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+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -1,31 +1,9 @@
-%%% vim: set textwidth=150: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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+\title{Correspondance de Galois}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
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@@ -36,10 +14,6 @@
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-
-\title{Correspondance de Galois}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -59,7 +33,7 @@
Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique
de $k$. Rappelons que si $K$ est un anneau et $A,B$ deux $K$-algèbres,
-on note également $\japmath{田}A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des
+on note également $田A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des
homomorphismes de $K$-algèbres.
\subsection{Conjugués d'un élément}
@@ -87,17 +61,17 @@ de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$.
\end{démo}
Une telle extension est non unique en général. Nous verrons
-plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$.
+plus tard qu'elle est unique si et seulement si $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$.
\begin{corollaire2}\label{caracterisation-conjugaison}
Soient $x,y∈Ω$ et $K$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$.
-Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ \ssi
+Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ si et seulement si
il existe un $k$-plongement $ι:K→Ω$ tel que $ι(x)=y$.
\end{corollaire2}
\begin{proposition2}
Deux éléments de $Ω$ sont conjugués sur $k$
-\ssi ils ont même polynôme minimal sur $k$.
+si et seulement si ils ont même polynôme minimal sur $k$.
\end{proposition2}
@@ -124,12 +98,12 @@ où $z=y$ (resp. $z=x$).
L'ensemble des conjugués sur $k$ d'un élément $x$ de $Ω$ coïncide
avec l'ensemble des racines dans $Ω$ de son polynôme minimal $μ_{k,x}$.
Cet ensemble est fini, de cardinal inférieur ou égal
-à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu \ssi
+à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu si et seulement si
$x$ est séparable sur $k$.
\end{corollaire2}
Le nombre de racines distinctes dans $Ω$ d'un polynôme non nul étant égal au degré
-de ce polynôme \ssi ses racines sont simples, la remarque
+de ce polynôme si et seulement si ses racines sont simples, la remarque
sur le cas d'égalité est évidente.
On peut être plus précis.
@@ -157,7 +131,7 @@ extension de corps ?]
\begin{proposition2}\label{Hom=Aut}
Soit $K\bo k$ une extension algébrique.
-L'inclusion $\Aut_k(K)→\japmath{田}K(K)$ est une bijection.
+L'inclusion $\Aut_k(K)→田K(K)$ est une bijection.
En d'autres termes, tout $k$-plongement $ι:K→K$ est
surjectif.
\end{proposition2}
@@ -213,12 +187,12 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ;
\item pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$ ;
-\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=\japmath{田}K(K)↪\japmath{田}K(Ω)$ est une bijection ;
+\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=田K(K)↪田K(Ω)$ est une bijection ;
\item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est scindé sur $K$ ;
\item tout polynôme irréductible de $k[X]$ ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$ ;
\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à $K$ ;
\item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle $κ(𝔭)\bo K$ est triviale ;
-\item l'application $\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ;
+\item l'application $田(K⊗_k K)(K)↪田(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ;
\item l'application $\Aut_k(K) → \Spec(K ⊗_k K)$, $g ↦ 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big)$
est une bijection.
\end{enumerate}
@@ -240,7 +214,7 @@ et \ref{caracterisation-conjugaison}.
% On utilise le fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes.
(vii)⇔(viii). Notons $A$ la $K$-algèbre $K ⊗_k K$ ; elle est entière
sur $K$ (\refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}).
-L'application noyau $\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$
+L'application noyau $田A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$
est donc surjective. En effet, sa fibre au-dessus d'un élément $𝔭$ de
$\Spec(A)$ est, par propriété universelle du quotient, en bijection
avec l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. Or, l'anneau $A/𝔭$ est intègre
@@ -248,10 +222,10 @@ et entier sur $K$ ; c'est donc un corps (\refext{Alg}{polynome-minimal}).
D'après \refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique},
l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$ est donc non vide.
Les idéaux premiers de $A$ sont donc tous $K$-rationnels
-si et seulement si l'inclusion $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$
+si et seulement si l'inclusion $田A(K)↪田A(Ω)$
est une bijection. (viii)⇔(iii) Soit $B$ une $K$-algèbre et
${_{[k]}B}$ la $k$-algèbre déduite de $B$ par restriction des scalaires.
-L'application $\japmath{田}K({_{[k]}B})→\japmath{田}A(B)$,
+L'application $田K({_{[k]}B})→田A(B)$,
$ι\mapsto \big(φ_ι:λ⊗μ \mapsto ι(λ)\cdot μ\big)$ est une bijection,
d'inverse est $φ\mapsto \big(ι_φ:λ\mapsto φ(λ⊗1_B)\big)$.
(Ce résultat est un cas particulier de l'adjonction
@@ -261,8 +235,8 @@ si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{
-|(KB)| \japmath{田}K({_{[k]}B}) & |(KBp)| \japmath{田}K({_{[k]}B′})\\
-|(AB)| \japmath{田}A(B)& |(ABp)| \japmath{田}A(B ′)\\};
+|(KB)| 田K({_{[k]}B}) & |(KBp)| 田K({_{[k]}B′})\\
+|(AB)| 田A(B)& |(ABp)| 田A(B ′)\\};
\draw[->] (KB) -- (KBp);
\draw[->] (AB) -- (ABp);
\draw[->] (KB) -- (AB);
@@ -270,9 +244,9 @@ si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme
\end{tikzpicture}
\end{center}
est commutatif. La conclusion résulte aussitôt en posant $B=K$ et $B ′=Ω$.
