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@@ -1678,14 +1678,14 @@ algèbre finie intègre sur un corps est un corps, cf. \refext{Alg}{fini
integre=corps} ou \refext{Spec}{artinien connexe implique local}),
autrement dit que le quotient $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est un corps.
Comme on l'a rappelé dans la section précédente (\XXX), si $J$ est un
-idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, alors
+idéal de dimension $0$ et radical de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, alors
$k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est le produit des $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ où $I$
parcourt les idéaux premiers (donc maximaux) contenant $I$, dont $J$
est alors l'intersection.
Les deux questions suivantes vont nous préoccuper ici : comment tester
-algorithmiquement si un idéal de dimension $0$ est premier, et
-comment, donné un idéal $I$ radical de dimension $0$, calculer les
+algorithmiquement si un idéal de dimension $0$ et géométriquement
+radical est premier, et comment, dans le cas contraire, calculer les
idéaux premiers qui le contiennent.
\begin{remarque2}\label{remarque-projection-et-ideaux-premiers}
@@ -1724,10 +1724,10 @@ justement le groupe de Galois de $f$.
\end{remarque2}
Comme on vient de le dire, il ne suffit pas (pour $I$ un idéal, même
-radical, de dimension $0$) que les idéaux d'élimination de $I$ à une
-seule variable soient premiers pour pouvoir conclure que $I$ l'est.
-Il y a cependant une situation où c'est possible, comme on va le
-voir :
+de dimension $0$ et géométriquement radical) que les idéaux
+d'élimination de $I$ à une seule variable soient premiers pour pouvoir
+conclure que $I$ l'est. Il y a cependant une situation où c'est
+possible, comme on va le voir :
\begin{definition2}\label{definition-ideal-en-position-nette}
Un idéal $I$ de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est dit \emph{en
@@ -1792,12 +1792,12 @@ et il est alors clair que les $\tilde g_j$ coïncident exactement avec
les $g_j$ (même si on n'en a pas besoin dans cette démonstration).
\end{proof}
-Intuitivement (et au moins pour $I$ radical de dimension $0$), il faut
-comprendre que « $I$ en position nette par rapport à la
- variable $Z_j$ » signifie que la projection sur la coordonnée $Z_j$
-de l'ensemble des points défini par $I$ (disons, sur la clôture
-algébrique de $k$) est un isomorphisme au sens où elle n'identifie pas
-de points.
+Intuitivement (et au moins pour $I$ de dimension $0$ et
+géométriquement radical), il faut comprendre que « $I$ en position
+ nette par rapport à la variable $Z_j$ » signifie que la projection
+sur la coordonnée $Z_j$ de l'ensemble des points défini par $I$
+(disons, sur la clôture algébrique de $k$) est un isomorphisme au sens
+où elle n'identifie pas de points.
Trivialement, si $I$ (idéal de dimension $0$) est en position nette
par rapport à $Z_j$, l'idéal $I$ est premier si et seulement si $I
@@ -1897,32 +1897,29 @@ qu'on voulait montrer.
\end{proof}
\begin{algorithme2}\label{algorithme-test-ideal-premier-dimension-0}
-Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de
-$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait tester
-l'irréductibilité des polynômes à une variable à coefficients
-dans $k$, on peut tester si $I$ est premier.
+Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ et
+géométriquement radical de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ un corps
+infini, si on sait tester l'irréductibilité des polynômes à une
+variable à coefficients dans $k$, on peut tester si $I$ est premier.
\end{algorithme2}
\begin{proof}[Description de l'algorithme]
-En utilisant \ref{algorithme-test-ideal-radical-dimension-0}, on peut
-commencer par tester si $I$ est radical (s'il ne l'est pas, il n'est
-sûrement pas premier).
-
-On trouve ensuite $c_1,\ldots,c_d$ tels que l'idéal $I$ soit en
-position nette par rapport à $c_1 Z_1 + \ldots + c_d Z_d$ (avec l'abus
-de langage évident, c'est-à-dire, au sens de la proposition
-précédente) : d'après la proposition précédente, en prenant
-$c_1,\ldots,c_d$ dans un ensemble suffisamment grand, ce sera toujours
-possible (formellement, on peut commencer par tester tous les
-$d$-uplets d'un ensemble fini, puis agrandir cet ensemble fini si
-aucun ne convient, et répéter jusqu'à trouver un $d$-uplet qui
-convient, ce qui se produira toujours si l'idéal était bien radical) :
-à chaque fois, on teste si on est en position nette en utilisant
-\ref{critere-nettete-dimension-0} ou la remarque qui précède.
+On trouve $c_1,\ldots,c_d$ tels que l'idéal $I$ soit en position nette
+par rapport à $c_1 Z_1 + \ldots + c_d Z_d$ (avec l'abus de langage
+évident, c'est-à-dire, au sens de la proposition précédente) : d'après
+la proposition précédente, en prenant $c_1,\ldots,c_d$ dans un
+ensemble suffisamment grand, ce sera toujours possible (formellement,
+on peut commencer par tester tous les $d$-uplets d'un ensemble fini,
+puis agrandir cet ensemble fini si aucun ne convient, et répéter
+jusqu'à trouver un $d$-uplet qui convient, ce qui se produira toujours
+si l'idéal était bien radical) : à chaque fois, on teste si on est en
+position nette en utilisant \ref{critere-nettete-dimension-0} ou la
+remarque qui précède.
