diff options
| -rw-r--r-- | chapitres/Cebotarev.tex | 133 |
1 files changed, 100 insertions, 33 deletions
diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex index 66e5f26..190d9e7 100644 --- a/chapitres/Cebotarev.tex +++ b/chapitres/Cebotarev.tex @@ -31,7 +31,7 @@ %\textwidth16cm %\hoffset-1.5cm -\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} +%\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} \begin{document} \begin{center} @@ -42,11 +42,59 @@ Réduction modulo $p$ \chapter{Réduction modulo $p$} \fi -\section{Le théorème de Frobenius} +\section{Généralités} + +\subsection{Le théorème de spécialisation du groupe de +Galois par réduction modulo $p$} + +L'objectif principal de ce chapitre est d'établir une réciproque +au théorème \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles}, +dont nous commençons par rappeler l'énoncé : + +\begin{théorème2} +Soit $f \in \QQ[X]$ un polynôme unitaire à coefficients rationnels et +$p$ un nombre premier, ne divisant le dénominateur d'aucun coefficient +de $f$, tel que la réduction $f_p \in \FF_p[X]$ de $f$ modulo $p$ soit +séparable, et soient $d_1,\ldots,d_r$ (avec $d_1 + \cdots + d_r += \deg(f)$) les degrés des facteurs irréductibles de $f_p$. Alors le +groupe de Galois $G_f$ de $f$ contient un élément qui, vu comme +élément de $\mathfrak{S}_{\deg(f)}$ par son action sur les racines +de $f$ (nécessairement distinctes), se décompose comme produit de $r$ +cycles de longueurs $(d_1,\ldots,d_r)$. +\end{théorème2} -\subsection{Rappels} +\subsubsection{}Nous allons maintenant \emph{esquisser} une +seconde démonstration de ce théorème. Supposons pour +simplifier $f ∈ 𝐙[X]$ unitaire de degré $d$, supposé séparable +de même que sa réduction modulo un nombre premier $p$. +Soient $ξ₁,…,ξ_d$ ses racines dans un corps de +décompositions $K$ de $f$. Considérons la combinaison +linéaire « générique » $c=ξ₁Y₁+\cdots+ ξ_d Y_d$ +dans le corps $M=K(Y₁,…,Y_d)$ sur lequel $G=\Gal(f)$ +agit (trivialement sur les $Y_i$ et par permutation des +racines $ξ_i$). On a vu en \refext{calculs}{methode-Kronecker-calcul-Galois} +que le groupe de Galois $G$ de $f$ s'identifie au +stabilisateur du polynôme minimal $F$ de $c$ sur $𝐐(Y₁,…,Y_d)$. +Ce polynôme appartient à $𝐙[Y₁,…,Y_d][X]$ ; on peut donc +considérer sa réduction $\sur{F}$ modulo $p$. +Factorisons $\sur{F}=G₁ \cdots G_r$ dans $𝐅_p[Y₁,…,Y_d][X]$. +D'après \emph{loc. cit.}, le groupe de Galois de la +réduction $\sur{f}$ de $f$ modulo $p$ s'identifie +au stabilisateur de chacun des facteurs $G_i$ : c'est un +sous-groupe du groupe précédent. +Le théorème ci-dessus résulte alors du fait que le groupe +de Galois d'un corps fini est cyclique (engendré +par la substitution de Frobenius) et que +les identifications précédentes respectent l'action +sur les racines. + +\XXX pas hyper clair. + + +\subsection{Abondance des polynômes de groupe de Galois maximal} \begin{proposition2} +\label{Sd-par-2-3-l} Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$ de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique $\got{S}_d$. @@ -60,34 +108,35 @@ est irréductible (resp. produit d'un facteur linéaire et d'un facteur irréductible de degré $d-1$, resp. produit d'un facteur quadratique irréductible et de facteurs linéaires). -L'existence de ces polynômes est assurée par \refext{Fin}{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}. -Pour $f_ℓ$, on utilise également le fait que $\#𝐅_ℓ ≥ d-2$ -pour garantir de l'existence de suffisamment de facteurs linéaires distincts. +L'existence de ces polynômes est assurée par \refext{Fin}{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis} +et, dans le cas de $f_ℓ$, on utilise également l'inégalité $\#𝐅_ℓ ≥ d-2$ +garantissant l'existence de suffisamment de facteurs linéaires distincts. Soit $f ∈ 𝐙[X]$ unitaire de degré $d$ relevant $f₂,f₃$ -et $f_ℓ$ ; son existence résulte du lemme chinois. -Le polynôme $f$ est irréductible car $f₂$ l'est. +et $f_ℓ$, dont l'existence résulte du lemme chinois. +Il est irréductible car $f₂$ l'est. Son groupe de Galois $G$ agit donc transitivement sur l'ensemble de ses racines dans un corps de décomposition. Il contient un $d-1$-cycle (resp. une transposition) car il en est ainsi du groupe de Galois de $f₃$ (resp. de $f_ℓ$) : cela résulte du -théorème de Dedekind (et Bauer ? \XXX) -\refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles}. +théorème de Dedekind \commentaire{Dedekind et un certain Bauer (cf. +van der Waerden) ?