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-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex25
-rw-r--r--chapitres/formes-tordues.tex127
-rw-r--r--chapitres/spectre.tex114
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diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index 1475632..31cb3fb 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -113,14 +113,13 @@ D'autre part, on a un morphisme de projection
donné par la restriction de l'ensemble des facteurs.
Le second ensemble d'indexation du produit est l'ensemble
des idéaux premiers $𝔭$ de $A$ tels que le morphisme composé
-$k→A↠A/𝔭=κ(𝔭)$ soit un isomorphisme. De tels idéaux premiers
-sont dits \emph{rationnels} sur $k$. On vérifie
-sans peine (\refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux})
-que l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$
+$k→A↠A/𝔭=κ(𝔭)$ soit un isomorphisme. De tels idéaux premiers
+sont dits \emph{rationnels} sur $k$. Comme observé
+en \refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux},
+l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$
associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$,
aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ ou $\japmath{田}A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
-des idéaux premiers rationnels.
-La projection ci-dessus est donc un isomorphisme
+des idéaux premiers rationnels. La projection ci-dessus est donc un isomorphisme
\ssi l'injection d'ensembles $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$ est une bijection.
\subsubsection{Morphisme d'évaluation}Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
@@ -146,12 +145,14 @@ est nilpotent car une $k$-algèbre finie est nœthérienne
Ainsi, $A$ est isomorphe à un produit $∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$
de $k$-algèbre finies locales $A_𝔵$ et l'ensemble
$π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$ des composantes connexes est en bijection
-avec $\Spec(A)$ (cf. \refext{Spec}{produit=somme} (ii)).
-L'isomorphisme $\Spec(A) ⥲ π₀(A)$ ainsi obtenu
-n'est autre que l'application envoyant $𝔭 ∈ \Spec(A)$
-sur l'image de l'application du singleton $π₀(A/𝔭)$
-vers l'ensemble $π₀(A)$ déduite de la surjection $A → A/𝔭$.
-[À détailler] \XXX
+avec $\Spec(A)$ (cf. \refext{Spec}{produit=somme} (ii)) [et
+\ref{artinien=produit anneaux locaux} \XXX].
+%L'isomorphisme $\Spec(A) ⥲ π₀(A)$ ainsi obtenu
+%n'est autre que l'application envoyant $𝔭 ∈ \Spec(A)$
+%sur l'image de l'application du singleton $π₀(A/𝔭)$
+%vers l'ensemble $π₀(A)$ déduite de la surjection $A → A/𝔭$.
+%[À détailler] \XXX
+Faire un diagramme : $\japmath{田}A(k) ↪ \Spec ↠ π₀$. \XXX
Pour référence ultérieure, consignons ces observations dans
le théorème suivant.
diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex
index 07e3bb1..a94fa0f 100644
--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -21,7 +21,8 @@
\synctex=1
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\textwidth16cm
+\hoffset-1.5cm
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
@@ -45,67 +46,101 @@ Références : \cite{CG@Serre}, chap. I, §§2,5 et chap. III,
§1 ainsi que \cite{CL@Serre}, chap. X et \cite[§§18,28]{Involutions@KMRT}.
\subsection{Correspondance de Galois-Grothendieck}
-Soit $K\bo k$ une extension galoisienne finie de groupe $Π$.
+\label{Galois-Grothendieck}
Dans ce paragraphe nous allons énoncer et démontrer
une généralisation de la correspondance de Galois
finie (\refext{CG}{correspondance Galois finie}),
sous la forme d'une description des $k$-\emph{algèbres}
-étales trivialisée par $K\bo k$ (\refext{Alg}{algèbre
-trivialisée}). En quittant le cadre quelque peu étriqué des corps pour celui des algèbres,
-il nous faut passer du monde des groupes à celui des \emph{ensembles} avec action d'un groupe.
+étales trivialisées (\refext{Alg}{algèbre trivialisée})
+par une extension de corps $K\bo k$, finie galoisienne de groupe $Π=\Gal(K\bo k)$.
+Quittant le cadre quelque peu étriqué des corps pour celui des algèbres,
+il nous faut abandonner les groupes pour les \emph{ensembles} avec action de groupe.