-(viii)⇔(ix). L'application $G=\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(K)$
+(viii)⇔(ix). L'application $G=田K(K) → 田A(K)$
n'est autre que $g ↦ (λ⊗μ↦g(λ)μ)$. L'application composée
-$\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(Ω) ⥲ \Spec(A)$
+$田K(K) → 田A(Ω) ⥲ \Spec(A)$
est celle de l'énoncé. [À vérifier] \XXX
Notons que l'injectivité de $G → \Spec(K ⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$,
l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais pas à $𝔭_{g'}$.
@@ -394,7 +368,7 @@ Une extension algébrique $K\bo k$ est dite \emph{galoisienne}
si elle est normale et séparable. \end{définition2}
\begin{lemme2}\label{gal=corps-dec-sep}
-Une extension est galoisienne \ssi elle est isomorphe au
+Une extension est galoisienne si et seulement si elle est isomorphe au
corps de décomposition d'une famille de polynômes séparables.
\end{lemme2}
@@ -415,7 +389,7 @@ est séparable (\ref{dec-poly-sep=sep}).
Soient $K\bo k$ une extension \emph{finie}
et $G=\Aut_k(K)$.
L'extension $K\bo k$ est galoisienne
-\ssi le morphisme
+si et seulement si le morphisme
$$
K⊗_k K→∏_{g∈G} K=\Hom_{\Ens}(G,K)
$$
@@ -654,12 +628,12 @@ suivante (« théorème de Dedekind ») de \ref{indépendance linéaire des
automorphismes} :
\begin{quote}
Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre.
-L'ensemble $\japmath{田}A(k')$ est une partie $k'$-libre de
+L'ensemble $田A(k')$ est une partie $k'$-libre de
$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$.
\end{quote}
(On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois
-et l'isomorphisme $\japmath{田}A(k')⥲\japmath{田}A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie
-$U$ de $\japmath{田}A(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$
+et l'isomorphisme $田A(k')⥲田A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie
+$U$ de $田A(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$
est surjective.)
\end{exercice2}
@@ -699,26 +673,26 @@ est un isomorphisme.
\begin{remarques2}\label{rmqs pseudo-torseurs}
\begin{enumerate}
-\item Soit $B$ une $A$-algèbre. Notons $\japmath{田}B ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$
-le foncteur de Yoneda : $\japmath{田}B(T)=\Hom_{A\traitdunion\Alg}(B,T)$
+\item Soit $B$ une $A$-algèbre. Notons $田B ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$
+le foncteur de Yoneda : $田B(T)=\Hom_{A\traitdunion\Alg}(B,T)$
pour toute $A$-algèbre test $T$. Si $B$ est muni d'une action
de $G$ par $A$-automorphismes, $G$ s'envoie naturellement dans
-$\End(\japmath{田}B)$ : si $f ∈ \japmath{田}B(T)$, $g ⋅f:b ↦ f(g^{-1}b)$.
-Notons $\japmath{田}B × G ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$
-(resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$)
+$\End(田B)$ : si $f ∈ 田B(T)$, $g ⋅f:b ↦ f(g^{-1}b)$.
+Notons $田B × G ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$
+(resp. $田B ×_{田A} 田B$)
le foncteur envoyant une $A$-algèbre $T$ sur
le produit cartésien (resp. fibré) d'ensembles
-$\japmath{田}B(T) × G$ (resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A}
-\japmath{田}B$). Ce sont des cas particuliers
+$田B(T) × G$ (resp. $田B ×_{田A}
+田B$). Ce sont des cas particuliers
des notions de coproduit, indicé par $G$, et de produit fibré
respectivement dans la catégorie $\Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$.
-L'action de $G$ sur $\japmath{田}B$ induit
-un morphisme de foncteurs $\japmath{田}B × G → \japmath{田}B(T)
-×_{\japmath{田}A(T)} \japmath{田}B(T)$, correspondant
+L'action de $G$ sur $田B$ induit
+un morphisme de foncteurs $田B × G → 田B(T)
+×_{田A(T)} 田B(T)$, correspondant
sur les points à l'application $(y,g) ↦ (g ⋅ y, y)$.
Il résulte du lemme de Yoneda \refext{Cat}{lemme-de-yoneda}
et du fait que, par définition du produit scalaire
-$\japmath{田}(B ⊗_A B)=\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$,
+$田(B ⊗_A B)=田B ×_{田A} 田B$,
que ce morphisme est un isomorphisme si et seulement
si $B$ est un pseudo-$G$-torseur sur $A$.
Cette approche permet de définir la notion
@@ -1078,7 +1052,7 @@ cardinal au plus $\deg(f)$ des racines de $f$ dans $\dec(f)$.
L'extension $\dec(f)\bo K$ est finie et normale (\ref{normal=corps-dec}).
