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@@ -3974,7 +3974,7 @@ des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)).
\label{lemme de convergence normale sur compacts}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
-Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} f(a_𝐀+λ)$ converge
+Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ K} |f(a_𝐀+λ)|$ converge
uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit
restreint $f=(f_x)$. Nous traitons séparément corps de fonctions et corps de nombres.
@@ -3995,14 +3995,16 @@ la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie.
❧ Cas des corps de nombres.
D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où
-$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $o ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
+$f^{\mathrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$
+de $o+𝔫𝒪_{K_𝐀}$, pour un $o ∈ K$ et un produit cartésien $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$
de la somme sont nuls sauf peut-être si
$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
-\commentaire{notation merdique : c'est $+(-C)$ et non la soustraction ensembliste}
où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
+(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}$ l'image de l'application
+soustraction, et non la différence ensembliste.)
L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$
ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$,
on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
@@ -4019,92 +4021,97 @@ sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=
dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
on rappelle que $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
$𝐑$-algèbre, à $𝐑^N$ où $N=r_𝐂 + 2 r_𝐂$.)
-
-
- \[⁂\]
-Tout compact de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ étant contenu dans
-l'image de $𝒪_{K_𝐀}$ par une homothétie de rapport dans $K$,
-on peut de même supposer [pas clair \XXX ; dire que $K ∩ (...)$ contenue dans
-idéal fractionnaire ?] le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ contenu dans $𝒪$
-de sorte que $𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}$ est contenu dans $𝒪$.
-Or, on a vu en \ref{cocompacité} (ii) que le sous-groupe
-$K ∩ 𝒪 = 𝒪_K(…)$ est naturellement un réseau dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$.
-Il suffit donc de démontrer le fait suivant :
-\begin{quote}
-Soient $N$ un entier, $φ ∈ 𝒮(𝐑^N)$ et $Λ ≃ 𝐙^N$ un réseau
-de $𝐑^N$. La somme $∑_{λ ∈ Λ} φ(x+λ)$ est uniformément convergente
-sur tout compact.
-\end{quote}
-La démonstration de ce fait, bien connu, est laissée
-en exercice au lecteur.
-
-% références : Weil [BNT, p. 111], Bump. p. 278.
-
-\subsubsection{Démonstration du (iii) : suite et fin}
+Il existe une famille $n_x$ d'entiers négatifs presque tous nuls tels
+que le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+𝒪_{K,x}$ soit contenu dans le produit cartésien $∏_x 𝔪_x^{n_x}$.
+L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})$ est donc contenue
+dans l'idéal fractionnaire produit $I=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ de $K$.
+On s'est donc ramené à montrer que pour toute fonction $φ ∈ 𝒮(K_𝐑)$,
+la série de fonctions $a ↦ ∑_{λ ∈ I} |φ(a+λ)|$ converge uniformément
+sur tout compact de $K_𝐑$. Puisqu'un multiple rationnel (non nul) de $I$ est contenu dans l'anneau
+des entiers $𝒪_K$ on peut supposer, quitte à changer $φ$,
+que $I=𝒪_K$. L'anneau des entiers $𝒪_K$ étant un \emph{réseau}
+dans $K_𝐑$ (\ref{cocompacité} (ii)) (c'est-à-dire : son image
+(par le plongement diagonal) est isomorphe à $𝐙^N$, où $N=\dim_𝐑 K_𝐑$)
+la conclusion résulte du fait élémentaire suivant :
+pour tout entier $N$ et toute fonction $φ ∈ 𝒮(𝐑^N)$,
+la série $a↦ ∑_{λ ∈ 𝐙^n} |φ(a+λ)|$ est uniformément convergente
+sur tout compact de $𝐑^N$. La définition \ref{BS-local}
+nous ramène à la convergence de la série $∑_{k ∈ 𝐙^N} \frac{1}{1+|k|^{s}}$ un
+$s$ suffisamment grand ; chaque $s>N$ convient.
+
+\subsubsection{Formule de Poisson : démonstration}
Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$
et $X$ le groupe abélien compact $G ∕ Γ$. Munissons $G$ d'une mesure
-de Haar et $X$ de la mesure quotient $\dot{μ}$ associée (\ref{mesure quotient}, \ref{domaine fondamental}).
-Soient $f$ comme dans l'énoncé et $F : X → 𝐂$ la fonction continue
-déduite de
+de Haar $μ_G$ et $X$ de la mesure quotient $μ_X$ associée (\ref{module et mesure quotients}).
+Fixons $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et considérons sa périodisée $F : X → 𝐂$, déduite de la
+fonction (continue)
\[
-g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ)
+g ∈ G ↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ)
\]
-par passage au quotient. Posons $v_μ=\dot{μ}(X)$
-Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée (\ref{} \XXX)
-de l'espace de Hilbert $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
+par passage au quotient $G ↠ X=G ∕ Γ$. Notons $v_μ$ le volume $μ_{X}(X)$
+de $X$ et $μ′_X=v_μ^{-1} μ_X$ la mesure de probabilité sur $X$ déduite de $μ_X$.
+Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée
+de l'espace de Hilbert $L²(X,μ′_X)$ (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii), démonstration).
Il résulte d'autre part de \ref{caractères séparent les points} et du
théorème de densité de Stone-Weierstraß (\BourbakiTG{X.§4, th. 3})
-que toute fonction de $𝒞(X,𝐂)$ peut être uniformément approchée
-par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$ :
-la famille des caractères (continus) de $X$ est donc une
-\emph{base hilbertienne} de $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
+que toute fonction continue sur $X$ à valeurs complexes peut être uniformément approchée
+par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$.
+La famille des caractères (continus) de $X$ est donc une
+\emph{base hilbertienne} de $L²(X,μ′_X)$.
On peut donc écrire, dans cet espace,
\[
F = ∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F) \chap{x},
\]
-où $(c_∙(F)) ∈ ℓ²(\chap{X})$.
-Nous allons montrer que cette famille de coefficients appartient
+où $\chap{X}$ désigne l'ensemble des caractères continus $\{\chap{x}\}$ de $X$
+(à valeurs dans $𝐔$) et la famille des coefficients $c_{\chap{x}}(F)$
+appartient à $ℓ²(\chap{X})$.
+Nous allons montrer que cette famille appartient
à $ℓ¹(\chap{X})$, de sorte que la décomposition précédente
-est également valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$
-et, en évaluant en l'identité $0$ de $X$,
+de $F$ est également valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$
+et que l'on a, en évaluant en l'identité $0$ de $X$,
+l'égalité
\[
-∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F).
+∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F),
\]
-Calculons.
+qui s'avère être l'égalité désirée (\emph{a priori} à une constante multiplicative près).
+Calculons :
\[
-c_{\chap{x}}(F)
-=v_μ ^{-1} ∫_X F(\dot{g}) \sur{\chap{x}(\dot{g})} d \dot{μ}(\dot{g})
-=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ(g)
-=v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}),
+c_{\chap{x}}(F) := ⟨F,\chap{x}⟩_{L²(X,μ′_X)}
+=∫_X F(x) \sur{\chap{x}(x)} d μ′_X(x)
+=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ_G(g)
+=:v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}),
\]
-où la dernière égalité est une définition du terme de droite.
-
-Considérons maintenant le cas où $μ=μ_ψ$ et reprenons les notations de l'énoncé.
-Rappelons que d'après \ref{dual des classes de adèles},
+où l'avant-dernière égalité est conséquence
+de \ref{module et mesure quotients} — car on a choisi la mesure de comptage
+sur $Γ$ —, et la dernière est une définition du terme de droite.
+Appliquons ce qui précède lorsque $μ$ est la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ associée
+à un caractère non trivial $ψ$. D'après d'après \ref{dual des classes de adèles},
chaque caractère $\chap{x}$ est de la forme $[× λ]^* ψ$ pour
-un unique $λ ∈ K$. Par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a
-\[
-ℱ_μ(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)
-\]
-Comme on l'a vu \emph{loc. cit.}, $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$
-de sorte que, d'après \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
-$λ↦ ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓ¹(K)$.
+un unique $λ ∈ K$ et, par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a
+$ℱ_{μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)$.
+Comme on l'a vu précédemment (\ref{définition Fourier adélique} et
+\ref{lemme de convergence normale sur compacts}), $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$
+et $λ↦ ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓ¹(K)$.
On a donc montré l'égalité
\[
-∑_λ f(λ) = v_μ ^{-1} ℱ_ψ(f)(λ)
+∑_{λ ∈ K} f(λ) =c ⋅ ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ)
\]
-pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
+pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, où $c$ %=v_{μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ} ^{-1}$
+est une constante positive.
Il résulte immédiatement de la formule d'inversion (ii)
-et de l'égalité $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $v_μ ^{-2} =1$ d'où $v_μ=1$
-car $v_μ$ est positif. Ceci démontre la formule de Poisson et (i).
-
-(iv) Résulte immédiatement de (iii) et des formules
-$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
+et de l'égalité $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $c²=1$, d'où $c=1$.
+CQFD.
+\subsubsection{Formule de Poisson-Riemann-Roch}
+La formule (iv) résulte de la formule de Poisson que l'on vient
+d'établir, appliquée à la fonction $[×ι]^*f$,
+et de l'égalité $ℱ_ψ([×ι]^*f)=|ι|^{-1}[× ι^{-1}]^* ℱ_ψ(f)$,
+elle-même conséquence immédiate de \ref{Fourier et mesure locaux}, (iii.a).
\begin{remarque2}
-Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II}.
-\XXX
+Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II} ; cf.
+notes à la fin. \XXX
\end{remarque2}
\subsection{Le théorème de Riemann-Roch}