\subsubsection{}
\label{notations Galois-Grothendieck}
-Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre, on note $π₀(A_K)$
-l'ensemble des composantes connexes de la $K$-algèbre
-$A_K=A ⊗_k K$. Tout automorphisme $σ ∈ Π$ induit
-un $k$-automorphisme $A_σ:A_K → A_K$, $a ⊗ λ ↦ a ⊗ σ(λ)$, qui induit
-à son tour une bijection $π₀(A_σ): π₀(A_K) → π₀(A_K)$
-(\refext{Spec}{fonctorialité pi0}) que nous noterons également $π₀(σ)$.
-Par contravariante du foncteur $π₀$, on a la formule : $π₀(σ τ)=π₀(τ) π₀(σ)$.
-Ainsi, le groupe de Galois $Π=\Gal(K\bo k)$ agit-il naturellement à
-droite sur l'ensemble $π₀(A_K)$ ; il agit à gauche
-par $σ ↦ π₀(σ^{-1}) ∈ 𝔖(π₀(A_K))$. Si l'algèbre $A$ est finie sur $k$,
-l'ensemble $π₀(A_K)$ est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)).
+Soit $A$ une $k$-algèbre et notons $π₀^{K\bo k}(A)$
+l'ensemble des composantes connexes (\refext{Spec}{composantes
+connexes}) de la $K$-algèbre $A_K=A ⊗_k K$. À un $k$-morphisme
+d'algèbres $f:A → B$, on associe l'application $π₀(f_K): π₀(B_K) → π₀(A_K)$,
+que nous noterons $π₀^{K\bo k}(f)$ ; pour chaque $k$-morphisme $g:B → C$,
+on a l'égalité $π₀^{K\bo k}(gf)=π₀^{K\bo k}(f) ∘ π₀^{K\bo k}(g)$ (\refext{Spec}{fonctorialité pi0}).
+En particulier, chaque $k$-automorphisme $A_K → A_K$, $a ⊗ λ ↦ a ⊗ σ(λ)$,
+où $σ$ est dans $Π$, donne lieu à une bijection de $π₀^{K\bo k}(A)$, notée
+abusivement $π₀^{K\bo k}(σ)$ et l'on a
+\[π₀^{K\bo k}(σ τ)=π₀^{K\bo k}(τ) π₀^{K\bo k}(σ):\]
+le groupe de Galois $Π=\Gal(K\bo k)$ agit donc naturellement à
+droite sur l'ensemble $π₀^{K\bo k}(A)$, en posant : $𝔵 ⋅ σ=π₀^{K\bo k}(σ)(𝔵)$,
+$𝔵 ∈ π₀^{K\bo k}(A)$, $σ ∈ Π$.
+Pour $f$ comme ci-dessus, les applications $π₀^{K\bo k}(f)$ sont compatibles avec l'action de $Π$ ;
+on a donc construit un foncteur contravariant de la catégorie $k\traitdunion\Alg$ des $k$-algèbres
+vers la catégorie $Π\traitdunion\Ens$ des $Π$-ensembles à droite.
+Notons que si l'algèbre $A$ est finie sur $k$, l'ensemble $π₀^{K\bo k}(A)$
+est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)). Par restriction,
+on en tire un foncteur contravariant, que nous noterons $π₀^{K\bo k}$,
+de la catégorie $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$ des $k$-algèbres
+étales trivialisées par $K\bo k$ vers la catégorie
+$Π\traitdunion\Ens𝖿$ des $Π$-ensembles à droite \emph{finis}.
+\begin{quote}Jusqu'à la fin de la section \ref{Galois-Grothendieck},
+les $Π$-ensembles sont des $Π$-ensemble \emph{à droite}.
+\end{quote}
-\subsubsection{}
-Considérons maintenant un $Π$-ensemble à gauche $X$, fini.
-La $k$-algèbre $K^X$ est étale, trivialisée par $K \bo k$.
-Il en est donc de même de sa sous-algèbre $k_X:=\Fix_{Π}(K^X)$,
-où $Π$ agit à gauche sur $K^X$ par $σ ⋅ f:(x ↦ σ(f(x ⋅ σ)$.
+Considérons maintenant un $Π$-ensemble fini $X$.
