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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex
index acc519a..f72e3b4 100644
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+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -1,27 +1,9 @@
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-
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-
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\title{Notions d'algèbre commutative}
-
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@@ -30,15 +12,8 @@
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-
\begin{document}
-\begin{center}
-Notions d'algèbre commutative
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Notions d'algèbre commutative}
@@ -62,7 +37,7 @@ contenant $S$ et multiplicative.
Si $S$ est une partie multiplicative,
la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
-$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
+$(a,s)ℛ(a',s')$ si et seulement si il existe $t∈S$
tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
On vérifie immédiatement que les opérations
@@ -99,7 +74,7 @@ maximal.
\begin{démo}
On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
-$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
+$𝔭∩S=∅$ si et seulement si $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
car tout élément de $S$ est envoyé
@@ -123,7 +98,7 @@ des fractions, il existe $t∈S$ tel que
Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à
$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
-Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
+Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, c'est-à-dire que l'application
$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
@@ -305,13 +280,13 @@ Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini.
\end{définition2}
-\begin{exemples}
-Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad
+\begin{exemples2}
+Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, c'est-à-dire
dans l'image du morphisme structural $A→B$, est entier sur $A$.
Moins trivialement, il résulte de la proposition
\ref{caracterisation-entiers} ci-dessous que le nombre
complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$.
-\end{exemples}
+\end{exemples2}
Il est naturel de compléter cette définition par la suivante.
@@ -323,7 +298,7 @@ est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}.
On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le
morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à
confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entendu : sur $A$).
-Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi
+Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ si et seulement si
l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente.
\begin{lemme2}\label{composé de finis=fini}
@@ -359,7 +334,7 @@ Une relation $P(b)=0$, pour $P$ comme en \ref{2}, est appelée
une \emph{relation de dépendance intégrale} à coefficients
dans $A$.
-\begin{miseengarde}
+\begin{miseengarde2}
L'hypothèse \ref{3} ne peut en général pas être affaiblie en l'existence
d'un sous-$A$-\emph{module} de $B$ fini sur $A$ et contenant $b$.
C'est cependant vrai si $A$ est \emph{nœthérien}.
@@ -373,7 +348,7 @@ sur $A$ : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients dans
$A$ de degré $n$, $P(XY)$ ne contient qu'un seul monôme $X^n Y^n$
de sorte que $P(XY)≠0$.
% = cas particulier de ZS, volume I p. 255 (qui nécessite valuation rang $>1$).
-\end{miseengarde}
+\end{miseengarde2}
\XXX La démonstration ci-dessous est moche.
@@ -399,12 +374,15 @@ Par hypothèse, il existe une surjection $A$-linéaire $s:A^n↠C$.
Observons que l'endomorphisme $A$-linéaire de $C$
défini par la multiplication par $b$ se \emph{relève}, non canoniquement, en
un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
-$$
-\xymatrix{
-A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
-C \ar[r]^{b} & C
-}
-$$
+
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
+%C \ar[r]^{b} & C
+%}
+%$$
+
En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et
que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$
tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir
@@ -573,7 +551,7 @@ On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière.
Réciproquement :
\begin{proposition2}\label{fini=entier+tf}
-Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini.
+Un morphisme d'anneaux est fini si et seulement si il est entier et de type fini.
\end{proposition2}
@@ -709,10 +687,10 @@ B₂$ l'est aussi.
\begin{définition2}\label{normalisation,normal}
Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre
-$A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
+$A^正$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation}
de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle,
-entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
+entière, $A→A^正$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
\emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}.
\end{définition2}
@@ -816,16 +794,16 @@ Le diagramme
de l'application $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$,
on peut remplacer $A$ par $A_𝔭$ et $B$ par $B_𝔭$.
En d'autre termes, on peut supposer $A$ \emph{local},
-\cad ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$.
+c'est-à-dire ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$.
Soit $𝔮∈\Specmax(B)$ arbitraire et $𝔭=A∩𝔮$
son image réciproque dans $\Spec(A)$. Le morphisme composé $A↪B↠B/𝔮$ induit une
injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme
-ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD.
+ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, c'est-à-dire que $𝔭=𝔪$. CQFD.
\end{démo}
\begin{lemme2}
Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres.
-L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps.
+L'anneau $A$ est un corps si et seulement si $B$ est un corps.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -852,7 +830,7 @@ que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$.
\begin{corollaire2}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et
$𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal
-\ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
+si et seulement si $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$.
\end{corollaire2}
@@ -888,7 +866,7 @@ Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux propriétés du morphisme
$A→B$ ainsi qu'à celles de l'application $Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$
associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses,
l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$,
-\cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
+c'est-à-dire au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
\subsubsection{Intégralité et finitude}
@@ -965,7 +943,7 @@ Il est clair que l'image de $A[S^{-1}]$ dans $B[T^{-1}]$
est fixe sous l'action de $G$. Vérifions l'injectivité.
Si $a/s$ est d'image nulle dans $B[T^{-1}]$,
il existe $t∈T$ tel que $ta=0$. Quitte à symétriser
-$t$, \cad considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer
+$t$, c'est-à-dire considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer
$t∈S$. Ainsi, $a/s=0$ dans $A[S^{-1}]$.
Vérifions la surjectivité. Soit $y∈\Fix_G(B[T^{-1}])$ ;
on veut montrer qu'il existe $s∈S$ et $a∈A$ tels que
@@ -1071,7 +1049,7 @@ Il résulte de \ref{invariants et localisation} que
$\Fix_G(B_𝔭)=A_𝔭$. D'autre part l'idéal premier $𝔮$ de $B$
est l'image d'un (unique) idéal premier $𝔮_𝔭$ de $B_𝔮$
par l'application $\Spec(B_𝔭)↪\Spec(B)$ et les corps résiduels
-$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (\cad : les morphismes
+$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (c'est-à-dire : les morphismes
canoniques $κ(𝔭)→κ(𝔭_𝔭)$ et $κ(𝔮)→κ(𝔮_𝔭)$, où
$𝔭_𝔭$ est l'idéal maximal de $A_𝔭$, sont des isomorphismes).
Enfin l'action de $D(𝔮)$ sur $\Spec(B)$
@@ -1080,7 +1058,7 @@ $D(𝔮_𝔭)$. On peut donc supposer $A$ local d'idéal maximal
$𝔭$. Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers}
que $𝔮$ est alors maximal également.
-Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, \cad que pour tout
+Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, c'est-à-dire que pour tout
$β∈l=B/𝔮$, il existe un polynôme à coefficients dans $k$, scindé sur
$l$ et s'annulant en $β$. (Cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, (iv)).
Soit $b$ un relèvement de $β$ dans $B$ et considérons
@@ -1126,7 +1104,7 @@ $l$ tout entier.
\begin{lemme2}
Deux automorphismes d'une extension algébrique coïncident
-\ssi ils agissent de la même manière sur les éléments séparables.
+si et seulement si ils agissent de la même manière sur les éléments séparables.
\end{lemme2}
Ce lemme est un cas particulier de \refext{RT}{}.
@@ -1150,7 +1128,7 @@ et, finalement, $σ(x)=τ(x)$ car l'élévation à la puissance $p$
est injective en caractéristique $p>0$.
\end{démo}
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
On montrera plus tard que pour toute $A$-algèbre $A'$,
le morphisme $A'→\Fix_G(B⊗_A A')$ est un isomorphisme
si $A→A'$ est \emph{plat} et même dans les cas
@@ -1159,7 +1137,7 @@ l'application induite sur les spectres
$\Spec(\Fix_G(B⊗_A A'))⥲\Spec(A')$ est néanmoins
une bijection.
%Voir aussi Liu, « Quotient maps and base change ».
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
diff --git a/chapitres/AVD-Dedekind.tex b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
index 1e7a36e..0fb7a4e 100644
--- a/chapitres/AVD-Dedekind.tex
+++ b/chapitres/AVD-Dedekind.tex
@@ -1,28 +1,9 @@
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-
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\title{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
-
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\begin{document}
-\begin{center}
-Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind
-\end{center}
-\version
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
@@ -223,7 +195,7 @@ EVN sur un corps valué (/normé)=… ? (cf. infra) \XXX
Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique).
-valeur absolue archimédienne ↔ « L'Arénaire » (\textgreek{Ψαµµίτης})
+valeur absolue archimédienne ↔ « L'Arénaire » (Ψαµµίτης)
d'Archimède dans lequel il introduit un système pour nommer les grands nombres.
\subsubsection{}Définir $Σ(K)$ (ensemble des classes d'équivalences de
@@ -587,11 +559,11 @@ Notamment :
\begin{proposition2}
\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
-$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension
+$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ c'est-à-dire que l'extension
est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
\begin{itemize}
-\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
+\item $f$ est d'Eisenstein c'est-à-dire unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
\end{itemize}
@@ -633,7 +605,7 @@ $𝐂_p$ est algébriquement clos.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
-Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
+Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1
\end{démo}
\begin{proposition2}
@@ -642,7 +614,7 @@ Ax-Sen
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
+Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1
\end{démo}
@@ -740,7 +712,7 @@ pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement.
1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$.
Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
-$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
+$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, c'est-à-dire
$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
@@ -924,12 +896,13 @@ Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
de groupe $\mu_n(k)$.
Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
-$$
-\xymatrix{
-L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
-K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
+%K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
+%}
+%$$
L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
@@ -1016,14 +989,14 @@ Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekind}.
\begin{proposition2}
\XXX
-Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
-Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$
et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
-tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
-De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
-$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
-où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
-pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$
+De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$).
\end{proposition2}
\begin{théorème2}[Krull-Akiduki] %秋月康夫
@@ -1136,7 +1109,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b
\end{démo}
\begin{définition2}
-Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}=\N_{K \bo 𝐐}(𝒟_{K\bo 𝐐})$.
+Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}=\N_{K \bo 𝐐}(𝒟_{K\bo 𝐐})$.
\end{définition2}
\begin{proposition2}
diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex
index 6ae920a..4fa0d39 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -1,25 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
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\title{Réduction modulo $p$}
-
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-
\begin{document}
-\begin{center}
-Réduction modulo $p$
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Réduction modulo $p$}
@@ -176,7 +153,7 @@ d'Eisenstein.
\label{Sd-par-2-3-l}
Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique
-$\got{S}_d$.
+$\mathfrak{S}_d$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -307,23 +284,23 @@ De tels polynômes ont pour groupe de Galois $𝔖_d$ (cf. \ref{Sd-par-2-3-l})
\subsection{Énoncé du théorème}
\begin{définition2}
-Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
+Un ensemble $\mathscr{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
$\delta$ si
$$
-\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})} → δ
+\frac{\sum_{p\in \mathscr{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})} → δ
$$
en $s=1$.
\end{définition2}
On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème,
que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$,
-\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$.
+c'est-à-dire que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$.
Cf. chapitre précédent \refext{}{}.
\begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
-Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
-Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad
+Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \mathfrak{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
+Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\mathfrak{S}_{X_f}$ c'est-à-dire
une partition de $d$.
Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
$$
@@ -339,7 +316,7 @@ naturelle :
\begin{remarque2}
Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème
de Čebotarëv. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
-de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général
+de Frobenius non pas dans $\mathfrak{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général
plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus.
