summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
-rw-r--r--chapitres/AC.tex48
-rw-r--r--chapitres/AVD.tex307
-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex268
-rw-r--r--decorum/plan-bouquin.tex2
4 files changed, 623 insertions, 2 deletions
diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex
index 815480d..3aa018d 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -158,7 +158,26 @@ finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
\end{démo}
+\subsection{Conditions locales sur les modules}
+\begin{proposition2}
+Un module localement nul est nul.
+\end{proposition2}
+
+\begin{définition2}
+Module localement libre.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Groupe de Picard ; lien avec les idéaux fractionnaires [à déplacer
+sans doute].
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Passage à la limites : si $A$ intègre, corps des fractions $K$
+et $M ⊗ K ≃ N ⊗ K$ avec $M,N$ de type fini, il existe $a$
+tel que $M ⊗ A[a^{-1}] ≃ N ⊗ A[a^{-1}]$.
+\end{proposition2}
\section{L'espace topologique $\Spec(A)$}
@@ -213,6 +232,8 @@ Conditions équivalentes :
\begin{enumerate}
\item existence inverse ponctuel ;
\item tout $A$-module est plat ;
+\item tout idéal principal est idempotent ;
+\item tout idéal de type fini est facteur direct ; % Atiyah-MacDonald, chap. 2, exercice 27
\item $\Spec(A)$ séparé et $A$ est réduit ;
\item pour tout $𝔭$, $A_𝔭$ est un corps.
\end{enumerate}
@@ -222,6 +243,8 @@ Conditions équivalentes :
anneau absolument plat.
\end{définition2}
+Exemple : algèbre de Boole.
+
\begin{théorème2}[Chevalley]
Soit $A$ un anneau nœthérien et $B$ une $A$-algèbre
de type fini. Alors l'image de $\Spec(B)$ dans $\Spec(A)$
@@ -243,7 +266,13 @@ est ouverte.
\section{Quelques conditions de finitude}
-fini, type fini, présentation finie.
+fini, type fini, présentation finie, longueur finie.
+nœthérien, artinien, Jordan-Hölder.
+
+\begin{proposition2}
+Un anneau est artinien si et seulement si il est nœthérien de
+dimension nulle (càd ...).
+\end{proposition2}
\section{Éléments et morphismes entiers}
@@ -1170,6 +1199,11 @@ pas complète.
Lemme de Nakayama
\end{proposition2}
+\begin{corollaire2}
+$\chap{M}$ est séparé pour la topologie $𝔪$-adique si $A$ est
+nœthérien, $M$ de type fini.
+\end{corollaire2}
+
\begin{proposition2}
Artin-Rees.
\end{proposition2}
@@ -1179,6 +1213,18 @@ Exactitude dans le cas nœthérien.
Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini).
\end{proposition2}
+\begin{proposition2}
+Lemme de Hensel.
+\end{lemme2}
+
+\begin{proposition2}
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+[...]
+\end{proposition2}
+
+\begin{définition2}
+Anneau hensélien.
+\end{définition2}
\section{Fonctions $ζ$}
diff --git a/chapitres/AVD.tex b/chapitres/AVD.tex
new file mode 100644
index 0000000..5816e09
--- /dev/null
+++ b/chapitres/AVD.tex
@@ -0,0 +1,307 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
+\input{../configuration/commun}
+\input{../configuration/smf}
+\input{../configuration/adresse}
+\input{../configuration/gadgets}
+\input{../configuration/francais}
+\input{../configuration/numerotation}
+\input{../configuration/formules}
+\input{../configuration/encoredesmacros}
+\synctex=1
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{srcltx}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\title{titre}
+
+\externaldocument{extensions-algebriques}
+\externaldocument{correspondance-galois}
+\externaldocument{formes-tordues}
+\externaldocument{spectre}
+\externaldocument{verselles}
+\externaldocument{corps-finis}
+\externaldocument{entiers}
+\externaldocument{categories}
+
+%\textwidth16cm
+%\hoffset-1.5cm
+\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
+
+\begin{document}
+\begin{center}
+titre
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{titre}
+\fi
+
+\section{}
+
+\subsection{}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Un anneau local nœthérien normal de dimension $1$ est un anneau de
+valuation discrète. [à énoncer sous forme de conditions équivalentes]
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Deux AVD de même corps des fractions sont égaux.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète. Un $A$-module
+de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion.
