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@@ -4933,39 +4933,38 @@ que l'on a :
Comme on l'a vu, le terme $ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$ est une fonction
entière. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que $\dot{ζ}_{≥
1}(1,\chap{χ},-s)$ est holomorphe sur $\Re(s)>0$ et s'étend en une fonction
-méromorphe. Il résulte le fait remarquable que
+méromorphe. Il en résulte le fait remarquable que
$ζ_{≤1}(f,χ,s)$ \emph{a priori} holomorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$,
s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$.
\subsubsection{Calcul de $\dot{ζ}_{? 1}(1,χ,s)$, $? ∈ \{≤, ≥ \}$}
\label{calcul zeta1khis}
-Compte tenu de la formule
+Le changement de variable $ι′=ι^{-1}$ entraîne la formule
\[
\dot{ζ}_{ ≥ 1}(1,χ,s)=\dot{ζ}_{≤1}(1,χ^{-1},-s)=\dot{ζ}_{≤1}(1,\chap{χ},1-s),
\]
-qui résulte d'un changement de variable $ι′=ι^{-1}$, il suffit de calculer
-$\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)$.
+qui nous ramène à calculer $\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)$.
-Lorsque $χ$ est le quasi-caractère trivial (noté ici $1$),
-on a convergence pour $\Re(s)>0$ et égalité :
+Lorsque $χ$ est le quasi-caractère trivial (noté ici également $1$),
+on a convergence pour ${\Re(s)>0}$ et égalité :
\[
\begin{array}{rcll}
-\dot{ζ}_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{μ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
-& = & \frac{μ}{2} \frac{1+q^{-ds}}{1-q^{-ds}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions,}
+\dot{ζ}_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{κ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
+& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-ds}}{1-q^{-ds}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions,}
\end{array}
\]
-où $μ=\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique},
+où $κ=\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique},
et, dans le second cas, $d$ est l'unique entier naturel tel que $|K^×_𝐀|=q^{d 𝐙}$
c'est-à-dire le plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$ (cf. \ref{quasi-caractères globaux}).
En effet, par définition de la transformation de Mellin et des mesures, il résulte du
théorème de Fubini que le terme de gauche
est égal à l'intégrale
\[
-μ ∫₀¹ t^s \frac{dt}{t}
+κ ∫₀¹ t^s \frac{dt}{t}
\]
ou la somme
\[
-μ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big).
+κ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big).
\]
Lorsque, plus généralement, $χ$ est supposé trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$,
il est de la forme $ω_τ$ si bien que le calcul se déduit du précédent par
@@ -4976,32 +4975,39 @@ C'est une incarnation de l'orthogonalité des caractères que l'on démontre
en effectuant le changement de variable $ι′= xι$, pour un $x$ dans $K^{×,=1}_𝐀$
tel que $χ(x) ≠ 1$.
+Il résulte de l'égalité $\dot{ζ}_{ ≤ 1}(1,1,s)=-\dot{ζ}_{ ≤ 1}(1,1,-s)$ et
+des résultats précédent que pour chaque $χ$, on a
+\[
+\dot{ζ}_{≤1}(1,χ,s)+\dot{ζ}_{≥1}(1,χ,s)=0.
+\]
+\commentaire{Détailler ?}
-\subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction méromorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$
+\subsubsection{}Ainsi, la fonction $ζ(f,χ,s)$
est égale à
\[
-\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)+
-\big(ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s)-f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)\big)
-\]
-où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_τ$,
-auquel cas ses pôles sont explicites.
-On vérifie immédiatement qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$.
-%En effet, $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$ et $ℱ_ψ(f)$ est transformé
-%en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$. Or,
-%$ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$
-%et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative.
-Il résulte de la formule d'inversion de Fourier, et du caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$,
-que l'on a démontré le théorème suivant, analogue global du théorème
-local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.
-
- \[⁂\]
+\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)-
+\big(f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) + ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,\chap{χ},-s)\big)
+\]
+où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_τ$.
+Notons qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$.
+Pour le second terme, on utilise le fait que $ℱ_ψ(f)$ est transformé
+en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$
+et l'égalité $ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ (ainsi que pour les variantes
+tronquées) car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$
+et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative.
+Notons également qu'il résulte de cette dernière formule
+que l'on a $ζ(ℱ_ψ ℱ_ψ(f),χ,s)=ζ(f,χ,s)$ grâce à la formule d'inversion
+$ℱ_ψ ℱ_ψ =[×-1]^*$.
+Enfin, le caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$
+nous permet de déduire de ce qui précède le théorème suivant,
+qui est un analogue global du théorème local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.
\begin{théorème2}
\label{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial des classes d'adèles $K_𝐀/K$
et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
-Soit $f$ une fonction dans $𝒮(K)$.
+Soit $f:K_𝐀 → 𝐂$ une fonction dans $𝒮(K_𝐀)$.
\begin{enumerate}
\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est absolument convergente et définit une fonction
holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
@@ -5014,24 +5020,17 @@ comme un produit « eulérien » absolument convergent
\[
ζ(f,χ,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
-\item Leurs résidus respectifs sont
-\[
-\begin{array}{rcll}
-\mathrm{R\acute{e}s}_{- σ} ζ(f,ω_σ,s) & = & κf(0) & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
- & = & κf(0)/\log(q) & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
-\end{array}
-\]
-et
-\[
-\begin{array}{rcll}
-\mathrm{R\acute{e}s}_{1-σ} ζ(f,ω_σ,s) & = & κℱ_ψ(f)(0) & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
- & = & κℱ_ψ(f)(0)/\log(q) & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
-\end{array}
-\]
-et ces pôles, simples, sont les seuls.
-[$ω_{1-σ}$ \XXX]
-En particulier, si ni $χ$ ni $\chap{χ}$ n'appartiennent
-à $\{ω_{σ}: σ ∈ i 𝐑\}$, la fonction zêta $ζ(f,χ,s)$ est \emph{entière}.
+\item Si $χ$ n'est pas de la forme $ω_σ$, pour $σ ∈ 𝐂$, c'est une fonction entière.
+
+\item Les pôles de $ζ(f,1,s)$ sont simples et
+égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/d\log(q)𝐙$},
+où $d$ est le plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$)
+selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
+\commentaire{$d=1$}
+Les résidus sont respectivement $κ′ f(0)$ ($s$ congru à $0$) et $κ′ ℱ(f)(0)$
+($s$ congru à $1$), où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ / d \log(q)$)
+selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
+La constante $κ$ est le volume calculé en \ref{calcul volume idélique}.
\end{enumerate}
\end{théorème2}