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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index 3552907..acea098 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -1221,7 +1221,7 @@ $a^{(p-1)/p'}$ n'est pas congru à $1$ modulo $p$. Sous l'hypothèse de la proposition, $p-1$ a deux diviseurs premiers : $2$ et $ℓ$. Puisque $ℓ$ est impair, $4ℓ+1$ congru à $5$ modulo $8$, de sorte que -(\refext{ACF}{formule-complementaire}) $2^{(p-1)/2}$ est congru à $-1$ +(\ref{formule-complementaire}) $2^{(p-1)/2}$ est congru à $-1$ modulo $p$. Enfin, $2^{(p-1)/ℓ}=2^4≡1$ modulo $p$ entraîne $p=3$ ou $5$. \end{démo} @@ -1544,7 +1544,8 @@ $(\ZZ/8\ZZ)^\times$, or ce dernier n'est pas cyclique (il a quatre quatre facteurs de degré $1$) pour $q \equiv 1 \pmod{8}$, et se factorise en deux facteurs de degré $2$ pour tout autre $q$ impair. (\XXX Peut-on être un chouïa plus explicite sur la -factorisation de $\Phi_8$ modulo $p$ ?) +factorisation de $\Phi_8$ modulo $p$ ? Par ailleurs, cette remarque +fait doublon avec l'exercice \ref{exercice-Phi8} ajouté après.) \item Si $n$ est multiple de deux nombres premiers impairs distincts $\ell_1,\ell_2$, alors, de même, $\Phi_n$, bien qu'irréductible dans $\ZZ[X]$ ou $\QQ[X]$, n'est irréductible dans aucun $\FF_q$ : en @@ -3093,10 +3094,11 @@ Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem geometrica in septemdecim partes etc. \end{quote} -On trouvera dans \refext{Cons}{} un calcul explicite lorsque $p=17$. +On trouvera dans \refext{Radicaux}{racine-17e-de-1} un calcul +explicite lorsque $p=17$. \subsubsection{Réciprocité quadratique} -Cf. \refext{ACF}{reciprocite-quadratique}. +Cf. \ref{reciprocite-quadratique}. Soit $ℓ≠p$ un nombre premier impair. Notons $χ=(χ_{\mathrm{quad}},\dots,χ_{\mathrm{quad}})$ diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 8cf8396..a3243f8 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -387,12 +387,15 @@ en \ref{definition-corps-clos-par-radicaux} fait que cet énoncé n'était pas trivial : on n'autorise pas une « expression par radicaux » telle que $\root m\of 1$ puisqu'on ne peut, avec nos règles, prendre les racines $n$-ièmes qu'à condition d'avoir déjà les -racines $n$-ièmes de l'unité. Mais une fois cette observation faite, -la définition d'expression par radicaux que nous avons donnée est -heureusement la même que toutes les autres trouvées dans la -littérature (au moins en caractéristique $0$, des petites variantes -pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes, -ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables). +racines $n$-ièmes de l'unité (de sorte qu'un élément de $k\resol$ peut +être écrit comme une expression en radicaux quelle que soit la +détermination choisie pour les racines $n$-ièmes). Mais une fois +cette observation faite, la définition d'expression par radicaux que +nous avons donnée est heureusement la même que toutes les autres +trouvées dans la littérature (au moins en caractéristique $0$, des +petites variantes pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les +racines $\wp$-ièmes, ou parfois chez certains auteurs des racines +$p$-ièmes inséparables). \end{remarque2} \subsubsection{Remarque algorithmique}\label{remarque-algorithmique-expressions-radicaux} Même si ce n'est pas @@ -409,7 +412,7 @@ caractéristique $0$ pour simplifier) : cyclique d'ordre $m$ engendré par un élément $\sigma$ et que $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité dont on note $\zeta$ une racine primitive, alors $\alpha_j := \sum_{i=0}^{m-1} \zeta^{ij} - \sigma^i(\gamma)$ vérifie $\sigma(\alpha_j) = \zeta^j \alpha_j$ donc + \sigma^i(\gamma)$ vérifie $\sigma(\alpha_j) = \zeta^{-j} \alpha_j$ donc $a_j := \alpha_j^m$ appartient à $k$. On peut calculer $a_j$ (pour $0\leq j \leq m-1$), puis exprimer $\alpha_j$ comme $\root m \of a_j$ (ou peut-être comme $\zeta^{t_j} \root m\of a_j$ avec un $t_j$ @@ -444,13 +447,14 @@ sur ce problème. \subsubsection{} On se propose dans cette section d'expliquer comment calculer explicitement des expressions en radicaux des racines -$n$-ièmes de l'unité.