+La $k$-algèbre $K^X=\Hom_{\Ens}(X,K)$ est étale, trivialisée par $K \bo k$,
+si bien que sa sous-algèbre $Θ_{K\bo k}(X):=\Fix_{Π}(K^X)$, où $Π$ agit à gauche sur $K^X$
+par $σ ⋅ f:\big(x ↦ σ(f(x ⋅ σ)\big)$, est également trivialisée
+par $K \bo k$ (\refext{Alg}{sous-quotient-diag=diag} (ii)).
+Si l'on fait agir $Π$ à droite sur $K$, par $λ ⋅ σ = σ^{-1}(λ)$,
+l'ensemble $Θ_{K\bo k}(X)$ n'est autre que $\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$.
+En associant à un morphisme de $Π$-ensembles $φ:X → Y$
+le morphisme de $k$-algèbres évident $Θ^{K\bo k}(φ) : Θ^{K\bo k}(Y) → Θ^{K\bo k}(X)$,
+on obtient un foncteur contravariant $Θ^{K\bo k}$ de $Π\traitdunion\Ens𝖿$
+vers $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$.
+
+\subsubsection{}Étudions le lien entre ces constructions et la théorie
+de Galois telle que présentée en \refext{CG}{correspondance Galois finie}.
+À cet effet, considérons un sous-groupe $H$ de $Π$, auquel on associe
+naturellement le $Π$-ensemble $H ∖ Π$ des classes à droite $\{H σ\}$, $σ ∈ Π$.
+Pour tout $Π$-ensemble $Y$, l'application
+$\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(H ∖ Π,Y) → \Fix_H(Y)$, $φ ↦ φ(H)$
+est une bijection. Il en résulte que $Θ^{K\bo k}(H ∖ Π)$ est naturellement
+en bijection avec le sous-corps $\Fix_H(K)$ de $K$.
+
+
+\begin{théorème2}
+\label{Galois-Grothendieck fini}
+Soit $K\bo k$ une extension fini étale de groupe de Galois $Π$.
+Les foncteurs
+\[π₀^{K\bo k}: \categ{\acute{E}t}(K\bo k) → Π\traitdunion\Ens𝖿\]
+et
+\[Θ^{K\bo k}: Π\traitdunion\Ens𝖿 → \categ{\acute{E}t}(K\bo k)\]
+sont des anti-équivalences de catégories quasi-inverses l'une de l'autre.
+
+\begin{enumerate}
+\item L'application $A ↦ π₀^{K\bo k}(A)$ induit une bijection entre
+les classes d'isomorphismes de $k$-algèbres étales trivialisées par $K \bo k$
+et les classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles finis. De plus,
+\[
+[A:k] = ♯ π₀^{K\bo k}(A).
+\]
+\item Pour toute paire $A,B$ d'objets de $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$,
+l'application
+\[
+\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B) → \Hom_{Π\traitdunion\Ens}(π₀^{K\bo k}(B),π₀^{K\bo k}(A))
+\]
+est une bijection.
+\item
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
\[⁂\]
-Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre
-finie, on note $A^{\japmath{田}}(K)$ l'ensemble fini $\Hom_k(A,K)$ et que ce dernier
-est en bijection avec l'ensemble $\Hom_K(A_K,K)$
-(\refext{Alg}{critere-numerique-diagonalisable} (i)).
-Il est naturellement muni d'une action de $Π$ par
-composition : si $u:A→K$, on pose $σ\cdot u:=σ\circ u$.
-Si $f:A→B$ est un morphisme de $k$-algèbres, l'application
-$B^{\japmath{田}}(K)→A^{\japmath{田}}(K)$, $v↦u:=v\circ f$, est $Π$-équivariante
-pour ces actions. Réciproquement, on peut
-associer à tout $Π$-ensemble fini $X$ la
-$k$-algèbre étale $k_X=\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,K)$
-des fonctions $f:X→K$ qui sont $Π$-équivariantes
-c'est-à-dire telles que $f(σ\cdot x)=σ(f(x))$.
-(Alternativement, $k_X=\Fix_Π(\Hom_{\Ens}(X,K))$,
-où l'action de $Π$ sur $\Hom_{\Ens}(X,K)=K^X$ est donnée par $σ ⋅ f:x ↦ σ(f(σ^{-1}x))$.)
-La $k$-algèbre $K^X$ est trivialisée par $K\bo k$ ;
-il en est donc de même de sa sous-algèbre $k_X$ (\refext{Alg}{sous-diag=diag}).