Elle sera démontrée plus loin dans ce chapitre. \XXX
%[DÉTAILLER]
@@ -377,7 +354,7 @@ $\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème.
Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes
-$A_F↠ \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
+$A_F↠ \FF_p$, c'est-à-dire les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ »
car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
Ainsi,
@@ -412,9 +389,9 @@ et l'on a :
$$
\log \zeta_{A_F}(s) = Z_F(s)+\mathsf{O}(1).
$$
-Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
+Soit $\mathscr{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
-L'inclusion $A_F→ \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
+L'inclusion $A_F→ \mathscr{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près,
$\zeta_{A_F}$ coïncide
avec $\zeta_{𝒪_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
@@ -433,11 +410,11 @@ on appliquera finalement la proposition précédente et un peu de théorie des g
\begin{lemme2}\label{Frob_1}
Soit $f$ comme en \ref{thm Frobenius}. Choisissons un ordre sur les racines :
$X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ ; on pose $\sous{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in
-\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \got{S}_d$,
+\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \mathfrak{S}_d$,
il existe un polynôme $\Psi_{S}\in \ZZ[X_1,\dots,X_d]$ satisfaisant les conditions
suivantes :
\begin{enumerate}
-\item Pour $s\in \got{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$.
+\item Pour $s\in \mathfrak{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$.
\item $s\Psi_S(\sous{\alpha})\neq s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ si $s S\neq
s' S$.
\end{enumerate}
@@ -464,20 +441,20 @@ polynômes $u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}$ sont irréductibles.
L'égalité $s\Psi_S(\sous{\alpha})=s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ entraînerait
$u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}=u_0+u_1\alpha_{s'\sigma(1)}+\cdots+u_d
\alpha_{s'\sigma(d)}$ pour un $\sigma\in S$. Comme les racines sont toutes distinctes,
-cela force l'égalité $s=s'\sigma$ \cad $sS=s'S$.
+cela force l'égalité $s=s'\sigma$ c'est-à-dire $sS=s'S$.
\end{proof}
Les polynômes en $\sous{u}$ $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$ étant non nuls
pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d+1}$,
tel que le polynôme $\Psi_S$ correspondant satisfasse la seconde condition du lemme.
\end{proof}
-\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \got{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
+\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \mathfrak{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
$$
-f_S:=\prod_{\sigma\in \got{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
+f_S:=\prod_{\sigma\in \mathfrak{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
$$
C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant
-les représentants de $\got{S}_d/S$ (classes à gauche).
+les représentants de $\mathfrak{S}_d/S$ (classes à gauche).
Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$
leurs discriminants respectifs.
Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
@@ -488,10 +465,10 @@ sont donc à racines simples dans $\sur{𝐅_p}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[
et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$
les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
-les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$.
+les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \mathfrak{S}_d/S$.
Le morphisme de Frobenius $\Frob_p\in \Gal(\sur{𝐅_p}/𝐅_p)$ agit sur les racines de
ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à
-une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
+une permutation des indices $F_p\in \mathfrak{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
dans $𝐅_p$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\Frob_p$, ce que l'on réécrit :
$$
\begin{array}{ll}
@@ -503,7 +480,7 @@ $$
$$
On en tire :
$$
-N_p(f_S)=\{\sigma\in \got{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
+N_p(f_S)=\{\sigma\in \mathfrak{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
$$
Prendre garde que ce n'est \emph{pas} le cardinal
de l'intersection $\big\{\textrm{classe de conjugaison de }F_p\big\}\cap S$. Rappelons également
@@ -512,58 +489,59 @@ que les racines ci-dessus sont comptées avec multiplicités.
Notons $\lambda$ le \emph{type} de la permutation $F_p$, $s_\lambda$ le nombre d'éléments
de type $\lambda$ dans $S$, $d!_{\lambda}$ le nombre de tels éléments dans
-$\got{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
+$\mathfrak{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
se réécrit :
$$
(\star)\ N_p(f_S)=s_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}.
$$
\subsubsection{}Soit $g_f$ le cardinal du groupe de Galois $G_f$ de $\QQ(\sous{\alpha})/\QQ$.
-Pour tout $S\leq \got{S}_d$, on a un diagramme :
-$$
-\xymatrix{
-\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
-& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
-\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] &
-}
-$$
+Pour tout $S\leq \mathfrak{S}_d$, on a un diagramme :
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
+%& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
+%\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] &
+%}
+%$$
En effet, un élément $g\in G_f$ fixe les $\Psi_S(\sous{\alpha})$ si et seulement si
il appartient à $S$. Ainsi le degré de l'extension $\QQ(\Psi_S(\sous{\alpha}))/\QQ$
est
$$
c_S:=\frac{g_f}{\#(G_f\cap S)}.
$$
-%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \got{S}_d$ peut-être stricte :
-%un élément quelconque de $\got{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
+%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \mathfrak{S}_d$ peut-être stricte :
+%un élément quelconque de $\mathfrak{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
%de corps.
Pour $S$ donné, les conjugués (sur $\QQ$) de
$\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont donc au nombre de $c_S$ ; ce sont
des racines de $f_S$ :
$\sigma_1\Psi_S(\sous{\alpha}),\dots,\sigma_{c_S}\Psi_S(\sous{\alpha})$,
-pour des $\sigma_i\in \got{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+pour des $\sigma_i\in \mathfrak{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$,
la fonction polynomiale $\sigma\Psi_{S}$ satisfait aux conditions du lemme \ref{Frob_1},
-pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\got{S}$.
+pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\mathfrak{S}$.
Notons $$g_{\sigma,S}=\# G_f\cap S_{\sigma}$$ le cardinal de cette intersection.
En vertu de la formule précédente,
les $\sigma_i\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont de degré $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}$
sur $\QQ$. Comme ils sont tous conjugués, on a : $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}=c_S=
\frac{g_f}{g_{e,S}}$.
Finalement, $$g_f=c_S g_{e,S}=\sum_{i=1}^{c_S}g_{\sigma_i,S}.$$
-Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \got{S}_d$ cette égalité,
+Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \mathfrak{S}_d$ cette égalité,
on obtient :
$$
-\sum_{\sigma\in \got{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
+\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
$$
où $m_S$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f_S$.
En regroupant par type :
$$
\sum_{\lambda}
-\underbrace{\sum_{\sigma\in\got{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
+\underbrace{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
\textrm{ de type }\lambda\big)}_{=s_{\lambda} g_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}}.
$$
où l'égalité sous l'accolade résulte de ce que, si $s_1,\cdots,s_{s_{\lambda}}$ sont
les éléments de $S$ de type $\lambda$ et $g_1,\dots,g_{g_{\lambda}}$
-ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$,
les $\sigma s_i \sigma^{-1}$ sont les éléments de type $\lambda$ dans $S_{\sigma}$
et $\# \{\sigma,\ \sigma s_i \sigma^{-1}=g_j \}=\frac{d!}{d!_{\lambda}}$.
@@ -589,7 +567,7 @@ Posons :
$$
\sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s).
$$
-On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée
+On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ c'est-à-dire reste bornée
quand $s→ 1+$.
Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent :
$$
@@ -598,14 +576,14 @@ $$
\subsubsection{} Jusqu'à présent, le sous-groupe $S$ était fixe. On va utiliser des groupes
variables pour démontrer $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ par récurrence.
-Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\got{S}_d$ :
+Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\mathfrak{S}_d$ :
$$
\lambda'<\lambda \textrm{ si et seulement si les nombres d'orbites correspondants vérifient
l'inégalité opposée}.
$$
Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
maximal le type d'un $d$-cycle.
-Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
+Soient $s\in\mathfrak{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :
@@ -636,7 +614,7 @@ cf. \cite{Jordan@Serre}.
Le polynôme $f$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si,
la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{𝐅_p}$ a un point
fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant
-sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
+sans point fixe (c'est-à-dire qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
La formule
$$
\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)=\# \mathrm{Orbites},=1\
@@ -661,7 +639,7 @@ Alors, $a$ est un carré.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
-Si $X^2-a$ était irréductible (\cad $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
+Si $X^2-a$ était irréductible (c'est-à-dire $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
pas un carré pour une infinité de $p$.
\end{proof}
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
index eaffa31..817bf42 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -1,25 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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-
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\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
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@@ -28,15 +12,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Anneaux de Dedekind, corps globaux
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
@@ -68,14 +45,14 @@ Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
\begin{proposition2}
\XXX
-Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
-Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$
et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
-tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
-De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
-$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
-où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
-pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$
+De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$).
\end{proposition2}
\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
@@ -185,7 +162,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b
\end{démo}
\begin{définition2}
-Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
+Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}$.
\end{définition2}
Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n}
@@ -193,7 +170,7 @@ p^{φ(n)/(p-1)}$.
\begin{lemme2}
\XXX
-Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
+Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -232,47 +209,47 @@ Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
\begin{theoreme2}
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
-des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
+des entiers $\mathscr{O}_K$ de $K$ est fini.
\end{theoreme2}
\begin{démo}
\XXX
-Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
-Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
+Chaque classe $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ est représentée par un idéal $\mathfrak{c}$ de $A$.
+Pour borner les possibilités sur $\mathfrak{c}$, il suffit de borner $N(\mathfrak{c}):=\#(𝒪_K/\mathfrak{c})$.
Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
-supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
-Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
+supposer $N(\mathfrak{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\mathfrak{c}$.
+Si $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\mathfrak{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
-il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
+il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
-Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
+Si $\mathfrak{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{quote}
-Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
-existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
+Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$, il
+existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\mathfrak{a})$.
\end{quote}
-Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
-et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
-un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
+Soit $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\mathfrak{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mathscr{O}_K$.
+et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \mathfrak{a}$, il existe
+un idéal $\mathfrak{c}$ de $\mathscr{O}_K$ tel que $(x)=\mathfrak{c}\mathfrak{a}$
(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
-$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
+$\mathrm{N}(\mathfrak{c})\leq \mu_K$.
Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
-Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
+Soit $\mathfrak{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
tel que
$$
-m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
+m^d\leq \mathrm{N}(\mathfrak{a}) < (m+1)^d.
$$
Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
-appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
-$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
+appartient à $\mathfrak{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
+$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\mathfrak{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}
\begin{théorème2}
@@ -367,52 +344,53 @@ Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
-\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{théorème2}
\begin{démo}
\XXX
-Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
+Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\mathfrak{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
La correspondance
$$
-\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
+\mathfrak{a} \mapsto (\alpha_{\mathfrak{a}}):=\mathfrak{a}\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
$$
établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
$$
-\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
-|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
+\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \mathfrak{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
+|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}.
$$
Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
-quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
+quotient $P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}):=\mathfrak{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
-en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
+en effet les idéaux principaux contenus dans $\mathfrak{b}_\mathsf{C}$.
C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
-la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
+la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
se factorise.
Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
$$
-\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
-$$
-Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
-$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
-$$
-\xymatrix{
-\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
-X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
-}
-$$
-Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
+\{ x \in P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
+$$
+Soit $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \mathfrak{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
+$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})$ :
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%\mathfrak{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}) \\
+%X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
+%}
+%$$
+Le sous-ensemble $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
arbitraire.
