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@@ -1117,10 +1117,11 @@ base de Gröbner réduite $B$ de $I$ n'engendre $I$ ?
\begin{proposition2}\label{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $B$ une base de Gröbner
-(resp. la base de Gröbner réduite) de $I$. Alors, pour n'importe
-quelle extension de corps $K$ de $k$, l'idéal $I \cdot
-K[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ admet
-encore $B$ pour base de Gröbner (resp. base de Gröbner réduite).
+(resp. la base de Gröbner réduite) de $I$ pour un certain ordre
+monomial $\preceq$. Alors, pour n'importe quelle extension de corps
+$K$ de $k$, l'idéal $I \cdot K[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ dans
+$K[Z_1,\ldots,Z_d]$ admet encore $B$ pour base de Gröbner (resp. base
+de Gröbner réduite), pour le même ordre monomial $\preceq$.
\end{proposition2}
\begin{remarque2}
Il est clair que $B$ engendre $I \cdot K[Z_1,\ldots,Z_d]$ dans
@@ -1812,25 +1813,28 @@ c_d X_d$, telle que l'idéal complété par cette relation soit en
position nette par rapport à $Y$.
\begin{proposition2}\label{nettete-projection-generique-dimension-0}
-Soit $I$ un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où
-$k$ est un corps parfait. Soient $C_1,\ldots,C_d$ et $Y$ de nouvelles
-indéterminées, notons $K = k(C_1,\ldots,C_d)$, et soit $\tilde I$
-l'idéal de $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et par $Y - (C_1
-X_1 + \cdots + C_d X_d)$. Alors $\tilde I$ est en position nette par
-rapport à $Y$.
+Soit $I$ un idéal géométriquement radical de dimension $0$ de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où $k$ est un corps quelconque. Soient
+$C_1,\ldots,C_d$ et $Y$ de nouvelles indéterminées, notons $K =
+k(C_1,\ldots,C_d)$, et soit $\tilde I$ l'idéal de $K[Y,
+ Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et par $Y - (C_1 X_1 + \cdots +
+C_d X_d)$. Alors $\tilde I$ est en position nette par rapport à $Y$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Commençons par appeler $\dot I$ l'idéal de $K[Z_1,\ldots,Z_d]$
engendré par $I$. Comme toute base de Gröbner de $I$ constitue une
-base de Gröbner de $\dot I$ (pour le même ordre monomial), les
-conditions assurant que $I$ est radical de dimension $0$
-(\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} et
-\ref{critere-seidenberg-ideal-radical}) assurent aussi que $\dot I$
-est radical de dimension $0$. Par ailleurs, le quotient $K[Y,
- Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est isomorphe à $K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot
-I$, l'isomorphisme consistant à envoyer $Y$ sur $C_1 X_1 + \cdots +
-C_d X_d$ (modulo $\dot I$) ; ceci assure notamment que $\tilde I$ est
-lui ausssi radical de dimension $0$.
+base de Gröbner de $\dot I$
+(cf. \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}), les conditions
+assurant que $I$ est géométriquement radical de dimension $0$
+(\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} ainsi que
+\ref{critere-seidenberg-ideal-radical} et
+\ref{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque}) assurent aussi
+que $\dot I$ est géométriquement radical de dimension $0$. Par
+ailleurs, le quotient $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est isomorphe à
+$K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot I$, l'isomorphisme consistant à envoyer $Y$
+sur $C_1 X_1 + \cdots + C_d X_d$ (modulo $\dot I$) ; ceci assure
+notamment que $\tilde I$ est lui ausssi géométriquement radical de
+dimension $0$.
Remarquons le fait suivant : si $h \in \dot I$ alors $\frac{\partial
h}{\partial C_i} \in \dot I$ pour tout $1\leq i\leq d$. En effet,
@@ -1843,7 +1847,7 @@ K[Z_1,\ldots,Z_d]$, et en dérivant cette égalité par rapport à $C_i$
Soit maintenant $f \in K[Y]$ le polynôme unitaire engendrant l'idéal
$\tilde I \cap K[Y]$, autrement dit, le polynôme minimal de (l'image
-modulo $\tilde I$ de) $Y$ dans $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$.
+de) $Y$ dans $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$.
D'après \ref{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque}, ce polynôme
est séparable : on peut donc écrire une relation $f'U + fV = 1 \in
K[Y]$. Soit $g \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ défini en substituant $C_1 Z_1
@@ -1852,7 +1856,7 @@ appartient encore à $\tilde I$, et même $\dot I$, puisqu'il s'agit de
dire que son image s'annule dans $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I \cong
K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot I$, image qui est la même que celle de $f$.
D'après le fait remarqué plus haut, on a $\frac{\partial g}{\partial
- C_i} = 0$ pour tout $1\leq i\leq d$. Ceci signifie que
+ C_i} \in \dot I$ pour tout $1\leq i\leq d$. Ceci signifie que
$\frac{\partial f}{\partial C_i} + Z_i f'$, une fois substitué $C_1
Z_1 + \cdots + C_d Z_d$ à $Y$, appartient à $\dot I$ (rappelons que
$f'$ désigne la dérivée de $f$ par rapport à $Y$). Par conséquent,
@@ -1868,12 +1872,12 @@ $\tilde I$ est en position nette par rapport à $Y$.
\end{proof}
\begin{proposition2}\label{existence-combinaison-lineaire-nette-des-variables}
-Soit $I$ un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où
-$k$ est un corps parfait infini. Alors il existe $c_1,\ldots,c_d \in
-k$ tel que l'idéal de $k[Y,Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et $Y -
-(c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d)$ soit en position nette par rapport
-à $Y$, et plus généralement dans n'importe quelle partie infinie
-de $k$ on peut trouver de tels $c_i$.
+Soit $I$ un idéal géométriquement radical de dimension $0$ de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où $k$ est un corps infini. Alors il existe
+$c_1,\ldots,c_d \in k$ tel que l'idéal de $k[Y,Z_1,\ldots,Z_d]$
+engendré par $I$ et $Y - (c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d)$ soit en
+position nette par rapport à $Y$, et plus généralement dans n'importe
+quelle partie infinie de $k$ on peut trouver de tels $c_i$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
La proposition précédente montre que pour chaque $i$ il existe $F \in