-Enfin, notons que tout morphisme $X→Y$ de $Π$-ensembles induit un morphisme de
-$k$-algèbres $k_Y→k_X$.
-\begin{quote}
-On peut sans doute réécrire tout ça en terme de $π₀(A_K)$ ; c'est peut-être
-plus parlant. Cependant : $π₀$ est muni d'une action à \emph{droite}
-et il faut vérifier dans [Alg] que chaque $𝔵$ dans $π₀$ induit,
+Il faut vérifier dans [Alg] que chaque $𝔵$ dans $π₀$ induit,
dans le cas diagonalisable, un morphisme $A ↠ K$ qui envoie $a$
sur $\ev_A(a)$ via isomorphisme $π₀$ et $K$-points...
-\end{quote}
-\begin{proposition2}\label{Galois-Grothendieck fini}
+\begin{proposition2}
Soit $K\bo k$ une extension finie étale de groupe
de Galois $Π$.
\begin{enumerate}
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index 177f4ad..dbad3a2 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -399,42 +399,55 @@ et
\[f ⊠ (e ⊞ e ′)=f(e-e ′)²=f²(e-e ′)²=(fe-fe ′)²= (f ⊠ e)⊞(f ⊠ e ′).\]
\end{démo}
-\begin{exercice2}\label{addition dans IdemA}
+\subsubsection{Treillis et algèbres de Boole}
+\label{addition dans IdemA}
On appelle \emph{treillis} (ou \emph{ensemble réticulé})
un ensemble ordonné dans lequel toute famille finie (ou de façon équivalente : à deux
éléments) a une borne inférieure et une borne supérieure.
-%Cela revient à dire que dans la catégorie associée à la relation
-%d'ordre, les limites et colimites finies existent.
-Il est dit « distributif » si le minimum (noté souvent $∧$, « et »)
-de deux éléments et le maximum (souvent noté $∨$, « ou ») de deux éléments
+(Cela revient à dire que, dans la catégorie associée à la relation
+d'ordre, les limites et colimites finies existent.)
+Il est dit « distributif » si le minimum (noté souvent $∧$, lu « et »)
+de deux éléments et le maximum (souvent noté $∨$, lu « ou ») de deux éléments
sont des opérations distributives l'une par rapport à
l'autre. Explicitement : $\sup(x,\inf(y,z))=\inf(\sup(x,y),\sup(x,z))$
et $\inf(x,\sup(y,z))=\sup(\inf(x,y),\inf(x,z))$.
-
-\begin{enumerate}
-\item Soit $B$ une algèbre de Boole.
-Montrer que la relation d'ordre sur $B$ définie par :
+Considérons maintenant une algèbre de Boole $B$ dont on note $⊕$ l'addition.
+La relation d'ordre sur $B$ définie par :
\[x≤y \text{ si et seulement si } y \text{ divise } x \]
fait de $B$ est un treillis distributif d'éléments minimum $0$ et
-maximum $1$ et pour lequel $x ∧ y=xy$.
-\item Montrer que pour tout $x∈B$, il existe un unique $x'$, noté
-$¬x$, tel que $x∧x'=0$ et $x∨x'=1$.
-\item Montrer que pour chaque $x,y$ dans $B$ on a les égalités
+maximum $1$ et pour lequel $x ∧ y=xy$. Fixons en effet
+deux éléments $x$ et $y$ dans $B$. Si $z$ satisfait
+les deux inégalités $z≤x$ et $z≤y$, il existe donc $a$ et $b$ dans $B$
+tels que $z=xa$ et $z=yb$. On a donc $z²=z=xy(ab)$ ; il en résulte
+immédiatement que le produit $xy$ est le minimum $x∧y$ de $x$ et $y$.
+D'autre part, on a les égalités $x=(x+y+xy)x$ et de même pour $y$
+si bien que $x+y+xy$ majore $x$ et $y$. Réciproquement, si $x≤z$ et $y≤z$
+— c'est-à-dire si $x=za$ et $y=zb$ pour $a$ et $b$ dans $B$ — on a $x+y+xy=z(a+b+ab)$
+d'où $x+y+zy≤z$. Il en résulte que le maximum $x∨y$ de $x$ et $y$
+existe et vaut $x+y+xy$. La distributivité résulte
+d'un simple calcul : on vérifie par exemple que $x∨(y∧z)=x+yz+xyz$
+et $(x∨y)∧(x∨z)=(x+y+xy)(x+z+xz)=x+yz+xyz$.
