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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex new file mode 100644 index 0000000..46d68a2 --- /dev/null +++ b/chapitres/AC.tex @@ -0,0 +1,194 @@ +\ifx\danslelivre\undefined +\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} +\input{../configuration/commun} +\input{../configuration/smf} +\input{../configuration/adresse} +\input{../configuration/gadgets} +\input{../configuration/francais} +\input{../configuration/numerotation} +\input{../configuration/formules} +\input{../configuration/encoredesmacros} +\synctex=1 +\usepackage{stmaryrd} +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{srcltx} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix} +\usetikzlibrary{calc} + +\title{Notions d'algèbre commutative} + +\externaldocument{extensions-algebriques} +\externaldocument{correspondance-galois} +\externaldocument{formes-tordues} +\externaldocument{spectre} +\externaldocument{verselles} +\externaldocument{corps-finis} +\externaldocument{entiers} +\externaldocument{categories} + +%\textwidth16cm +%\hoffset-1.5cm +\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} + +\begin{document} +\begin{center} +Notions d'algèbre commutative +\end{center} +\tableofcontents +\else +\chapter{Notions d'algèbre commutative} +\fi + +%%% À faire·: + +\section{L'espace topologique $\Spec(A)$} + +\subsection{Premières propriétés} + +Notation $V(𝔞)$ ; $D(f)$ (ouvert affine spécial) ; topologie (non séparée en +général ; cf. infra). + +\begin{proposition2} +$\Spec(A)$ est quasi-compact. +\end{proposition2} + +\begin{définition2} +Radical de Jacobson $\rad(𝔞)$. +\end{définition2} + +\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents} entraîne : + +\begin{proposition2} +$V(𝔞) ⊆ V(𝔟)$ ⇔ $𝔟 ⊆ \rad(𝔞)$. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +Ouvert-fermé de $\Spec(A)$ est de la forme +$D(e)$, $e$ idempotent. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +Composante connexe de $\Spec(A)$ est de la forme +$V(I)$ où $I$ est engendré par des idempotents +(et tel que tout idempotent de $A$ est congru +à $0$ ou $1$ modulo $I$). +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +$\Spec(A)$ est nœthérien si $A$ l'est. +\end{proposition2} + +\subsection{Topologie constructible, théorème de Chevalley} + +\begin{définition2} +inverse ponctuel. +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +existence pour chaque $S⊆A$ d'un localisé « ponctuel » +satisfaisant propriété universelle. $\Spec(S^{-1}A) → \Spec(A)$ bijection. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +Conditions équivalentes : +\begin{enumerate} +\item existence inverse ponctuel ; +\item tout $A$-module est plat ; +\item $\Spec(A)$ séparé et $A$ est réduit ; +\item pour tout $𝔭$, $A_𝔭$ est un corps. +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +\begin{définition2} +anneau absolument plat. +\end{définition2} + +\begin{théorème2}[Chevalley] +Soit $A$ un anneau nœthérien et $B$ une $A$-algèbre +de type fini. Alors l'image de $\Spec(B)$ dans $\Spec(A)$ +est \emph{constructible}. +\end{théorème2} + +Encore vrai sans hypothèse de nœthérianité si $B$ est de +présentation finie. + +\begin{démo} +L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes et les parties constructibles, +Olivier (1978). +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +Image d'un morphisme plat de type fini (sur nœthérien) +est ouverte. +\end{corollaire2} + +\section{Théorie de la dimension} + +\subsection{Généralités} + +\begin{définition2} +Dimension d'un anneau. +\end{définition2} + +Rappel Cohen-Seidenberg. + +\subsection{Lemme de normalisation} + +Exemple : anneaux de polynômes. + +\subsection{Nullstellensatz} + ++ méthode ad hoc dans le cas d'un corps indénombrable. + +\subsection{Applications} + +\begin{proposition2} +Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre de type fini +intègre. $\dim(A)=\deg.tr(\Frac(A)$. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +Finitude de la normalisation dans le cas d'algèbres +sur un corps. +\end{proposition2} + +\subsection{Anneaux de Jacobson} + +\section{Fonctions $ζ$} + + + +\section{¶ Un théorème de comparaison} + +\subsection{}Soit $A$ une $𝐂$-algèbre de type fini. + +\begin{définition2} +$Top(A)$ espace topologique. +\end{définition2} + +\begin{théorème2} +$A$ est connexe ssi $Top(A)$ est connexe. +\end{théorème2} + +\begin{démo}[Esquisse] + +\end{démo} + + +\section{Divers} + +\begin{proposition2} +\label{Nakayama} +Lemme de Nakayama +\end{proposition2} + + + + +\ifx\danslelivre\undefined +\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} +\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} +\end{document} +\fi |