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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 1aa23be..9a2a55c 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4800,9 +4800,16 @@ satisfait l'équation fonctionnelle \[ \sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s) \] -et a pour résidu $-μ π^{-r_𝐂}$ en $s=0$, où $μ$ est -la constante calculée en \ref{calcul volume idélique} et -$r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$. +et l'on a +\[ +\Res₀ \sur{ζ}_K = +\begin{cases} +\displaystyle -κ/\log(q)& \text{si $K$ est un corps de fonctions}\\ +\displaystyle -κ/π^{r_𝐂} & \text{si $K$ est un corps de nombres}, +\end{cases} +\] +où $κ$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique} +et $r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$. \item Si $K$ est un corps de fonctions, on a de plus \[ ζ_K(s)=Z_X(q^{-s}), \quad \text{où} \quad Z_X(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)} @@ -4811,8 +4818,8 @@ et $P(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$. La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes : \begin{enumerate} \item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $1$ et $q^{-1}$ ; -\item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$. -\item $P(0)=h$, où $h$ est le cardinal du groupe de Picard. +\item $Z_K(T)=q^{-χ_K/2}T^{-χ_K}Z_K(1/qT)$, où $χ_K=2-2g_K$ et $g_K$ est le \emph{genre} de $K$. +\item $P(0)=1$ et $P(1)=h$, où $h$ est le cardinal du groupe de Picard. \commentaire{terminologie discutable : c'est le sous-groupe de torsion de Pic} \end{enumerate} \end{enumerate} @@ -4820,7 +4827,9 @@ La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes : \begin{remarque2} Les énoncés (a)—(c) sur la fonction Zêta $Z_X$ sont conséquence immédiate -des énoncés (i)—(ii) sur la fonction zêta $ζ_K$. +des énoncés (i)—(ii) sur la fonction zêta $ζ_K$. +L'entier $χ_K$ est appelé « caractéristique d'Euler-Poincaré » +du corps $K$ (ou plutôt, de la courbe projective lisse correspondante). \end{remarque2} \subsubsection{}La démonstration de ce théorème occupe la suite de cette @@ -4842,8 +4851,7 @@ $ℱ_ψ$ (\ref{définition Fourier adélique}, \ref{Fourier adélique}). Comme dans le cas additif, il résulte de la formule du produit que la mesure de Haar multiplicative globale produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$ -est indépendante de $ψ$ ; on la note $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ -et on a $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$. +est indépendante de $ψ$ ; elle est égale à $|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$. \subsubsection{Transformation de Mellin adéliques}Soient $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$ (\ref{quasi-caractères globaux}). Pour chaque signe de @@ -4855,9 +4863,9 @@ Sous réserve de convergence ou d'existence d'un prolongement méromorphe transformation de Mellin : \[ \begin{array}{rcl} -ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} ; \\ -ζ_{≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} ; \\ -ζ(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} = ζ_{≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{≤ 1}(f,χ,s). +ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} ; \\ +ζ_{≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} ; \\ +ζ(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} = ζ_{≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{≤ 1}(f,χ,s). \end{array} \] %Quitte à remplacer $χ$ par un « translaté » $χ ω_s$, on peut @@ -4870,11 +4878,21 @@ la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un cor de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés de $K^{×, =1}_𝐀$. +\begin{remarque2} +Comme dans le cas local (\ref{quasi-caractères=variété}), +l'introduction de la variable $s$ est essentiellement inutile : si l'on pose +$ζ(f,χ)=ζ(f,χ,0)$, on a $ζ(f,χ,s)=ζ(f,χ ω_s)$. +Moyennant une légère abstraction/géométrisation, il serait possible +(et loisible) de considérer $χ$ comme une \emph{variable} (analytique), parcourant +la « surface de Riemann » des quasi-caractères de $K^×_𝐀/K^×$. +\end{remarque2} + \subsubsection{Convergence} -Vérifions que la transformée de Mellin $ζ(f,χ,s)$ d'une fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. +Vérifions que la transformée de Mellin $ζ(f,χ,s)$ d'une fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est holomorphe (en la variable $s$) +sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. (\emph{A fortiori}, il