition suivante :
-\subsection{Fonctorialité}
+\begin{proposition2}
+Sous l'hypothèse que $a(χ)+n(ψ)=0$, on a :
+\[
+ε_ψ(χ)=𝔤(χ,ψ).
+\]
+\end{proposition2}
+Notons que cette formule est également valable lorsque $χ$ est net.
-$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
-[À déplacer ? \XXX]
+%\subsection{Fonctorialité}
+%$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
+%[À déplacer ? \XXX]
\section{Corps globaux}
@@ -1910,22 +2021,23 @@ valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
-respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$\footnote{Nous faisons
-le choix de pas utiliser les notations
-traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin de ne pas confondre
-les places archimédiennes et les places parfois considérées
-comme « à l'infini » en égale caractéristique, comme $(T^{-1})$
-dans $𝐅_p(T)$. \XXX}
+respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
+Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
+traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible
+confusion entre les places archimédiennes et les places « à l'infini »
+en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation
+$P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(T)$.
\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
classe $x$ ; c'est un corps local
-au sens de \ref{définition corps locaux} (cf. \ref{Kx sont locaux}
-\emph{infra})\footnote{On peut montrer réciproquement que
-tout corps local s'obtient de cette manière. Si $G$ est un
-groupe sous-groupe d'un $𝔖_n$ tel $𝐀^n/G$ soit rationnel,
-on peut même relever un nombre fini d'extensions locales
-galoisiennes de groupe $G$. \XXX}.
+au sens de \ref{définition corps locaux}, cf. \ref{Kx sont locaux}
+\emph{infra}. (Réciproquement, il n'est pas difficile
+de montrer que tout corps local s'obtient de cette manière.)
+% Si $G$ est un
+%groupe sous-groupe d'un $𝔖_n$ tel $𝐀^n/G$ soit rationnel,
+%on peut même relever un nombre fini d'extensions locales
+%galoisiennes de groupe $G$. Serre, Topics, th. 2 p. xiv. \XXX
On dispose donc d'une valeur absolue
privilégiée sur $K_x$, la valeur absolue normalisée,
que l'on note $|⋅|_x$, ainsi que sa restriction à $K$, qui
@@ -1940,16 +2052,16 @@ lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$.
% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »
\subsubsection{}
-Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
+Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$.
-De façon équivalente, $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
+De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
Si $K$ est un corps global de caractéristique $p>0$,
la clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$ est appelée
\textbf{corps des constantes} de $K$. C'est le plus grand
-sous-corps fini de $K$. \XXX
+sous-corps fini de $K$ (\refext{RT}{finitude clôture algébrique dans tf}).
\subsection{Points de $𝐐$ et $𝐅_p(t)$ ; applications}
@@ -1957,8 +2069,8 @@ sous-corps fini de $K$. \XXX
que toute valeur absolue de $𝐐$ est équivalente
à une unique valeur absolue $| ⋅ |_p$, où $p ∈ 𝒫 ∪ \{∞\}$,
$𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
-envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$ — $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ étant la
-valuation $p$-adique de $f$ — si $p$ est premier
+envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$, où $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ est la
+valuation $p$-adique de $f$ si $p$ est premier,
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
@@ -1971,17 +2083,20 @@ Notons que $𝒫$ est naturellement en bijection avec $\Specmax(𝐙)$.
\subsubsection{}Soit $p$ un nombre premier. Il résulte
de \refext{AVD-Dedekind}{k-valuations de k(X)}
-et [...] que les valuations non triviales de $𝐅_p(t)$
+%et [...] ? \XXX
+que les valuations non triviales de $𝐅_p(t)$
sont toutes ultramétriques et que l'ensemble $Σ(𝐅_p(t))$
est naturellement en bijection avec l'union $𝒫_p ∪ \{∞\}$, où
$𝒫_p$ désigne l'ensemble des polynômes irréductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$. Notons que $𝒫_p$ est naturellement en bijection avec
-$\Specmax(𝐅_p[t])$. \XXX
+$\Specmax(𝐅_p[t])$. (Pour des renseignements quantitatifs sur $𝒫_p$, voir
+\refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.)
+%\XXX
\subsubsection{}
\label{Kx sont locaux}
Soient $L\bo K$ une extension finie de corps globaux
-et $y ∈ Σ(L)$. Toute valeur absolue $| ⋅ |_L$ dans $y$
+et $y ∈ Σ(L)$. Toute valeur absolue $| ⋅ |_L$ dans la classe $y$
induit par restriction une valeur absolue $| ⋅|_K$
sur $K$ dont la classe d'équivalence ne dépend
que de $y$ et que nous noterons $x$.
@@ -1989,11 +2104,12 @@ D'après \refext{AVD-Dedekind}{finitude préservée par complétion},
l'injection $K ↪ L$ induit une injection $K_x ↪ L_y$,
faisant de $L_y$ une \emph{extension finie} de $K_x$.
Si $K_x$ est un corps local, il en est de même de $L_y$
-(\ref{extension finie corps local est local}).
+(cf. \ref{extension finie corps local est local}).
Or, on a vu ci-dessus que si $K=𝐐$ ou $K=𝐅_p(t)$,
-chaque $K_x$, $x ∈ Σ(K)$ est un corps local.
-Ainsi, les $L_y$ sont locaux dès lors que $L$ est un corps
-global.
+chaque $K_x$ est un corps local ; tout corps global $L$
+étant extension finie d'un tel corps global « premier » $K$,
+les $L_y$ sont locaux.
+
\begin{proposition2}
\label{toute courbe est revêtement ramifié de P1}
@@ -2002,11 +2118,9 @@ Il existe un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
$K\bo 𝐅_p(t)$ soit finie séparable.
\end{proposition2}
-\begin{démo}
-Première démonstration : cf. \refext{Rad}{}.
-
-Seconde démonstration, cf. Weil, p 48.
-\end{démo}
+Le corps $𝐅_p$ étant parfait, cela résulte de
+\refext{RT}{extension corps parfait est séparable}.
+%Seconde démonstration, cf. Weil, p 48. ? \XXX
\subsubsection{}Un corps global est donc une extension finie
étale d'un \textbf{corps global premier}, un tel corps
@@ -2023,7 +2137,12 @@ Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est
\end{proposition2}
\begin{démo}
-\XXX
+Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues},
+et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne
+est archimédienne, qu'il suffit de traiter le cas particulier
+où $K$ est un corps global premier. Or,
+$Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$ est un singleton et
+$Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
\end{démo}
\begin{proposition2}
@@ -2033,6 +2152,10 @@ Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
+Caractéristique $p$ : facile (réduction au cas $𝐅_p(t)$
+en regardant $𝐅_p(f)$.
+Caractéristique $0$ : bidouille à faire.
+Argument général ?
\XXX
\end{démo}
@@ -2524,8 +2647,7 @@ $c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$, on pose
ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
Notons $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$ l'idéal maximal de l'anneau
-$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$ : le niveau
-de $ψ_∞$ est égal à $1$.
+$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$.% : le niveau de $ψ_∞$ est égal à $1$.
Le caractère composé $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝒪_{𝐤_∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
se factorise à travers la surjection $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝐀_𝐤 \bo 𝐤$ (\ref{cocompacité})
car \mbox{$ψ_∞(𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤_∞})=\{1\}$}. On en déduit donc
@@ -2898,7 +3020,7 @@ par passage au quotient. Posons $v_μ=\dot{μ}(X)$
Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée (\ref{} \XXX)
de l'espace de Hilbert $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
Il résulte d'autre part de \ref{caractères séparent les points} et du
-théorème de densité de Stone-Weierstraß (\cite[X.§4, th. 3]{TG@Bourbaki})
+théorème de densité de Stone-Weierstraß (\BourbakiTG{X.§4, th. 3})
que toute fonction de $𝒞(X,𝐂)$ peut être uniformément approchée
par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$ :
la famille des caractères (continus) de $X$ est donc une
@@ -2948,8 +3070,8 @@ $ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
\begin{remarque2}
-Mentionner des généralités d'analyse harmonique. Bourbaki, TS,
-chap. II. \XXX
+Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II}.