Écrivons $f=∏_i f_i^{r_i}$ où les polynômes $f_i$ sont unitaires irréductibles, premiers
-entre eux deux-à-deux et posons $f_\red=∏_i f_i$. Le lemme suivant est un corollaire immédiat
+entre eux deux-à-deux et posons $f_{\red}=∏_i f_i$. Le lemme suivant est un corollaire immédiat
des définitions ainsi que de \ref{dec(f)-sep=>f-red-separable} et \ref{dec-poly-sep=sep}.
\begin{lemme2}
@@ -1086,18 +1060,18 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item l'extension $\dec(f)\bo K$ est séparable ;
\item chaque $f_i$ est séparable ;
-\item le polynôme $f_\red$ est séparable.
+\item le polynôme $f_{\red}$ est séparable.
\end{enumerate}
-De plus, le polynôme $f$ est séparable \ssi chaque $f_i$ est séparable et de multiplicité
-$r_i$ égale à un (\cad $f=f_\red$).
+De plus, le polynôme $f$ est séparable si et seulement si chaque $f_i$ est séparable et de multiplicité
+$r_i$ égale à un (c'est-à-dire $f=f_{\red}$).
\end{lemme2}
\begin{définition2}
-Si $f_\red$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de
+Si $f_{\red}$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de
l'extension $\dec(f)\bo K$, noté $G_f$ ou $\Gal(f)$.
\end{définition2}
-Il résulte de la définition que $G_f=G_{f_\red}$.
+Il résulte de la définition que $G_f=G_{f_{\red}}$.
Le cas crucial est bien entendu celui où $f$ est un polynôme irréductible
séparable. Il nous a cependant paru utile de ne pas se limiter à ce cas
@@ -1118,7 +1092,7 @@ la convention \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel}, nous nous autorisons
groupe de Galois d'une équation, même si ce dernier n'est pas abélien.
Une façon de procéder pour résoudre cette difficulté est de fixer une clôture algébrique
de $K$, ou plus généralement toute extension $Ω$ de $K$ sur laquelle $f$ est scindé,
-et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, \cad
+et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, c'est-à-dire
le groupe de Galois de l'unique corps de décomposition de $f$ dans $Ω$.
\subsubsection{}Le fait trivial suivant est d'importance capitale : l'ensemble
@@ -1151,19 +1125,19 @@ sur $\dec(f)$ tout entier et, finalement, $g=\Id$.
\begin{lemme2}\label{action transitive de Galois si poly irréductible}
Le groupe de Galois $G_f$ agit \emph{transitivement}
-sur les racines $R_f$ \ssi le polynôme séparable
-$f_\red$ est \emph{irréductible}.
+sur les racines $R_f$ si et seulement si le polynôme séparable
+$f_{\red}$ est \emph{irréductible}.
Sous cette hypothèse, $\deg(f)$ divise $\# G_f$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
-On peut supposer $f=f_\red$.
+On peut supposer $f=f_{\red}$.
Si $f$ est irréductible, c'est le polynôme minimal
de chacune de ses racines. La conclusion résulte
alors de \ref{conjugues=racines}.
Réciproquement, il résulte de \emph{loc. cit.}
-que deux racines sont conjuguées \ssi elles ont même polynôme
+que deux racines sont conjuguées si et seulement si elles ont même polynôme
minimal. Ainsi, si $G_f$ agit transitivement sur $R_f$,
et $r∈R_f$, $f$ a pour unique diviseur irréductible $μ_{r,k}$.
Comme $f$ est supposé séparable, on a $f=μ_{r,k}$
@@ -1177,7 +1151,7 @@ sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$.
[À déplacer/modifier : simple copier-coller d'exos à l'X] \XXX
-\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-\jap{永田})
+\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田})
Soit $A$ un anneau commutatif.
Un polynôme $P ∈ A[X]$ non nul est diviseur de
zéro si et seulement si il existe $a ≠ 0$ dans $A$ tel que
@@ -1202,7 +1176,7 @@ Enfin, soient $A=∑_0^n \overline{A_i} X^i$ et $B=∑_0^m
\overline{B_j} X^j$ les polynômes dans $R[X]$.
Par construction, $AB=0$. D'autre part,
les coefficients de $A$ (resp. $B$) engendrent l'idéal unité de $R$.
-Il résulte du lemme de McCoy-\jap{永田}, que l'anneau $R$ est nul.
+Il résulte du lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田}, que l'anneau $R$ est nul.
\begin{définition2}
On dit un polynôme à coefficients dans un anneau $A$ est
@@ -1440,10 +1414,10 @@ $\dec(h)$.
\subsubsection{}\label{exemple-galois-equation-generique}
Soient $d$ un entier et $k$ un corps. Considérons le corps des fractions
rationnelles en $d$ indéterminées $L=k(X₁,\dots,X_d)$. Le groupe
-symétrique $\got{S}_d$ agit $k$-linéairement sur $L$
+symétrique $\mathfrak{S}_d$ agit $k$-linéairement sur $L$
par permutation des variables : $g(X_i)=X_{g(i)}$ pour tout $1≤i≤d$.
-Soit $K:=\Fix_{\got{S}_d}L$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension
-$L\bo K$ est galoisienne, de groupe $\got{S}_d$. En particulier,
+Soit $K:=\Fix_{\mathfrak{S}_d}L$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension
+$L\bo K$ est galoisienne, de groupe $\mathfrak{S}_d$. En particulier,
elle est de degré $d!$.
