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-rw-r--r--chapitres/AVD-Dedekind.tex (renamed from chapitres/AVD.tex)233
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex (renamed from chapitres/Dedekind.tex)369
-rw-r--r--livre/livre.tex4
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diff --git a/chapitres/AVD.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index 6a3a5b9..04c1d02 100644
--- a/chapitres/AVD.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -17,7 +17,7 @@
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}
-\title{Anneaux de valuation discrète}
+\title{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
@@ -28,7 +28,6 @@
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-\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont}
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@@ -36,11 +35,11 @@
\begin{document}
\begin{center}
-Anneaux de valuation discrète
+Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind
\end{center}
\tableofcontents
\else
-\chapter{Anneaux de valuation discrète}
+\chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
\fi
\section{Anneaux de valuation, places et valeurs absolues : généralités}
@@ -692,199 +691,133 @@ la généralisation.
Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$.
\end{définition2}
-\section{Analyse harmonique : corps locaux}
-\subsection{Corps locaux}
-
-On note $𝐐_∞=𝐑$.
-
-\begin{définition2}
-On appelle \emph{corps local} un corps contenant
-un sous-corps isomorphe un corps $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de
-séries de Laurent $𝐅_p((t))$, et fini sur celui-ci.
-\end{définition2}
-
-\begin{remarque2}
-On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}) est localement compact
-si et seulement si il peut être muni d'une topologie
-non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
-\end{remarque2}
-
-Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local.
-Lorsque $K$ est non-archimédien, on note $𝒪$
-son anneau des entiers, d'idéal maximal $𝔪$,
-et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
-le cardinal.
-
-\begin{définition2}
-Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble
-des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de
-décroissante à l'infini suivante :
-\begin{itemize}
-\item[$K$ non-archimédien :] $f$ est à support compact.
-\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction
-à une ou deux variables réelles et pour toute paire de
-polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction
-réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. [clarifier \XXX]
-\end{itemize}
-Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou
-\emph{Bruhat-Schwartz}.
-\end{définition2}
+\section{Anneaux de valuation discrète tronqués}
-\subsection{Théorie additive}
+Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti).
-\subsubsection{}
-Caractères : ils sont continus.
+\section{Anneaux de Dedekind : généralités}
-\begin{définition2}
-Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé
-non-archimédien.
-On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
-entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$.
-\end{définition2}
+\subsection{}
\begin{proposition2}
+Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$.
+Les conditions suivante sont équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item Si $K$ est non-archimédien, les groupes $K$ et $\chap{K}$ sont isomorphes.
-Plus précisément :
-\begin{enumerate}
-\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K\bo k}-\{0\}$,
-et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$,
-\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\]
-est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$
-est de la forme $y ↦ \exp(\frac{2i π}{p} \Tr_{k \bo 𝐅_p}(λ y))$ pour
-un unique élément $λ ∈ k$.
-\item Si $K$ est d'inégale caractéristique et $ψ₀ ∈ \chap{𝐐_p}-\{0\}$,
-$K → \chap{K}$,
-\[x ↦ \big( ψ₀ ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}(xy)\big)\]
-est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{𝐐_p}$
-est de la forme $y ↦ \exp(2 i π \{ λ y\})$, pour un unique élément
-$λ ∈ 𝐐_p$, où $\{z\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $z-\{z\}
-∈ 𝐙_p$.
-\end{enumerate}
-\item Si $K=𝐑$, tout élément de $\chap{𝐑}$ est de la forme
-\[
-y ↦ \exp(2 i π λ y),
-\]
-pour un $λ ∈ 𝐑$ bien défini à un entier près : l'application
-précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$.
-
+\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ;
+\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ;
+\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$,
+le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation
+discrète.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
-et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$.
-Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
-\[
-ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
-\]
-
-L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
-qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
-topologique $K$.
-
-\begin{remarques2}
-Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est
-en fait une somme \emph{finie}.
+\begin{démo}
+AC, diviseurs p. 217.
+\end{démo}
-D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
-de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
-alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
-fonction sur $\chap{K}$.
-\end{remarques2}
+\begin{definition2}
+Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
+\end{definition2}
\begin{proposition2}
-\begin{enumerate}
-\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
-\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
-\[
-ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*,
-\]
-où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
-\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
-$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l'unique
-mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit
-de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$.
-[signe devant $n$ ? \XXX]
-\end{enumerate}
+\XXX
+Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
+tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
+De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
\end{proposition2}
-On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
-à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.
