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@@ -1441,7 +1441,8 @@ du théorème de Krull-Schmidt (cf. \cite{Bourbaki}, chap. 8, \cite{First@Lam},
\subsection{Interprétation géométrique}
Nous allons maintenant énoncer un corollaire important du théorème
-de la base normale.
+de la base normale. Ce paragraphe fait usage des définitions
+et résultat de \refext{CG}{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}.
\subsubsection{}\label{notations base normale géométrique}
Soient $G$ un groupe fini et $k$ un corps.
@@ -1460,15 +1461,18 @@ L'algèbre $EG$ est galoisienne de groupe $G$ sur $BG$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Nous allons montrer le résultat plus fort :
-le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$.
-Commençons par observer qu'il existe des éléments
+D'après \refext{CG}{algèbres galoisiennes conditions
+équivalentes} (iii), il suffit de démontrer l'existence d'éléments
$(y_g)_{g ∈ G}$ de $EG$ tels que, pour chaque $g ′ ∈ G$,
on ait :
\[
∑_g y_g ⋅ g ′(x_g)=δ_{g ′,1}.
\]
Cela résulte de l'hypothèse d'invertibilité du déterminant.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+On peut montrer que le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$.
Soient $s:EG → \Hom_{\Ens}(G,BG)$ et $π:\Hom_{\Ens}(G,BG) → EG$
les applications $BG$-linéaires suivantes :
\[
@@ -1489,7 +1493,7 @@ Or, $EG ⊗_{BG} \Frac(BG)$ est naturellement isomorphe au
corps $\Frac(EG)$, galoisien sur $BG$ de groupe $G$
(lemme d'Artin). Il en résulte que le rang de $\Ker(π)$ est nul.
CQFD.
-\end{démo}
+\end{remarque2}
Avec ces notations, on a le théorème suivant.