On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
-$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
+$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle
-que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
+que $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}=\mathfrak{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
@@ -434,7 +412,7 @@ que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
Ainsi, le logarithme induit une injection :
-$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
@@ -473,7 +451,7 @@ Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.
\XXX
Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
-est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
+est un \emph{réseau}, c'est-à-dire un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
\end{lemme2}
@@ -585,7 +563,7 @@ $$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
-\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
+c'est-à-dire $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
conditions du lemme.
@@ -633,7 +611,7 @@ La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude
groupe de Picard.
Il suffit de démontrer l'inégalité :
$$
-\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
+\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
$$
où $n=[K:\QQ]$.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
@@ -648,7 +626,7 @@ Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
@@ -738,7 +716,7 @@ $$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
-la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
diff --git a/chapitres/KASW.tex b/chapitres/KASW.tex
index 4ed265b..4cf5f47 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -1,25 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-\usepackage{tikz}
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-
-\title{Théorie de Kummer et Artin-Schreier-Witt}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
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+\input{../config/macros}
+\title{Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
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@@ -28,15 +12,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
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-
-%\textwidth16cm
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-
\begin{document}
-\begin{center}
-Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt}
@@ -1819,11 +1796,11 @@ en ensembles $𝐀^𝐍$ lorsque $p>1$ et à $𝐀¹$ lorsque $p=1$.
\begin{remarque2}
Nous verrons ci-après qu'il existe une structure d'anneau sur $W_∞$ vérifiant
les propriétés suivantes : $(1-X)^{-1}$ est l'unité
-de la multiplication (que nous noterons $\varodot$) ;
-l'application $e_p$ est un endomorphisme de \emph{anneau} $(W_∞, ⊕,\varodot)$
+de la multiplication (que nous noterons $⊙$) ;
+l'application $e_p$ est un endomorphisme de \emph{anneau} $(W_∞, ⊕,⊙)$
(restreint aux $𝐙_{(p)}$-algèbres). L'exponentielle de Artin-Hasse
est donc l'idempotent correspondant
-à $e_p$ : $W_∞^{(p)}=W_{∞|𝐙_{(p)}} \varodot E_p ⊆ W_{∞|𝐙_{(p)}}$.
+à $e_p$ : $W_∞^{(p)}=W_{∞|𝐙_{(p)}} ⊙ E_p ⊆ W_{∞|𝐙_{(p)}}$.
\end{remarque2}
\subsubsection{}\label{p-coordonnées de Witt}
@@ -2285,16 +2262,16 @@ de groupe et EG} et du fait que l'on est en caractéristique $p>0$
que l'algèbre $E_{[q]}$ représente le foncteur $A ↦
(A[X]/X^{p^{r+1}})^×$, l'action naturelle de $𝐙/p^{r+1}$
sur $E_{[q]}$ correspondant à la multiplication par $1+X$.
-D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{\japmath{田}}$
+D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{田}$
se surjecte sur le foncteur $W_{[q]}$ par \XXX.
Admettons un instant qu'il existe un morphisme
-$B_{[q]}^{\japmath{田}} → W_{[q]}$ faisant commuter
+$B_{[q]}^{田} → W_{[q]}$ faisant commuter
le diagramme ci-dessous.
\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
-{ E_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{\japmath{田}} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\};
+{ E_{[q]}^{田} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{田} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$℘_{W_{[q]}}$} (diag-2-2);
\draw[->>] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
@@ -2336,14 +2313,14 @@ canonique) et $℘=F_p \ominus \Id : W_{[q]} → W_{[q]}$.
\subsubsection{}Bien que l'exponentielle d'une série formelle $f ∈ W_∞(A)$ ne
soit pas définie en général — à cause des divisions par $n!$ —, on peut malgré
tout considérer sa dérivée logarithmique On appelle \emph{morphisme fantôme} le morphisme
-\[\japmath{鬼}: W_∞ → \Ga^∞\]
+\[鬼: W_∞ → \Ga^∞\]
\[f ↦ X \frac{f ′}{f}.\]
\begin{proposition2}
morphisme ; injectif si sans $𝐙$-torsion, bijectif si $𝐐$-algèbre. Si
$𝐙_{(p)}$-algèbre $e_p$ « correspond » à $(a₁,a₂, …) ↦ (a_1,0, …,a_p,0,
…,a_{p²}, …)$.
-\[\japmath{鬼}\big(∏(1-α_i t^i)\big)=\big(∑_{d|n} d α_{n/d}\big).\]
+\[鬼\big(∏(1-α_i t^i)\big)=\big(∑_{d|n} d α_{n/d}\big).\]
\end{proposition2}
\subsection{Algèbres simples-centrales de degré $p^r$}
diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
index 26a16a0..0959b50 100644
--- a/chapitres/RT.tex
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -1,33 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Extensions radicielles et transcendantes}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{KAS}
-%\makeindex
-
-\title{Extensions radicielles et transcendantes}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -169,7 +149,7 @@ et la proposition \ref{union-entiers=entier} ci-dessous.
(ii) Cela résulte de \ref{chapitre produit tensoriel}.
\end{démo}
- \begin{proposition}\label{union-entiers=entier}
+ \begin{proposition2}\label{union-entiers=entier}
Soient $A$ un anneau, $(A_i)_{i∈I}$ une famille de sous-anneaux telle que
$A=⋃_{i∈I} A_i$ et $B$ une $A$-algèbre telle que $B=⋃_{i∈I}B_i$
où chaque $B_i$ est une sous-$A_i$-algèbre \emph{entière} de $B$.
@@ -178,7 +158,7 @@ $(B_i,π'_{ij})_{i∈I}$ sont des systèmes inductifs d'anneaux, et $(f_i)_{i∈
morphisme entre ces deux systèmes tel que chaque $f_i$ soit \emph{entier}, le
morphisme $f=\colim_{i∈I} f_i:\colim_{i∈I} A_i→ \colim_{i∈I} B_i$ qui s'en déduit est également
entier.
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
Observons que ce résultat généralise \refext{AC}{pdt-tens-entiers}.
@@ -220,7 +200,7 @@ composé $B→B'→B$ est l'identité. Le morphisme $B'→B$ est donc surjectif.
\begin{lemme2}\label{sorites-compose-generique}
\begin{enumerate}
-\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe \ssi toute
+\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe si et seulement si toute
sous-famille finie est linéairement disjointe.
\item L'extension composée générique d'une famille d'extensions linéairement disjointes
est la réunion filtrante des extensions composées génériques de ses sous-familles finies.
@@ -243,7 +223,7 @@ est également injectif. Si $A'$ est intègre, $A$ l'est aussi.
\begin{lemme2}\label{produit-tens-infini=corps}
Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille d'extensions \emph{algébriques}.
-Elle est linéairement disjointe \ssi le produit tensoriel
+Elle est linéairement disjointe si et seulement si le produit tensoriel
$⨂_{i∈I,\,\bo k}\, k_i$ est un \emph{corps}.
\end{lemme2}
@@ -360,7 +340,7 @@ $$
⨂_{i,\,\bo K}\,{L_i}_K.
$$
Il en résulte d'une part que chaque ${L_i}_K=L_i⊗_{K_i} K$ est un corps
-(car intègre --- c'est un facteur d'un produit tensoriel intègre --- et entier sur $K$)
+(car intègre — c'est un facteur d'un produit tensoriel intègre — et entier sur $K$)
et que ces $K$-extensions sont
linéairement disjointes. D'après \ref{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
et \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii), l'extension ${L_i}_K\bo K$ est galoisienne de groupe $\Gal(L_i\bo K_i)$
@@ -369,7 +349,7 @@ nous donne un isomorphisme $G_{L\bo K}→∏G_{L_i\bo K_i}$, dont on vérifie
sans peine que c'est celui de l'énoncé du théorème.
\end{démo}
-\begin{lemme3}\label{frac-preserve-integrite}
+\begin{lemme2}\label{frac-preserve-integrite}
Soient $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$ et $B$ une $A$-algèbre
intègre.
\begin{enumerate}
@@ -377,7 +357,7 @@ intègre.
\item Si $A→B$ est entier et plat, l'application canonique $B→B_K$ est l'inclusion de
$B$ dans son corps des fractions.
\end{enumerate}
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\begin{démo}
(i) Cf. \ref{corollaire localisation}.
@@ -412,12 +392,12 @@ galoisienne de groupe $G$.
Soient $G=\prlim_{i∈I} G_i$ et $k$ comme dans l'énoncé.
Puisque $G$ est naturellement un fermé du produit $∏_i G_i$, il résulte
immédiatement de la théorie de Galois infinie que l'on peut supposer $G=∏_i G_i$.
-D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\got{S}_{n_i}$ (prendre
+D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\mathfrak{S}_{n_i}$ (prendre
$n_i=\# G_i$) donc il suffit de démontrer le théorème pour un groupe
-$G=∏_{i∈I} \got{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps
+$G=∏_{i∈I} \mathfrak{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps
des fractions rationnelles en $n_i$ indéterminées et
-$k_i=\Fix_{\got{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables).
-L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\got{S}_{n_i}$
+$k_i=\Fix_{\mathfrak{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables).
+L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\mathfrak{S}_{n_i}$
(\ref{exemple-galois-equation-generique}). D'autre part,
d'après \ref{transcendantes-pures=lin-disjointes}, les extensions $K_i$ sont
linéairement disjointes sur $k$ de sorte que l'on peut appliquer
diff --git a/chapitres/algo-corps-finis.tex b/chapitres/algo-corps-finis.tex
index 8b6279b..0211ff6 100644
--- a/chapitres/algo-corps-finis.tex
+++ b/chapitres/algo-corps-finis.tex
@@ -1,28 +1,12 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-
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-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Algorithmique des corps finis}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{correspondance-galois}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -45,7 +29,7 @@ $a \in \FF_q^{\times2}$ si et seulement si $a^{(q-1)/2} = +1$ (tandis
que si $a \in \FF_q^\times$ n'est pas un carré alors $a^{(q-1)/2} =
-1$), et que de plus $\#\FF_q^{\times2} = \frac{q-1}{2}$.
-\XXX --- Revoir les propositions suivantes maintenant que les faits de
+\XXX — Revoir les propositions suivantes maintenant que les faits de
base sur le caractère quadratique et la réciprocité quadratique ont
été avancés dans le chapitre sur les corps finis.
@@ -171,8 +155,8 @@ théorème chinois assure que $\FF_q[X]/(X^2-uX+D)$ est isomorphe à un
produit $\FF_q \times \FF_q$ en envoyant la classe $x$ de $X$ sur $a$
dans le premier facteur et $a'$ dans le second : par conséquent
$x^{(q-1)/2}$ vaut $\pm 1$ (à savoir $+1$ si $a$ et $a'$ sont tous
-deux des carrés --- ils doivent l'être ensemble puisque leur produit
-est un carré --- et $-1$ si $a$ et $a'$ ne sont pas des carrés), et
+deux des carrés — ils doivent l'être ensemble puisque leur produit
+est un carré — et $-1$ si $a$ et $a'$ ne sont pas des carrés), et
$x^{(q+1)/2}$ vaut alors $\pm x$. Reste enfin le cas où
$(u^2-4D)^{(q-1)/2} = 0$, c'est-à-dire $u = 2d$ avec $d$ une racine
carrée de $D$ : alors $X^2-uX+D = (X-d)^2$ ; la valeur de
@@ -592,7 +576,7 @@ et tous les autres $g_s$ non calculés valent $1$.
