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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex
index 46d68a2..e876df9 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -41,6 +41,9 @@ Notions d'algèbre commutative
\chapter{Notions d'algèbre commutative}
\fi
+\newcommand{\Top}{\mathop{\mathrm{Top}}}
+
+
%%% À faire·:
\section{L'espace topologique $\Spec(A)$}
@@ -154,8 +157,55 @@ Finitude de la normalisation dans le cas d'algèbres
sur un corps.
\end{proposition2}
+\begin{proposition2}
+Soit $A$ un anneau intègre, $K=\Frac(A)$ et $f ∈ A[X₁,…,X_n]$ où $n ≥ 1$.
+Si $f$ est irréductible sur une clôture algébrique $\sur{K}$ de $K$,
+il existe un élément $a$ de $A$, non nul, tel que pour tout corps
+quotient $A ↠ k$ tel que l'image de $a$ soit non nulle,
+le polynôme $f_k ∈ k[X₁,…,X_n]$ est irréductible. % et même géométriquement irréductible
+\end{proposition2}
+
+%\begin{démo}
+%Écrivons $f=∑ a_α X^α$ et notons $d$ le degré total de $f$.
+%Fixons deux entiers $p,q$ tels que $p+q=d$. Regarder
+%l'idéal de $A[b,c]$ engendré par les équations $a_α=∑_{β+γ=α} b_β c_γ$
+%et appliquer le Nullstellensatz. \XXX
+%\end{démo}
+
\subsection{Anneaux de Jacobson}
+\section{Complétion}
+% référence : de Jong.
+
+\begin{définition2}
+$A$ anneau $I$ idéal $M$ module. $\chap{A}$, $\chap{M}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{définition2}
+Complet si $M ⥲ \chap{M}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{miseengarde2}
+Il existe un anneau $A$ et un idéal maximal $𝔪$ de $A$
+tel que la limite projective $\chap{A}=\lim A/𝔪^n$ ne soit
+pas complète.
+\end{miseengarde2}
+
+\begin{proposition2}
+\label{Nakayama}
+Lemme de Nakayama
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Artin-Rees.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Exactitude dans le cas nœthérien.
+Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini).
+\end{proposition2}
+
+
\section{Fonctions $ζ$}
@@ -165,26 +215,126 @@ sur un corps.
\subsection{}Soit $A$ une $𝐂$-algèbre de type fini.
\begin{définition2}
-$Top(A)$ espace topologique.
+$\Top(A)$ espace topologique.
\end{définition2}
-\begin{théorème2}
-$A$ est connexe ssi $Top(A)$ est connexe.
-\end{théorème2}
-\begin{démo}[Esquisse]
-
-\end{démo}
+\begin{proposition2}[Théorème de comparaison de Riemann]
+Soit $P ∈ 𝐂[X,Y]$ un polynôme irréductible. Le fermé $𝒵=\{(x,y)
+∈ 𝐂²: P(x,y)=0\}$ de $𝐂²$ est \emph{connexe}.
+\end{proposition2}
+%\begin{démo}
+% tirée d'un TD de Gaëtan
+%Soit $S$ un ensemble fini de points de $𝐂$. On note $H_S$ l'anneau
+%des fonctions méromorphes sur $𝐂$ sans pôles hors de $S$. C'est un
+%anneau intègre. Le sous-anneau $F_S$ des fractions rationnelles dans $H_S$
+%est intégralement clos dans $H_S$. (En effet, si $f^n=∑_0^{n-1} a_i f^i$,
+%et $z ∉ S$, $|f(z) ≤ 1+∑ |a_i(z)|$.)
+%Quitte à faire un changement de variables linéaire $(x,y) ↦ (x,λ x
+%+y)$, on peut supposer que $P$ est unitaire vu comme élément
+%de $𝐂(Y)[X]$ ; on note $d$ son degré. La projection $π : 𝒵 → 𝐂$,
+%$(x,y) ↦ y$ est un revêtement à $d$ feuillets au-dessus d'un ouvert
+%de Zariski non vide $U=𝐂-S$. Soit $𝒲$ une composante connexe de
+%$π^{-1}(U)$. La fonction $𝐂-S → 𝐂[T]$, $x ↦ ∏_{z ∈ 𝒲_x} (T-z)$
+%appartient à $H_S[T]$.
+%On utilise alors \refext{Ent}{intégralement clos préserve
+%irréductibilité}. \XXX
+%\end{démo}
+
+Plus généralement :
-\section{Divers}
+\begin{théorème2}
+$A$ est connexe ssi $\Top(A)$ est connexe.
+\end{théorème2}
-\begin{proposition2}
-\label{Nakayama}
-Lemme de Nakayama
-\end{proposition2}
+%\begin{démo}[Esquisse]
+%\begin{enumerate}
+%\item On a déjà vu que si $A ≠ 0$, $\Top(A)$ est non vide
+%(Nullstellensatz). Comme $\Top(A×B) = \Top(A) ∐ \Top(B)$
+%et $A ↠ B$ induit $\Top(B) ↪ \Top(A)$ [immersion fermée],
+%on a l'implication $\Top(A)$ connexe ⇒ $A$ connexe.
+%
+%\item Soit $A$ intègre de type fini sur $𝐂$ et $a ≠ 0$ dans $A$.
+%Alors, $\Top(A)$ est connexe si et seulement si $\Top(A[a^{-1}])$
+%l'est. Variante : $\Top(A/a)$ est partout rare. Cf. Red book, §10,
+%recopié ici.
+%\begin{itemize}
+%\item On peut supposer $X$ normal car si $A\norm$=normalisation de $A$,
+%et $X\norm=\Spec(A\norm)$,
+%$π:X\norm→X$ est
+%surjectif donc si $∃$ $D⊂Z^{an}$ boule
+%ouverte, $π^{-1}(D)$ est ouvert et dans ${Z\norm}^{an}=π^{-1}(Z^{an})$.
+%D'autre part, $A\norm$ est une $𝐂$-algèbre de type fini (cf. \ref{}).
+%\item D'après le lemme de normalisation (\ref{}), il existe $A₀=𝐂[X₁,…,X_d]⊆A$
+%tel que $A₀→A$ soit fini. Puisque $A$ est normal (et $A₀$ aussi),
+%il existe $a₀∈A₀$ tel que $a|a₀$. En effet, $a₀:=∏_σ σ(a)=N_K/K₀(a)$
+%est entier sur $A₀$ (car chaque $σ(a)$ l'est) et appartient à
+%$K₀$. D'autre part, $a|a₀$ car chaque $σ(a)∈A$ ($A$ est normal). On
+%peut donc supposer que $a=a₀∈A₀$. (Remplacer $a$ par un multiple
+%$a₀$ grossit $Z^{an}$.)
+%\item Soit $z∈\Top(A)$ tel que $a(z)=0$. Soit $z₀$ son image
+%dans $\Top(A₀)=𝐂^d$. On a $a(z)=a₀(z₀)=0$.
+%Rappel : $A=𝐂[X₁,…,X_d,Y₁,…,Y_r]/(g_1,…,g_e)$ donc
+%$\Top(A)=\{(x₁,…,x_d,y₁,…,y_r)∈𝐂^(d+r), g_i(x,y)=0\}$. La
+%fonction $a$ est un polynôme sur $𝐂^{d+r}$ qui ne dépend que
+%de $x₁,…,x_d$. (La fonction $a₀$ est la même fonction,
+%vue sur $𝐂^d$.) [On note $a$ pour $\Top(a)$ etc.] Soit $w$ tel que
+%$a₀(w)≠0$. Soit $f(t):=a₀((1-t)z₀+tw)$. Puisque $f(1)≠0$,
+%il existe un nombre fini de $t$ tels que $f(t)=0(=f(0))$. Il existe
+%donc une suite $z₀(ε)$ telle que $z₀(ε)→z₀$ quand $ε→0$
+%mais $a₀(z₀(ε))≠0$ (càd $z₀(ε)∉\Top(A₀/a₀)$).
+%\item On veut relever les $z₀(ε)$ en des $z(ε)$ qui tendent vers $z$.
+%(Les relèvements n'appartiennent pas à $\Top(A/a)$ par construction.)
+%Soient $\{z,p₁,…,p_m\}$ les relèvements de $z₀$ dans $\Top(A)$. (Les
+%fibres sont finies.) Il existe une fonction $b∈A$ telle que $b(z)=0$
+%mais $b(p_i)≠0$. (Fait général sur un ensemble fini de points dans
+%$𝐂^{d+r}$.) Posons $A₀'=A₀[b]$ ; c'est un sous-anneau de $A$, fini
+%sur $A₀$. Soit $F∈𝐂[X₁,…,X_d,W]=W^n+…+α_n(X₁,…,X_d)$
+%l'équation polynômial irréductible satisfaite par les $X$ et $b$.