D'autre part, notons $σ_j$ ($1≤i≤d$) les fonctions
symétriques élémentaires en les $X_i$ :
@@ -1455,9 +1429,9 @@ $$
Il en résulte que $L=k(X₁,\dots,X_d)$ est un corps de décomposition du
polynôme de droite, de degré $d$, sur le sous-corps $K'=k(σ₁,\dots,σ_d)$ de
$L$. D'après \ref{dec-deg-inf-fact-n}, on a donc $[L:K']≤d!$.
-Puisque $K'⊆K$ on a $K=K'$, \cad
+Puisque $K'⊆K$ on a $K=K'$, c'est-à-dire
$$
-\Fix_{\got{S}_d} k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d).
+\Fix_{\mathfrak{S}_d} k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d).
$$
Remarquons que ce résultat, présenté ici comme un corollaire
du lemme d'Artin, se démontre directement sans difficulté.
@@ -1465,7 +1439,7 @@ du lemme d'Artin, se démontre directement sans difficulté.
Le résultat précédent se paraphrase ainsi :
\begin{quote}
« Pour tout corps $k$, l'équation \emph{générique} de degré
-$d$ sur $k$ est séparable de groupe $\got{S}_d$. »
+$d$ sur $k$ est séparable de groupe $\mathfrak{S}_d$. »
\end{quote}
\subsubsection{Discriminant et $2$-distinguant} Supposons $d≥2$. Soit $𝔄_d$ le groupe alterné,
@@ -1476,7 +1450,7 @@ tel que $\Fix_{𝔄_d} k(X₁,\dots,X_d)$ soit le corps de décomposition
du polynôme (séparable) $X²-Δ$ (resp. $X²-X-Δ$) si $\car(k)≠2$ (resp.
$\car(k)=2$).
-\begin{lemme3}\label{construction discriminant et 2-distinguant}
+\begin{lemme2}\label{construction discriminant et 2-distinguant}
\begin{enumerate}
\item Soit $δ_{2'}∈𝐙[X₁,\cdots,X_d]$ l'élément $∏_{1≤i<j≤d}(X_i-X_j)$.
Pour tout $σ∈𝔖_d$, $σ(δ_{2'})=ε_{2'}(σ)\cdot δ_{2'}$, où $ε_{2'}:𝔖_d↠\{±1\}⊆𝐙$
@@ -1492,7 +1466,7 @@ En particulier,
Δ₂=\sur{δ₂}(\sur{δ₂}-1)=∑_{1≤i<j≤d}\frac{X_iX_j}{X_i²+X_j²}
\] appartient à $𝐅₂(σ₁,\cdots,σ_d)$.
\end{enumerate}
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
Il en résulte que si l'on note $δ$ (resp. $Δ$) l'image dans $k(X₁,\dots,X_d)$ de, suivant la
caractéristique, $δ_{2'}$ ou $δ₂$ (resp. $Δ_{2'}$ ou $Δ₂$), $\Fix_{𝔄_d}
@@ -1511,7 +1485,7 @@ Il résulte de l'identité : $$\frac{x}{x+y}=\frac{y}{x+y}+1$$ dans $∈𝐅₂
que $(αβ)S=S+2(j-i)+1=S+1$. CQFD.
\end{démo}
-\begin{définition3}\label{definition discriminant et 2-distinguant}
+\begin{définition2}\label{definition discriminant et 2-distinguant}
On appelle \emph{discriminant}\index{discriminant} du polynôme général de degré $d$
le polynôme $Δ_{2'}∈𝐙[σ₁,\dots,σ_d]$.
Si $f=X^d+∑_{i=1}^{d}a_i X^{d-i}$ est un polynôme unitaire à coefficients
@@ -1519,21 +1493,21 @@ dans un corps $k$ de caractéristique différente de deux,
on appelle \emph{discriminant de $f$} l'élément
$Δ(f):=Δ_{2'}(a₁,\dots,a_d)∈k$. En caractéristique deux, on appellera
\emph{$2$-distinguant}\index{2-distinguant} de $f$,
-l'élément $\japmath{別}_2(f):=Δ_{2}(a₁,\dots,a_d)∈k$.
-\end{définition3}
+l'élément $別_2(f):=Δ_{2}(a₁,\dots,a_d)∈k$.
+\end{définition2}
-(On peut prononcer « bétsou » le caractère \jap{別}.)
+(On peut prononcer « bétsou » le caractère {\IPAMincho 別}.)
Référence. Bourbaki, V, exercice §10, №23 et \cite{Involutions@KMRT}, chap. V, §18.
