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diff --git a/chapitres/tmp.txt b/chapitres/tmp.txt new file mode 100644 index 0000000..1b5fa6f --- /dev/null +++ b/chapitres/tmp.txt @@ -0,0 +1,57 @@ +% vim: textwidth=150 + +\subsection{Points d'une $k$-algèbre}\label{points-algebre} + +Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire +un morphisme d'anneaux $k→A$. +Pour toute $k$-algèbre $B$, on note $A^\japmath{田}(B)$ +ou $\japmath{田}(B)$ l'ensemble $\Hom_k(A,B)$. +Cette notation est un cas particulier d'une notation +générale, cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}. + +Le lemme suivant décrit cet ensemble comme +un ensemble de points d'un espace affine. + +\begin{lemme2}\label{points-quotient} +Si $A=k[X₁,\dots,X_n]/(f₁,\dots,f_e)$, et $B$ est une $k$-algèbre, l'application +$$ +A^\japmath{田}(B)=\Hom_k(A,B)→\{(b₁,\dots,b_n)∈B^n:f₁(b₁,\dots,b_n)=\cdots=f_e(b₁,\dots,b_n)=0\} +$$ +$$ +\big(φ:A→B\big)↦\big(φ(x₁),\dots,φ(x_n)\big), +$$ +où les $x_i$ sont les images dans $A$ des variables $X_i$, +est une bijection. +\end{lemme2} + +En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur-representable}), +l'anneau $A$ représente le foncteur covariant « solutions dans $B$ » +des équations $f₁,\dots,f_e$. Il résulte de la démonstration +(ci-dessous) que ce lemme est également, avec les modifications +évidentes, pour les quotients d'un anneau de polynômes +ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini d'indéterminées +par un idéal ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini +de générateurs. + +Dans cet énoncé, on a implicitement fait usage de la convention +d'écriture suivante. + +\begin{convention2}\label{changement-de-base-polynome} +Soient $k$ un anneau, $C$ une $k$-algèbre et $P∈k[X]$. +Si aucune confusion ne semble pouvoir en résulter, +on notera encore $P$ l'image dans $C[X]$ du polynôme $P$ par le morphisme +canonique $k[X]→C[X]$. +\end{convention2} + +\begin{démo} +Observons que d'une part l'application $\Hom_k(k[X₁,\dots,X_n],B)→B^n$, +$ψ↦\big(ψ(X_i)=:b_i\big)_{1≤i≤n}$ est une bijection et que d'autre part, par définition du quotient, un tel morphisme $ψ$ +se factorise à travers le quotient $k[X₁,\dots,X_n]↠A$ en un morphisme $φ:A→B$ +\ssi $ψ(f_j)=0$ pour chaque $1≤j≤e$. La conclusion résulte du fait que +$ψ(f_j)=f_j(b₁,\dots,b_n)$. +\end{démo} + + ⁂ + + + |