diff options
| -rw-r--r-- | KASW.tex | 86 |
1 files changed, 77 insertions, 9 deletions
@@ -2115,11 +2115,11 @@ la bijection étant donnée par les coordonnées de Witt : on associe le morphisme $φ_f:M → K$ envoyant $X_{q ′}$ sur $α_{q ′}$. D'autre part, il résulte du lemme de Yoneda (\refext{Cat}{lemme-de-yoneda}) que l'endomorphisme $℘_W$ du foncteur $W → W$ -correspond à un endomorphisme $℘_M$ de l'algèbre $M$. +correspond à un endomorphisme $℘^M$ de l'algèbre $M$. Soient $f ∈ W(K)$ et $A$ une $K$-algèbre. La fibre $℘_W^{-1}(f)(A)$ du morphisme $℘_W:W(A) → W(A)$ au-dessus de l'image de $f$ dans $W(A)$ est naturellement en bijection avec l'ensemble des $A$-points -de la $K$-algèbre $M(f):=M ⊗_{℘_M,M,φ_f} K$ (\refext{Tens}{}). En d'autres termes, +de la $K$-algèbre $M(f):=M ⊗_{℘^M,M,φ_f} K$ (\refext{Tens}{}). En d'autres termes, le foncteur $A ↦ ℘_W^{-1}(f)(A)$ est représentable par la $K$-algèbre $M(f)$. @@ -2161,6 +2161,17 @@ d'où un $K$-isomorphisme entre $M(0)$ et $M(f)$. La conclusion résulte de la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt}. \end{démo} +Plus généralement, on peut démontrer la proposition suivante. + +\begin{proposition2}\label{revêtement ASW} +L'extension $M_{[q]} → M_{[q]}$ définie par $℘^{M_{[q]}}$ est +\emph{galoisienne de groupe $W_{[q]}(𝐅_p)$}. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +\end{démo} + \begin{exercice2} Pour tout $r+1$-uplet $α$ de $𝐅_p^{r+1}$, notons $\gtilde{α}$ l'unique relèvement de $α$ dans $[0,p-1]^{r+1} ⊆ 𝐙^{r+1}$. @@ -2241,6 +2252,70 @@ si et seulement si son image dans $𝐙/p$ est triviale. \subsubsection{Première démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode verselle} +Nous allons utiliser la même méthode qu'en \refext{Versel}{AS via +groupes algébriques}, qui repose de façon cruciale sur +\emph{op. cit.}, \ref{base normale géométrique} +et la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt} ci-dessus. +Notons respectivement $E_{[q]}$ et $B_{[q]}$ les $𝐅_p$-algèbres +$E(𝐙/p^{r+1})$ et $B(𝐙/p^{r+1})$ de \refext{Versel}{notations base +normale géométrique}. Soit $K\bo k$ une extension galoisienne +de groupe cyclique d'ordre $p^{r+1}$. D'après +\refext{Versel}{base normale géométrique}, il existe un $k$-morphisme +$B_{[q]} → k$ tel que $K$ soit $k$-isomorphe au produit tensoriel +$E_{[q]} ⊗_{B_{[q]}} k$. Comme on l'a vu, cela est équivalent +à l'existence (\emph{a priori} plus faible) d'un carré +commutatif + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto] + \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex] +{ K \pgfmatrixnextcell E_{[q]} \\ k \pgfmatrixnextcell B_{[q]}\\}; + \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1); + \draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2); + \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-1-2); + \draw[<-] (diag-2-1) -- (diag-2-2); + \end{tikzpicture} + \end{center} + +Il résulte de \refext{Versel}{unités algèbre +de groupe et EG} et du fait que l'on est en caractéristique $p>0$ +que l'algèbre $E_{[q]}$ représente le foncteur $A ↦ +(A[X]/X^{p^{r+1}})^×$, l'action naturelle de $𝐙/p^{r+1}$ +sur $E_{[q]}$ correspondant à la multiplication par $1+X$. +D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{\japmath{田}}$ +se surjecte sur le foncteur $W_{[q]}$ par \XXX. + +Admettons un instant qu'il existe un morphisme +$B_{[q]}^{\japmath{田}} → W_{[q]}$ faisant commuter +le diagramme ci-dessous. + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto] + \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex] +{ E_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\}; + \draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1); + \draw[->] (diag-1-2) -- node{$℘_{W_{[q]}}$} (diag-2-2); + \draw[->>] (diag-1-1) -- (diag-1-2); + \draw[->,dotted] (diag-2-1) -- (diag-2-2); + \end{tikzpicture} + \end{center} + +En retournant les flèches — c'est-à-dire en passant aux $𝐅_p$-algèbres +représentant ces foncteurs — et en recollant ce diagramme avec le +précédent, on en déduit l'existence d'un carré commutatif : + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto] + \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex] +{ K \pgfmatrixnextcell M_{[q]} \\ k \pgfmatrixnextcell M_{[q]}\\}; + \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1); + \draw[<-] (diag-1-2) -- node{$℘^{M_{[q]}}$} (diag-2-2); + \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-1-2); + \draw[<-] (diag-2-1) -- node{$f$} (diag-2-2); + \end{tikzpicture} + \end{center} + +On en déduit un morphisme de $k$-algèbres $M(f) → +K$ ; d'après \ref{revêtement ASW} et \refext{Versel}{Gal-G est un +groupoide} le morphisme $M(f) → K$ est un isomorphisme. + \begin{proposition2} On a $F_p(E_p(-X)f)=E_p(-X)F_p(f)$ et la multiplication par $E_p(-X)$ correspond à l'action d'un générateur @@ -2249,13 +2324,6 @@ un carré commutatif avec $B(𝐙/p^r) → E(𝐙/p^r)$ (morphisme canonique) et $℘=F_p \ominus \Id : W_{[q]} → W_{[q]}$. \end{proposition2} -Version plus explicite. -Pour que $K(\sqrt[℘]{(α_{q ′}:q ′ |q})\bo k$ soit cyclique -d'ordre $q$, il faut que $α₁ ∈ ℘(k)$. Cela résulte du fait -qu'un sous-groupe de $𝐙/q$ se surjectant sur $𝐙/p$ est nécessairement -égal à $𝐙/q$. - - \subsubsection{Seconde démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode cohomologique} |