Dans l'application de cet algorithme, rien n'oblige de diviser par les
pgcd avec $X^{q^r}-X$ dans l'ordre $r=1,2,3,\ldots$ : la seule chose
-nécessaire est que chaque $r$ soit visité après tous ses diviseurs ---
+nécessaire est que chaque $r$ soit visité après tous ses diviseurs —
n'importe quel ordre total prolongeant l'ordre partiel de divisibilité
convient.
@@ -863,7 +847,7 @@ Un isomorphisme $\psi \colon \FF_q[X]/(f) \to \FF_{q^s}[X]/(h)$ est
aisé à décrire : donné $a \in \FF_q[X]$, on définit $\psi(\bar a)$
comme la classe de $a$ (vu dans $\FF_{q^s}[X]$) modulo $h$,
c'est-à-dire concrètement le reste de la division euclidienne de $a$
-par $h$ --- il est évident que ceci définit bien un morphisme
+par $h$ — il est évident que ceci définit bien un morphisme
d'anneaux, qui est injectif puisque tout élément de $\FF_q[X]$
multiple de $h$ dans $\FF_{q^s}[X]$ est multiple de $f$ car ce dernier
est irréductible, et par comparaison des cardinaux ce $\psi$ et bien
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 49be8ee..869468d 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1,38 +1,20 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
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-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{tikz}
-%\usetikzlibrary{matrix,arrows}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Bases de Gröbner et applications}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{calculs-galois}
-
-\synctex=1
-
-\title{Bases de Gr\"{o}bner et applications}
-
\begin{document}
\maketitle
-\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\else
\chapter{Bases de Gröbner et applications}
\fi
-\newcommand{\initial}{\mathop{\mathrm{in}}}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathrm}{in}
\section{Bases de Gröbner}
@@ -386,7 +368,7 @@ Z_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum
\ell'_i$ et $\ell_i > \ell'_i$ pour le \emph{plus petit} $i$ tel que
$\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, cet ordre trie en premier lieu
par degré total puis, en cas d'égalité, classe en premier les monômes
-ayant le plus grand degré dans la plus petite variable --- et non pas
+ayant le plus grand degré dans la plus petite variable — et non pas
comme le fait l'ordre lexicographique le plus petit degré dans la plus
grande variable. (Comme dans les cas précédents, cette définition est
faite relativement à l'ordre convenu sur les variables, et plus
@@ -479,7 +461,7 @@ coordonnées entières). On va poser $s \preceq s'$, avec $s =
Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et $s' = Z_1^{\ell'_1} \cdots
Z_d^{\ell'_d}$, lorsque $\lambda^{(j)}(\ell' - \ell) > 0$ pour le plus
petit $j$ tel que $\lambda^{(j)}(\ell' - \ell) \neq 0$ (en considérant
-$\ell$ et $\ell'$ comme des éléments de $\NN^d \subseteq \RR^d$) ---
+$\ell$ et $\ell'$ comme des éléments de $\NN^d \subseteq \RR^d$) —
autrement dit, on utilise successivement les formes linéaires
$\lambda^{(j)}$ pour comparer les vecteurs d'exposants, en donnant le
poids le plus fort aux premières. Cette définition conduit bien à un
@@ -583,7 +565,7 @@ Tout idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ admet une base de Gröbner (finie).
\begin{proof}
La propriété noethérienne assure que parmi les $\initial(f)$ pour
$f\in I$, qui par définition engendrent $\initial(I)$, on peut
-extraire un ensemble fini engendrant $\initial(I)$ --- il s'agit d'une
+extraire un ensemble fini engendrant $\initial(I)$ — il s'agit d'une
base de Gröbner de $I$.
\end{proof}
@@ -824,7 +806,7 @@ s_j/\pgcd(s_i,s_j) = \nu \sigma^{(i,j)}_i$.) Si on définit $\tilde
g_u$ par $\tilde g_u = g_u - b_i \nu \sigma^{(i,j)}_u$, alors $\tilde
g_i = 0$ et $\tilde g_u = g_u$ si $u\neq i,j$ : donc la relation
$(\tilde g_1,\ldots,\tilde g_r)$ a strictement moins de termes non
-nuls que $(g_1,\ldots,g_r)$ --- une récurrence évidente permet de
+nuls que $(g_1,\ldots,g_r)$ — une récurrence évidente permet de
conclure.
\end{proof}
@@ -1010,7 +992,7 @@ initial de $p_2 f_1 - p_1 f_2$ est celui de $p_1 f_2$, et l'écriture
$p_2 f_1 - p_1 f_2$ est une écriture standard (avec reste nul) au sens
de \ref{algorithme-division}, comme on le voulait.
-\XXX --- Cette démonstration est-elle bien complète ? Pourquoi
+\XXX — Cette démonstration est-elle bien complète ? Pourquoi
Eisenbud, dans la solution de l'exercice 15.20 (dernière phrase)
suggère-t-il de faire une sorte de récurrence ?
\end{proof}
@@ -1153,7 +1135,7 @@ continue d'engendrer le même idéal puisque $x^2$ s'exprime comme
combinaison $\QQ[x,y]$-linéaire de ceux-ci.
\end{remarque2}
-\XXX --- Question complètement gratuite, comme ça : peut-on
+\XXX — Question complètement gratuite, comme ça : peut-on
caractériser les idéaux $I$ tels qu'aucun sous-ensemble strict de la
base de Gröbner réduite $B$ de $I$ n'engendre $I$ ?
@@ -1218,8 +1200,8 @@ outre, d'écrire les coordonnées sur cette base de la classe modulo $I$
d'un polynôme $f$ quelconque.
Cette base n'est pas forcément finie ($k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ peut être
-de dimension finie ou non : en fait, il sera de dimension finie ---
-c'est-à-dire, artinien --- exactement lorsque $I$ sera « de
+de dimension finie ou non : en fait, il sera de dimension finie —
+c'est-à-dire, artinien — exactement lorsque $I$ sera « de
dimension $0$ » au sens de l'objet géométrique qu'il décrit), mais
même si elle est infinie, la base possède une description suffisamment
simple (il s'agit de $d$-uplets d'entiers naturels vérifiant une
@@ -1302,7 +1284,7 @@ et l'hypothèse faite sur $\preceq$ impose $f_i \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$,
c'est-à-dire $i\leq u$.
\end{proof}
-\XXX --- Eisenbud (proposition 15.29) prétend utiliser la
+\XXX — Eisenbud (proposition 15.29) prétend utiliser la
proposition \ref{inclusion-ideaux-et-egalite-ideaux-initiaux}
(lemme 15.5 chez lui). Je ne vois pas où ça sert : me suis-je trompé
dans cette démonstration ?
@@ -1328,7 +1310,7 @@ de \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}.
%
\subsection{Ajout d'une variable et calcul d'inverse}
-\XXX --- Il est tout pourri le titre de cette section !
+\XXX — Il est tout pourri le titre de cette section !
\begin{proposition2}\label{borne-degre-base-groebner-sur-une-variable-dominante}
Soit $\preceq$ un ordre monomial sur $k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ tel que $Y$
@@ -1356,7 +1338,7 @@ terme initial est strictement inférieur à $\ppcm(\initial(h_i),
c'est le cas de $S(h_i,h_j)$.
\end{proof}
-\XXX --- Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas
+\XXX — Ce serait mieux de donner une démontration qui n'utilise pas
la construction algorithmique.
\begin{algorithme2}\label{algorithme-calcul-inverse-algebre-de-type-fini}
@@ -1437,7 +1419,7 @@ Lorsque $I$ est l'idéal nul, la fonction de Hilbert-Samuel affine
de $I$ compte le nombre total de monômes de degré total $\leq\ell$
en $d$ variables, autrement dit, le nombre de $d$-uplets d'entiers
naturels de somme $\leq\ell$ : un raisonnement combinatoire classique
-(\XXX --- l'expliciter ?) montre que ce nombre vaut
+(\XXX — l'expliciter ?) montre que ce nombre vaut
$\frac{(\ell+d)!}{\ell!\,d!} =
\frac{1}{d!}\ell(\ell-1)\cdots(\ell-d+1)$, qui est un polynôme de
degré $d$ en $\ell$ et de terme dominant $\frac{1}{d!} \ell^d$.
@@ -1463,7 +1445,7 @@ et seulement si $I=0$, qui coïncide pour $\ell$ assez grand avec la
fonction de Hilbert-Samuel affine de $I$.
\end{proposition2}
-\XXX --- Le prouver ?
+\XXX — Le prouver ?
\begin{definition2}\label{definition-polynome-hilbert-samuel-affine}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Le polynôme (manifestement
@@ -1841,7 +1823,7 @@ Convenons de noter $e_i^{[d]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_d)$ et
$e_i^{[d-1]}$ pour $e_i(Z_1,\ldots,Z_{d-1})$. On a $e_i^{[d]} =
e_i^{[d-1]} + Z_d e_{i-1}^{[d-1]}$ et $a_i = b_i - Z_d b_{i-1}$ : donc
$(e_i^{[d]} - (-1)^i a_i) = (e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i) + Z_d
-(e_{i-1}^{[d-1]} - (-1)^{i-1} b_{i-1})$ --- ceci montre que les
+(e_{i-1}^{[d-1]} - (-1)^{i-1} b_{i-1})$ — ceci montre que les
$e_i^{[d-1]} - (-1)^i b_i$ engendrent les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$ (la
relation $f(Z_d)$ sert lorsque $i=d$ pour annuler le terme $b_d$), et
réciproquement par récurrence que les $e_i^{[d]} - (-1)^i a_i$
@@ -1852,7 +1834,7 @@ est elle-même, si on ne la trouve pas évidente, une réécriture de
l'égalité $\mathfrak{F}_1(Z_1,\ldots,Z_d|Z_d) = 0$ contenue dans le
lemme \ref{lemme-modules-de-cauchy}).
-\XXX --- Cette démonstration est complètement pourrie.
+\XXX — Cette démonstration est complètement pourrie.
\end{proof}
\begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-separe-les-racines}
@@ -2429,7 +2411,7 @@ savoir s'il est premier en supposant qu'il est géométriquement
radical). Ce n'est pas un oubli : un tel algorithme n'existe pas, car
le problème est \emph{indécidable} au sens de Church-Turing.
-En effet, il existe (\XXX --- référencer Fröhlich \& Shepherdson
+En effet, il existe (\XXX — référencer Fröhlich \& Shepherdson
lemme 7.21 et th. 7.27) un corps $k$ de caractéristique $p>0$ tel
qu'on sache algorithmiquement factoriser les polynômes dans $k[X]$
mais que si $k' = k[Y]/(h)$ est une certaine extension algébrique
@@ -2481,7 +2463,7 @@ racines de $f$ dans $K$. Bref, $K$ est un corps extension de $k$ et
engendré au-dessus de $k$ par les $d$ racines du polynôme $f$ :
c'est-à-dire que c'est « le » corps de décomposition de $f$ sur $k$.