+\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
+Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un
+et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie
+$L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau
+de Dedekind.
+\end{théorème2}
\begin{démo}
-Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
+p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
\end{démo}
-\begin{exemple2}
-\XXX
-Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
-Lien avec sommes de Gauß.
-\end{exemple2}
+Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.
-\subsection{Théorie multiplicative}
+\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en
+produit d'idéaux premiers.
-\subsection{Quasi-caractères}
+\subsection{Diviseurs}
\begin{définition2}
-Conducteur.
+diviseurs, diviseurs effectifs etc.
\end{définition2}
-$ω_s=| ⋅ |^s$.
+\subsection{Sorites sur la ramification}
\begin{proposition2}
-Structure des quasi-caractères.
+\XXX Le composé de deux extensions non ramifiées est non ramifiée.
\end{proposition2}
-\begin{démo}
-Cf. ex. Tate.
-\end{démo}
+\subsection{Différente}
-\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ l'unique mesure
-de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que
-le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un.
+\begin{définition2}
+Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace).
+\end{définition2}
-\begin{lemme2}
-Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
-\end{lemme2}
+Lien avec la définition locale.
-Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, et chaque $s ∈ 𝐂$
-dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
+\begin{proposition2}
+Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{corollaire2}
+Presque tous les idéaux sont non-ramifiés.
+\end{corollaire2}
+
+Méthodes de calcul.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$.
+Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme
+minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$.
+[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Formule
\[
-ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}}
+\frac{1}{f(X)}= ∑ …
\]
+\end{démo}
\begin{proposition2}
-Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
-Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que,
-pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
-\begin{enumerate}
-\item la fonction $s ↦ ζ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ;
-\item l'équation fonctionnelle
+\XXX
\[
-γ(s,χ,ψ)ζ(s,χ,f)=ζ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)).
-\]
-est satisfaite.
-\end{enumerate}
+\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2
+=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration
-plus jolie.
+\XXX
+$\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$.
\end{démo}
-\begin{exemples2}
-Exemples de $γ$.
-\end{exemples2}
+\begin{définition2}
+Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n} p^{φ(n)/(p-1)}$.
+\end{proposition2}
-\section{Anneaux de valuation discrète tronqués}
-Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti).
\section{Notes}
-Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ;
-[Colmez, appendice F].
\ifx\danslelivre\undefined
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index b77fbaf..6f6d0bc 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -17,7 +17,9 @@
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}
-\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
+\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont}
+
+\title{Corps locaux, corps globaux}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
@@ -34,161 +36,314 @@
\begin{document}
\begin{center}
-Anneaux de Dedekind, corps globaux
+Corps locaux, corps globaux
\end{center}
\tableofcontents
\else
-\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
+\chapter{corps locaux, corps globaux}
\fi
-\section{Anneaux de Dedekind}
+\section{Corps locaux}
+
+\subsection{Définitions}
+
+On note $𝐐_{∞}=𝐑$.
+
+\begin{définition2}
+On appelle \emph{corps local} un corps contenant
+un sous-corps isomorphe un corps $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de
+séries de Laurent $𝐅_p((t))$, et fini sur celui-ci.
+\end{définition2}
+
+\begin{remarque2}
+On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}) est localement compact
+si et seulement si il peut être muni d'une topologie
+non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
+\end{remarque2}
+
+Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local.
+Lorsque $K$ est non-archimédien, on note $𝒪$
+son anneau des entiers, d'idéal maximal $𝔪$,
+et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
+le cardinal.
+
+\begin{définition2}
+Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble
+des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de
+décroissante à l'infini suivante :
+\begin{itemize}
+\item[$K$ non-archimédien :] $f$ est à support compact.
+\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction
+à une ou deux variables réelles et pour toute paire de
+polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction
+réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. [clarifier \XXX]
+\end{itemize}
+Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou
+\emph{Bruhat-Schwartz}.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Analyse harmonique : théorie additive}
-\subsection{}
+\subsubsection{}
+Caractères : ils sont continus.
+
+\begin{définition2}
+Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé
+non-archimédien.
+On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
+entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$.
+\end{définition2}
\begin{proposition2}
-Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$.
-Les conditions suivante sont équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ;
-\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ;
-\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$,
-le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation
-discrète.
+\item Si $K$ est non-archimédien, les groupes $K$ et $\chap{K}$ sont isomorphes.
