summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
-rw-r--r--chapitres/AC.tex194
1 files changed, 194 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex
new file mode 100644
index 0000000..46d68a2
--- /dev/null
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -0,0 +1,194 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
+\input{../configuration/commun}
+\input{../configuration/smf}
+\input{../configuration/adresse}
+\input{../configuration/gadgets}
+\input{../configuration/francais}
+\input{../configuration/numerotation}
+\input{../configuration/formules}
+\input{../configuration/encoredesmacros}
+\synctex=1
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{srcltx}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\title{Notions d'algèbre commutative}
+
+\externaldocument{extensions-algebriques}
+\externaldocument{correspondance-galois}
+\externaldocument{formes-tordues}
+\externaldocument{spectre}
+\externaldocument{verselles}
+\externaldocument{corps-finis}
+\externaldocument{entiers}
+\externaldocument{categories}
+
+%\textwidth16cm
+%\hoffset-1.5cm
+\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
+
+\begin{document}
+\begin{center}
+Notions d'algèbre commutative
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Notions d'algèbre commutative}
+\fi
+
+%%% À faire·:
+
+\section{L'espace topologique $\Spec(A)$}
+
+\subsection{Premières propriétés}
+
+Notation $V(𝔞)$ ; $D(f)$ (ouvert affine spécial) ; topologie (non séparée en
+général ; cf. infra).
+
+\begin{proposition2}
+$\Spec(A)$ est quasi-compact.
+\end{proposition2}
+
+\begin{définition2}
+Radical de Jacobson $\rad(𝔞)$.
+\end{définition2}
+
+\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents} entraîne :
+
+\begin{proposition2}
+$V(𝔞) ⊆ V(𝔟)$ ⇔ $𝔟 ⊆ \rad(𝔞)$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Ouvert-fermé de $\Spec(A)$ est de la forme
+$D(e)$, $e$ idempotent.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Composante connexe de $\Spec(A)$ est de la forme
+$V(I)$ où $I$ est engendré par des idempotents
+(et tel que tout idempotent de $A$ est congru
+à $0$ ou $1$ modulo $I$).
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+$\Spec(A)$ est nœthérien si $A$ l'est.
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Topologie constructible, théorème de Chevalley}
+
+\begin{définition2}
+inverse ponctuel.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+existence pour chaque $S⊆A$ d'un localisé « ponctuel »
+satisfaisant propriété universelle. $\Spec(S^{-1}A) → \Spec(A)$ bijection.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Conditions équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item existence inverse ponctuel ;
+\item tout $A$-module est plat ;
+\item $\Spec(A)$ séparé et $A$ est réduit ;
+\item pour tout $𝔭$, $A_𝔭$ est un corps.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{définition2}
+anneau absolument plat.
+\end{définition2}
+
+\begin{théorème2}[Chevalley]
+Soit $A$ un anneau nœthérien et $B$ une $A$-algèbre
+de type fini. Alors l'image de $\Spec(B)$ dans $\Spec(A)$
+est \emph{constructible}.
+\end{théorème2}
+
+Encore vrai sans hypothèse de nœthérianité si $B$ est de
+présentation finie.
+
+\begin{démo}
+L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes et les parties constructibles,
+Olivier (1978).
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+Image d'un morphisme plat de type fini (sur nœthérien)
+est ouverte.
+\end{corollaire2}
+
+\section{Théorie de la dimension}
+
+\subsection{Généralités}
+
+\begin{définition2}
+Dimension d'un anneau.
+\end{définition2}
+
+Rappel Cohen-Seidenberg.
+
+\subsection{Lemme de normalisation}
+
+Exemple : anneaux de polynômes.
+
+\subsection{Nullstellensatz}
+
++ méthode ad hoc dans le cas d'un corps indénombrable.
+
+\subsection{Applications}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre de type fini
+intègre. $\dim(A)=\deg.tr(\Frac(A)$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Finitude de la normalisation dans le cas d'algèbres
+sur un corps.
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Anneaux de Jacobson}
+
+\section{Fonctions $ζ$}
+
+
+
+\section{¶ Un théorème de comparaison}
+
+\subsection{}Soit $A$ une $𝐂$-algèbre de type fini.
+
+\begin{définition2}
+$Top(A)$ espace topologique.
+\end{définition2}
+
+\begin{théorème2}
+$A$ est connexe ssi $Top(A)$ est connexe.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}[Esquisse]
+
+\end{démo}
+
+
+\section{Divers}
+
+\begin{proposition2}
+\label{Nakayama}
+Lemme de Nakayama
+\end{proposition2}
+
+
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi