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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 2b24e6e..f50addd 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4612,6 +4612,7 @@ et du fait que chaque $𝔞$ s'écrit de manière unique dont la norme est $N(𝔪_{x₁} \cdots 𝔪_{x_r})=N(x₁)\cdots N(x_r)$. \subsubsection{Réécriture : corps de fonctions} +\label{réécriture Zêta corps de fonctions} Si $K$ est un corps de fonctions, notons $q$ le cardinal de son corps des constantes. Pour chaque $x ∈ X$, le cardinal $q_x$ est donc égal à $q^{\deg(x)}$, @@ -4622,17 +4623,52 @@ Il en résulte que l'on a, du moins formellement, ζ_K(s) = Z_K(q^{-s}) \text{, où } \] \[ -Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} ∈ 𝐙[[T]]. +Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} = ∏_{n ≥ 1} (1-T^n)^{-B_K(n)} ∈ 𝐙[[T]], \] -L'égalité $(1-T)^{-1}=∑_{n ≥ 0} T^n$ nous permet de réécrire -cette nouvelle « fonction Zêta » : +où $B_K(n)$ est ici le nombre de $x ∈ X$ de degré $n$. +L'égalité $(1-T)^{-1}=∑_{n ≥ 0} T^n$ nous permet d'une part de calculer la dérivée logarithmique \[ -Z_K(T)= ∑_{r ≥ 0} N_r T^r, +T \frac{Z′_K}{Z_K} = ∑_{n ≥ 1} N_K(n) T^n, +\] +où $N_K(n):= ∑_{r|n} B_K(r)r=∑_{x ∈ X \atop \deg(x)|n} \deg(x)$ — ce qui revient à compter +les points de $X$ de degré $r$ avec une multiplicité $r$ — +et aussi d'exprimer la fonction Zêta sous la forme +d'une série génératrice +\[ +Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n, +\] +où $E_K(n)$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs} +(\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $n$\footnote{En termes plus +expressifs, $N_K(n)$ est le \emph{nombre de $𝐅_{q^n}$-points de la courbe projective +lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.}. +Notons que l'expression de la dérivée logarithmique est équivalente +à la formule : +\[ +Z_K(T)=\exp(∑_{n ≥ 1} N_K(n)\frac{T^n}{n}). \tag{††} \] -où $N_r$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs} -(\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $r$. -[Formule $Z_{K_d}(T^d)=∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$. \XXX] +\subsubsection{Extension du corps des constantes} +Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≥ 1$. +Notons $k_e$ l'extension (cyclique) de degré $e$ de $k$ (unique à isomorphisme +près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k} k_e$ obtenu à partir de $K$ +par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_d$ l'ensemble de ses places (ultramétriques). +Le corps des constantes de $K_e$ est $k_e$ \XXX et l'application +$X_d → X$ est surjective. Si $y↦x$, le corps résiduel $κ(y)$ est extension +composée du corps fini $κ(x)$ (de degré $\deg(x)$ sur $k$) et de $k_e$ : elle +est donc de degré $\frac{e}{(e,\deg(x))}$ sur $k_e$. +L + + +Reprenons les notations de +\ref{réécriture Zêta corps de fonctions}. Le lecteur se convaincra aisément, +à partir de la formule $N_K(n)=∑_{r | n} r B_K(r)$, que l'on a +$N_{K_d}(n)=N_K(nd)$ si $d$ divise $n$ et $N_{K_d}(n)=0$ sinon. + + +C'est un +fait général (indépendant de l'hypothèse faite sur $d$) \XXX que $Z_{K_d}(T^d)= ∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$. + + \subsubsection{Fonction zêta complétée} @@ -5112,20 +5148,19 @@ Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P_K(1)=h_K$. \subsubsection{Existence d'un diviseur de degré $1$} \label{existence diviseur degré 1} -Pour conclure la démonstration du théorème \ref{pôles et équation +Pour achever la démonstration du théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} (et par conséquent, du théorème -\ref{équation fonctionnelle zêta}), il faut vérifier que, pour tout -corps de fonctions $K$, il existe un diviseur de degré $1$. Ce fait -étant pour l'instant inconnu, on a seulement démontré une variante -affaiblie de \ref{équation fonctionnelle zêta} (iii) : la fonction -$Z_K(T)$ est une fraction rationnelle $Q(T^d)$ en $T^d$, où $d$ est le -plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$, et $Q$ a un pôle simple -en $1$ (cf. $h_K ≠ 0$). En particulier, toute fonction Zêta $Z_L$ d'un -corps de fonctions $L$ a un pôle simple en $1$ et il en est de même de -$Z_L(T^n)$ pour tout $n$. Appliquons cette remarque au corps $K_d=K -⊗_{𝐅_q} 𝐅_{q^d}$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires -de $𝐅_q$ à $𝐅_{q^d}$ et à l'entier $n=d$. C'est un -fait général (indépendant de l'hypothèse faite sur $d$) \XXX que $Z_{K_d}(T^d)= ∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$. +\ref{équation fonctionnelle zêta}), il nous faut vérifier que, pour tout +corps de fonctions $K$, il existe un diviseur de degré $1$. Nous avons +vu ci-dessus que si $d$ est le degré $>0$ minimal d'un diviseur de $K$, +la fonction $Z_K(T)$ est une fraction rationnelle $Q(T^d)$, +où $Q$ a un pôle simple en $1$ (cf. $h_K ≠ 0$). Il en résulte que pour tout +corps de fonctions $L$ et tout entier $n ≥ 1$, +la fonction rationnelle $Z_L(T^n)$ un pôle simple en $1$. +Appliquons cette remarque au corps $K_d=K ⊗_{𝐅_q} 𝐅_{q^d}$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires +de $𝐅_q$ à $𝐅_{q^d}$ et à l'entier $n=d$. +[...] + Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, cette formule se réécrit $Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$. Le terme de gauche a un pôle simple en $T=1$ et le terme de droite un pôle de |