+%Puisque $b(z)=0$, on a $α_n(z₀)=F(z₀,b(z))=0$. On a $A₀'≃A₀[W]/F(X,W)$.
+%On a donc $\Top(A)→\Top(A₀')→\Top(A₀)$, càd :
+%$\{(x,y)∈𝐂^{d+r},g(x,y)=0\}→\{(x,w)∈𝐂^{d+1}, F(x,w)=0\}→\{x∈𝐂^d\}$.
+%Ces applications sont continues, *surjectives* (Cohen-Seidenberg)
+%[à fibres finies]. Puisque $α_n(z₀)=0$ et donc $α_n(z₀(ε))→0$,
+%et puisque $α_n(z₀(ε))$ est le produit des racines de l'équation
+%en $W$, $F(z₀(ε),W)=0$, il existe une suite $w(ε)$ telle que $w(ε)→0$
+%et $F(z₀(ε),w(ε))=0$. On a donc relevé la suite $z₀(ε)$ au
+%niveau de $\Top(A₀')$.
+
+%\item Soit $z(ε)$ un relèvement quelconque de $(z₀(ε),w(ε))$.
+%L'application $\Top(A)→\Top(A'₀)$ est relativement compacte
+%(fait général à tout morphisme fini) : les fonctions
+%$y∈A$ sont entières sur $A₀'$ ; si les coefficients $α'$ d'une
+%équation de dépendance intégrale $y^N+α'₁y^{N-1}+…+α'_N=0$
+%sont bornés, il en est de même de $y$.
+%Puisque l'image $(z₀(ε),w(ε))$ de $z(ε)$ converge, il existe une
+%sous-suite de $z(ε)$ convergeant également. Une telle sous-suite
+%converge nécessairement vers $z$ car si elle converge vers
+%$p_i≠z∈π^{-1}(z₀)$, on aurait $0≠b(p_i)=\lim w(ε)=0$. Absurde.
+%\end{itemize}
+%\item Soit $K=\Frac(A)$ et $d$ son degré de transcendance. Il existe
+%$t₁, …,t_d$ dans $A$, algébriquement indépendants dans $K$, tels que
+%$K/𝐂(t₁,…,t_d)$ soit algébrique séparable. Posons
+%$B=𝐂[t₁,…,t_{d-1}]⊆A$. Il existe $x$ entier sur $B[t_d]$ tel
+%que $K=𝐂(t₁,…,t_d)(x)$. Posons $T=t_d$ et $f$ le polynôme minimal
+%de $x$ dans $L[T,X$]. On peut supposer $f$ dans $B[X,T]$, quitte
+%à remplacer $B$ par $B[b^{-1}]$. Faits :
+%\begin{itemize}
+%\item OPS $A=B[X,T]/f$, $B$ intègre, $f$ irréductible dans $B[X,T]$.
+%\item OPS $f$ géométriquement irréductible sur $L=\Frac(B)$.
+%\end{itemize}
+%On utilise également le fait suivant : si $A → A ′$ est fini, injectif
+%alors $\Top(A ′) → \Top(A)$ est surjectif (variante de Nakayama).
+%\item OPS $\Top(A) → \Top(B)$ submersif donc application ouverte (th. Chevalley ?).
+%Les fibres étant de dimension $1$, on se ramène au cas suivant :
+%\item Soit $A$ intègre, de dimension $1$. Alors, $\Top(A)$ est
+%connexe. Cf. infra.
+%\end{enumerate}
+%\end{démo}
+\section{Divers}
\ifx\danslelivre\undefined
diff --git a/chapitres/entiers.tex b/chapitres/entiers.tex
index e386ebe..0b08b9a 100644
--- a/chapitres/entiers.tex
+++ b/chapitres/entiers.tex
@@ -475,6 +475,18 @@ L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est appelé \emph{fermeture
intégrale de $A$ dans $B$}\index{fermeture intégrale}.
\end{définition}
+\begin{lemme2}
+\label{intégralement clos préserve irréductibilité}
+Soit $A ⊆ B$ une inclusion d'anneaux intègres. On suppose
+que $A$ est intégralement clos dans $B$.
