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index 7e67843..acc519a 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -1277,7 +1277,7 @@ Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens.
\XXX
$A$ $𝐙$-algèbre de type fini.
\[
-ζ_A^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-♯κ(x)^{-s}}.
+ζ_A^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-\#κ(x)^{-s}}.
\]
\end{définition2}
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index 4921a88..e6f86fe 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -609,7 +609,7 @@ Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
\begin{théorème2}[F.K. Schmidt]
Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions :
-$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$.
+$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ \#S-1$.
\end{théorème2}
\begin{démo}
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index bf2ad7b..a88d1e3 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -439,7 +439,7 @@ en posant $φ(m ′ + s m)=φ(m ') + s y$. Absurde.
\begin{lemme2}\label{bidualité Zsurn modules finis}
Soit $M$ un $𝐙/n$-module \emph{fini}.
\begin{enumerate}
-\item $ ♯ D(M) = ♯ M$.
+\item $ \# D(M) = \# M$.
\item Le morphisme d'évaluation (ou « bidualité ») $M → D(D(M))$
est un isomorphisme.
\end{enumerate}
@@ -476,7 +476,7 @@ $A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ est également
démontré en \ref{Kummer 4}, si l'on se souvient de
l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ et $H¹(K\bo k,μ_n)$.)
Notons en particulier que les groupes $A_K \bo {k^×}^n$ et $\Gal(K\bo k)$
-ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
+ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
Soit $K ′=k(A_{K}^{1/n})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$.
@@ -701,8 +701,8 @@ quatrième de l'unité $x-1$ appartient à $k$.
$(k^×⟨A⟩:k^×)$ être une puissance d'un nombre premier $ℓ$.
En effet, si l'on considère pour chaque $ℓ$ l'image inverse $T_ℓ$
du $ℓ$-Sylow $S_ℓ$ de $k^×⟨A⟩/k^×$ dans $k^×⟨A⟩$, et que l'on démontre
-l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=♯S_ℓ)$, on aura
-la divisibilité $♯ S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement
+l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=\#S_ℓ)$, on aura
+la divisibilité $\# S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement
la relation $(k^×⟨A⟩ : k^×) | [k(A):k]$. On peut alors conclure
en utilisant la majoration $[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩ : k^×)$ démontrée ci-dessus.
@@ -1162,7 +1162,7 @@ $A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ est également
démontré en \ref{AS 4}, si l'on se souvient de
l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ et $H¹(K\bo k,𝐙/p)$.)
Notons en particulier que les groupes $A_K \bo ℘(k)$ et $\Gal(K\bo k)$
-ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
+ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
Soit $K ′=k(\root ℘ \of A_{K})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
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index 0e78c6c..bcd8903 100644
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+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -871,7 +871,7 @@ est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient
de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité
de $H$. D'après \refext{Spec}{}, $H(B) → \End_{\Ens}(G)$ etc. \XXX.
En particulier, l'ensemble des points fixes
-est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où
+est de cardinal $\#G$. On a donc $\#H(A)= \#G$ d'où
les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$.
\end{démo}
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index 25f1398..6705890 100644
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+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -122,7 +122,7 @@ sont des anti-équivalences de catégories quasi-inverses l'une de l'autre.
les classes d'isomorphismes de $k$-algèbres étales trivialisées par $K \bo k$
et les classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles finis. De plus,
\[
-[A:k] = ♯ π₀^{K\bo k}(A).
+[A:k] = \# π₀^{K\bo k}(A).
\]
\item Pour toute paire $A,B$ d'objets de $\categ{\acute{E}t}(K\bo k)$,
l'application
@@ -242,7 +242,7 @@ classique.
On souhaite montrer que le morphisme d'évaluation
$A → \Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est un isomorphisme.
Comme l'algèbre $A$ est supposée étale sur $k$, trivialisée par $K$, on
-a égalité $♯A^\japmath{田}(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension
+a égalité $\#A^\japmath{田}(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension
du $K$-espace vectoriel $\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est $n$. Il résulte
du lemme \ref{lemme de Speiser} ci-dessous que le $k$-espace vectoriel
$\Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est également de dimension $n$.
@@ -813,7 +813,7 @@ du $1$-cocycle trivial ; la bijection respecte ces points.
% tiré de Serre et Bayer-F. (1994)
Soit $A$ un $G$-torseur sur $k$ trivialisé par $K\bo k$.
\begin{enumerate}
-\item Montrer que l'ensemble $\Hom_k(A,K)$ a $♯G$ éléments,
+\item Montrer que l'ensemble $\Hom_k(A,K)$ a $\#G$ éléments,
permutés transitivement par l'action naturelle de $G$.
(Indication : $\Hom_k(A,K) ⥲ \Hom_K(A_K,K)$.)
\item Soit $ι ∈ \Hom_k(A,K)$. Montrer que pour chaque
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index 3c707a7..bdc44b1 100644
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+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -1091,7 +1091,7 @@ Cependant, ceci ne produit pas d'équation polynomiale verselle
en des \emph{paramètres} comme en \ref{equation verselle C3} ou \ref{equation verselle C4}.
Supposons maintenant que $\Frac(BG)$ soit une extension \emph{transcendante pure}
de $k$, c'est-à-dire de la forme $k(Y₁, …,Y_n)$ où les $Y_i$ sont
-algébriquement indépendants. (On a alors nécessairement $n= ♯G$ ;
+algébriquement indépendants. (On a alors nécessairement $n= \#G$ ;
cela résulte du fait que $\Frac(EG)$ est isomorphe à $k(x_g:g ∈ G)$
et de la proposition \refext{}{}.)
Insistons sur le fait que la condition de pureté transcendante n'est pas systématiquement vérifiée ;
@@ -1511,7 +1511,7 @@ Cela résulte de l'hypothèse d'invertibilité du déterminant.
\end{démo}
\begin{remarque2}
-On peut montrer que le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $♯G$.
+On peut montrer que le $BG$-module $EG$ est \emph{libre} de rang $\#G$.
(On sait déjà qu'il est \emph{projectif}, c'est-à-dire
\emph{localement} libre.)
Soient $s:EG → \Hom_{\Ens}(G,BG)$ et $π:\Hom_{\Ens}(G,BG) → EG$