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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 8b855aa..a3243f8 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -605,7 +605,7 @@ imaginaire positive. \XXX --- Ce texte est tout pourri. Le réécrire. -\subsubsection{$n=3$} Si $\omega$ désigne une racine cubique +\subsubsection{$n=3$}\label{racine-3e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine cubique primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X + 1$, alors on a $\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité $\alpha := (\omega - \omega^{-1})$ vérifie $\alpha^2 = \omega^2 - 2 + @@ -616,7 +616,7 @@ la détermination principale des racines, on peut écrire $\alpha = e^{2i\pi/3} = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}) \] -\subsubsection{$n=4$} Si $\omega$ désigne une racine +\subsubsection{$n=4$}\label{racine-4e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_4 = X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$. Eu égard aux conventions que nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut @@ -625,7 +625,7 @@ nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut e^{i\pi/2} = \sqrt{-1} \] -\subsubsection{$n=5$} Si $\omega$ désigne une racine +\subsubsection{$n=5$}\label{racine-5e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_5 = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$, c'est-à-dire : @@ -661,7 +661,7 @@ on trouve $\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \big( \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$. -\subsubsection{$n=6$} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines +\subsubsection{$n=6$}\label{racine-6e-de-1} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes de l'unité sont $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans cet ordre car avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle @@ -669,7 +669,7 @@ qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine sixième principale est $-\zeta^2$.) -\subsubsection{$n=7$} Si $\omega$ désigne une racine +\subsubsection{$n=7$}\label{racine-7e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^5 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est une racine cubique primitive de l'unité (et donc $-\zeta^2$ une racine @@ -726,7 +726,7 @@ Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{7}}$, mais l'expression ainsi obtenue ne semble pas plus agréable que celle reproduite ci-dessus. -\subsubsection{$n=11$} Maintenant $\omega$ désigne une racine +\subsubsection{$n=11$}\label{racine-11e-de-1} Maintenant $\omega$ désigne une racine primitive $11$-ième de l'unité. On considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^9 (-\zeta^3)^{ij} \omega^{2^i}$ où $\zeta$ est une racine primitive $5$-ième de l'unité (et donc $-\zeta^3$ une racine @@ -805,7 +805,7 @@ vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement : \end{array} \] -\subsubsection{$n=13$} \XXX +\subsubsection{$n=13$}\label{racine-13e-de-1} \XXX \[ \begin{array}{rl} @@ -822,7 +822,7 @@ vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement : \end{array} \] -\subsubsection{$n=17$} \XXX +\subsubsection{$n=17$}\label{racine-17e-de-1} \XXX \[ \begin{array}{rl} @@ -832,7 +832,7 @@ vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement : \end{array} \] -\subsubsection{$n=19$} \XXX +\subsubsection{$n=19$}\label{racine-19e-de-1} \XXX \begin{center} \begin{tikzpicture} |