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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex34
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index f99a90a..5932fb9 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1420,9 +1420,9 @@ relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.)
\begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe}
Si $f = X^3 + X^2 -2 X -1$, la base de Gröbner donnée ci-dessus est
-formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $q_2 =
-Z_2^2 + Z_1 Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 - 2$ et $q_1 = Z_3 + Z_2 + Z_1 +
-1$.
+formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$
+(c'est-à-dire $f(Z_1)$), $q_2 = Z_2^2 + Z_1 Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 -
+2$ et $q_1 = Z_3 + Z_2 + Z_1 + 1$.
\end{exemple2}
\begin{definition2}\label{definition-algebre-de-decomposition-universelle}
@@ -1886,6 +1886,34 @@ les polynômes à une variable à coefficients dans $k$, on peut trouver
les idéaux maximaux $J_i$ contenant $I$.
\end{algorithme2}
+\begin{exemple2}
+Reprenons l'exemple commencé en
+\ref{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe}
+et \ref{remarque-projection-et-ideaux-premiers} : soit $f = X^3 + X^2
+-2 X -1$, dont l'algèbre de décomposition universelle est engendrée
+par les relations $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $q_2 = Z_2^2 +
+Z_1 Z_2 + Z_2 + Z_1^2 + Z_1 - 2$ et $q_1 = Z_3 + Z_2 + Z_1 + 1$ (qui
+en sont une base de Gröbner). Si on considère $(c_1,c_2,c_3) =
+(1,-1,0)$, c'est-à-dire qu'on ajoute la relation $Y - Z_1 + Z_2$,
+l'idéal $\tilde I$ a alors pour base de Gröbner les éléments
+suivants : $Y^6 - 14 Y^4 + 49 Y^2 - 49$, $Z_1 + \frac{3}{14} Y^4 -
+\frac{5}{2} Y^2 - \frac{1}{2} Y + 5$, $Z_2 + \frac{3}{14} Y^4 -
+\frac{5}{2} Y^2 + \frac{1}{2} Y + 5$ et $Z_3 - \frac{3}{7} Y^4 + 5 Y^2
+- 9$. Le premier polynôme $h(Y) = Y^6 - 14 Y^4 + 49 Y^2 - 49$ de
+cette liste, se factorise comme $(Y^3 - 7 Y - 7) \penalty0\, (Y^3 - 7
+Y + 7)$. En appelant $h_1$ et $h_2$ ces deux facteurs (dans l'ordre
+où on les a écrits), les deux idéaux maximaux de $\QQ[Y,Z_1,Z_2,Z_3]$
+contenant $\tilde I$ sont $\tilde J_1 = \tilde I + (h_1)$ et $\tilde
+J_2 = \tilde I + (h_2)$ (par exemple, $\tilde J_1$ a pour base de
+Gröbner $Y^3 - 7 Y - 7$, $Z_1 - Y^2 + Y + 5$, $Z_2 - Y^2 + 2 Y + 5$ et
+$Z_3 + 2 Y^2 - 3 Y - 9$), et les deux idéaux maximaux de
+$\QQ[Z_1,Z_2,Z_3]$ contenant $I$ sont $J_1 = I + (g_1)$ et $J_2 = I +
+(g_2)$ où $g_1 = h_1(c_1 Z_1 + c_2 Z_2 + c_3 Z_3) = h_1(Z_1-Z_2)$ et
+de même pour $g_2$. On peut bien sûr en calculer une base de Gröbner,
+par exemple pour $J_1$ : $Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$, $Z_2 + Z_1^2 +
+Z_1 - 1$ et $Z_3 - Z_1^2 + 2$.
+\end{exemple2}
+