\commentaire{Expliquer pourquoi -$ω=\sqrt[n]{1}$ n'est pas recevable !} Afin d'uniformiser les notations, on appellera -toujours $\omega$ une racine primitive $n$-ième de l'unité (qu'on -cherche à exprimer en radicaux), tandis que $\zeta$ désignera une -racine $m$-ième de l'unité pour un autre $m$ (divisant $\varphi(n)$) -qui sera utilisée dans le calcul. On introduira aussi fréquemment -$\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$. +$n$-ièmes de l'unité (en utilisant la détermination standard, dite +« principale » des racines $m$-ièmes, cf. ci-dessous). Afin +d'uniformiser les notations, on appellera toujours $\omega$ une racine +primitive $n$-ième de l'unité (qu'on cherche à exprimer en radicaux), +tandis que $\zeta$ désignera une racine $m$-ième de l'unité pour un +autre $m$ (divisant $\varphi(n)$) qui sera utilisée dans le calcul. +On introduira aussi fréquemment $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + +\omega^{-1})$. Afin de fixer le choix des racines $m$-ièmes, on plongera $\QQ\resol$ dans le corps $\CC$ des complexes. On utilise alors la notation @@ -481,7 +485,8 @@ de l'unité pour fixer la détermination). En fait, si $n_1$ et $n_2$ sont premiers entre eux, le théorème chinois permet d'obtenir une expression plus agréable, puisqu'il garantit que toute racine primitive $n$-ième de l'unité est produit d'une racine primitive -$n_1$-ième et d'une racine primitive $n_2$-ième. +$n_1$-ième et d'une racine primitive $n_2$-ième (par exemple, +$e^{2i\pi/15} = e^{-2i\pi/3} \cdot e^{4i\pi/5}$). \subsubsection{} Supposons donc $n$ premier impair. On a alors $\varphi(n) = n-1$, et le groupe $(\ZZ/n\ZZ)^\times$ est cyclique : on @@ -493,41 +498,79 @@ exprimer, et $\zeta$ une racine primitive $(n-1)$-ième de l'unité, dont on suppose déjà connue une expression en radicaux. Selon la stratégie générale exposée -en \ref{remarque-algorithmique-expressions-radicaux}, on va définir -$\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$. - -Pour calculer l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de -l'unité $\omega$, on peut décrire l'algorithme précédent de la manière -suivante, en supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de -l'unité $\zeta$ : poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} -\omega^{g^i}$ (on a alors $\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2} -\alpha_j$) et calculer $a_j := (\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en -fonction de $\zeta$ uniquement. Pour justifier ce fait, on peut -invoquer le fait que $\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur -$\QQ(\zeta)$ de groupe de Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ -(\XXX --- référence ?), mais en fait on peut aussi simplement affirmer -qu'on fait les calculs dans $\QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$ (pour lequel il -est évident que $\omega \mapsto \omega^g$ constitue un automorphisme -en notant $\omega$ la classe de $X$), ce qui est le cas en pratique. -En fait, on n'est pas obligé de monter jusqu'à $(\alpha_j)^{n-1}$ pour -chaque $j$ : si $d$ désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà -$(\alpha_j)^{(n-1)/d}$ s'exprime en fonction de $\zeta$, et même de -$\zeta^d$, uniquement. - -Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse souvent à -l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ -(c'est-à-dire $\cos\frac{2\pi}{n}$ pour le bon choix de $\omega$, -cf. ci-dessous). Remarquons que $\omega^{-1} = \omega^{g^{(n-1)/2}}$, -de sorte que $\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{-g^i}$ vaut $(-1)^j -\alpha_j$ (toujours avec $\alpha_j = \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} -\omega^{g^i}$ défini plus haut). La somme $\frac{1}{2} -\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} (\omega^j + \omega^{-j})$ qui sert, dans -l'algorithme considéré ici, à calculer $\gamma$, vaut donc $\alpha_j$ -ou $0$ selon que $j$ est pair ou impair ; ou pour dire les choses -différemment, le calcul de $\gamma$ passe par le calcul des $\alpha_j$ -avec $j$ pair uniquement (c'est-à-dire qu'on