} \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles}. Or, tout sous-groupe transitif de $𝔖_d$ contenant une transposition et un $d-1$-cycle est le groupe $𝔖_d$ tout -entier. En effet, on peut supposer que les $d-1$-cycle est +entier. En effet, on peut supposer que le $d-1$-cycle est $c=(1,2,…,d-1)$ et, par transitivité de l'action que -la transposition est $τ=(i,d)$ pour un $1 ≤ i ≤ d-1$. Par conjugaison, on obtient +la transposition est $τ=(i,d)$ pour un $1 ≤ i ≤ d-1$. Par +conjugaison par les puissances de $c$, on obtient toutes les transpositions $(j,d)$. Il est bien connu -qu'elles engendrent $𝔖_d$ (l'arbre naturellement associé est -connexe). +qu'elles engendrent $𝔖_d$ : l'arbre naturellement associé est +connexe. \end{démo} -Nous allons préciser la proposition précédente en démontrons le théorème suivant. -La démonstration utilise les idées précédentes -et les estimations utilisées en \refext{Fin}{polynomes-presque-tous-irreductibles}. +Nous allons préciser la proposition précédente en démontrons +le théorème suivant, en utilisant les idées précédentes +ainsi que les estimations utilisées en \refext{Fin}{polynomes-presque-tous-irreductibles}. -\begin{théorème2}[\cite{Dorge},\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}] +\begin{théorème2}[\cite{Seltenheit@Dorge},\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}] Soit $d ≥ 1$ un entier. Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$ unitaires de degré $d$ à coefficients dans un intervalle $[-N,N]$, la proportion @@ -105,37 +154,55 @@ Pour chaque $p ≥ 3$, la proportion des polynômes unitaires, de degré $d$ dans $𝐅_p[X]$ qui sont : \begin{itemize} -\item \emph{irréductibles} est au moins égale à $\frac{1}{2d}$ +\item « de type $1$ », c'est-à-dire \emph{irréductibles}, est au moins égale à $\frac{1}{2d}$ (\refext{Fin}{estimation-uniforme-proportion-polynomes-irreductibles-dans-Fp}) ; -\item \emph{produit d'un facteur linéaire et d'un facteur irréductible} +\item « de type $2$ », c'est-à-dire \emph{produits d'un facteur linéaire et d'un facteur irréductible} (nécessairement de degré $d-1$) est au moins $\frac{1}{1}×\frac{1}{2(d-1)}$ (puisque tout polynôme de degré $1$ est irréductible) ; -\item \emph{produit d'un facteur quadratique irréductible et un ou deux facteurs irréductibles distincts de degrés impairs} +\item « de type $3$ », c'est-à-dire \emph{produits +d'un facteur quadratique irréductible et un ou deux facteurs irréductibles distincts de degrés impairs} est au moins $\frac{1}{8(d-3)}$ : si $d$ est impair, -on peut minorer par $\frac{1}{2×2} × -\frac{1}{2(d-2)}$ (un seul facteur irréductible -de degré impair $d-2$) et, si $d$ est pair, -on peut minorer par $\frac{1}{2×2} × -\frac{1}{2(d-3)} × \frac{1}{1}$ (un facteur -irréductible de degré impair $d-3$ et un facteur -linéaire). +on peut minorer cette proportion par $\frac{1}{2×2} × +\frac{1}{2(d-2)}$ — correspondant à la partition +$d=2+(d-2)$ — et, si $d$ est pair, +on peut la minorer par $\frac{1}{2×2} × +\frac{1}{2(d-3)} × \frac{1}{1}$ +— correspondant à la partition $d=2+(d-3)+1$ —. \end{itemize} -Ainsi, il existe un réel $0<δ<1$, indépendant de $p$, +Ainsi, il existe un réel $0<δ<1$, \emph{indépendant de $p$}, tel que la proportion des polynômes modulo $p$ (unitaires, de degré $d$) ayant un des trois types de décomposition précédent est supérieure ou égale à $δ$. Notons que tout polynôme (unitaire, de degré $d$) -à coefficients entiers ayant ses trois type de décomposition -modulo trois nombres premiers a pour groupe de Galois $𝔖_d$. +à coefficients entiers ayant ses trois types de décomposition +modulo trois nombres premiers distincts a pour groupe de Galois $𝔖_d$. La démonstration est la même que ci-dessus, si ce n'est que l'on doit éventuellement élever à une puissance impaire un cycle pour obtenir une transposition. -[...] +Soit $P=p₁…p_r$ un produit de nombres premiers distincts $≠2$. +Il résulte du lemme chinois et de ce qui précède que pour chaque $t ∈ \{1,2,3\}$, +la proportion des polynômes unitaires de degré $d$ de $𝐙/P[X]$ +dont aucune des réductions modulo $p₁,…,p_r$ n'est de +type $t$ est au plus $(1-δ)^r$. En conséquence, +le nombre de polynômes unitaires $f$ de degré $d$ de $𝐙/P[X]$ +tel que pour chaque $t ∈ \{1,2,3\}$, il existe un $p_t | P$ +tel que $f \mod p_t$ soit de type $t$ est \emph{au moins} +$(1-3(1-δ)^r) P^d$. Soit maintenant $ε >0$ et $r$ +tel que $2^d ⋅ 3(1-δ)^r< ε$. +Alors, la proportion des polynômes unitaires de degré $d$ +à coefficients dans $[-N,N]$ dont les réductions +modulo $p₁,…,p_r$ réalisent les trois types considérés +est supérieure ou égale à $1-ε$. (Le calcul +a été fait en \refext{Fin}{polynomes-presque-tous-irreductibles}.) +De tels polynômes ont pour groupe de Galois $𝔖_d$ (cf. +\ref{Sd-par-2-3-l}). \end{démo} -\subsection{Énoncé et démonstration} +\section{Le théorème de Frobenius-Čebotarëv} + +\subsection{Énoncé du théorème} \begin{définition2} Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique) |