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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 206febe..ce2117c 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -53,6 +53,8 @@ Corps locaux, corps globaux \section{Corps locaux} +Supprimer/déplacer les paragraphes suivants.\XXX + \subsection{Premières définitions, notations} \label{définition corps locaux} \subsubsection{}On appelle \textbf{corps local @@ -503,6 +505,18 @@ groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\mod_K(x)$ le module de l'automorphisme $[×a]:x ↦ ax$ du groupe additif de $K$ : $μ(aX)=\mod_K(a)μ(X)$ pour toute partie mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\mod_K(0)=0$. +Dans cette section nous allons montrer comment +construire une valeur absolue sur un corps topologique localement compact $K$ +à partir de $\mod_K$ et démontrer un analogue +du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet} +dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}). +Ce dernier résultat permet de comprendre qu'une extension +finie d'un corps local est un corps local. +Tout d'abord quelques résultats préparatoires. + +À faire : permuter certains paragraphes et virer la +définition initiale (moche) d'un corps local. \XXX + \begin{proposition2} La fonction $\mod_K:K → 𝐑_+$ est continue et @@ -536,12 +550,6 @@ inférieurement sur $K^×$ donc, finalement, continue. En déduire que $K$ n'est pas compact. \end{exercice2} -Nous souhaitons maintenant démontrer un analogue -du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet} -dans le cas d'un corps localement compact (cf. -\ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}). -Tout d'abord quelques résultats préparatoires. - \subsubsection{} \label{compacité des Br} Soit $r>0$ un réel. Il résulte de la @@ -633,6 +641,12 @@ Enfin, un produit fini d'espaces localement compacts est localement compact. \end{démo} +Il résulte du théorème précédent qu'un $K$-espace vectoriel +de dimension fini ne peut être muni que d'un seule structure +d'espace vectoriel topologique. + +\subsubsection{}[...] + \subsubsection{}Soit $K ↪ L$ une injection continue de corps topologiques. Si $K$ est local et $L\bo K$ finie, $L$ est également un corps local. Réciproquement, toute extension |