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@@ -2115,11 +2115,11 @@ la bijection étant donnée par les coordonnées de Witt :
on associe le morphisme $φ_f:M → K$ envoyant $X_{q ′}$
sur $α_{q ′}$. D'autre part, il résulte du lemme de Yoneda
(\refext{Cat}{lemme-de-yoneda}) que l'endomorphisme $℘_W$ du foncteur $W → W$
-correspond à un endomorphisme $℘_M$ de l'algèbre $M$.
+correspond à un endomorphisme $℘^M$ de l'algèbre $M$.
Soient $f ∈ W(K)$ et $A$ une $K$-algèbre. La fibre $℘_W^{-1}(f)(A)$ du morphisme
$℘_W:W(A) → W(A)$ au-dessus de l'image de $f$ dans $W(A)$ est naturellement
en bijection avec l'ensemble des $A$-points
-de la $K$-algèbre $M(f):=M ⊗_{℘_M,M,φ_f} K$ (\refext{Tens}{}). En d'autres termes,
+de la $K$-algèbre $M(f):=M ⊗_{℘^M,M,φ_f} K$ (\refext{Tens}{}). En d'autres termes,
le foncteur $A ↦ ℘_W^{-1}(f)(A)$ est représentable
par la $K$-algèbre $M(f)$.
@@ -2161,6 +2161,17 @@ d'où un $K$-isomorphisme entre $M(0)$ et $M(f)$. La conclusion
résulte de la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt}.
\end{démo}
+Plus généralement, on peut démontrer la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}\label{revêtement ASW}
+L'extension $M_{[q]} → M_{[q]}$ définie par $℘^{M_{[q]}}$ est
+\emph{galoisienne de groupe $W_{[q]}(𝐅_p)$}.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
\begin{exercice2}
Pour tout $r+1$-uplet $α$ de $𝐅_p^{r+1}$, notons $\gtilde{α}$
l'unique relèvement de $α$ dans $[0,p-1]^{r+1} ⊆ 𝐙^{r+1}$.
@@ -2241,6 +2252,70 @@ si et seulement si son image dans $𝐙/p$ est triviale.
\subsubsection{Première démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode verselle}
+Nous allons utiliser la même méthode qu'en \refext{Versel}{AS via
+groupes algébriques}, qui repose de façon cruciale sur
+\emph{op. cit.}, \ref{base normale géométrique}
+et la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt} ci-dessus.
+Notons respectivement $E_{[q]}$ et $B_{[q]}$ les $𝐅_p$-algèbres
+$E(𝐙/p^{r+1})$ et $B(𝐙/p^{r+1})$ de \refext{Versel}{notations base
+normale géométrique}. Soit $K\bo k$ une extension galoisienne
+de groupe cyclique d'ordre $p^{r+1}$. D'après
+\refext{Versel}{base normale géométrique}, il existe un $k$-morphisme
+$B_{[q]} → k$ tel que $K$ soit $k$-isomorphe au produit tensoriel
+$E_{[q]} ⊗_{B_{[q]}} k$. Comme on l'a vu, cela est équivalent
+à l'existence (\emph{a priori} plus faible) d'un carré
+commutatif
+
+\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
+ \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
+{ K \pgfmatrixnextcell E_{[q]} \\ k \pgfmatrixnextcell B_{[q]}\\};
+ \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+ \draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+ \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+ \draw[<-] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+Il résulte de \refext{Versel}{unités algèbre
+de groupe et EG} et du fait que l'on est en caractéristique $p>0$
+que l'algèbre $E_{[q]}$ représente le foncteur $A ↦
+(A[X]/X^{p^{r+1}})^×$, l'action naturelle de $𝐙/p^{r+1}$
+sur $E_{[q]}$ correspondant à la multiplication par $1+X$.
+D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{\japmath{田}}$
+se surjecte sur le foncteur $W_{[q]}$ par \XXX.
+
+Admettons un instant qu'il existe un morphisme
+$B_{[q]}^{\japmath{田}} → W_{[q]}$ faisant commuter
+le diagramme ci-dessous.
+
+\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
+ \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
+{ E_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\};
+ \draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+ \draw[->] (diag-1-2) -- node{$℘_{W_{[q]}}$} (diag-2-2);
+ \draw[->>] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+ \draw[->,dotted] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+En retournant les flèches — c'est-à-dire en passant aux $𝐅_p$-algèbres
+représentant ces foncteurs — et en recollant ce diagramme avec le
+précédent, on en déduit l'existence d'un carré commutatif :
+
+\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
+ \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
+{ K \pgfmatrixnextcell M_{[q]} \\ k \pgfmatrixnextcell M_{[q]}\\};
+ \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+ \draw[<-] (diag-1-2) -- node{$℘^{M_{[q]}}$} (diag-2-2);
+ \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+ \draw[<-] (diag-2-1) -- node{$f$} (diag-2-2);
+ \end{tikzpicture}
+ \end{center}
+
+On en déduit un morphisme de $k$-algèbres $M(f) →
+K$ ; d'après \ref{revêtement ASW} et \refext{Versel}{Gal-G est un
+groupoide} le morphisme $M(f) → K$ est un isomorphisme.
+
\begin{proposition2}
On a $F_p(E_p(-X)f)=E_p(-X)F_p(f)$ et la multiplication
par $E_p(-X)$ correspond à l'action d'un générateur
@@ -2249,13 +2324,6 @@ un carré commutatif avec $B(𝐙/p^r) → E(𝐙/p^r)$ (morphisme
canonique) et $℘=F_p \ominus \Id : W_{[q]} → W_{[q]}$.
\end{proposition2}
-Version plus explicite.
-Pour que $K(\sqrt[℘]{(α_{q ′}:q ′ |q})\bo k$ soit cyclique
-d'ordre $q$, il faut que $α₁ ∈ ℘(k)$. Cela résulte du fait
-qu'un sous-groupe de $𝐙/q$ se surjectant sur $𝐙/p$ est nécessairement
-égal à $𝐙/q$.
-
-
\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode cohomologique}