+Alors, tout polynôme $P ∈ A[X]$ irréductible unitaire
+reste irréductible dans $B[X]$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
\XXX
\subsection{Normalisation dans une extension séparable}
diff --git a/configuration/formules.tex b/configuration/formules.tex
index 806996b..fa22e1c 100644
--- a/configuration/formules.tex
+++ b/configuration/formules.tex
@@ -39,6 +39,7 @@
\newcommand{\red}{\mathrm{r\acute{e}d}}
\newcommand{\Nilp}{\mathrm{Nilp}}
\newcommand{\Ann}{\mathrm{Ann}} % annulateur
+\newcommand{\rad}{\mathrm{rad}} % radical d'un idéal
\def\car#1{\mathrm{car}.\,#1}
\def\quater#1#2{\left(\frac{#1}{#2}\right)_𝐇}
@@ -47,6 +48,7 @@
\newcommand{\sep}{^{\mathrm{s\acute{e}p}}}
\newcommand{\alg}{^{\mathrm{alg}}}
+\newcommand{\norm}{^{\japmathpetit{正}}}
\newcommand{\dec}{{\mathrm{d\acute{e}c}}}
\newcommand{\pr}{{\mathrm{pr}}}
diff --git a/decorum/plan-bouquin.tex b/decorum/plan-bouquin.tex
index b6029c6..9897cc6 100644
--- a/decorum/plan-bouquin.tex
+++ b/decorum/plan-bouquin.tex
@@ -19,7 +19,6 @@
\input{../configuration/encoredesmacros}
%
-\synctex=1
\begin{document}
%\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
@@ -51,10 +50,11 @@ Plan et avancement
\item Théorème de l'élément primitif.
\end{enumerate}
-\item ✓ Corps finis. \texttt{corps-finis.tex} [Fin] (D).
+\item Corps finis. \texttt{corps-finis.tex} [Fin] (D).
\begin{enumerate}
-\item Existence et unicité.
-\item Cyclicité du groupe multiplicatif.
+\item ✓ Existence et unicité.
+\item ✓ Cyclicité du groupe multiplicatif.
+\item Sommes de Jacobi/Gauß ; hypersurfaces diagonales.
\end{enumerate}
\item ✓ Algorithmiques des corps finis. \texttt{algo-corps-finis.tex} [ACF] (D).
@@ -150,9 +150,7 @@ si $k$ est un corps de caractéristique $p>0$.
irreductibilis}. (D) [cf. partiel 2006 Rosso])
\item Calculs explicites en degré $4$. (F)
\item Constructions à la règle et au compas. (F)
-\item Cyclotomie (sommes de Gauß-Jacobi, réduction modulo $p$ des polynômes
-cyclotomiques, exemple du calcul de $\cos\frac{2\pi}{17}$ (D), etc.). (F)
-\item Facultatif : fonction $\zeta$ d'une hypersurface diagonale. (F)
+\item Cyclotomie (réduction modulo $p$ des polynômes cyclotomiques, exemple du calcul de $\cos\frac{2\pi}{17}$ (D), etc.).
\item Facultatif : théorème de Lindemann (énoncer Schanuel), lunules. (D)
\end{enumerate}
@@ -183,15 +181,17 @@ cyclotomiques, exemple du calcul de $\cos\frac{2\pi}{17}$ (D), etc.). (F)
\item Théorème de Lüroth. (Version constructive par Schinzel ?)
\end{enumerate}
-\item Algèbre commutative. [AC]
+\item Algèbre commutative. \texttt{AC.tex} [AC]
\begin{enumerate}
-\item Anneaux (et modules) noethériens et artiniens
\item topologie sur $\Spec(A)$
\item foncteur $A↦T(A)$ ; th. de constructibilité de Chevalley. ([Olivier 1978], « Anneau absolument plat universel etc. ».)
-\item Complétion.
+\item théorie de la dimension
\item Lemme de normalisation de Noether.
-\item Nullstellensatz. (Anneaux de Jacobson [grosso modo : points fermés denses] ?)
-\item Fonction $\zeta$ d'une algèbre de type fini sur $\mathbb{Z}$.
+\item Nullstellensatz, anneaux de Jacobson
+\item Complétion.
+\item fonction $\zeta$ d'une algèbre de type fini sur $𝐅_p$ ; sur $\mathbb{Z}$.
+\item Conjectures de Weil. Exemple des hypersurfaces diagonales (sur $𝐅_p$)
+\item Anneaux (et modules) noethériens et artiniens
\item Fibrations.
\item Applications : connexité de $A(𝐂)$ pour $A$ $𝐂$-algèbre intègre de type fini
et densité des poins algébriques séparables dans un schéma lisse sur un corps.