summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex12
1 files changed, 6 insertions, 6 deletions
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 6fccc61..4a8491c 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -1572,9 +1572,9 @@ impair.
On renvoie à \refext{Alg}{trace-et-norme} pour les généralités sur la
trace et la norme dans une algèbre quelconque sur un corps. On se
préoccupera ici d'une extension $\FF_{q^r}\bo \FF_q$ de corps finis :
-la \emph{trace} $\Tr_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x)$,
-la \emph{norme} $\N_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x)$, et le \emph{polynôme
-caractéristique} $\chi_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x,X)$ d'un élément
+la \emph{trace} $\Tr_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x)$,
+la \emph{norme} $\N_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x)$, et le \emph{polynôme
+caractéristique} $\chi_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x,X)$ d'un élément
$x \in \FF_{q^r}$ sont respectivement la trace, la norme, et le
polynôme caractéristique de l'application $\FF_q$-linéaire $z \mapsto
xz$ de multiplication par $x$ sur $\FF_{q^r}$, ce dernier étant vu
@@ -1582,10 +1582,10 @@ comme un $\FF_q$-espace vectoriel de dimension $r$.
\begin{proposition2}\label{trace-et-norme-corps-finis}
Soit $x \in \FF_{q^r}$ : alors on a
-\[\chi_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x,X) = \prod_{i=0}^{r-1} (X-\Frob_q^i(x))\]
+\[\chi_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x,X) = \prod_{i=0}^{r-1} (X-\Frob_q^i(x))\]
et en particulier
-\[\Tr_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x) = \sum_{i=0}^{r-1} \Frob_q^i(x)\]
-\[\N_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x) = \prod_{i=0}^{r-1} \Frob_q^i(x) = x^{(q^r-1)/(q-1)}\]
+\[\Tr_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x) = \sum_{i=0}^{r-1} \Frob_q^i(x)\]
+\[\N_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x) = \prod_{i=0}^{r-1} \Frob_q^i(x) = x^{(q^r-1)/(q-1)}\]
\end{proposition2}
\begin{proof}
Considérons d'abord le cas où $x$ engendre $\FF_{q^r}$ sur $\FF_q$,