+Observons que pour tout $x∈B$, il existe un unique élément,
+appelé « complément » et noté $¬x$, tel que $x∧ ¬x=0$ et $x∨ ¬x=1$ :
+poser $¬ x=1+x$. Les opérations précédentes permettent
+de retrouver l'addition dans l'algèbre de Boole $B$ :
+pour chaque $x$ et $y$ on a les égalités
\[x⊕y=(x∧¬y)∨(¬x∧y)=¬(¬(x∧¬y)∧¬(¬x∧y)).\]
+Il en résulte notamment que l'addition $⊞$
+définie en \ref{opérations sur idempotents}
+est la seule addition sur $\Idem(A)$ pour laquelle on ait
+$e∧e'=ee'$ (produit dans $A$) et $¬e=1-e$ (soustraction dans $A$).
-% Solution. Supposons $z≤x$ et $z≤y$ de sorte que $z=xa$ et $z=yb$. On a donc
-% $z²=z=xy(ab)$ ; $xy$ est donc le min $x∧y$ de $x$ et $y$. D'autre part,
-% $x=(x+y+xy)×(x)$ donc $x≤(x+y+xy)$. Réciproquement, si $x≤z$ et $y≤z$
-% (càd $x=za$, $y=zb$), $x+y+xy=z(a+b+ab)$ d'où $x+y+zy≤z$ ; $x+y+xy$ est
-% donc le max $x∨y$ de $x$ et $y$. Distributivité : $x∨(y∧z)=x+yz+xyz$
-% et $(x∨y)∧(x∨z)=(x+y+xy)(x+z+xz)=x+yz+xyz$. Idem pour
-% l'autre. Enfin, le « complément » $¬x$ de $x$ est $1+x$.
-
-\item En déduire que l'addition $⊞$ définie en \ref{opérations sur idempotents}
-est la seule addition pour laquelle on a :
-$e∧e'=ee'$ (produit dans $A$) et $¬e=1-e$ (dans $A$).
-\end{enumerate}
-\end{exercice2}
+\begin{proposition2}
+\label{ideal Boole type fini est principal}
+Tout idéal de type fini d'une algèbre de Boole est principal.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte immédiatement du fait que tout ensemble fini
+a une borne inférieure pour l'ordre défini ci-dessus.
+Voir aussi \ref{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent}.
+\end{démo}
\begin{proposition2}\label{unités et nilpotents algèbre de Boole}
Le seul élément idempotent \emph{inversible} (resp. \emph{nilpotent})
@@ -483,6 +496,7 @@ le quotient $B/𝔭$ est une algèbre de Boole intègre.
\subsection{Ensemble des composantes connexes, connexité}
\begin{définition2}
+\label{composantes connexes}
On appelle \emph{ensemble des composantes connexes}
\index{composantes connexes}\index{π₀} d'un anneau
commutatif $A$ le spectre $\Spec(\Idem(A))$ de l'algèbre
@@ -498,7 +512,7 @@ ou « spectre booléien » de l'anneau $A$, cf.
Les égalités $4x=4x²=(2x)²=2x$ montrent que $2x=0$
de sorte que $B$ est naturellement une $𝐅₂$-algèbre.
Ceci justifie la terminologie ; notons cependant
-que N. Bourbaki les appellent plutôt « anneaux booléiens ».
+que N. Bourbaki les appelle plutôt « anneaux booléiens ».
D'après \ref{SpecBoole=HomF2} et \ref{points rationnels et ideaux
maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc :
\[
@@ -560,6 +574,30 @@ algèbres de Boole. Par passage au spectre, chaque morphisme $f:A → B$
induit (de façon contravariante) une application $π₀(f): π₀(B) →
π₀(A)$.
+\begin{proposition2}
+\label{pi0=quotient Spec}
+L'application $\Spec(A) → π₀(A)$, $𝔭 ↦ 𝔭 ∩ \Idem(A)$ est surjective.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Notons que $𝔭 ∩ \Idem(A)$ est bien un idéal premier de $\Idem(A)$ :
+c'est le noyau du morphisme $\Idem(A) → \Idem(A/𝔭)=𝐅₂$.