+Plus précisément :
+\begin{enumerate}
+\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K\bo k}-\{0\}$,
+et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$,
+\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\]
+est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$
+est de la forme $y ↦ \exp(\frac{2i π}{p} \Tr_{k \bo 𝐅_p}(λ y))$ pour
+un unique élément $λ ∈ k$.
+\item Si $K$ est d'inégale caractéristique et $ψ₀ ∈ \chap{𝐐_p}-\{0\}$,
+$K → \chap{K}$,
+\[x ↦ \big( ψ₀ ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}(xy)\big)\]
+est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{𝐐_p}$
+est de la forme $y ↦ \exp(2 i π \{ λ y\})$, pour un unique élément
+$λ ∈ 𝐐_p$, où $\{z\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $z-\{z\}
+∈ 𝐙_p$.
+\end{enumerate}
+\item Si $K=𝐑$, tout élément de $\chap{𝐑}$ est de la forme
+\[
+y ↦ \exp(2 i π λ y),
+\]
+pour un $λ ∈ 𝐑$ bien défini à un entier près : l'application
+précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$.
+
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-\begin{démo}
-AC, diviseurs p. 217.
-\end{démo}
+\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
+et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$.
+Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
+\[
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
+\]
+
+L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
+qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
+topologique $K$.
-\begin{definition2}
-Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
-\end{definition2}
+\begin{remarques2}
+Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est
+en fait une somme \emph{finie}.
+
+D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
+de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
+alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
+fonction sur $\chap{K}$.
+\end{remarques2}
\begin{proposition2}
-\XXX
-Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
-Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
-et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
-tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
-De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
-$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
-où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
-pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+\begin{enumerate}
+\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
+\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
+\[
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*,
+\]
+où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
+\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
+$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l'unique
+mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit
+de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$.
+[signe devant $n$ ? \XXX]
+\end{enumerate}
\end{proposition2}
-\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
-Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un
-et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie
-$L\bo K$, le normalisé $B$ de $A$ dans $L$ est un anneau
-de Dedekind.
-\end{théorème2}
+On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
+à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.
\begin{démo}
-p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
+Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
\end{démo}
-Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.
-
-\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en
-produit d'idéaux premiers.
+\begin{exemple2}
+\XXX
+Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
+Lien avec sommes de Gauß.
+\end{exemple2}
-\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats}
+\subsection{Analyse harmonique : théorie multiplicative}
-\begin{définition2}
-\XXX
-Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$.
-\end{définition2}
+\subsubsection{Quasi-caractères}
\begin{définition2}
-\XXX
-Adèles ; idèles.
+Conducteur.
\end{définition2}
+$ω_s=| ⋅ |^s$.
\begin{proposition2}
-\XXX
-$k$ est discret dans $A_k$ et $A_k \bo k$ est compact ; de mesure $1$.
+Structure des quasi-caractères.
\end{proposition2}
-\begin{corollaire2}
-\XXX
-Formule du produit.
-\end{corollaire2}
+\begin{démo}
+Cf. ex. Tate.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ l'unique mesure
+de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que
+le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un.
+
+\begin{lemme2}
+Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
+\end{lemme2}
+
+Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, et chaque $s ∈ 𝐂$
+dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
+\[
+ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}}
+\]
\begin{proposition2}
-$k^×$ est discret dans $I_k$ et
-$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure
-$…$ en caractéristique nulle.
+Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
+Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que,
+pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
+\begin{enumerate}
+\item la fonction $s ↦ ζ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ;
+\item l'équation fonctionnelle
+\[
+γ(s,χ,ψ)ζ(s,χ,f)=ζ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)).
+\]
+est satisfaite.
+\end{enumerate}
\end{proposition2}
-Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions
-(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}).
+\begin{démo}
+Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration
+plus jolie.
+\end{démo}
+
+\begin{exemples2}
+Exemples de $γ$.
+\end{exemples2}
+
+
+\section{Adèles, idèles}
-\subsection{Diviseurs}
+
+
+
+\subsection{Corps globaux : définitions}
\begin{définition2}
-diviseurs, diviseurs effectifs etc.
+\XXX
+Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$.
\end{définition2}
-\subsection{Sorites sur la ramification}
+On note $P_K$ l'ensemble des places et $P_K^∞$ l'ensemble des places
+infinies.
+
+
+\subsection{Préliminaires topologiques et autres tribulations}
+[à omettre en première lecture]
\begin{proposition2}
-\XXX Le composé de deux extensions non ramifiées est non ramifiée.