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Valeurs absolues}
+
+
+\subsection{Prolongements}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des
+fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}.
+La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module
+libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète
+complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$,
+tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
+\end{théorème}
+
+\begin{définition2}
+indice de ramification
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Si $L\bo K$ est galoisienne, $v ∘ σ = v$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{définition2}
+Extension totalement ramifiée.
+\end{définition2}
+
+\begin{définition2}
+\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$,
+$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
+et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
+Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$,
+$$
+G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\}
+$$
+Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment
+une filtration décroissante de $G$.
+\end{définition2}
+
+[généralisation : cas extension résiduelle séparable.]
+
+\begin{exercice2}
+Interprétation géométrique dans le cas d'une courbe affine
+et d'un automorphisme : la longueur du lieu des points
+fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$.
+\end{exercice2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
+$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
+\begin{enumerate}
+\item $G_0\iso G$,
+\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
+\item L'application
+$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
+\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
+choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
+$$
+G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
+$$
+\item On a des isomorphismes canoniques :
+$$
+\begin{array}{l}
+ U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\
+ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
+\end{array}
+$$
+pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\begin{proof}
+1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$.
+Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
+induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
+$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
+$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
+Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
+réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
+pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$.
+
+2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité
+$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big),
+$$
+où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer
+que $G_i\subset G$ est un sous-groupe.
+
+3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité
+$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de
+l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité
+$$
+\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}.
+$$
+jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et donc
+$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est
+bien indépendante du choix de l'unité $u$.
+
+Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte
+que pour chaque $\sigma'\in G_i$,
+$$
+\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}=
+\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L.
+$$
+Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$,
+l'égalité
+$$
+\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
+\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
+$$
+entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
+noyau est par définition $G_{i+1}$.
+
+4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit
+un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$.
+Enfin,
+$$
+\begin{array}{l}
+U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
+1+x\mapsto x
+\end{array}
+$$
+est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite).
+Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace
+vectoriel de dimension $1$.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+\XXX
+Sous les hypothèses précédentes :
+\begin{enumerate}
+\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
+\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
+et d'ordre premier à la caractéristique.
+
+Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe
+fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
+pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
+\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
+\end{démo}
+
+
+
+\section{Puiseux-Newton}
+
+\subsection{Polygone de Newton}
+\begin{definition2}[Polygone de Newton]
+\XXX Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$
+un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton}
+l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus
+des couples $(i,v(a_i))$, $0\leq i \leq n$.
+\end{definition2}
+
+
+\begin{theoreme2}[Factorisation et pentes du polygone de Newton]
+\XXX Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
+complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$.
+Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant
+celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets
+du polygone de Newton, qui a donc $r$ pentes [...]. Alors,
+$$
+f=g_1\cdots g_r
+$$
+où :
+\begin{enumerate}
+\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$,
+\item Les racines $\alpha$ de $g_i$ sont toutes de valeur absolue :
+$$
+v_L(\alpha)=-\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}.
+$$
+\end{enumerate}
+\end{theoreme2}
+
+\begin{corollaire2}[Eisenstein]
+\end{corollaire2}
+
+Réciproque.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
+et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
+$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension
+est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
+de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
+\begin{itemize}
+\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
+\item $$\begin{array}{l}A[X]/f\ra B\\ X\mapsto x\end{array}$$
+est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+
+\begin{proof}
+\XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
+et dans $K$. Comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$,
+le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}).
+Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que
+$v(a_i)\geq 1$.
+Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions
+$L$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Théorème de Puiseux et structure de l'inertie modérée}
+
+\begin{theoreme2}
+\XXX Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
+Alors, $$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
+\end{theoreme2}
+
+[généralisation : variante modérée et caractéristique mixte]
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soit $L$ une extension finie galoisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où
+$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
+$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
+précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
+Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
+de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
+de groupe $\mu_n(k)$.
+Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
+$$
+\xymatrix{
+L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
+K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
+}
+$$
+L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
+Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
+Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
+et finalement $K\sep=\cup_n K_n$.