+Soit $𝔵 ∈ π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$. L'idéal $𝔵A$ de $A$
+engendré par $𝔵$ (vu comme sous-ensemble de $A$) est strict.
+En effet si l'unité $1$ appartenait à $𝔵A$, elle appartiendrait
+à un $𝔶A$, pour une idéal $𝔶$ de type fini convenable de $\Idem(A)$
+contenu dans $𝔵$. (Écrire $1$ comme une somme finie.) Or, $𝔶$ est
+principal (\ref{ideal Boole type fini est principal}) : on a
+donc $1=ya$, d'où $y ∈ A^×$ et, finalement $y=1$ (\ref{unités et nilpotents algèbre de Boole}).
+C'est absurde car $𝔵$ est un idéal strict de $\Idem(A)$.
+L'idéal $𝔵A$ étant strict, il est contenu dans un idéal maximal $𝔪$
+de $A$. Par construction l'idéal premier $𝔪 ∩ \Idem(A)$ contient $𝔵$. Comme $𝔵$ est
+maximal (\ref{SpecBoole=HomF2}), on a l'égalité $𝔪 ∩ \Idem(A)=𝔵$.
+CQFD.
+%(Variante : $1=ae+bf=(e+f-ef)(ae+bf)$ et $e+f-ef$ appartient à l'idéal
+%de $\Idem(A)$ engendré par $e$ et $f$ ; on a $e+f-ef=(e ⊞ f)⊞(e ⊠ f)$.)
+\end{démo}
+
\subsection{Produit et connexité}\label{algèbre Boole PX}
\subsubsection{}\label{idempotents-produit}
@@ -776,7 +814,9 @@ est un idempotent de $A$ d'image $ε$ dans $A_𝔵$.
L'idéal $𝔵$ de $\Idem(A)$ étant premier, il résulte de l'identité
$e(1-e)=0$ que soit $e$ appartient à $𝔵$ soit son complément
$1-e$ lui appartient. Dans le premier cas, $ε=0$ ;
-dans le second, $ε=1$. CQFD.
+dans le second, $ε=1$. Enfin, on a vu en \ref{pi0=quotient
+Spec} (démonstration) que $A/𝔵A$ est un anneau non nul :
+on a donc $1 ≠ 0$. CQFD.
\end{démo}
\begin{définition2}
@@ -829,12 +869,25 @@ dans le second, il est inversible. CQFD.
\begin{corollaire2}
\label{artinien=produit anneaux locaux}
-Tout anneau artinien est isomorphe à un produit fini d'anneaux locaux.
+Soit $A$ un anneau artinien.
+\begin{enumerate}
+\item L'anneau $A$ est isomorphe au produit fini
+des anneaux locaux artiniens $A/𝔵A$, où $𝔵$ parcourt $π₀(A)$.
+\item Les applications $\Specmax(A) ↪ \Spec(A)$ et $\Spec(A) ↠ π₀(A)$
+sont des bijections.
+\end{enumerate}
\end{corollaire2}
+% regarder Grothendieck, Bourbaki, appendice.
+% dire que artinien ⇒ Spec=Specmax
+\begin{démo}
+\XXX Utilise ce qui suit (produit etc. ) ⤳ déplacer la section
+suivante un cran plus haut.
+\end{démo}
\subsection{Une application : calculs d'ensembles d'homomorphismes}
\subsubsection{}Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres. Posons $X=π₀(A)$ et $Y=π₀(B)$.
+% MOCHE
Chaque morphisme $f:A → B$ de $k$-algèbres induit une application
$π₀(f):Y → X$. Fixons un élément point $𝔶$ de $Y$ ; son
image $𝔵$ dans $X$ par $π₀(f)$ est l'idéal
@@ -956,7 +1009,8 @@ fixé ou bien au voisinage de l'infini. Etc.
Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau $A$.
Montrer que si $I=I²$, il existe $e ∈ \Idem(A)$
tel que $I=(e)$.
-% Matsumura, exercice 2.1
+% 松村, exercice 2.1
+% 中山 ⇒ ∃ i tel que (1-i)I=0$. OPS I principal et c'est alors facile
\end{exercice2}