+\begin{enumerate}
+\item compact et discret implique fini.
+\item $G/H$ discret (resp. séparé) ↔ $H$ ouvert (resp. fermé).
\end{proposition2}
-\subsection{Différente}
-
\begin{définition2}
-Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace).
+Un morphisme de groupes topologiques est dit être un
+quasi-isomorphisme si son noyau et son conoyau sont des groupes
+compacts.
\end{définition2}
-
-Lien avec la définition locale.
+(Cf. [Katô-Saitô-...], à la terminologie près.)
\begin{proposition2}
-Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$.
+Sorites.
\end{proposition2}
-\begin{corollaire2}
-Presque tous les idéaux sont non-ramifiés.
-\end{corollaire2}
+Mesures produits.
-Méthodes de calcul.
+\subsection{Adèles}
+
+\subsubsection{}Soit $S ⊆ P_K$ un ensemble fini de places contenant $P_K^∞$.
+On note $A_{S,K}$ l'anneau
+\[
+∏_{v ∈ S} k_v × ∏_{v ∉ S} 𝔬_v,
+\]
+muni de la topologie produit.
+
+\[
+A_K=\colim_S A_{S,K}.
+\]
+Description de la topologie.
\begin{proposition2}
-\XXX
-Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$.
-Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme
-minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$.
-[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$.
+\label{adèles et cb}
+$L\bo K$ finie.
+Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}
+\begin{théorème2}
+\begin{enumerate}
+\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie
+discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
+\item Si $S ⊆ P_K$ est fini et contient $P_K^∞$, $𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$ est un quasi-isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
\begin{démo}
-\XXX
-Formule
-\[
-\frac{1}{f(X)}= ∑ …
-\]
+(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236.
+(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238).
+Cas général : cf. \ref{adèles et cb}.
\end{démo}
\begin{proposition2}
-\XXX
-\[
-\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2
-=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
+$K$ est dense dans $A_{S,K}$ [ou variante \XXX].
\end{proposition2}
-\begin{démo}
+Volume de $A_K \bo K$ [trop tôt ?]
+
+\subsection{Idèles}
+
+\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$.
+
+\subsubsection{}$I_K¹$.
+
+
+\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
+
+\subsection{Transformée de Fourier}
+
+\subsubsection{$𝒮(A_K)$}
+
+\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke}
+
+
+
+\section{Fonctions zêta}
+
+\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$}
+
+ \[⁂\]
+
+
+\begin{corollaire2}
\XXX
-$\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$.
-\end{démo}
+Formule du produit.
+\end{corollaire2}
-\begin{définition2}
-Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
-\end{définition2}
+\begin{proposition2}
+$k^×$ est discret dans $I_k$ et
+$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure
+$…$ en caractéristique nulle.
+\end{proposition2}
-Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n}
-p^{φ(n)/(p-1)}$.
+Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions
+(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}).
\begin{lemme2}
\XXX
@@ -615,26 +770,28 @@ $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$.
Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14]
\end{démo}
-\section{Non-existence d'extensions non ramifiées ; application}
+\section{Théorème de Minkowski et une application}
-\subsection{Le théorème de Minkowski}
+Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃ 𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la
+$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.
\begin{théorème2}[Minkowski]
-\XXX
+Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
+\[
+\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{corollaire2}
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
connexe alors $\ZZ⥲ A$.
-\end{théorème2}
+\end{corollaire2}
\begin{démo}
\XXX
-La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
-groupe de Picard.
-Il suffit de démontrer l'inégalité :
-$$
-\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
-$$
-où $n=[K:\QQ]$.
+%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
+%groupe de Picard.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
Soit
$$
@@ -794,6 +951,12 @@ Utilise :
— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle.
+\section{Notes}
+
+Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ;
+[Colmez, appendice F].
+
+
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
diff --git a/livre/livre.tex b/livre/livre.tex
index 4328ea9..ffac342 100644
--- a/livre/livre.tex
+++ b/livre/livre.tex
@@ -52,8 +52,8 @@ David Madore et Fabrice Orgogozo
\input{../chapitres/KASW}
\input{../chapitres/omega}
\input{../chapitres/AC}
-\input{../chapitres/AVD}
-\input{../chapitres/Dedekind}
+\input{../chapitres/AVD-Dedekind}
+\input{../chapitres/locaux-globaux}
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\appendix
\input{../chapitres/categories}