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diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex index 42b6ce9..06adcf4 100644 --- a/chapitres/radicaux.tex +++ b/chapitres/radicaux.tex @@ -1410,9 +1410,10 @@ Pour spécifier le choix des déterminations des racines dans les complexes, on fixe la numérotation pour laquelle $z_0 \approx -1.842086$, $z_1 \approx 1.272897+0.719799i$, $z_2 \approx -0.351854+1.709561i$, $z_4 \approx -0.351854-1.709561i$ et $z_5 -\approx 1.272897-0.719799i$ (on vérifie bien que $z_1^2 + -\frac{1}{4}(-z_0^4-z_0^3-z_0^2+3z_0+4)z_1 + -\frac{1}{4}(-z_0^4-z_0^3-z_0^2-5z_0+8) = 0$ avec ce choix). +\approx 1.272897-0.719799i$ (on vérifie bien avec ce choix que $z_1^2 ++ \frac{1}{4}(-z_0^4-z_0^3-z_0^2+3z_0+4)z_1 + +\frac{1}{4}(-z_0^4-z_0^3-z_0^2-5z_0+8) = 0$ et que $z_2,z_3,z_4$ sont +donnés par les expressions ci-dessus en fonction de $z_0,z_1$). Nous aurons aussi besoin de faire intervenir une racine primitive cinquième de l'unité $\zeta$. On peut montrer que $f$ a le même @@ -1475,10 +1476,10 @@ ce qui donne $q^2 + 10q + 275 = 0$ ou encore $q = $\CC$ décrit plus haut, on écrira $q = -5(1+\sqrt{-10})$, ou plus exactement, on appellera $\sqrt{-10}$ l'élément de $K_1$ défini par $-1-\frac{1}{5}q$ : cet élément est fixé par $\varsigma$ et -$\tau(\sqrt{-10}) = -\sqrt{-10}$. Comme $(L_1)^5 - (L_4)^5$ est lui +$\tau(\sqrt{-10}) = -\sqrt{-10}$. Puisque $(L_1)^5 - (L_4)^5$ est lui aussi fixé par $\varsigma$ et transformé par $\tau$ en son opposé, on -peut chercher à écrire $(L_1)^5 - (L_4)^5$ comme $c\sqrt{-10}$ avec $c -\in \QQ(\zeta)$, qu'on calcule comme $((L_1)^5 - +peut chercher à écrire $(L_1)^5 - (L_4)^5$ sous la forme $c\sqrt{-10}$ +avec $c \in \QQ(\zeta)$, qu'on calcule comme $((L_1)^5 - (L_4)^5)\times\sqrt{-10}/(-10)$, ce qui donne \[ (L_1)^5 - (L_4)^5 = (- 750 - 1500 \zeta + 750 \zeta^2 - 2250 \zeta^3)\,\sqrt{-10} |