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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index ad00814..dd820cf 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -17,6 +17,7 @@ \externaldocument{spectre} \externaldocument{extensions-algebriques} +\externaldocument{calculs-galois} \synctex=1 @@ -1452,7 +1453,7 @@ Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire \emph{séparable}. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors les -éléments $Z_i - Z_j$ (modulo $I$) y sont inversibles. +éléments $Z_i - Z_j$ (modulo $I$, pour $i\neq j$) y sont inversibles. \end{proposition2} \begin{proof} Par symétrie, il suffit de le montrer pour $Z_1 - Z_2$. On a vu @@ -1922,7 +1923,7 @@ k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$, les $J_i$ sont donc premiers et $k[Y]/(h) \begin{algorithme2}\label{algorithme-decomposition-ideal-radical-dimension-0} Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait factoriser -les polynômes à une variable à coefficients dans $k$, on peut trouver +les polynômes en une variable à coefficients dans $k$, on peut trouver les idéaux maximaux $J_i$ contenant $I$. \end{algorithme2} @@ -1992,7 +1993,45 @@ polynôme $f(Z_1)$ aussi, pour des raisons de symétrie entre les variables, chacun des $f(Z_j)$, les images des $Z_j$ dans $K$ sont des racines du polynôme $f$. Mais de plus, ces images sont deux à deux distinctes -dans $K$ car \XXX +dans $K$ car +\ref{algebre-de-decomposition-universelle-separe-les-racines} implique +que les $Z_j - Z_{j'}$ (pour $j\neq j'$) sont inversibles modulo $I$, +donc \textit{a fortiori} modulo $J$ : donc ce sont exactement les +racines de $f$ dans $K$. Bref, $K$ est un corps extension de $k$ et +engendré au-dessus de $k$ par les $d$ racines du polynôme $f$ : +c'est-à-dire que c'est « le » corps de décomposition de $f$ sur $k$. + +Le groupe de Galois de $f$ étant donc (\XXX --- référence précise) le +groupe des automorphismes de $K$ au-dessus de $k$, il peut se voir +comme le groupe des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ qui laissent +l'idéal $J$ invariant ; connaissant une base de Gröbner de $J$, il est +facile de tester si une permutation des variables le laisse invariant, +il suffit de tester si la permutation appliquée à chaque élément de la +base de Gröbner est encore dans l'idéal. On a donc montré : + +\begin{algorithme2}\label{algorithme-calcul-galois-par-base-de-groebner} +Donné un polynôme $f \in k[X]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait +factoriser les polynômes en une variable à coefficients dans $k$, on +sait calculer le groupe de Galois de $f$ comme le groupe des +permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ qui fixent un idéal $J$ maximal +contenant l'idéal $I$ des relations de l'algèbre de décomposition +universelle de $f$ (explicité +en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}) ; et de façon +plus particulière (si on sait tester l'irréductibilité des polynômes à +une variable à coefficients dans $k$), on sait tester si ce groupe de +Galois est $\mathfrak{S}_d$ (en testant si $I$ est premier). +\end{algorithme2} + +L'algorithme qu'on vient de présenter est à peu près équivalent au +calcul du groupe de Galois par le moyen des résolvantes +(\refext{Calculs}{strategie-algorithmique-generale-calcul-groupes-de-galois}) +dans le cas des résolvantes \emph{linéaires}, à ceci près qu'on ne se +contente pas de chercher à savoir si le groupe de Galois est ou n'est +pas inclus dans tel ou tel groupe (disons, s'il est égal à +$\mathfrak{S}_d$) mais qu'on va plus loin pour le connaître +exactement, au prix de calculs de bases de Gröbner éventuellement très +lourds. + |