+\XXX
\end{remarque2}
\subsection{Le théorème de Riemann-Roch pour les corps de fonctions algébriques}
@@ -2959,10 +3081,10 @@ chap. II. \XXX
Soient $K$ un corps global de
caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes,
de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
-de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x -n(ψ_x) ⋅ x$,
+de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x n(ψ_x) ⋅ x$,
où $n(ψ_x)$ désigne le niveau du caractère $ψ_x$ (\ref{niveau caractère}).
Il résulte de \ref{dual des classes de adèles},
-de la formule $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$ \XXX
+de la formule $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$
et de \ref{définition Pic} que la classe
de $\div(ψ)$ dans $\Pic_K$ est bien définie ; on l'appelle
\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la
@@ -2976,8 +3098,8 @@ Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
l'égalité :
\[
ℱ_ψ(\mathbf{1})
-= ⊠′_x \big( q_x^{-½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{n(ψ_x)}} \big)
-= q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{n(ψ_x)}}.
+= ⊠′_x \big( q_x^{½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} \big)
+= q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}.
\]
Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
\[
@@ -2991,7 +3113,7 @@ sa dimension sur $k$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
De même,
\[
-∑_{λ ∈ K} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{n(ψ_x)}}(λ/i)= \# \{ λ ∈ K:
+∑_{λ ∈ K} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(λ/i)= \# \{ λ ∈ K:
\div(λ) ≥ 𝔞-𝔠\}=\# L(𝔠-𝔞).
\]
@@ -3059,7 +3181,7 @@ tel que
\]
Lorsque $x$ est ultramétrique,
ceci se produit si et seulement si
-la valuation $x(d_{ψ,x})$ est égale à l'opposé du niveau $n_x(ψ_x)$.
+la valuation $x(d_{ψ,x})$ est égale au niveau $n_x(ψ_x)$.
Dans ce cas, on a la formule
\[
ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* 𝟭_{𝒪_x},
@@ -3117,7 +3239,7 @@ si l'on considère la fonction
\]
Il suffit pour cela d'établir l'égalité, pour chaque place
archimédienne $x$ de $K$ : $ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$.
-D'après \ref{dépendence Fourier local en caractère},
+D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère},
on peut supposer $ψ_x=𝐞_{K_x}$, de sorte qu'il faut montrer
l'égalité
\[
@@ -3188,8 +3310,10 @@ explicite intégrale quasi-caractère I} \XXX
\[
ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s},
\]
-où $𝔞$ parcourt les idéaux non nuls de l'anneau des entiers $𝒪_K$
-et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K ∕ 𝔞$.
+où $𝔞$ parcourt les idéaux non nuls de l'anneau des entiers $𝒪_K$,
+et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K ∕ 𝔞$.
+(Pour une définition générale de la fonction zêta de Hasse,
+cf. \refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}.)
En effet \XXX.
@@ -3208,8 +3332,41 @@ $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$, ou encore : $r_𝐑=r_𝐂=0$.
\subsubsection{}Si $K$ est un corps de fonctions, extension finie
de $𝐅_p(t)$, on a également
\[
-ζ_K(s)=ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x | ∞} ζ_x.
+ζ_K(s)=ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x | ∞} ζ_{K_x}.
\]
+À titre d'exemple, considérons le cas où $A=𝐅_p[t]$.
+On a
+\[
+ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}
+=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}},
+\]
+où $|f|=p^{-\deg(f)}$ et $𝒫_p$ est l'ensemble des polynômes irréductibles
+unitaires de $𝐅_p[t]$. Comme expliqué plus haut (dans un cas plus général),
+l'égalité entre la somme et le produit eulérien
+est une conséquence immédiate du fait que tout polynôme unitaire se
+décompose de façon unique (à l'ordre des facteurs près) en produit
+de polynômes unitaire irréductibles.
+Puisqu'il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$
+dans $𝐅_p$, on a $ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_d
+\frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$.
+Comme $ζ_{K_∞}(s)=(1-p^{-s})$, on en déduit :
+\[
+ζ_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}.
+\]
+
+\begin{exercice2}
+Déduire de l'égalité
+\[
+(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}
+\]
+la formule $p^n=∑_{d|n} d ⋅ \#𝒫_{p,d}$, où $𝒫_{p,d}=\{P ∈ 𝒫_p:\deg(P)=d\}$.
+(Indication : on pourra poser $X=p^{-s}$ et considérer la dérivée
+logarithmique relativement à $X$ des deux termes.)
+Cette formule a été précédemment démontrée
+en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.
+\end{exercice2}
+
+
\XXX
\subsubsection{}
@@ -3350,7 +3507,7 @@ $ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
Nous allons commencer par démontrer un énoncé de nature plus générale
(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}).
-Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
+Méthode \textsc{Iwasawa-Tate} (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to
algebraic number theory », Colmez (F.2.15),
et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
@@ -3686,6 +3843,7 @@ comme annoncé.
\subsection{Le théorème de Riemann-Hurwitz}
\begin{théorème2}
+\label{Riemann-Hurwitz}
Riemann-Hurwitz.
\end{théorème2}
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 1949940..224fe2d 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -393,7 +393,9 @@ pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes,
ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables).
\end{remarque2}
-\subsection{Expression explicite des racines de l'unité}
+\section{Expression explicite des racines de l'unité}
+
+\subsection{Généralités}
\subsubsection{} Même si ce n'est pas immédiatement apparement, la
proposition \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} est
@@ -415,11 +417,10 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) :
à déterminer selon le choix de convention qui aurait été fait de la
détermination de $\root m\of a_j$), et enfin retrouver $\gamma$ en
inversant la matrice de Vandermonde $\zeta^{ij}$, c'est-à-dire
- $\gamma = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \zeta^{-j} \alpha_j$). Les
- calculs des $a_j$ (puis des $\alpha_j$) pour différents $j$ peuvent
- souvent se mener de façon commune lorsque le groupe de Galois des
- racines $m$-ièmes de l'unité opère de façon agréable sur la
- situation.
+ $\gamma = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j$). Les calculs des
+ $a_j$ (puis des $\alpha_j$) pour différents $j$ peuvent souvent se
+ mener de façon commune lorsque le groupe de Galois des racines
+ $m$-ièmes de l'unité opère de façon agréable sur la situation.
\item Si le groupe de Galois de $K \bo k$ est résoluble mais non
cyclique, on commence par en trouver une suite de chaîne $G = G_0
\geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$, on appelle $k_i$ le corps
@@ -433,6 +434,194 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) :
premiers de $\varphi(m)$).
\end{itemize}
+Comme on le voit, l'expression des racines de l'unité en radicaux est
+un point crucial pour l'écriture par radicaux de n'importe quelle
+autre quantité.
+
+\subsubsection{} En réalité, le problème de l'écriture en radicaux des racines
+$n$-ièmes de l'unité ne se pose réellement que pour $n$ premier
+impair. En effet, si $n = n_1 n_2$, et si on sait déjà exprimer les
+racines $n_1$-ièmes et $n_2$-ièmes de l'unité par radicaux, alors les
+racines $n$-ièmes de l'unité s'écrivent comme racines $n_1$-ièmes des
+racines $n_2$-ièmes de l'unité (fois une éventuelle racine $n_1$-ième
+de l'unité) ; en fait, si $n_1$ et $n_2$ sont premiers entre eux, le
+théorème chinois permet d'obtenir quelque chose de plus agréable
+puisqu'il garantit que toute racine primitive $n$-ième de l'unité est
+produit d'une racine primitive $n_1$-ième et d'une racine primitive
+$n_2$-ième.