peut se contenter des -racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes de l'unité) : on a $\gamma = -\frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$. +en \ref{remarque-algorithmique-expressions-radicaux}, on va poser +$\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ : on a alors +$\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$, et il s'agit de +voir que $\alpha_j$ est racine $m$-ième (pour un certain $m$, par +exemple $n-1$) d'un élément de $\QQ(\zeta)$ à calculer explicitement. + +Pour justifier ce fait, il est naturel d'invoquer le fait que +$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de +Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), avec +pour générateur $\sigma \colon \omega\mapsto \omega^g$, de sorte que +$\sigma(\alpha_j) = \zeta^{-j} \alpha_j$, et $\sigma(a_j) = a_j$ si +$a_j = (\alpha_j)^{n-1}$. En vérité, on n'a pas vraiment besoin +d'utiliser ce résultat : en effet, on peut travailler dans l'anneau $R +:= \QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$, où on note $\mathring\omega$ la classe +de $X$ : il est alors évident que $\sigma \colon \mathring\omega \to +\mathring\omega^g$ constitue un automorphisme de $R$ (vu que +$\Phi_n(\mathring\omega^g) = 0$), et une fois calculée une égalité +dans $R$ (entre une puissance $m$-ième de $\alpha_j$ et un élément +de $\QQ(\zeta)$), on peut l'appliquer à $\omega$ puisque +$\Phi_n(\omega) = 0$. Cette observation indique également la manière +dont on peut mener les calculs : travailler dans $\QQ(\zeta)[X]$ +modulo $\Phi_n$ (ou encore dans $\QQ[X]$ modulo $\Phi_{n(n-1)} = +\Phi_n \Phi_{n-1}$). + +En fait, il n'est pas nécessaire de monter jusqu'à la puissance +$(n-1)$-ième de $\alpha_j$ : si $d$ désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, +alors déjà $(\alpha_j)^{(n-1)/d}$ est invariant par $\sigma$ dont +appartient à $\QQ(\zeta)$, et en fait, comme il s'agit d'une somme ne +faisant intervenir que $\zeta^d$ (et $\omega$) et que toutes les +remarques du paragraphe précédent s'appliquent aussi bien à +$\QQ(\zeta^d)$, on a même $(\alpha_j)^{(n-1)/d} \in \QQ(\zeta^d)$. + +(Par exemple, on a $\alpha_0 \in \QQ$, et de fait, $\alpha_0 = +\sum_{i=0}^{n-2} \omega^{g^i} = \sum_{t \in (\ZZ/n\ZZ)^\times} +\omega^t$ est la somme des racines primitives $n$-ièmes de l'unité, +donc l'opposé du coefficient sous-dominant de $\Phi_n = X^{n-1} + +X^{n-2} + \cdots + 1$, c'est-à-dire $-1$. Quant à $\alpha_{(n-1)/2} = +\sum_{t \in (\ZZ/n\ZZ)^\times} \Legendre{t}{n} \omega^t$, son carré et +rationnel, et on peut montrer, toujours sous l'hypothèse que $n$ soit +premier impair, que $\alpha_{(n-1)/2}$ vaut $\sqrt{n}$ ou $\sqrt{-n}$ +selon que $n\equiv 1\pmod{4}$ ou $n\equiv 3\pmod{4}$. \XXX) + +Pour une même valeur de $d := \pgcd(j,n-1)$, les différents $\alpha_j$ +sont reliés entre eux par l'action du groupe de Galois de +$\QQ(\zeta,\omega)$ au-dessus de $\QQ(\omega)$ cette fois, ce qui +signifie qu'une fois calculé l'un d'entre eux on peut en déduire tous +les autres (c'est sans doute plus utile au niveau du +$(\alpha_j)^{(n-1)/d}$, qui appartient à $\QQ(\zeta)$, qu'au niveau de +$\alpha_j$ puisque celui-ci fait intervenir une racine +$\frac{n-1}{d}$-ième dont la détermination risque de ne pas bien se +comporter par rapport au groupe de Galois qu'on vient d'évoquer). +Ceci n'est pas forcément d'une grande utilité dans les calculs (qu'il +est aussi simple de refaire $\varphi(\frac{n-1}{d})$ fois), mais cela +explique au moins la raison pour laquelle les expressions dans les +radicaux de chacune des sommes qu'on va calculer ci-dessous sont très +semblables les unes aux autres. + +\subsubsection{} Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse +souvent à l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$, +c'est-à-dire $\cos\frac{2\pi}{n}$ pour le choix usuel des +déterminations complexes. Remarquons que $\omega^{-1} = +\omega^{g^{(n-1)/2}}$, de sorte que $\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} +\omega^{-g^i}$ vaut $(-1)^j \alpha_j$ (toujours avec $\alpha_j = +\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ défini plus haut). La somme +$\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} (\omega^j + \omega^{-j})$ qui +sert, dans l'algorithme considéré ici, à calculer $\gamma$, vaut donc +$\alpha_j$ ou $0$ selon que $j$ est pair ou impair ; ou pour dire les +choses différemment, le calcul de $\gamma$ passe par le calcul des +$\alpha_j$ avec $j$ pair uniquement (et notamment, qu'on peut se +contenter des racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes de l'unité, et que les +racines qui interviendront seront au plus des racines +$\frac{n-1}{2}$-ièmes) : on a précisément $\gamma = \frac{1}{n-1} +\sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$. Une fois calculé $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ (en radicaux), on peut éventuellement en déduire une expression (toujours @@ -562,7 +605,7 @@ imaginaire positive. \XXX --- Ce texte est tout pourri. Le réécrire. -\subsubsection{$n=3$} Si $\omega$ désigne une racine cubique +\subsubsection{$n=3$}\label{racine-3e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine cubique primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X + 1$, alors on a $\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité $\alpha := (\omega - \omega^{-1})$ vérifie $\alpha^2 = \omega^2 - 2 + @@ -573,7 +616,7 @@ la détermination principale des racines, on peut écrire $\alpha = e^{2i\pi/3} = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}) \] -\subsubsection{$n=4$} Si $\omega$ désigne une racine +\subsubsection{$n=4$}\label{racine-4e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_4 = X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$. Eu égard aux conventions que nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut @@ -582,7 +625,7 @@ nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut e^{i\pi/2} = \sqrt{-1} \] -\subsubsection{$n=5$} Si $\omega$ désigne une racine +\subsubsection{$n=5$}\label{racine-5e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_5 = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$, c'est-à-dire : @@ -618,7 +661,7 @@ on trouve $\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \big( \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$. -\subsubsection{$n=6$} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines +\subsubsection{$n=6$}\label{racine-6e-de-1} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes de l'unité sont $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans cet ordre car avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle @@ -626,7 +669,7 @@ qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine sixième principale est $-\zeta^2$.) -\subsubsection{$n=7$} Si $\omega$ désigne une racine +\subsubsection{$n=7$}\label{racine-7e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^5 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est une racine cubique primitive de l'unité (et donc $-\zeta^2$ une racine @@ -683,7 +726,7 @@ Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{7}}$, mais l'expression ainsi obtenue ne semble pas plus agréable que celle reproduite ci-dessus. -\subsubsection{$n=11$} Maintenant $\omega$ désigne une racine +\subsubsection{$n=11$}\label{racine-11e-de-1} Maintenant $\omega$ désigne une racine primitive $11$-ième de l'unité. On considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^9 (-\zeta^3)^{ij} \omega^{2^i}$ où $\zeta$ est une racine primitive $5$-ième de l'unité (et donc $-\zeta^3$ une racine @@ -762,7 +805,7 @@ vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement : \end{array} \] -\subsubsection{$n=13$} \XXX +\subsubsection{$n=13$}\label{racine-13e-de-1} \XXX \[ \begin{array}{rl} @@ -779,7 +822,7 @@ vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement : \end{array} \] -\subsubsection{$n=17$} \XXX +\subsubsection{$n=17$}\label{racine-17e-de-1} \XXX \[ \begin{array}{rl} @@ -789,7 +832,7 @@ vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement : \end{array} \] -\subsubsection{$n=19$} \XXX +\subsubsection{$n=19$}\label{racine-19e-de-1} \XXX \begin{center} \begin{tikzpicture} |