-\begin{exemples3}[Discriminants et $2$-distinguants]\label{exemples discriminants et 2-distinguants}
+\begin{exemples2}[Discriminants et $2$-distinguants]\label{exemples discriminants et 2-distinguants}
\begin{enumerate}
\item Soit $f=X²-c₁X+c₂$.
\[Δ(f)=c₁²-4c₂.\]
-\[\japmath{別}_2(f)=\frac{c₂}{c₁²}.\]
+\[別_2(f)=\frac{c₂}{c₁²}.\]
\item Soit $f=X³-c₁X²+c₂X-c₃$.
\[Δ(f)=c₁²c₂²-4c₁³c₃+18c₁c₂c₃-4c₂³-27c₃².\]
-\[\japmath{別}₂(f)=\frac{c₁³c₃+c₂³+c₁c₂c₃+c₃²}{c₁²c₂²+c₃²}.\]
+\[別₂(f)=\frac{c₁³c₃+c₂³+c₁c₂c₃+c₃²}{c₁²c₂²+c₃²}.\]
% ordre : degré total + par la fin
\item Soit $f=X^4-c_1 X^3 + c_2 X^2 - c_3 X + c_4$.
\[
@@ -1543,46 +1517,46 @@ Référence. Bourbaki, V, exercice §10, №23 et \cite{Involutions@KMRT}, chap.
&\quad - 27 c_3^4 + 144 c_2 c_3^2 c_4 - 128 c_2^2 c_4^2 - 192 c_1 c_3 c_4^2 + 256 c_4^3\\
\end{array}
\]
-\[\japmath{別}_2(f) = \frac{c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 + c_1^3 c_2 c_3 c_4 + c_1^4
+\[別_2(f) = \frac{c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 + c_1^3 c_2 c_3 c_4 + c_1^4
c_4^2 + c_2^3 c_3^2 + c_1 c_2 c_3^3 + c_3^4}{c_1^2 c_2^2 c_3^2 + c_1^4 c_4^2 +
c_3^4}.\]
\item Soit  $f=X⁵+aX+b$.
\[
Δ(f)= 4⁴a⁵+5⁵b⁴.
\]
-\[\japmath{別}_2(f) = ...\]
+\[別_2(f) = ...\]
\XXX
Plus généralement si $f=X^n + aX+b$.
Cf. par exemple Lombardi-Quitté p. 156. \XXX
\end{enumerate}
-\end{exemples3}
+\end{exemples2}
La proposition suivante résulte immédiatement des formules du lemme précédent,
où l'on remplace les $X_i$ par les racines d'un polynôme donné.
-\begin{proposition3}\label{caracterisation groupe Gal alterne}
+\begin{proposition2}\label{caracterisation groupe Gal alterne}
Soient $f∈k[X]$ un polynôme unitaire séparable et $R_f$ l'ensemble
des racines de $f$ dans une clôture séparable de $k$.
\begin{enumerate}
\item Si $\car(k)≠2$, l'image de $G_f$ dans $𝔖_{R_f}$
est contenue dans le groupe alterné $𝔄_{R_f}$
-\ssi le discriminant de $f$ est un carré dans $k$,
-\cad s'il appartient à l'image de l'application $λ↦λ²$.
+si et seulement si le discriminant de $f$ est un carré dans $k$,
+c'est-à-dire s'il appartient à l'image de l'application $λ↦λ²$.
\item Si $\car(k)=2$, l'image $G_f$ dans $𝔖_{R_f}$ est contenue
dans le groupe alterné $𝔄_{R_f}$
-\ssi le $2$-distinguant de $f$ appartient à l'image de
+si et seulement si le $2$-distinguant de $f$ appartient à l'image de
l'application $℘:λ↦λ²-λ$.
\end{enumerate}
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
-\begin{remarque3}\label{remarque Spec Z simplement connexe}
+\begin{remarque2}\label{remarque Spec Z simplement connexe}
On peut montrer (cf. \refext{}{}) que le discriminant
d'un polynôme $f$ unitaire irréductible de $𝐙[X]$ ne peut
être inversible dans $𝐙$ — c'est-à-dire égal à $±1$ —
que si $f$ est de degré un.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
\subsubsection{Équation discriminante en toute caractéristique. Distinguant.}
% Discussion avec Jean Lannes. (Cf. lien entre l'invariant
@@ -1606,7 +1580,7 @@ $(1+2δ)²∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$.)
Il en résulte (cf. \emph{supra}) que pour tout corps $k$ de caractéristique différente
de deux et tout polynôme séparable $f∈k[X]$ \emph{tel que la somme
de deux racines distinctes soit toujours non nulle}, le groupe de Galois
-agit par permutations paires sur les racines \ssi l'équation
+agit par permutations paires sur les racines si et seulement si l'équation
$X²-(1+2δ)²$ a une racine dans $k$, où l'on remplace dans la fraction rationnelle
$(1+2δ)²$ les $σ_i$ par les coefficients de $f$.
Le changement de variable $Y=½(X-1)$ transforme l'équation précédente
@@ -1616,30 +1590,30 @@ la fraction rationnelle $δ$ est $δ₂$}.
En résumé, nous avons démontré la proposition suivante,
qui nous a été suggérée par Jean Lannes.
-\begin{proposition3}\label{distinguant distingue groupe alterné}
+\begin{proposition2}\label{distinguant distingue groupe alterné}
Soient $k$ un corps, $f=X^d-c₁X^{d-1}+\cdots+c_d∈k[X]$ un polynôme,
$K$ un corps de décomposition de $f$ et $\{x₁,\dots,x_d\}$
les racines de $f$ dans $K$, comptées avec multiplicités.