-Le groupe de Galois de $f$ étant donc (\XXX --- référence précise) le
+Le groupe de Galois de $f$ étant donc (\XXX — référence précise) le
groupe des automorphismes de $K$ au-dessus de $k$, il peut se voir
comme le groupe des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ qui laissent
l'idéal $J$ invariant ; connaissant une base de Gröbner de $J$, il est
@@ -2566,7 +2548,7 @@ dans le chapitre \refext{Radicaux}{} que prendre $P = \sum \zeta^{ij}
\xi_j$, où $\zeta$ est une racine $d$-ième de l'unité, peut s'avérer
intéressant.
-\XXX --- Tout ceci est assez vaseux.
+\XXX — Tout ceci est assez vaseux.
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index 2814569..47eb669 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -1,27 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
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-\input{../configuration/gadgets}
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-
-\synctex=1
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
@@ -31,20 +13,16 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{corps-c1}
\externaldocument{spectre}
-%\makeindex
-
-\textwidth16cm
-\hoffset-1.5cm
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer}
\fi
+\newcommand{\deuxdeux}[4]{\left(\begin{matrix}#1&#3\\#2&#4\end{matrix}\right)}
+\newcommand\troistrois[9]{\left(\begin{matrix}#1&#4&#7\\#2&#5&#8\\#3&#6&#9\end{matrix}\right)}
+
\section{Algèbres d'Azumaya}
\subsection{Définition et interprétation cohomologique}
@@ -53,7 +31,7 @@ Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer
d'Azumaya}
Soit $k$ un corps. Une \emph{algèbre
d'Azumaya}\footnote{D'après le mathématicien japonais
-AZUMAYA Gorô \jap{東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension finie $A$,
+AZUMAYA Gorô {\IPAMincho 東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension finie $A$,
non nécessairement commutative, telle qu'il existe
une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$
et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier
@@ -1146,7 +1124,7 @@ Si l'inclusion ${K^×}²⊆ N(𝐇^×(K))$ est une égalité, il existe pour cha
$q ∈ 𝐇^×(K)$ un scalaire $λ ∈ K^×$ tel que $q/λ ∈ 𝐇^{N=1}$.
La surjectivité du morphisme $𝐇^{N=1} → \SOrth₃$ dans ce cas en découle.
-\paragraph{Norme spinorielle}
+\subsubsection{Norme spinorielle}
Soit $m ∈ \SOrth₃(K)$. D'après ce qui précède, cette matrice possède
un relèvement $q$ dans $𝐇^×(K)$, bien défini à multiplication par un scalaire près.
La norme de ce relèvement est donc bien définie à multiplication par un carré près.
@@ -1166,12 +1144,12 @@ n'est autre que le morphisme $\SOrth₃(K)=H⁰(K,\SOrth₃) → H¹(K,μ₂)=K^
déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
\XXX
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Montrer que si $m ∈ \SOrth₃(K)$, $\det\big((1+g_μm)(1+m)^{-1}\big)$ est un carré
en utilisant la transformation de Cayley.
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Soit $𝒫$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de rang $1$
de $K^{\{1,\i,\j,\k\}}$. Montrer que $𝒫 ⥲ \SOrth₃(K)$.
(cf. matrice de la transformation de Cayley ou, mieux,
@@ -1180,7 +1158,7 @@ que l'application $𝐇^× → 𝒫$, $(x₁,x_\i,x_\j,x_\k) ↦ \frac{1}{∑
x_μ²}\big(x_μ x_ν \big)$ a $4$ sections sur les ouverts
[...]. En déduire une nouvelle démonstration de la surjection
de $𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$. \XXX
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
\subsubsection{Seconde démonstration du théorème \ref{parametrisation
Euler-Hamilton-Cayley} par décomposition en réflexions}
@@ -2058,14 +2036,14 @@ l'argument donné n'utilisait pas l'hypothèse que l'anneau des coefficients
soit un corps. Nous dirons donc que $p_φ$ est un \emph{projecteur de
rang un}.
-\subsubsection{}Soient $\mathrm{pr}_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne »
-de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\mathrm{pr}_{i|M_φ}$ leurs restrictions
-à $M_φ$. L'application $\mathrm{pr}_{1|M_φ}$
+\subsubsection{}Soient $\pr_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne »
+de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\pr_{i|M_φ}$ leurs restrictions
+à $M_φ$. L'application $\pr_{1|M_φ}$
induit un isomorphisme sur son image $L_φ$ dont l'inverse est
l'application $L_φ → M_φ$ envoyant $l$ sur $(φ(E_{1,1})l,…,φ(E_{n,1})l)$.
On peut donc reconstruire $L_φ$ à partir de $M_φ$ ; l'égalité
\[
-(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \mathrm{pr}_{i|M_φ} ∘ {\mathrm{pr}_{1|M_φ}}^{-1}
+(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \pr_{i|M_φ} ∘ {\pr_{1|M_φ}}^{-1}
\]
montre comment reconstruire $ι_φ$. (Par construction,
le terme de droite prolonge l'inclusion $L⊆A^n$.)
@@ -2074,9 +2052,9 @@ Pour tout anneau $A$, notons $𝐏⁰(𝐌_n)(A)$,
l'ensemble des sous-$A$-modules $M$ de $𝐌_n(A)$
tels que l'application « image » (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}
\emph{infra} pour une justification de cette terminologie)
-\[I_M := ∑_i \mathrm{pr}_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme.
-L'application \[M↦(L_M=\Im \mathrm{pr}_{1|M}, ι_M=∑_i \mathrm{pr}_{i|M} ∘
-{\mathrm{pr}_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre
+\[I_M := ∑_i \pr_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme.
+L'application \[M↦(L_M=\Im \pr_{1|M}, ι_M=∑_i \pr_{i|M} ∘
+{\pr_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre
$\mathbf{P}⁰(𝐌_n)(A)$ et $ℒ_n(A)$. Il en résulte que les foncteurs
$\Aut(𝐌_n)$ et $𝐏⁰(𝐌_n)$ sont isomorphes. (Si $A → B$ un morphisme de
$k$-algèbres, l'application $𝐏⁰(𝐌_n)(A) → 𝐏⁰(𝐌_n)(B)$ envoie $M⊆𝐌_n(A)$
@@ -2108,10 +2086,10 @@ un $k$-plongement de $R$ dans $R'$.
des ouverts d'un espace affine.)
Pour toute paire d'indices $(i,j)∈\{1,…,n\}²$,
et tout anneau $A$, posons
-\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \mathrm{pr}_{ij|M}:M ⥲ A\},\]
-où $\mathrm{pr}_{ij}$ est l'application $𝐌_n(A) ↠ A$
+\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \pr_{ij|M}:M ⥲ A\},\]
+où $\pr_{ij}$ est l'application $𝐌_n(A) ↠ A$
« coefficient $(i,j)$ de la matrice » et
-$\mathrm{pr}_{ij|M}$ sa restriction à $M$.
+$\pr_{ij|M}$ sa restriction à $M$.
Si $A$ est un corps, cela revient à regarder les droites comme ci-dessus
dont un élément a sa coordonnée en position $(i,j)$ inversible.
@@ -2146,7 +2124,7 @@ inversible mais il en résulte cependant que les coefficients d'une colonne
quelconque (par exemple la première) engendre l'idéal unité de $A$.
(Calculer le déterminant en développant le long de cette colonne.)
Si l'on inverse l'un quelconque de ces coefficients, disons $a_{i1}$,
-l'application $\mathrm{pr}_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme.
+l'application $\pr_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme.
Ceci achève la démonstration du fait que les sous-foncteurs
$𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)$ recouvrent $𝐏⁰(𝐌_n)$ .
@@ -2154,7 +2132,7 @@ Chacun d'eux est représentable : si l'on pose
\[
R_{ij}=k[t,x_{αβ}:1≤ α,β ≤n]/(x_{ij}-1,\det(x_{αβ})t-1),
\]
-pour toute $k$-algèbre $A$, l'application $R_{ij}^\japmath{田}(A) → 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)$
+pour toute $k$-algèbre $A$, l'application $R_{ij}^田(A) → 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)$
envoyant $f:R_{ij}→A$ sur la droite $A⋅(f(x_{αβ}))⊆𝐌_n(A)$
est une bijection fonctorielle (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}).
D'après le lemme de Yoneda, l'inclusion $𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)↪𝐏⁰(𝐌_n)$
@@ -2209,16 +2187,16 @@ toutes ses lignes sauf la première nulles. Il en résulte que $p(A)=A⋅p(e₁)
\begin{proposition2}\label{famille Z-couvrante et injectivité}
Soit $A → A_i$ ($1≤i≤N$) une famille finie de $k$-algèbre
-telle que les foncteurs $A_i^\japmath{田} → A^\japmath{田}$ correspondants soient Zariski-couvrants.
+telle que les foncteurs $A_i^田 → A^田$ correspondants soient Zariski-couvrants.
Alors, l'application $A → ∏_i A_i$ est \emph{injective}.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Considérons l'identité $\Id∈\Hom_k(A,A)=A^\japmath{田}(A)$.
+Considérons l'identité $\Id∈\Hom_k(A,A)=A^田(A)$.
Par hypothèse, il existe une famille d'éléments $(a₁,…,a_r)$
engendrant l'idéal unité de $A$ tels que pour chaque $α∈\{1,…,r\}$
l'application canonique $A → A[a_α^{-1}]$ — qui n'est autre que l'image de l'identité
-par l'application $A^\japmath{田}(A) →A^\japmath{田}(A[a_α^{-1}])$ —
+par l'application $A^田(A) →A^田(A[a_α^{-1}])$ —
se factorise à travers $A → A_{i_α}$ pour un indice $i_α ∈ \{1,…,N\}$
convenable. Soit maintenant $a$ dans le noyau de $A → ∏_i A_i$.
Il résulte de ce qui précède que $a$ appartient également
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 009856b..2fa6c15 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1,34 +1,15 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
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-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
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-\usepackage{stmaryrd}
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-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-\usetikzlibrary{positioning}
-\usepackage{srcltx}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Algorithmes de calcul}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{KASW}
\externaldocument{exemples-galois}
-
-\title{Algorithmes de calcul}
-
\begin{document}
\maketitle
-\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\else
\chapter{Algorithmes de calcul}
@@ -264,7 +245,7 @@ Le morphisme $S_e$, appelé « substitution de Kronecker »,
a été introduit par Kronecker en 1882.