+
+Supposons maintenant $n$ premier impair. On a alors $\varphi(n) =
+n-1$ ; soit $g$ un élément primitif modulo $n$, c'est-à-dire un
+générateur du groupe cyclique $(\ZZ/n\ZZ)^\times$. Pour calculer
+l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de l'unité $\omega$, on
+peut décrire l'algorithme précédent de la manière suivante, en
+supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de l'unité $\zeta$ :
+poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ (on a
+alors $\omega = \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$) et calculer $a_j :=
+(\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$ uniquement.
+Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que
+$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de
+Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), mais
+en fait on peut aussi simplement affirmer qu'on fait les calculs dans
+$\QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$ (pour lequel il est évident que $\omega
+\mapsto \omega^g$ constitue un automorphisme en notant $\omega$ la
+classe de $X$), ce qui est le cas en pratique. En fait, on n'est pas
+obligé de monter jusqu'à $(\alpha_j)^{n-1}$ pour chaque $j$ : si $d$
+désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà $(\alpha_j)^{(n-1)/d}$
+s'exprime en fonction de $\zeta$, et même de $\zeta^d$, uniquement.
+
+Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse souvent à
+l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$
+(c'est-à-dire $\cos\frac{2\pi}{n}$ pour le bon choix de $\omega$,
+cf. ci-dessous). Remarquons que $\omega^{-1} = \omega^{g^{(n-1)/2}}$,
+de sorte que $\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{-g^i}$ vaut $(-1)^j
+\alpha_j$ (toujours avec $\alpha_j = \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij}
+\omega^{g^i}$ défini plus haut). La somme $\frac{1}{2}
+\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} (\omega^j + \omega^{-j})$ qui sert, dans
+l'algorithme considéré ici, à calculer $\gamma$, vaut donc $\alpha_j$
+ou $0$ selon que $j$ est pair ou impair ; ou pour dire les choses
+différemment, le calcul de $\gamma$ passe par le calcul des $\alpha_j$
+avec $j$ pair uniquement (c'est-à-dire qu'on peut se contenter des
+racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes de l'unité) : on a $\gamma =
+\sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$.
+
+Une fois calculé $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ (en
+radicaux), on peut éventuellement en déduire une expression (toujours
+en radicaux) de $\omega$ de la façon suivante : si on pose $\delta :=
+\frac{1}{2} \sqrt{-1} (-\omega + \omega^{-1})$ en notant $\sqrt{-1}$
+une racine carrée de $-1$ (disons $\zeta^{(n-1)/4}$ si $n\equiv
+1\pmod{4}$), c'est-à-dire en fait $\delta = \sin\frac{2\pi}{n}$ pour
+le bon choix de $\omega$, alors on vérifie facilement que $\gamma^2 +
+\delta^2 = 1$, ce qui permet de calculer $\delta$ connaissant $\gamma$
+(il n'y a qu'à retrouver son signe), et du coup $\omega = \gamma +
+\sqrt{-1} \delta$. Cette remarque revient en fait à calculer $\omega$
+comme élément de degré $2$ au-dessus de l'extension engendrée
+par $\gamma$ et appliquer la technique générale.
+
+\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$}
+
+\subsubsection{} Nous nous proposons dans cette section de calculer
+les expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/n}$ ou au moins
+$\cos\frac{2\pi}{n}$ pour quelques valeurs de $n$. Pour rendre cette
+idée plus précise, on considère la clôture par radicaux $\QQ\resol$ de
+$\QQ$ dans $\CC$, en utilisant la notation $\root n \of x$ pour la
+« détermination principale » de la racine $n$-ième de $x$,
+c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la plus grande et, en cas
+d'égalité (qui se produit uniquement si $n$ est pair et $x$ réel
+négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on cherche à
+exprimer, avec cette notation, le nombre $\cos\frac{2\pi}{n}$ qui est
+défini comme $\frac{1}{2}(\omega_n + \omega_n^{-1})$, voire le nombre
+$e^{2 i \pi/n} = \omega_n$, où $\omega_n$ est la racine primitive
+$n$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie
+imaginaire positive.