\emph{Si $∏_{i<j}\big((x_i-x_j)(x_i+x_j)\big)≠0$}, le polynôme $f$ est séparable
et le groupe de Galois $\Gal(K\bo k)$ de $f$
agit par permutations paires sur les racines
-\ssi l'équation
+si et seulement si l'équation
\[
-Y²+Y-\japmath{別}(c₁,\dots,c_d)
+Y²+Y-別(c₁,\dots,c_d)
\]
a une racine dans $k$, où
-$\japmath{別}∈𝐙[σ₁,…,σ_n][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ est la fraction rationelle en les coefficients
+$別∈𝐙[σ₁,…,σ_n][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ est la fraction rationelle en les coefficients
définie par
\[
-\japmath{別}=\frac{∏_{i<j}(x_i+x_j)²-Δ_{2'}}{4Δ_{2'}}.
+別=\frac{∏_{i<j}(x_i+x_j)²-Δ_{2'}}{4Δ_{2'}}.
\]
-De plus, $\japmath{別}=δ²+δ$ où $δ∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$
+De plus, $別=δ²+δ$ où $δ∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$
est congru modulo $2$ à $δ_{2'}$. En particulier,
-la réduction modulo $2$ de $\japmath{別}$ est le $2$-distinguant
-$\japmath{別}₂$.
-\end{proposition3}
+la réduction modulo $2$ de $別$ est le $2$-distinguant
+$別₂$.
+\end{proposition2}
-\begin{exemples3}
+\begin{exemples2}
En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathrm{r\acute{e}s}(f(X),f(-X))$
[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathrm{r\acute{e}s}(f,f')$, on trouve
@@ -1647,11 +1621,11 @@ facilement les formules ci-dessous. \XXX
\begin{enumerate}
\item Soit $f=X²-c₁X+c₂$.
-\[\japmath{別}=\frac{c_2}{c_1^2 - 4 c_2}\]
+\[別=\frac{c_2}{c_1^2 - 4 c_2}\]
\item Soit $f=X³-c₁X²+c₂X-c₃$.
-\[\japmath{別}=\frac{c_1^3 c_3 + c_2^3 - 5 c_1 c_2 c_3 + 7 c_3^2}{c_1^2 c_2^2 - 4 c_1^3 c_3 - 4 c_2^3 + 18 c_1 c_2 c_3 - 27 c_3^2}\]
+\[別=\frac{c_1^3 c_3 + c_2^3 - 5 c_1 c_2 c_3 + 7 c_3^2}{c_1^2 c_2^2 - 4 c_1^3 c_3 - 4 c_2^3 + 18 c_1 c_2 c_3 - 27 c_3^2}\]
\item Soit $f=X^4-c_1 X^3 + c_2 X^2 - c_3 X + c_4$.
-\[\japmath{別}=\frac{
+\[別=\frac{
\left(
\begin{array}{l}
c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 - 5 c_1^3 c_2 c_3 c_4 + 7 c_1^4 c_4^2\\
@@ -1669,15 +1643,15 @@ c_1^2 c_2^2 c_3^2 - 4 c_1^3 c_3^3 - 4 c_1^2 c_2^3 c_4 + 18 c_1^3 c_2 c_3 c_4 - 2
\right)
}\]
\end{enumerate}
-\end{exemples3}
+\end{exemples2}
\subsubsection{Exercices}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Déterminer le groupe de Galois du polynôme $X³-2∈𝐐[X]$.
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}\label{borne-degre-elements}
+\begin{exercice2}\label{borne-degre-elements}
Soient $p$ un nombre premier et $k=\FF_p((t_i)_{i∈𝐍})$ le
corps des fractions de l'anneau de polynômes en une infinité
de variables $\FF_p[(t_i)_{i∈𝐍}]$. Soit $Ω$ une clôture
@@ -1686,24 +1660,24 @@ les éléments $t_i^{1/p}$ ($i∈𝐍$). Montrer que pour tout
$x∈K$, on a $x^p∈k$ mais que $[K:k]=+∞$.
(Le corps $K$ sera noté $k^{1/p}$ dans un paragraphe ultérieur, consacré aux extensions
\emph{radicielles}.)
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Montrer que même en caractéristique deux, il n'existe pas d'équation « discriminante »
de la forme $X²-X-P$ où $P$ est un \emph{polynôme} en les coefficients.
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Soit $A=𝐙[X₁,\dots,X_d][Δ_{2'}^{-1}]$, $B=\Fix_{𝔄_d}(A)$
et $C=\Fix_{𝔖_d}(A)=𝐙[σ₁,\dots,σ_n][Δ_{2'}^{-1}]$.
Montrer que le morphisme $C↪B$ est galoisien de groupe
$𝐙/2$ (\ref{algèbre G-galoisienne}) mais qu'il n'existe pas de polynôme $P∈C[T]$ tel que $B≃C[T]/P$.
(C'est cependant le cas après changement de base
$C→C[∏_{i<j}(X_i+X_j)^{-1}]$.)
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Soient $A$ un anneau et $P=∑ (-1)^i a_{n-i} X^i ∈A[X]$ un polynôme unitaire de
degré $n$. On appelle \emph{algèbre de décomposition} de $P$
la $A$-algèbre $A(P)=A[X₁,\dots,X_n]/(∑_i X_i=a₁,\dots,∏_i X_i=a_n)$.