% cf. Schinzel
-\XXX --- Faut-il mentionner ici le fait qu'une extension algébrique
+\XXX — Faut-il mentionner ici le fait qu'une extension algébrique
finie séparable (par un polynôme explicite) d'un corps dans lequel on
sait algorithmiquement factoriser les polynômes possède la même
propriété ? (Cf.  Fried \& Jarden, lemme 19.2.2.) En revanche, sans
@@ -431,7 +412,7 @@ Soit $P \in k[X]$ un polynôme unitaire à coefficients dans un
corps $k$ : on notera $k(x) = k[X]/(P)$ l'algèbre quotient, où $x$
désigne la classe dans $k[X]/(P)$ de l'indéterminée $X$. On appelle
\emph{transformation de Tschirnhaus} sur $P$ un élément $y$ de $k(x)$
-dont le polynôme minimal $Q$ sur $k$ soit du même degré que $P$ ---
+dont le polynôme minimal $Q$ sur $k$ soit du même degré que $P$ —
c'est-à-dire que les puissances $1,y,y^2,\ldots,y^{\deg P-1}$ forment
une base de la $k$-algèbre $k(x)$ de dimension $\deg P$. On
représentera la transformation sous la forme $U(x)$ avec $U \in k[X]$
@@ -806,7 +787,7 @@ $(\lambda,\mu) = (\frac{b^2+4c}{b^2-4c}, \frac{4bc}{b^2-4c})$.
Autrement dit, si $P$ est irréductible, son groupe de Galois est
$\ZZ/2\ZZ$, ce qu'on savait bien sûr déjà. (Lorsque $b^2-4c = 0$, en
revanche, les transformations de Tschirnhaus de $P$ en $P$ sont tous
-les $(\lambda,\mu)$ tels que $\mu = \frac{b}{2}(\lambda-1)$ --- \XXX
+les $(\lambda,\mu)$ tels que $\mu = \frac{b}{2}(\lambda-1)$ — \XXX
revérifier ce truc.)
\end{exemple2}
@@ -1793,7 +1774,7 @@ invariant par $\mathfrak{S}_d$, il doit donner, une fois réduit
modulo $B$, un résultat indépendant de $Z_1,\ldots,Z_d$, qui est le
$R_P(f) \in K[X]$ recherché.
-\XXX (2012-10-12) --- Quel est le rapport entre ce calcul et celui
+\XXX (2012-10-12) — Quel est le rapport entre ce calcul et celui
d'un idéal d'élimination sur la variable $Y$ de $Y - P$ ? Éclaircir
cette question.
diff --git a/chapitres/categories.tex b/chapitres/categories.tex
index dd9f328..0fb6f36 100644
--- a/chapitres/categories.tex
+++ b/chapitres/categories.tex
@@ -1,27 +1,9 @@
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-
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+\input{../config/macros}
\title{Catégories}
-\setcounter{tocdepth}{2}
-%\setcounter{secnumdepth}{2}
-%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -314,7 +296,7 @@ diagramme commutatif, dans lequel intervient un objet terminal, le
remplacer par un autre (et composer les flèches en provenant ou y
aboutissant par l'unique isomorphisme entre les deux objets terminaux
en question) produira une affirmation également valable ou un
-diagramme également commutatif --- ce qui permet bien d'ignorer la
+diagramme également commutatif — ce qui permet bien d'ignorer la
différence entre les deux objets en question.
Ces remarques valent bien sûr également pour un objet initial ; mais,
@@ -741,7 +723,7 @@ F(X)&F(Y)\\G(X)&G(Y)\\};
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(z)$} (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
---- autrement dit, $G(z)\circ h(X) = h(Y)\circ F(z)$.
+— autrement dit, $G(z)\circ h(X) = h(Y)\circ F(z)$.
\end{definition2}
\begin{exemple2}
@@ -1207,8 +1189,8 @@ isomorphisme naturel (toujours d'après \ref{isomorphismes-naturels}).
\end{proof}
Cette démonstration prend plus de sens en remarquant que $G$ est, à
-isomorphisme près, uniquement déterminé par $F$ --- on dit qu'ils sont
-\emph{quasi-inverses} ---, et aussi que tout foncteur isomorphe à un
+isomorphisme près, uniquement déterminé par $F$ — on dit qu'ils sont
+\emph{quasi-inverses} —, et aussi que tout foncteur isomorphe à un
foncteur pleinement fidèle est lui-même pleinement fidèle.
On pourra désormais dire que deux catégories sont équivalentes quand
@@ -1245,7 +1227,7 @@ des ensembles est dit \emph{représentable} par un objet $X$
de $\categ{C}$ lorsqu'il existe un isomorphisme $h \colon
\Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$ (pour être plus précis, on
devrait dire que $F$ est représentable par l'objet $X$ et
-l'isomorphisme $h$ --- ou, comme on le verra
+l'isomorphisme $h$ — ou, comme on le verra
en \ref{foncteur-representable-element}, par l'élément $h(X)(\Id_X)
\in F(X)$). Un foncteur $F \colon \categ{C} \to \Ens$ covariant de
$\categ{C}$ vers les ensembles est dit représentable par un objet $X$
@@ -1453,7 +1435,7 @@ composition des flèches provenant de celle de $\categ{C}$) : avec
cette définition, un objet $X$ (ou plus exactement, une
donnée $(X,s)$) représentant $F$ est un objet initial de la catégorie
en question, et l'unicité qu'on vient d'affirmer n'est autre que
-l'unicité --- à isomorphisme unique près --- de l'objet universel.
+l'unicité — à isomorphisme unique près — de l'objet universel.
Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut
justifie qu'on parle, dans ce cas de \emph{l}'objet représentant le
foncteur $F$. On peut évidemment faire les mêmes remarques pour la
@@ -1534,7 +1516,7 @@ terminal de base $P$.
La proposition \ref{unicite-objet-representant-foncteur} ou, compte
tenu de la description qu'on vient de faire de la limite comme un
objet terminal, l'unicité de l'objet terminal, permettent de dire que
-la limite --- comme toute solution de problème universel --- est
+la limite — comme toute solution de problème universel — est
unique à isomorphisme près, cet isomorphisme étant unique compte tenu
des contraintes imposées (en l'occurrence, les morphismes $P(i)$).
Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut
@@ -1621,7 +1603,7 @@ que pour toute donnée d'un objet $T$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme
$t_i \colon T \to P_i$ pour chaque $i \in I$ il existe un unique $z
\colon T \to X$ vérifiant $t_i = p_i\circ z$ pour chaque $i$.
-\begin{exemple3}
+\begin{exemple2}
Dans la catégorie des ensembles, le produit d'une famille $(P_i)$
d'ensembles est le produit cartésien usuel $X = \prod_{i\in I} P_i$ :
les applications $s_i \colon X \to P_i$ dont il est muni étant les
@@ -1644,7 +1626,7 @@ sous-jacents des facteurs du produit (ou de la limite). (On
expliquera plus loin une raison pour laquelle, comme on vient de le
décrire, le foncteur d'oubli de ces catégories algébriques vers la
catégorie des ensembles préserve les limites.)
-\end{exemple3}
+\end{exemple2}
\subsubsection{Points fixes}
Lorsque la catégorie $\categ{I}$ a un unique objet $\bullet$ et que
@@ -1708,7 +1690,7 @@ où $f_i \circ t_{\astrosun}$ ne dépende pas de $i$, il existe un
unique $z\colon T\to X$ vérifiant $t_{\astrosun} = s_{\astrosun} \circ
z$.
-\begin{exemple3}
+\begin{exemple2}
Dans la catégorie des ensembles, l'égalisateur d'une famille
$f_i\colon P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ d'applications entre deux
mêmes ensembles n'est autre que le sous-ensemble $X$
@@ -1718,7 +1700,7 @@ X \to P_{\astrosun}$ étant alors simplement l'inclusion.
De nouveau, cette construction fonctionne encore dans diverses
catégories de structures algébriques : groupes, anneaux, etc.
-\end{exemple3}
+\end{exemple2}
\subsubsection{Produits fibrés}\label{limite-produit-fibre}
@@ -2257,7 +2239,7 @@ Le paragraphe précédent prouve le « si » de la seconde affirmation
La proposition précédente se résume généralement par l'affirmation
(quelque peu elliptique) : $\yone(\prlim_{i\in \categ{I}} P(i)) =
-\prlim_{i\in \categ{I}} \yone(P(i))$ --- tout en retenant que,
+\prlim_{i\in \categ{I}} \yone(P(i))$ — tout en retenant que,
d'après \ref{limites-point-par-point}, on a aussi $(\prlim_{i\in
\categ{I}} \yone(P(i)))(T) = \prlim_{i\in \categ{I}}
(\yone(P(i))(T))$.
@@ -2473,8 +2455,8 @@ limites projectives. La raison de ce choix, qui permet de le retenir,
est qu'on souhaite obtenir des limites et colimites intéressantes
indicées par l'ensemble $\NN$ des entiers naturels, muni de son ordre
usuel (il s'agit donc que la catégorie par laquelle on indice ces
-limites et colimites --- puisqu'on a choisi de parler de limites et
-colimites pour des foncteurs covariants --- n'ait pas d'objet initial
+limites et colimites — puisqu'on a choisi de parler de limites et
+colimites pour des foncteurs covariants — n'ait pas d'objet initial
dans le cas des limites, et n'ait pas d'objet terminal dans le cas des
colimites ; ainsi, on doit inverser l'ordre dans un cas par rapport à
l'autre) ; dans tous les cas, on tâchera de rappeler la convention
@@ -2651,7 +2633,7 @@ spécifier la transformation naturelle $\theta$ on peut noter $F
\end{definition2}
Le corollaire \ref{yoneda-corollaire-isomorphismes} justifie qu'on
-parle parfois de \emph{l}'adjoint --- à gauche ou à droite --- d'un
+parle parfois de \emph{l}'adjoint — à gauche ou à droite — d'un
foncteur : par exemple, si $F$ et $F'$ sont deux adjoints à gauche
d'un même foncteur $G$, alors $\Hom(F\tiret,\tiret)$ et
$\Hom(F'\tiret,\tiret)$ sont isomorphes (tous deux étant isomorphes à
@@ -2879,7 +2861,7 @@ $(G\boxempty\varepsilon) \circ (\eta\boxempty G) = \Id_G$
(c'est-à-dire, pour tout objet $Y$ de $\categ{C}$, que
$G(\varepsilon(Y)) \circ \eta(G(Y)) = \Id_{G(Y)}$) ; sous l'hypothèse
que $\eta$ est bien l'unité d'une adjonction $F\dashv G$, cette
-égalité caractérise la coünité $\varepsilon$ (\XXX --- mais
+égalité caractérise la coünité $\varepsilon$ (\XXX — mais
caractérise-t-elle l'unité si on sait que $\varepsilon$ est la coünité
d'une adjonction ?). On a aussi $(\varepsilon\boxempty F) \circ
(F\boxempty\eta) = \Id_F$, et sous l'hypothèse que $\varepsilon$ est
diff --git a/chapitres/corps-c1.tex b/chapitres/corps-c1.tex
index 127a601..b3b20ad 100644
--- a/chapitres/corps-c1.tex
+++ b/chapitres/corps-c1.tex
@@ -1,26 +1,12 @@
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\ifx\danslelivre\undefined
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-
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\title{Corps $C_1$}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{correspondance-galois}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -340,8 +326,8 @@ Cf. \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r}.
\begin{proposition2}
Soit $k$ un corps fortement $C_r$ (resp. fortement $C'_r$), et $K$ une
extension finie de $k$. Alors $K$ est un corps fortement $C_r$
-(resp. fortement $C'_r$). (\XXX Ce résultat est peut-être faux ---
-Lang est obscur dans sa façon de dire les choses --- mais je ne
+(resp. fortement $C'_r$). (\XXX Ce résultat est peut-être faux —
+Lang est obscur dans sa façon de dire les choses — mais je ne
comprends pas où la démonstration échoue. À vérifier soigneusement,
donc.)