(Remarquons que si on trouve $c_1,\ldots,c_d$ tels que $I$ soit en
position nette, on peut passer à la suite même si on n'a pas testé que
-$I$ est radical. Cependant, le fait que $I$ soit radical permet de
-garantir que cette étape terminera bien.)
+$I$ est géométriquement radical. Cependant, le fait que $I$ soit
+géométriquement radical permet de garantir que cette étape terminera
+bien.)
Une fois trouvé $c_1,\ldots,c_d$ tels que $I$ soit en position nette
par rapport à $Y = c_1 Z_1 + \ldots + c_d Z_d$, on calcule le
@@ -1943,23 +1940,24 @@ calculs seront nettement plus complexes (il vaut mieux, au moins,
passer à $k[C_1,\ldots,C_d]$ et calculer l'idéal d'élimination par
rapport à $C_1,\ldots,C_d,Y$). Remarquons que dans ce cas, il faudra
savoir factoriser (ou au moins tester la primalité de) polynômes à
-plusieurs variables. Par ailleurs, sous-jacent à cette variante de
-l'algorithme est le résultat facile suivant :
+plusieurs variables (\XXX). Par ailleurs, sous-jacent à cette
+variante de l'algorithme est le résultat facile suivant :
\begin{proposition2}
-Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et soient $U_1,\ldots,U_m$ de
-nouvelles indéterminées. Alors l'idéal $\tilde I$ engendré par $I$
-dans $k(U_1,\ldots,U_m)[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou bien $k[U_1,\ldots,U_m,
+Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ (où $k$ est un corps
+quelconque) et soient $C_1,\ldots,C_m$ de nouvelles indéterminées.
+Alors l'idéal $\tilde I$ engendré par $I$ dans
+$k(C_1,\ldots,C_m)[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou bien dans $k[C_1,\ldots,C_m,
Z_1,\ldots,Z_d]$ est premier si et seulement si $I$ l'est.
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Dans le cas de $k[U_1,\ldots,U_m, Z_1,\ldots,Z_d]$, le quotient de
+Dans le cas de $k[C_1,\ldots,C_m, Z_1,\ldots,Z_d]$, le quotient de
celui-ci par $\tilde I$ est l'anneau des polynômes en $m$ variables
-$U_1,\ldots,U_m$, à coefficients dans le quotient
+$C_1,\ldots,C_m$, à coefficients dans le quotient
$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$. Or il est bien connu qu'un anneau de polynômes
est intègre si et seulement si son anneau de coefficients l'est.
-Dans le cas de $k(U_1,\ldots,U_m)[Z_1,\ldots,Z_d]$, on obtient
-l'anneau qui inverse les éléments non nuls de $k[U_1,\ldots,U_m]$ dans
+Dans le cas de $k(C_1,\ldots,C_m)[Z_1,\ldots,Z_d]$, on obtient
+l'anneau qui inverse les éléments non nuls de $k[C_1,\ldots,C_m]$ dans
l'anneau ci-dessus : lui aussi est intègre si $I$ est premier, et a
des diviseurs de $0$ s'il y en a déjà dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$.
\end{proof}
@@ -1981,10 +1979,11 @@ k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$, les $J_i$ sont donc premiers et $k[Y]/(h)
\cong \prod_i (k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i)$. Ceci prouve :
\begin{algorithme2}\label{algorithme-decomposition-ideal-radical-dimension-0}
-Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de
-$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait factoriser
-les polynômes en une variable à coefficients dans $k$, on peut trouver
-les idéaux maximaux $J_i$ contenant $I$.
+Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ et
+géométriquement radical de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ un corps
+infini, si on sait factoriser les polynômes en une variable à
+coefficients dans $k$, on peut trouver les idéaux maximaux $J_i$
+contenant $I$.
\end{algorithme2}
\begin{exemple2}
@@ -2039,13 +2038,14 @@ universelle telle qu'introduite
en \ref{section-algebre-de-decomposition-universelle}. On a vu en
\ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} et
\ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-reduite} que cette
-algèbre est réduite de dimension $0$. Il s'agit donc (cf. les
-remarques initiales de \ref{section-ideaux-premiers-de-dimension-0})
-du produit des corps $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$ où les $J_i$ sont les
-idéaux maximaux contenant $I$, et on a vu
+algèbre est géométriquement réduite de dimension $0$. Il s'agit donc
+(cf. les remarques initiales
+de \ref{section-ideaux-premiers-de-dimension-0}) du produit des corps
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$ où les $J_i$ sont les idéaux maximaux
+contenant $I$, et on a vu
en \ref{algorithme-decomposition-ideal-radical-dimension-0} comment
-calculer les $J_i$ (au moins dans le cas où $k$ est parfait et infini
-et où on sait factoriser les polynômes en une variable sur $k$).
+calculer les $J_i$ (au moins dans le cas où $k$ est infini et où on
+sait factoriser les polynômes en une variable sur $k$).
Si $J$ est un quelconque de ces idéaux maximaux contenant $I$, alors
$K := k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est un corps engendré par $k$ et par les
@@ -2072,7 +2072,7 @@ il suffit de tester si la permutation appliquée à chaque élément de la
base de Gröbner est encore dans l'idéal. On a donc montré :
\begin{algorithme2}\label{algorithme-calcul-galois-par-base-de-groebner}
-Donné un polynôme $f \in k[X]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait
+Donné un polynôme $f \in k[X]$, avec $k$ infini, si on sait
factoriser les polynômes en une variable à coefficients dans $k$, on
sait calculer le groupe de Galois de $f$ comme le groupe des
permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ qui fixent un idéal $J$ maximal