@@ -1715,7 +1689,7 @@ que les monômes $∏_i x_i^{e_i}$, où $e_i≤n-i$, forment un base.)
de la trace) et le discriminant de $P$.
\item À quelle condition $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=k$ ?
\end{enumerate}
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
%NDLR. Cela aurait un rapport avec la définition de Grothendieck des
%classe de Chern (cf. principe de scindage) etc.
@@ -1730,7 +1704,7 @@ sont des bijections inverses l'une de l'autre,
et décroissantes pour l'inclusion, entre l'ensemble des sous-groupes de $G$
et l'ensemble des sous-$k$-extensions
de $K$. De plus, une sous-$k$-extension $k'$ de $K$ est galoisienne sur $k$
-\ssi $H=\Gal(K\bo k')$ est un sous-groupe distingué de $G$. Dans ce cas, l'application
+si et seulement si $H=\Gal(K\bo k')$ est un sous-groupe distingué de $G$. Dans ce cas, l'application
de restriction $\Gal(K\bo k)→\Gal(k'\bo k)$ induit un isomorphisme
$G/H ⥲ \Gal(k'\bo k)$.
\end{théorème2}
@@ -1754,11 +1728,11 @@ est une bijection ; d'autre part l'application
$\Gal(K\bo k)=\Hom_k(K,K)→\Hom_k(k',K)$ est une surjection
(\ref{prolongement-plongement}). Il en résulte
que tout $k$-plongement $ι:k'↪Ω$ est la restriction d'un élément
-$g∈G$. Ainsi, l'extension $k'\bo k$ est normale \ssi
+$g∈G$. Ainsi, l'extension $k'\bo k$ est normale si et seulement si
pour tout $g∈G$, $g(k')=k'$. Puisque $k'=\Fix_H(K)$,
cette condition se réécrit : $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$,
pour tout $g∈G$. Par bijectivité de l'application $H↦\Fix_H(K)$,
-on a $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$ \ssi $gHg^{-1}=H$.
+on a $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$ si et seulement si $gHg^{-1}=H$.
Le groupe $H$ est donc distingué dans $G$.
Enfin, si $k'\bo k$ est normale, donc galoisienne,
on a $\Hom_k(k',Ω)=\Gal(k'\bo k)$ de sorte
@@ -1801,7 +1775,7 @@ En effet, le corps $𝐑$ étant de caractéristique nulle donc parfait,
il résulte du théorème de l'élément primitif que toute extension finie
$K\bo 𝐑$ est un corps de décomposition d'un polynôme irréductible de degré
$[K:𝐑]$. Or, tout polynôme réel de degré impair a une racine ; il est donc
-irréductible \ssi il est de degré un.
+irréductible si et seulement si il est de degré un.
\item \emph{Toute extension finie de $𝐑$ est de degré une puissance de deux.}
Soit $K\bo 𝐑$ une extension finie et $K'$ une clôture galoisienne de $K$ sur
@@ -1809,7 +1783,7 @@ $𝐑$. Puisque $[K:𝐑]$ divise $[K':𝐑]$, on peut supposer l'extension $K\b
Soit $S$ un $2$-Sylow de $G=G_{K\bo 𝐑}$. Le corps $\Fix_S(K)$ est de degré
$[G:S]$ sur $𝐑$ (cf. \refext{CG}{}).
Ce nombre est impair par hypothèse. D'après ce qui précède, on
-a donc $[G:S]=1$, \cad $G=S$. CQFD.
+a donc $[G:S]=1$, c'est-à-dire $G=S$. CQFD.
\item \emph{Toute extension finie de $𝐂$ est triviale.}
Soit $K\bo 𝐂$ une extension finie. D'après ce qui précède,
@@ -1891,7 +1865,7 @@ $\Spec(K⊗_k {k'}\alg)→\Spec(K⊗_k k')$ est surjectif
(\refext{AC}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude})
et $G$-équivariant donc on peut supposer $k'$ algébriquement clos.
Dans ce cas, $A$ est isomorphe comme $k'$-algèbre, munie
-d'une action de $G$, à $\Hom_\cont(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}).
+d'une action de $G$, à $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}).
Le spectre de cette algèbre est canoniquement isomorphe à $G$
(\refext{Krull}{Spec(Hom(X,k))}) agissant (transitivement) sur lui-même par translation.
@@ -1934,13 +1908,14 @@ Le (iii) est un cas particulier du (ii).
Avant de commencer la démonstration, faisons un diagramme récapitulatif
des corps intervenant dans la proposition :
-$$
-\xymatrix{
-K \ar[rr]^{u} & & K'=Kk' \\
-& k'∩K \ar[ul] \ar[rd] \ar[ur] & \\
-k \ar[rr] \ar[uu] \ar[ur] & & k' \ar[uu]^{u'}
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%K \ar[rr]^{u} & & K'=Kk' \\
+%& k'∩K \ar[ul] \ar[rd] \ar[ur] & \\
+%k \ar[rr] \ar[uu] \ar[ur] & & k' \ar[uu]^{u'}
+%}
+%$$
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[auto]
@@ -1971,10 +1946,10 @@ L'injectivité du morphisme de double restriction résulte
contenue dans le produit fibré de l'énoncé est immédiat : un $k$-automorphisme
de $K'$ induit des automorphismes de $K$ et $k'$ qui coïncident sur $k'∩K$.