+\end{démo}
+
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
new file mode 100644
index 0000000..2b1683e
--- /dev/null
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -0,0 +1,268 @@
+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
+\input{../configuration/commun}
+\input{../configuration/smf}
+\input{../configuration/adresse}
+\input{../configuration/gadgets}
+\input{../configuration/francais}
+\input{../configuration/numerotation}
+\input{../configuration/formules}
+\input{../configuration/encoredesmacros}
+\synctex=1
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{srcltx}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usetikzlibrary{calc}
+
+\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
+
+\externaldocument{extensions-algebriques}
+\externaldocument{correspondance-galois}
+\externaldocument{formes-tordues}
+\externaldocument{spectre}
+\externaldocument{verselles}
+\externaldocument{corps-finis}
+\externaldocument{entiers}
+\externaldocument{categories}
+
+%\textwidth16cm
+%\hoffset-1.5cm
+\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
+
+\begin{document}
+\begin{center}
+Anneaux de Dedekind, corps globaux
+\end{center}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
+\fi
+
+\section{Anneaux de Dedekind}
+
+\subsection{}
+
+\begin{definition2}
+Un anneau de Dedekind est un anneau nœthérien, intègre, normal, de dimension un.
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$
+et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_𝔭(\got{a})$, $𝔭\in S$,
+tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
+De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \SP\max(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Tout idéal fractionnaire non nul est inversible.
+\end{proposition2}
+
+\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats}
+
+\section{Théorèmes de finitude}
+
+\subsection{Finitude du groupe de Picard}
+
+\begin{theoreme2}
+\XXX
+Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
+des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
+\end{theoreme2}
+
+[variante dans le cas d'égale caractéristique.]
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
+Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
+Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
+supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
+Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
+les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
+$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
+il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
+
+Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
+du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
+Admettons un instant le fait suivant :
+\begin{quote}
+Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
+existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
+\end{quote}
+Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
+et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
+un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
+(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
+$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
+Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
+$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
+car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
+Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
+$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
+Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
+Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
+tel que
+$$
+m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
+$$
+Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
+deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
+appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
+$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\subsection{Théorème des unités}
+
+\begin{lemme2}
+\XXX
+Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
+$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
+est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
+engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
+\end{lemme2}
+
+\begin{proof}
+\XXX
+On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
+$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
+Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
+consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
+par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
+du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
+à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
+\end{proof}
+
+\begin{theoreme2}[Théorème des unités de Dirichlet]
+\XXX
+Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
+$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
+Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
+est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+\XXX
+\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
+Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
+et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
+un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
+$$
+\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
+$$
+Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
+\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
+
+
+Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
+est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
+= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
+Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
+$$
+\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
+$$
+Cela résulte de l'égalité
+$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
+jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
+des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
+(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
+l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
+le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
+des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
+
+Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$
+de toute partie bornée est \emph{finie}.
+Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement
+$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
+bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
+est bornée.
+Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
+sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
+Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
+du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
+il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
+pour $e\in 𝒪_K$.
+
+Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
+tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
+de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.
+
+Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.
+
+Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.
+
+\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien]
+Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$
+tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
+\end{quote}
+
+Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.
+
+\begin{quote}
+Il existe une constante $\mu_K$
+telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
+$$\left\{ \begin{array}{l}
+\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
+\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
+\end{array}\right.$$
+\end{quote}
+
+Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs
+satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
+Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
+$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
+\CC^{r_\CC},\
+\left\{ \begin{array}{l}
+|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
+|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
+\end{array}\right.\}
+$$
+(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)
+
+On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
+le produit est muni de la mesure produit.
+L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
+fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
+à l'origine et convexe. Son volume est
+$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
+Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
+$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
+\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
+À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
+$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
+\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
+Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
+ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
+conditions du lemme.
+
+Démontrons le «~lemme chinois~».
+Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu
+du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
+normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
+strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
+$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
+une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.
+
+\begin{quote}
+Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
+ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
+sur une ligne soit nulle.
+Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
+\end{quote}
+
+\end{proof}
+
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
diff --git a/decorum/plan-bouquin.tex b/decorum/plan-bouquin.tex
index 1900cb7..a6a68a5 100644
--- a/decorum/plan-bouquin.tex
+++ b/decorum/plan-bouquin.tex
@@ -200,7 +200,7 @@ et densité des poins algébriques séparables dans un schéma lisse sur un corp
\item définition et caractérisation
\item nombres $p$-adiques ; séries formelles
\item valuation, complétion
-\item prolongement, indices de ramification ($e,f ; ef=n$), définition extension modérées etc., différente
+\item prolongement, indices de ramification ($e,f ; ef=n$), définition extension modérées etc., différente (+ lien avec $Ω¹$)
\item structure des complets (Witt)
\item polygone de Newton ; Eisenstein (application à un résultat de finitude)
\item Puiseux (théorème et séries de), structure de l'inertie modérée