\end{proposition2}
@@ -667,9 +653,9 @@ d'entre eux ne soient jamais alignés.
\item Si $A,B,C$ sont trois points alignés, et $A',B',C'$ trois autres
points alignés, et si on note $A''$ (resp. $B''$, resp. $C''$)
l'intersection des droites $BC'$ et $CB'$ (resp. $AC'$ et $CA'$,
-resp. $AB'$ et $BA'$) --- ce qui sous-entend que $B$ est distinct de
+resp. $AB'$ et $BA'$) — ce qui sous-entend que $B$ est distinct de
$C'$ et $C$ de $B'$ et que la droite $BC'$ est distincte de la droite
-$CB'$ (resp...) --- alors les points $A'',B'',C''$ sont
+$CB'$ (resp...) — alors les points $A'',B'',C''$ sont
alignés. \emph{(Théorème de Pappus.)}
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -698,7 +684,7 @@ a-b&a'-b'&aa'-bb'\\
\end{matrix}
\right|
\]
---- qui se vérifie aisément.
+— qui se vérifie aisément.
\end{proof}
\begin{definition2}
@@ -922,7 +908,7 @@ est \emph{extérieur} ou \emph{intérieur} à la conique $C$ selon qu'il
existe $2$ ou $0$ tangentes à $C$ passant par $P$. (Sur le corps
$\RR$ des réels, la notion ainsi définie est bien celle qu'on a
l'habitude de désigner par là, au moins dans le cas où on pense à une
-ellipse --- c'est-à-dire que la conique ne croise pas la droite à
+ellipse — c'est-à-dire que la conique ne croise pas la droite à
l'infini. La terminologie est cependant désagréable en général :
ainsi, sur un corps algébriquement clos, une conique n'a jamais
d'intérieur. On se contentera de l'utiliser ci-dessous dans le cas
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 82248d5..0156580 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -1,29 +1,12 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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-\synctex=1
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Corps finis}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{algo-corps-finis}
\externaldocument{correspondance-galois}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -390,7 +373,7 @@ $\FF_q \subseteq
La seconde affirmation est alors claire : $\FF_q \cap \FF_{q'}$ est un
corps fini qui contient le corps fini à $p^{r_1}$ éléments si et
seulement si $r_1 | r$ et $r_1 | r'$, c'est-à-dire si et seulement si
-$r_1 | r_0$ où $r_0 = \pgcd(r,r')$ --- autrement dit, il s'agit
+$r_1 | r_0$ où $r_0 = \pgcd(r,r')$ — autrement dit, il s'agit
justement de $\FF_{q_0}$.
\end{proof}
@@ -452,7 +435,7 @@ corps de décomposition est $\FF_{q^r}$ où $r$ est le plus petit
commun multiple des degrés des facteurs irréductibles de $h$}.
De plus, on vient de voir que l'ordre de $\Frob_q$ agissant sur $x$
---- ou, par conséquent, sur $\FF_q(x)$ --- est exactement le degré $s$
+— ou, par conséquent, sur $\FF_q(x)$ — est exactement le degré $s$
de $x$ sur $\FF_q$. En utilisant le théorème de l'élément
primitif (\refext{Alg}{element-primitif}), on peut conclure que
$\Frob_q$ agissant sur $\FF_{q^r}$ est d'ordre exactement $r$ ; on
@@ -597,7 +580,7 @@ fixé), ce nombre vaut $\frac{1}{n} q^n + O(q^{n/2})$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
Pour ce qui est de la première affirmation, en notant $M(n)$ le nombre
---- qu'on cherche à calculer --- d'unitaires irréductibles de
+— qu'on cherche à calculer — d'unitaires irréductibles de
degré $n$ sur $\FF_q$, la formule d'inversion de Möbius montre qu'il
suffit de prouver $q^n = \sum_{d|n} d\,M(d)$ : or c'est justement la
deuxième affirmation de l'énoncé de la
@@ -607,7 +590,7 @@ Pour ce qui est de l'estimation asymptotique, remarquons que dans la
somme exacte, le terme $d=n$ vaut $\frac{1}{n} q^n$, le terme
$d=\frac{n}{2}$, s'il existe (c'est-à-dire, si $n$ est pair), vaut
$-\frac{1}{n} q^{n/2}$, et tous les autres termes, dont le nombre est
-au plus $n$, sont chacun $O(q^{n/3})$ --- leur somme est donc
+au plus $n$, sont chacun $O(q^{n/3})$ — leur somme est donc
bien $O(q^{n/2})$.
\end{proof}
@@ -824,7 +807,7 @@ h \equiv -2X^4 + X^2 - 3X - 2 \pmod{-2X^5 + 3X^4 - X^3 - X^2 + 2X}\\
-2 X^2 - 2 \equiv -3 \pmod{-2 X - 3}\\
\end{array}
\]
---- ce qui conclut la vérification du critère de Rabin. Tous ces
+— ce qui conclut la vérification du critère de Rabin. Tous ces
calculs montrent donc que $h = X^6 -2 X^4 + 3 X^3 - X^2 - X - 2$ est
irréductible dans $\FF_7[X]$.
@@ -911,7 +894,7 @@ coefficient constant non nul est premier avec un multiple nul de
l'indéterminée). On calcule alors la matrice de l'endomorphisme
$\Frob_7 - \Id$ sur la base $1, X, X^2, \ldots, X^5$ de
$\FF_7[X]/(h)$, en calculant successivement $X^7, X^{14}, \ldots,
-X^{35}$ modulo $h$ --- les calculs sont donc très semblables à ceux
+X^{35}$ modulo $h$ — les calculs sont donc très semblables à ceux
menés au début de \ref{exemple-numerique-critere-rabin} et conduisent
à :
\[
@@ -1281,7 +1264,7 @@ degré de $\Phi_n$ est $\varphi(n)$. La formule $\Phi_n(X)
= \prod_\zeta (X-\zeta)$ pour $\zeta$ parcourant l'ensemble des
racines primitives $n$-ièmes de l'unité est encore valable dans
n'importe quel corps, de caractéristique ne divisant pas $n$, où il
-existe une --- et donc $\varphi(n)$ --- racine primitive $n$-ième de
+existe une — et donc $\varphi(n)$ — racine primitive $n$-ième de
l'unité.
Si $q$ et $n$ sont premiers entre eux où $q$ est une puissance d'un
@@ -2119,7 +2102,7 @@ Soient $p,q$ deux nombres premiers impairs distincts. On a alors :
\[
\Legendre{p}{q} \Legendre{q}{p} = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}
\]
---- c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si
+— c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si
$p,q \equiv 3 \pmod{4}$ auquel cas $\Legendre{q}{p} =
-\Legendre{p}{q}$.
\end{theoreme2}
@@ -2220,7 +2203,7 @@ Soit $p$ un nombre premier impair. On a alors :
\[
\Legendre{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8}
\]
---- c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et
+— c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et
$\Legendre{2}{p} = -1$ si $p\equiv 3,5 \pmod{8}$.
\end{proposition2}
\begin{proof}[Première démonstration]
@@ -2507,7 +2490,7 @@ réciproquement.
\begin{démo}[Démonstration du lemme]
Soit $χ:K→\mathbf{U}$ un caractère de $K$ ; il faut montrer qu'il s'étend
-à $G$, \cad qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction
+à $G$, c'est-à-dire qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction
à $K$ soit $χ$. Supposons $K≠G$ sans quoi le résultat est trivial et
considérons $x∈G-K$. Soient $r$ le plus petit entier non nul tel que
$x^r∈K$ et $z$ une racine $r$-ème de $χ(x^r)$ dans $𝐂$. On
@@ -2537,12 +2520,13 @@ On procède à nouveau par récurrence sur $\# G$, en remarquant
que l'énoncé est trivial pour un groupe cyclique (exercice).
Dans le cas général, on considère comme précédemment le diagramme
de suites exactes :
-$$
-\xymatrix{
-1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\
-1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\
+%1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1
+%}
+%$$
Par hypothèse de récurrence, $K→\chap{\chap{K}}$ et $H→\chap{\chap{H}}$ sont
des isomorphismes ; il en est donc de même de $G→\chap{\chap{G}}$
(chasse au diagramme).
@@ -2619,7 +2603,7 @@ $$
$$
Soit $g∈G$ et notons $\sur{g}$ son image dans $G/nG$.
-Cette image est nulle \ssi pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$.
+Cette image est nulle si et seulement si pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$.
Soit $χ$ l'image de $\sur{χ}$ par l'isomorphisme précédent ; on
a par définition $χ(g)=\sur{χ}(\sur{g})$.
@@ -2650,7 +2634,7 @@ $$
∑_{\sur{χ}∈\chap{G/nG}} \sur{χ}(\sur{g}).
$$
D'après \ref{lemme-orthogonalite-caracteres}, cette somme vaut $0$ si $\sur{g}≠e$
-(\cad $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$,
+(c'est-à-dire $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$,
l'égalité avec le terme de gauche en résulte.
\end{démo}
@@ -2732,9 +2716,9 @@ Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non
trivial.
\subsubsection{Réécriture de l'égalité ($\star$)}
-Si l'on pose $a'=ca$ (\cad $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr
+Si l'on pose $a'=ca$ (c'est-à-dire $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr
$χ(a)=χ(c)^{-1}χ(a')$, ce qui complique un peu les choses,
-mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, \cad $\Tr_{A/F}(a')=b$.
+mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, c'est-à-dire $\Tr_{A/F}(a')=b$.
Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
écrire :
@@ -2759,7 +2743,7 @@ où $χ'=(χ₁,\dots,χ_d)$.
Supposons $b=0$. La somme sur $a'$ ne dépend pas de $x$ et
$∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=0} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$,
nul si $χ_{|F^×}$ est non trivial. On peut donc se restreindre pour le calcul de $N$
-aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, \cad
+aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, c'est-à-dire
aux caractères de $A^×/F^×$.
La condition $\Tr(a)=0$ ($a∈A^×$) étant invariante par multiplication
@@ -3056,22 +3040,23 @@ de sorte que $𝐐(ζ_p)=𝐐(S)$.
Une somme de nombres constructibles étant constructible \XXX, il suffit donc de démontrer
que chaque $𝔤(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant.
-Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est.
+Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible si et seulement si $g^{2^m}$ l'est.
Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$,
$m≥0$, si bien que l'égalité $𝔤(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi})
ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi.
Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles.
-(Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
+(Le cas $m=0$, c'est-à-dire $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
-Selon la légende, c'est cette découverte --- sensationnelle à l'époque ---
+Selon la légende, c'est cette découverte — sensationnelle à l'époque —
qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste.