+
+\XXX --- Ce texte est tout pourri. Le réécrire.
+
+\subsubsection{$n=3$} Si $\omega$ désigne une racine cubique
+primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X +
+1$, alors on a $\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité
+$\alpha := (\omega - \omega^{-1})$ vérifie $\alpha^2 = \omega^2 - 2 +
+\omega^{-1} = -3$. Eu égard aux conventions que nous avons faites sur
+la détermination principale des racines, on peut écrire $\alpha =
+\sqrt{-3}$, de sorte que $\omega = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ :
+\[
+e^{2i\pi/3} = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})
+\]
+
+\subsubsection{$n=4$} Si $\omega$ désigne une racine
+primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_4 =
+X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$. Eu égard aux conventions que
+nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut
+écrire $\omega = \sqrt{-1}$ :
+\[
+e^{i\pi/2} = \sqrt{-1}
+\]
+
+\subsubsection{$n=5$} Si $\omega$ désigne une racine
+primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_5 =
+X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités $\alpha_j
+:= \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$, c'est-à-dire :
+$\alpha_0 = \omega + \omega^2 + \omega^4 + \omega^3$ et $\alpha_1 =
+\omega + \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 - \sqrt{-1}\, \omega^3$ et
+$\alpha_2 = \omega - \omega^2 + \omega^4 - \omega^3$ et $\alpha_3 =
+\omega - \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 + \sqrt{-1}\, \omega^3$. Il
+est clair que $\alpha_0 = -1$. D'autre part, $(\alpha_2)^2 = 5$ comme
+on le calcule en développant, et compte tenus des choix de
+déterminations, $\alpha_2 = \sqrt{5}$. Ceci permet déjà d'exprimer
+$\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{5}$,
+puisque $\gamma = \frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_2)$, on a donc $\gamma
+= \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})$ :
+\[
+\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})
+\]
+
+Pour obtenir l'expression de $\omega$ lui-même, on peut bien sûr
+calculer $\sin\frac{2\pi}{5} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{5}} =
+\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$ et en déduire
+\[
+e^{2i\pi/5} = \frac{1}{4}\Big(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}}\Big)
+\]
+Ou bien on peut, de façon plus systématique mais moins commode,
+calculer $(\alpha_1)^4 = -15 + 20\sqrt{-1}$, d'où on déduit $\alpha_1
+= \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}}$, et de même $\alpha_3 =
+\sqrt{-1}\, \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}}$. On a alors $\omega =
+\frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$.
+
+\XXX --- Il faudrait « expliquer » le fait que $\root4\of{-15 +
+ 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 +
+ 2\sqrt{5}}$.
+
+\subsubsection{$n=6$} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines
+cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes de l'unité sont
+$1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans cet ordre car
+avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle
+qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire
+positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine
+sixième principale est $-zeta^2$.)
+
+\subsubsection{$n=7$} Si $\omega$ désigne une racine
+primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités
+$\alpha_j := \sum_{i=0}^6 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est
+une racine cubique primitive de l'unité. On a bien sûr $\alpha_0 =
+-1$.
+
+Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega +
+\omega^{-1})$. Comme on l'a expliqué, pour ce faire, on va calculer
+$\alpha_2$ et $\alpha_4$. On a $(\alpha_2)^3 = -7 - 21\zeta$, et
+d'après l'expression $\zeta = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ calculée plus
+haut avec nos conventions sur les déterminations principales, on peut
+écrire $\alpha_2 = \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$.