Réciproquement, considérons un élément $(σ_K,σ_{k'})$ du produit fibré,
-\cad une paire automorphismes $k$-linéaires $σ_K:K→K$ et
+c'est-à-dire une paire automorphismes $k$-linéaires $σ_K:K→K$ et
$σ_{k'}:k'→k'$ telle que ${σ_K}_{|K∩k'}={σ_{k'}}_{|k'∩K}$.
On souhaite montrer qu'ils proviennent d'un automorphisme
-$K'→K'$, \cad que $σ_K$ et $σ_{k'}$ s'étendent de façon compatible à $K'=Kk'$.
+$K'→K'$, c'est-à-dire que $σ_K$ et $σ_{k'}$ s'étendent de façon compatible à $K'=Kk'$.
L'élément $(σ_K,σ_{k'})$ induit un isomorphisme
$σ=σ_K⊗σ_{k'}:K⊗_k k'→K⊗_k k'$ ; on souhaite
montrer que l'application composée $K⊗_k k'→K⊗_k k'\dessusdessous{u,u'}{↠}K'$ se
@@ -2002,13 +1977,13 @@ $K⊗_{k'∩K} k'→ K'$ (donnée par $u$ et $u'$) est un isomorphisme
de sorte que $σ$ induit bien un isomorphisme $K' ⥲ K'$.
\end{démo}
-\begin{lemme3}\label{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
+\begin{lemme2}\label{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions.
\begin{enumerate}
\item Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, $K₁∩K₂=k$.
\item Si $K₁\bo k$ est galoisienne et $K₁∩K₂=k$, le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂$ est un \emph{corps}.
\end{enumerate}
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\begin{démo}
(i) Soit $K=K₁∩K₂$ et considérons $x∈K$. L'élément $1⊗x-x⊗1$ de $K₁⊗_k K₂$ est d'image nulle par l'application
@@ -2062,7 +2037,7 @@ groupes finis simples). [Cf. Bardavid, « Profinite… »]
\begin{exercice2}
Soient $k$ un corps muni de la topologie discrète, $G$ un groupe topologique
-et $A$ la $k$-algèbre des fonctions continues (\cad localement constantes) de $G$ dans $k$.
+et $A$ la $k$-algèbre des fonctions continues (c'est-à-dire localement constantes) de $G$ dans $k$.
On fait agir $G$ sur $A$ par translation à droite sur les fonctions.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Fix_G(A)=k$.
diff --git a/config/macros.tex b/config/macros.tex
index 6e0c971..9fb7c14 100644
--- a/config/macros.tex
+++ b/config/macros.tex
@@ -41,6 +41,7 @@
\DeclareMathOperatorWithFont{\Ann}{\mathrm}{Ann}
\DeclareMathOperatorWithFont{\dec}{\mathrm}{déc}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Gal}{\mathrm}{Gal}
\DeclareMathOperatorWithFont{\Tr}{\mathrm}{Tr}
\DeclareMathOperatorWithFont{\N}{\mathrm}{N}
@@ -49,6 +50,13 @@
\DeclareMathOperatorWithFont{\ob}{\mathsf}{Ob}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\GL}{\mathrm}{GL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\PGL}{\mathrm}{PGL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\AGL}{\mathrm}{AGL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\PSL}{\mathrm}{PSL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Orth}{\mathrm}{O}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\SOrth}{\mathrm}{SO}
+
% Exposants
\newcommand{\op}{^{\mathsf{op}}}
\newcommand{\sep}{^{\mathrm{sép}}}
@@ -101,7 +109,9 @@
\DeclareUnicodeMathSymbol{\boxempty}{\mathord}{operators}{"25A1}
%% Caractères japonais
-% On définit la police IPA Mincho. L'argument range semble ne pas fonctionner !
+% On définit la police IPA Mincho. En mode texte :
+\newfontfamily\IPAMincho[Script=CJK]{IPAMincho}
+% Et en mode maths (l'argument range semble ne pas fonctionner !) :
\setmathfont[range={"4E00-"9FFF},Script=CJK]{IPAMincho}
% On sauve le nom LaTeX de famille de cette police
\ExplSyntaxOn
@@ -112,6 +122,8 @@
\DeclareUnicodeMathSymbol{\yone}{\mathord}{\saveIPAMinchoFamily}{"7C73}
\Umathcode`田="0"\the\csname sym\saveIPAMinchoFamily\endcsname"7530
\DeclareUnicodeMathSymbol{\yoneDA}{\mathord}{\saveIPAMinchoFamily}{"7530}
+\Umathcode`別="0"\the\csname sym\saveIPAMinchoFamily\endcsname"5225
+\DeclareUnicodeMathSymbol{\betsu}{\mathord}{\saveIPAMinchoFamily}{"5225}
% Voir <URL: http://tex.stackexchange.com/questions/95304/spacing-changes-when-using-unicode-math-range-feature-why >
\setmathfont[range={}]{XITS Math}