en sera ainsi des deux transformées de Mellin tronquées.) Par définition de la mesure idélique, on a — sous réserve de convergence -du terme de droite — $ζ(f,χ,s)=∏_x ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$. +du terme de droite — $ζ(f,χ,s)=|d_K|^{-½}∏_x ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$. Or, quitte à décomposer $f$ en une somme finie, il existe un ouvert dense $U$ tel que, pour chaque $x ∈ U$, on ait : \begin{enumerate} \item $f_x=𝟭_{𝒪_{K,x}}$ (cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) ; @@ -4911,26 +4929,26 @@ $ω_s$ est petit. \subsubsection{} Notons $\dot{f}$ la fonction $ι↦ ∑_{λ ∈ K} f(λ ι)=f(0)+∑_{λ ∈ K^×} f(λ ι)$ sur les classes d'idèles $C_K=K^×_𝐀/K^×$ et $\dot{μ}^{\mbox{\minus -$×$}}_{\japmath{玉}}$ l'unique mesure de Haar sur les -classes d'idèles pour laquelle $∫_{K^×_𝐀} φ d{μ}^{\mbox{\minus -$×$}}_{\japmath{玉}}=∫_{C_K} \big(∑_{λ ∈ K^×} [× λ]^*φ\big)d\dot{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ (cf. \ref{module et +$×$}}_{1}$ l'unique mesure de Haar sur les classes d'idèles pour laquelle $∫_{K^×_𝐀} φ d{μ}^{\mbox{\minus +$×$}}_{1}=∫_{C_K} \big(∑_{λ ∈ K^×} [× λ]^*φ\big)d\dot{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ (cf. \ref{module et mesure quotients}). Les fonctions $χ,ω_s$ et $c$ étant invariantes par multiplication par $λ ∈ K^×$, on a l'égalité \[ ζ_{≤1}(f,χ,s) = \dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s) - f(0) \dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s), \] où $\dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s)=∫_{C_K^{≤1}} \dot{f} c χ ω_s d\dot{μ}^{\mbox{\minus -$×$}}_{\japmath{玉}}$, etc. +$×$}}_{1}$, etc. Il résulte de la formule de Poisson (\ref{Fourier adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch}) et de la formule $\mathrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathrm{inv}(ι)=ι^{-1}$, que l'on a : \[ ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) = -ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s). +ζ_{≥ 1}(\chap{f},\chap{χ},-s) + \chap{f}(0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s), \] +où $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$ (transformée de Fourier autoduale). -Comme on l'a vu, le terme $ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$ est une fonction +Comme on l'a vu, le terme $ζ_{≥ 1}(\chap{f},\chap{χ},-s)$ est une fonction entière. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que $\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s)$ est holomorphe sur $\Re(s)>0$ et s'étend en une fonction méromorphe. Il en résulte le fait remarquable que @@ -4967,7 +4985,7 @@ ou la somme κ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big). \] Lorsque, plus généralement, $χ$ est supposé trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, -il est de la forme $ω_τ$ si bien que le calcul se déduit du précédent par +il est de la forme $ω_σ$ si bien que le calcul se déduit du précédent par translation (en $s$). Lorsque $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)=0$. @@ -4983,22 +5001,25 @@ des résultats précédent que pour chaque $χ$, on a \commentaire{Détailler ?} -\subsubsection{}Ainsi, la fonction $ζ(f,χ,s)$ +\subsubsection{}Ainsi, la fonction $ζ(f,χ)$ est égale à \[ -\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)- -\big(f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) + ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,\chap{χ},-s)\big) -\] -où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_τ$. -Notons qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$. -Pour le second terme, on utilise le fait que $ℱ_ψ(f)$ est transformé -en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$ -et l'égalité $ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ (ainsi que pour les variantes -tronquées) car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$ -et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative. -Notons également qu'il résulte de cette dernière formule -que l'on a $ζ(ℱ_ψ ℱ_ψ(f),χ,s)=ζ(f,χ,s)$ grâce à la formule d'inversion -$ℱ_ψ ℱ_ψ =[×-1]^*$. +\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ) + ζ_{ ≥ 1}(\chap{f},\chap{χ})\big)- +\big(f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ) + \chap{f}(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,\chap{χ})\big) +\] +où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_σ$. +Notons que les deuxième et quatrième termes de la somme ci-dessus ne dépendent pas de $ψ$. +En effet, d'une part $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$ est changée en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$ +et, d'autre part, on a l'égalité +\[ +ζ([× ι]^*g,χ)=χ(ι)^{-1}ζ(g,χ) \tag{†} +\] +(ainsi que pour les variantes tronquées) pour chaque fonction $g$ et $ι ∈ K^×_𝐀$, +car $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ est une mesure de Haar multiplicative. +Lorsque $ι ∈ K^×$, on a donc invariance $ζ([× ι]^*g,χ)=ζ(g,χ)$ car +$χ$ est supposé trivial sur $K^×$. +Il résulte également de cette formule que +$ζ(ℱ_ψ²(f),χ)=ζ(f,χ)$ car $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ =[×-1]^*$. Enfin, le caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$ nous permet de déduire de ce qui précède le théorème suivant, qui est un analogue global du théorème local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}. @@ -5013,106 +5034,87 @@ Soit $f:K_𝐀 → 𝐂$ une fonction dans $𝒮(K_𝐀)$. holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime comme un produit « eulérien » absolument convergent \[ -ζ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s). +ζ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{x}(f_x,χ_x,s) = |d_K|^{-½} ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s), \] +où $ζ_x(f_x,χ_x,s):= ∫_{K^×_x} f_x χ_x |⋅|_x^s d μ^×_{1,x}$. \item La fonction $s↦ ζ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$. \item Elle satisfait l'équation fonctionnelle \[ -ζ(f,χ,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s). +ζ(f,χ,s)=ζ(\chap{f},\chap{χ},-s), \] +où $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$. \item Si $χ$ n'est pas de la forme $ω_σ$, pour $σ ∈ 𝐂$, c'est une fonction entière. \item Les pôles de $ζ(f,1,s)$ sont simples et -égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/d\log(q)𝐙$}, -où $d$ est le plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$) +égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\log(q)𝐙$}, +où $q$ est cardinal du corps des constantes de $K$) selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions. -\commentaire{$d=1$} -Les résidus sont respectivement $κ′ f(0)$ ($s$ congru à $0$) et $κ′ ℱ(f)(0)$ -($s$ congru à $1$), où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ / d \log(q)$) +Les résidus sont $-f(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $0$ +et $\chap{f}(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $1$, +où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ / \log(q)$) selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions. La constante $κ$ est le volume calculé en \ref{calcul volume idélique}. \end{enumerate} \end{théorème2} -\begin{remarques2} -\begin{enumerate} -\item Rappelons que si $K$ est un corps de fonctions -(resp. un corps de nombres) l'ensemble des $σ$ -comme en (iv) est un torseur sous $\frac{2 π i}{\log(q)}𝐙$ -(resp. un singleton). -\item Notons également que la variable $s$ est en grande partie superflue : si l'on pose -$ζ(f,χ)=ζ(f,χ,0)$, on a $ζ(f,χ,s)=ζ(f,χ ω_s)$ -et l'équation fonctionnelle prend la forme équivalente plus agréable -\[ -ζ(f,χ)=ζ(\chap{f},\chap{χ}), -\] -où $\chap{f}$ désigne la transformée de Fourier relativement -au caractère $ψ$. Comme signalé en \ref{quasi-caractères=variété}, -on pourrait considérer $χ$ comme variable, parcourant -la surface de Riemann des quasi-caractères de $K^×_𝐀/K^×$. -Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$. -\end{enumerate} -\end{remarques2} +\begin{démo} +Ces énoncés sont conséquences des calculs précédents, +à ceci près que, lorsque $K$ est un corps de fonctions, +il faut \emph{a priori} remplacer $q$ par $q^d$ +dans (v) (localisation des pôles et le calcul des résidus), +où l'on rappelle que $d$ est le plus petit degré $>0$ +d'un diviseur de $K$. Nous verrons en \ref{} \XXX que l'on a $d=1$. +\end{démo} + +\begin{remarque2} +Lorsque $χ=ω_σ$, la formule +$ζ(f,ω_σ,s)=ζ(f,1,s+σ)$ ramène l'étude des pôles +de cette fonction zêta à celle faite en (v). +\end{remarque2} -\subsubsection{Fonctions $L$ (Hecke) ; fonctions zêta} -Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} à -la fonction +\subsubsection{Fonction zêta de Dedekind (suite)} +Déduisons maintenant le théorème \ref{équation fonctionnelle zêta} +du théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}. +Comme en \ref{Fourier de 1}, considérons la fonction \[ -𝟭= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ +𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠ \big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big) \] -considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations -lorsque cela ne prête pas à confusion. -D'une part on a « formule de Riemann-Roch » -\[ -ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭, -\] -où $ψ$ est un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ quelconque, -et d'autre part l'équation fonctionnelle -\[ -ζ(𝟭,1,s)=ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s). -\] -Utilisant le fait que $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}= c_K μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$, -on a également : -\[ -ζ(𝟭,1,s)= c_K^{±1} ∫ 𝟭 ... μ^{\mbox{\minus $×$}}₁=c_K^{±1} ∏_x ζ_x(𝟭_x,1,s) -\] -On applique alors \ref{Matchett} -pour obtenir : -\[ -ζ(𝟭,1,s)=c_K^{±1} \sur{ζ}_K -\] -Enfin, $ζ([×d]^*f,χ)=χ(d)^{-1}ζ(f)$, d'où -$ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s)=|d_K|^{½-s} [...]ζ(𝟭,s)$ -L'équation fonctionnelle pour $\sur{ζ}_K$ en résulte aussitôt. - -\begin{lemme2} -\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\] -\end{lemme2} - -\subsubsection{Cas des corps de fonctions} -Il résulte de la définition \ref{définition zêta Dedekind}, ou bien -du fait que $s↦ ω_s$ ne dépend que de $q^{-s}$, -que la fonction zêta d'un corps de fonctions $K$ -s'écrit $ζ_K(s)=Z_K(q^{-s})$ où $Z_K$ est une fonction méromorphe sur $𝐂^×$. -Cette fonction satisfait les propriétés suivantes : +On a d'une part $ζ(𝟭_𝒪,ω_s)=\sur{ζ}_K(s)$ et, d'autre part, +${\chap{𝟭_𝒪}=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭_𝒪}$ (« formule de Riemann-Roch »). +Par changement de variable ($†$), l'égalité $ζ(𝟭_𝒪,ω_s)=ζ(\chap{𝟭_𝒪},\chap{ω_s})$ se réécrit +$\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$. +L'énoncé sur le résidu en $0$ de $\sur{ζ}_K$ est conséquence +de la formule (v) du théorème précédent et des égalités $g_𝐑(0)=1$ et $g_𝐂(0)=1/π$. +Il reste à démontrer \ref{équation fonctionnelle zêta}, (iii). +Si $K$ est un corps de fonctions, il résulte +de la définition \ref{définition zêta Dedekind} +qu'il existe une fonction $Z_X$ définie sur voisinage +épointé de $0$ dans $𝐂$ telle que $ζ_K(s)=Z_X(q^{-s})$, +pour $\Re(s)$ grand. D'après ce qui précède, cette fonction Zêta +est en fait une fonction méromorphe sur $𝐂^×$ satisfaisant +les propriétés suivantes : \begin{enumerate} \item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $0$ et $q^{-1}$ ; \item $Z_K$ a une limite, égale à $1$, en $0$. -\item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$. +\item $Z_K(T)=q^{g_K-1}T^{2g_K-2}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$. \end{enumerate} +(Le fait (ii) est conséquence de l'égalité $\lim_{\Re(s) → +∞} ζ_K(s)=1$.) +Il résulte de (i) et (ii) que $Z_K(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}$, où $P_K$ +est une fonction \emph{entière} telle que $P_K(0)=1$. +Compte tenu du fait que la fraction rationnelle $\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$ +satisfait (iii) avec $g=0$, le polynôme $P_K$ satisfait l'équation +$P_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}P_K(1/qT)$ ; c'est donc un \emph{polynôme} de degré $2g_K$. +Enfin, on a déjà établi que $\Res₀ ζ_K=-\frac{h}{(q-1)\log(q)}$. +Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P(1)=h$. +Ceci achève la démonstration du théorème \ref{équation fonctionnelle zêta}. + +%\begin{lemme2} +%\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\] +%\end{lemme2} -Il résulte de (i) et (ii) que $Z_K(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}$ où $P$ -est une fonction \emph{entière} telle que $P(0)=1$. -Elle satisfait la même équation fonctionnelle qu'en (iii). Il en résulte -aussitôt que $P_K$ est un \emph{polynôme}, de degré $2g_K$. -Vérifions les propriétés (i)--(iii). La première est une reformulation -de \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} (iv). La seconde -est conséquence du fait que $ζ_K(s) → 1$ lorsque $\Re(s) → + ∞$. -(iii) [...] -Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de -base. Il est utile de démontrer un résultat plus général. + \[⁂\] \begin{corollaire2}[Pôle simple en $1$] \label{pôle simple en 1 cdn} @@ -5132,6 +5134,10 @@ le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...]. \subsubsection{Exemple : $𝐐(i)$} $ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7 +\section{Fonctions $L$} + +[...] + \section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications} \subsection{Le théorème de Minkowski} |