+De même (ou en appliquant la conjugaison complexe), on a $\alpha_4 =
+\root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$. Ceci conduit déjà à
+l'expression suivante pour $\gamma$ :
+\[
+\cos\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
+-1 + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
++ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
+\Big)
+\]
+
+On a par ailleurs $(\alpha_3)^2 = -7$, et avec nos déterminations, on
+a $\alpha_3 = \sqrt{-7}$. Restent à déterminer $\alpha_1$ et
+$\alpha_5$. On peut calculer $(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta =
+-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_1 =
+-\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même,
+$\alpha_5 = \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au
+final, on obtient l'expression suivante de $\omega$ :
+\[
+\begin{array}{rl}
+\displaystyle e^{2i\pi/7} &\displaystyle = \frac{1}{6}\Big(
+-1 + \sqrt{-7} + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
++ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}\\\noalign{\vskip.5ex}
+&\displaystyle\hphantom{= \frac{1}{6}\Big(}
++ \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
+- \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
+\Big)\\
+\end{array}
+\]
+
+\XXX --- On doit pouvoir écrire ça un peu autrement (comme pour $n=5$).
+
\ifx\danslelivre\undefined
diff --git a/configuration/bibliographie-livre.bib b/configuration/bibliographie-livre.bib
index 4f7ffe1..185259e 100644
--- a/configuration/bibliographie-livre.bib
+++ b/configuration/bibliographie-livre.bib
@@ -443,6 +443,14 @@ des fonctions {$L$}},
pages = {119--221}
}
+@book{divergent@Hardy,
+ AUTHOR = {Hardy, G. H.},
+ TITLE = {Divergent {S}eries},
+ PUBLISHER = {Oxford, at the Clarendon Press},
+ YEAR = {1949},
+ PAGES = {xvi+396},
+}
+
@INCOLLECTION{Zeta@Heilbronn,
author = {Heilbronn, H.},
title = {Zeta-functions and {$L$}-functions},
@@ -536,7 +544,7 @@ des fonctions {$L$}},
@BOOK{Bertini@Jouanolou,
title = {Théorèmes de {B}ertini et applications},
- publisher = {Birkh\"auser},
+ publisher = {Birkhäuser},
year = {1983},
author = {Jouanolou, Jean-Pierre},
volume = {42},
@@ -554,6 +562,15 @@ des fonctions {$L$}},
note = {En japonais}
}
+@book{introduction@Katznelson,
+ AUTHOR = {Katznelson, Yitzhak},
+ TITLE = {An introduction to harmonic analysis},
+ PUBLISHER = {Dover Publications Inc.},
+ ADDRESS = {New York},
+ YEAR = {1976},
+ PAGES = {xiv+264},
+}
+
@ARTICLE{Lineare@Kneser,
author = {Kneser, Martin},
title = {Lineare {A}bhängigkeit von {W}urzeln},
diff --git a/configuration/commun.tex b/configuration/commun.tex
index 9d8acb7..c9b351a 100644
--- a/configuration/commun.tex
+++ b/configuration/commun.tex
@@ -6,6 +6,7 @@
\usepackage{euscript}
\usepackage{xspace}
\usepackage[all]{xy}
+\usepackage{xr-hyper} %Références eXternes
\usepackage[pagebackref,unicode]{hyperref} % pour voir où sont cités les références
%\renewcommand*{\backref}[1]{{↑#1}} % variante possible plus jolie mais ne marchant pas pour le livre
\renewcommand*{\backref}[1]{{\small [cit\'e page(s)~#1.]}}
@@ -21,4 +22,3 @@
\input{../configuration/ucs_manquants}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
-\usepackage{xr} %Références eXternes
diff --git a/configuration/encoredesmacros.tex b/configuration/encoredesmacros.tex
index ce28540..95a07de 100644
--- a/configuration/encoredesmacros.tex
+++ b/configuration/encoredesmacros.tex
@@ -14,3 +14,13 @@
\newcommand{\version}{\begin{center}\small{version du \VCDate\ à \VCHM\,\textsc{tu}}\, {\tiny (\texttt{\VCRevision})\\ \ifx\VCModified=0 \VCModifiedText \fi}\end{center}}
\newcommand\commentaire[1]{\marginpar{\textcolor{Magenta}{#1}}}
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