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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index e799998..d2bd6a7 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -1569,8 +1569,77 @@ qui doit donner un résultat dans $K$, i.e., indépendant de $Z_1,\ldots,Z_d$. \end{remarque2} -\XXX TODO : Calcul des $R_P(f)$ avec des résultants, cf. p. 25--26 du -lire \textit{Generic Polynomials} de Jensen, Ledet \& Yui. +La proposition suivante permet de calculer les résolvantes linéaires +pour une combinaison linéaire de deux variables : +\begin{proposition2} +Soit $f \in K[X]$ un polynôme unitaire, de degré $d$, à coefficients +dans un corps $K$, et soit $P = c_1 Z_1 + c_2 Z_2 \in +K[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors : +\begin{itemize} +\item Si $c_1,c_2$ sont non nuls et distincts (de sorte que + $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P)$ est le fixateur de $(1,2)$ dans + $\mathfrak{S}_d$) et que $c_1+c_2\neq 0$, alors la résolvante + $R_P(f)$ vaut +\[ +(-1)^d\, \frac{c_1^d c_2^d}{(c_1+c_2)^d}\, +\Big(f\big(\frac{X}{c_1+c_2}\big)\Big)^{-1}\, +\Result_Y\Big(f\big(\frac{X-Y}{c_2}\big),\, f\big(\frac{Y}{c_1}\big)\Big) +\] +où $\Result_Y(A(Y),B(Y))$ désigne le résultant par rapport à la +variable $Y$ des polynômes $A$ et $B$. +\item Si $c_1=c$ est non nul et $c_2=-c$ et si $K$ n'est pas de + caractéristique $2$ (c'est-à-dire que $c_1,c_2$ sont distincts, de + sorte que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P)$ est de nouveau le fixateur + de $(1,2)$ dans $\mathfrak{S}_d$), alors la résolvante $R_P(f)$ vaut +\[ +c^{2d}\, X^{-d}\, +\Result_Y\Big(f\big(\frac{Y-X}{c}\big),\, f\big(\frac{Y}{c}\big)\Big) +\] +\item Si $c_1 = c_2 = c$ avec $c\neq 0$ (de sorte que + $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P)$ est le stabilisateur de $\{1,2\}$ + dans $\mathfrak{S}_d$), et si $K$ n'est pas de caractéristique $2$, + alors le \emph{carré} $R_P(f)^2$ de la résolvante vaut +\[ +(-1)^d\, c^d\, 2^{-d}\, \Big(f\big(\frac{X}{2c}\big)\Big)^{-1}\, +\Result_Y\Big(f\big(\frac{X-Y}{c}\big),\, f\big(\frac{Y}{c}\big)\Big) +\] +\item Si $c_1 = c_2 = c$ avec $c\neq 0$ (de sorte que + $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P)$ est de nouveau le stabilisateur de + $\{1,2\}$ dans $\mathfrak{S}_d$), et si $K$ \emph{est} de + caractéristique $2$, alors le \emph{carré} $R_P(f)^2$ de la + résolvante vaut +\[ +c^{2d}\, X^{-d}\, +\Result_Y\Big(f\big(\frac{X-Y}{c}\big),\, f\big(\frac{Y}{c}\big)\Big) +\] +\end{itemize} +\end{proposition2} +\begin{proof} +On rappelle que le résultant de deux polynômes $A(Y)$ et $B(Y)$ vaut +$a^e \prod_{i=1}^d B(\eta_i)$ où $A(Y) = a\prod_{i=1}^d(Y-\eta_i)$ est +la factorisation de $A$ dans un corps dans lequel il est décomposé, le +résultat n'en dépendant pas puisqu'on peut aussi l'écrire comme un +déterminant de Sylvester, et où $e$ est le degré de $B$. + +D'après cette formule, dans le premier cas, on a +\[ +\Result_Y\Big(f\big(\frac{X-Y}{c_2}\big),\, f\big(\frac{Y}{c_1}\big)\Big) += \big(\frac{-1}{c_2}\big)^d \prod_{j=1}^d f\big(\frac{X-c_2\xi_j}{c_1}\big) += \frac{(-1)^d}{c_1^d c_2^d} \prod_{j=1}^d \prod_{i=1}^d (X-c_1 \xi_i - c_2 \xi_j) +\] +or $\prod_{j=1}^d \prod_{i=1}^d (X-c_1 \xi_i - c_2 \xi_j)$ s'écrit, en +distinguant selon que $j\neq i$ ou $j=i$, comme le produit de +$\prod_{(i,j):j\neq i} (X-c_1 \xi_i - c_2 \xi_j)$ et de $\prod_{i=1}^d +(X - (c_1+c_2)\xi_i)$ : le premier est justement $R_P(f)$, et le +second vaut $(c_1+c_2)^d\, f\big(\frac{X}{c_1+c_2}\big)$. + +Le second cas est identique, à ceci près que cette fois $\prod_{i=1}^d +(X - (c_1+c_2)\xi_i)$ vaut $X^d$. + +Dans le troisième cas, c'est $\prod_{(i,j):j\neq i} (X-c_1 \xi_i - c_2 +\xi_j)$ qui vaut $R_P(f)^2$. Enfin, dans le quatrième, on a ces deux +modifications à la fois. +\end{proof} \XXX TODO : Résultats garantissant la séparabilité de $R_P(f)$, notamment le lemme 1.2.2 p. 23 de ce livre, et un résultat à trouver diff --git a/configuration/formules.tex b/configuration/formules.tex index c0d74aa..fa9d86e 100644 --- a/configuration/formules.tex +++ b/configuration/formules.tex @@ -38,6 +38,7 @@ \newcommand{\Gal}{\mathrm{Gal}} \newcommand{\red}{\mathrm{r\acute{e}d}} \newcommand{\Res}{\mathrm{R\acute{e}s}} +\newcommand{\Result}{\mathop{\mathrm{R\acute{e}sult}}\nolimits} \newcommand{\Nilp}{\mathrm{Nilp}} \newcommand{\Ann}{\mathrm{Ann}} % annulateur \newcommand{\rad}{\mathrm{rad}} % radical d'un idéal |