Sa démonstration est exposée en détail dans ses \emph{disquisitiones arithmeticæ} (recherches
arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même
semble dater du 30 mars 1796. C'est la première entrée dans son
fameux \emph{Tagebuch} (\cite{Tagebuch@Gauss}) :
\begin{quote}
+{\addfontfeatures{Ligatures=Historic}
Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem
-geometrica in septemdecim partes etc.
+geometrica in septemdecim partes etc.}
\end{quote}
On trouvera dans \refext{Radicaux}{racine-17e-de-1} un calcul
diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 87d723f..783e446 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -1,31 +1,9 @@
-%%% vim: set textwidth=150: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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+\input{../config/macros}
+\title{Correspondance de Galois}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
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@@ -36,10 +14,6 @@
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-%\makeindex
-
-\title{Correspondance de Galois}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -59,7 +33,7 @@
Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique
de $k$. Rappelons que si $K$ est un anneau et $A,B$ deux $K$-algèbres,
-on note également $\japmath{田}A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des
+on note également $田A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des
homomorphismes de $K$-algèbres.
\subsection{Conjugués d'un élément}
@@ -87,17 +61,17 @@ de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$.
\end{démo}
Une telle extension est non unique en général. Nous verrons
-plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$.
+plus tard qu'elle est unique si et seulement si $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$.
\begin{corollaire2}\label{caracterisation-conjugaison}
Soient $x,y∈Ω$ et $K$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$.
-Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ \ssi
+Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ si et seulement si
il existe un $k$-plongement $ι:K→Ω$ tel que $ι(x)=y$.
\end{corollaire2}
\begin{proposition2}
Deux éléments de $Ω$ sont conjugués sur $k$
-\ssi ils ont même polynôme minimal sur $k$.
+si et seulement si ils ont même polynôme minimal sur $k$.
\end{proposition2}
@@ -124,12 +98,12 @@ où $z=y$ (resp. $z=x$).
L'ensemble des conjugués sur $k$ d'un élément $x$ de $Ω$ coïncide
avec l'ensemble des racines dans $Ω$ de son polynôme minimal $μ_{k,x}$.
Cet ensemble est fini, de cardinal inférieur ou égal
-à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu \ssi
+à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu si et seulement si
$x$ est séparable sur $k$.
\end{corollaire2}
Le nombre de racines distinctes dans $Ω$ d'un polynôme non nul étant égal au degré
-de ce polynôme \ssi ses racines sont simples, la remarque
+de ce polynôme si et seulement si ses racines sont simples, la remarque
sur le cas d'égalité est évidente.
On peut être plus précis.
@@ -157,7 +131,7 @@ extension de corps ?]
\begin{proposition2}\label{Hom=Aut}
Soit $K\bo k$ une extension algébrique.
-L'inclusion $\Aut_k(K)→\japmath{田}K(K)$ est une bijection.
+L'inclusion $\Aut_k(K)→田K(K)$ est une bijection.
En d'autres termes, tout $k$-plongement $ι:K→K$ est
surjectif.
\end{proposition2}
@@ -213,12 +187,12 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ;
\item pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$ ;
-\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=\japmath{田}K(K)↪\japmath{田}K(Ω)$ est une bijection ;
+\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=田K(K)↪田K(Ω)$ est une bijection ;
\item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est scindé sur $K$ ;
\item tout polynôme irréductible de $k[X]$ ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$ ;
\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à $K$ ;
\item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle $κ(𝔭)\bo K$ est triviale ;
-\item l'application $\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ;
+\item l'application $田(K⊗_k K)(K)↪田(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ;
\item l'application $\Aut_k(K) → \Spec(K ⊗_k K)$, $g ↦ 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big)$
est une bijection.
\end{enumerate}
@@ -240,7 +214,7 @@ et \ref{caracterisation-conjugaison}.
% On utilise le fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes.
(vii)⇔(viii). Notons $A$ la $K$-algèbre $K ⊗_k K$ ; elle est entière
sur $K$ (\refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}).
-L'application noyau $\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$
+L'application noyau $田A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$
est donc surjective. En effet, sa fibre au-dessus d'un élément $𝔭$ de
$\Spec(A)$ est, par propriété universelle du quotient, en bijection
avec l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. Or, l'anneau $A/𝔭$ est intègre
@@ -248,10 +222,10 @@ et entier sur $K$ ; c'est donc un corps (\refext{Alg}{polynome-minimal}).
D'après \refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique},
l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$ est donc non vide.
Les idéaux premiers de $A$ sont donc tous $K$-rationnels
-si et seulement si l'inclusion $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$
+si et seulement si l'inclusion $田A(K)↪田A(Ω)$
est une bijection. (viii)⇔(iii) Soit $B$ une $K$-algèbre et
${_{[k]}B}$ la $k$-algèbre déduite de $B$ par restriction des scalaires.
-L'application $\japmath{田}K({_{[k]}B})→\japmath{田}A(B)$,
+L'application $田K({_{[k]}B})→田A(B)$,
$ι\mapsto \big(φ_ι:λ⊗μ \mapsto ι(λ)\cdot μ\big)$ est une bijection,
d'inverse est $φ\mapsto \big(ι_φ:λ\mapsto φ(λ⊗1_B)\big)$.
(Ce résultat est un cas particulier de l'adjonction
@@ -261,8 +235,8 @@ si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{
-|(KB)| \japmath{田}K({_{[k]}B}) & |(KBp)| \japmath{田}K({_{[k]}B′})\\
-|(AB)| \japmath{田}A(B)& |(ABp)| \japmath{田}A(B ′)\\};
+|(KB)| 田K({_{[k]}B}) & |(KBp)| 田K({_{[k]}B′})\\
+|(AB)| 田A(B)& |(ABp)| 田A(B ′)\\};
\draw[->] (KB) -- (KBp);
\draw[->] (AB) -- (ABp);
\draw[->] (KB) -- (AB);
@@ -270,9 +244,9 @@ si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme
\end{tikzpicture}
\end{center}
est commutatif. La conclusion résulte aussitôt en posant $B=K$ et $B ′=Ω$.
-(viii)⇔(ix). L'application $G=\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(K)$
+(viii)⇔(ix). L'application $G=田K(K) → 田A(K)$
n'est autre que $g ↦ (λ⊗μ↦g(λ)μ)$. L'application composée
-$\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(Ω) ⥲ \Spec(A)$
+$田K(K) → 田A(Ω) ⥲ \Spec(A)$
est celle de l'énoncé. [À vérifier] \XXX
Notons que l'injectivité de $G → \Spec(K ⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$,
l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais pas à $𝔭_{g'}$.
@@ -394,7 +368,7 @@ Une extension algébrique $K\bo k$ est dite \emph{galoisienne}
si elle est normale et séparable. \end{définition2}
\begin{lemme2}\label{gal=corps-dec-sep}
-Une extension est galoisienne \ssi elle est isomorphe au
+Une extension est galoisienne si et seulement si elle est isomorphe au
corps de décomposition d'une famille de polynômes séparables.
\end{lemme2}
@@ -415,7 +389,7 @@ est séparable (\ref{dec-poly-sep=sep}).
Soient $K\bo k$ une extension \emph{finie}
et $G=\Aut_k(K)$.
L'extension $K\bo k$ est galoisienne
-\ssi le morphisme
+si et seulement si le morphisme
$$
K⊗_k K→∏_{g∈G} K=\Hom_{\Ens}(G,K)
$$
@@ -654,12 +628,12 @@ suivante (« théorème de Dedekind ») de \ref{indépendance linéaire des
automorphismes} :
\begin{quote}
Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre.
-L'ensemble $\japmath{田}A(k')$ est une partie $k'$-libre de
+L'ensemble $田A(k')$ est une partie $k'$-libre de
$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$.
\end{quote}
(On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois
-et l'isomorphisme $\japmath{田}A(k')⥲\japmath{田}A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie
-$U$ de $\japmath{田}A(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$
+et l'isomorphisme $田A(k')⥲田A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie
+$U$ de $田A(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$
est surjective.)
\end{exercice2}
@@ -699,26 +673,26 @@ est un isomorphisme.
\begin{remarques2}\label{rmqs pseudo-torseurs}
\begin{enumerate}
-\item Soit $B$ une $A$-algèbre. Notons $\japmath{田}B ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$
-le foncteur de Yoneda : $\japmath{田}B(T)=\Hom_{A\traitdunion\Alg}(B,T)$
+\item Soit $B$ une $A$-algèbre. Notons $田B ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$
+le foncteur de Yoneda : $田B(T)=\Hom_{A\traitdunion\Alg}(B,T)$
pour toute $A$-algèbre test $T$. Si $B$ est muni d'une action
de $G$ par $A$-automorphismes, $G$ s'envoie naturellement dans
-$\End(\japmath{田}B)$ : si $f ∈ \japmath{田}B(T)$, $g ⋅f:b ↦ f(g^{-1}b)$.
-Notons $\japmath{田}B × G ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$
-(resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$)
+$\End(田B)$ : si $f ∈ 田B(T)$, $g ⋅f:b ↦ f(g^{-1}b)$.
+Notons $田B × G ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$
+(resp. $田B ×_{田A} 田B$)
le foncteur envoyant une $A$-algèbre $T$ sur
le produit cartésien (resp. fibré) d'ensembles
-$\japmath{田}B(T) × G$ (resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A}
-\japmath{田}B$). Ce sont des cas particuliers
+$田B(T) × G$ (resp. $田B ×_{田A}
+田B$). Ce sont des cas particuliers
des notions de coproduit, indicé par $G$, et de produit fibré
respectivement dans la catégorie $\Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$.
-L'action de $G$ sur $\japmath{田}B$ induit
-un morphisme de foncteurs $\japmath{田}B × G → \japmath{田}B(T)
-×_{\japmath{田}A(T)} \japmath{田}B(T)$, correspondant
+L'action de $G$ sur $田B$ induit
+un morphisme de foncteurs $田B × G → 田B(T)
+×_{田A(T)} 田B(T)$, correspondant
sur les points à l'application $(y,g) ↦ (g ⋅ y, y)$.
Il résulte du lemme de Yoneda \refext{Cat}{lemme-de-yoneda}
et du fait que, par définition du produit scalaire
-$\japmath{田}(B ⊗_A B)=\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$,
+$田(B ⊗_A B)=田B ×_{田A} 田B$,
que ce morphisme est un isomorphisme si et seulement
si $B$ est un pseudo-$G$-torseur sur $A$.
Cette approche permet de définir la notion
@@ -1078,7 +1052,7 @@ cardinal au plus $\deg(f)$ des racines de $f$ dans $\dec(f)$.
L'extension $\dec(f)\bo K$ est finie et normale (\ref{normal=corps-dec}).
Écrivons $f=∏_i f_i^{r_i}$ où les polynômes $f_i$ sont unitaires irréductibles, premiers
-entre eux deux-à-deux et posons $f_\red=∏_i f_i$. Le lemme suivant est un corollaire immédiat
+entre eux deux-à-deux et posons $f_{\red}=∏_i f_i$. Le lemme suivant est un corollaire immédiat
des définitions ainsi que de \ref{dec(f)-sep=>f-red-separable} et \ref{dec-poly-sep=sep}.
\begin{lemme2}
@@ -1086,18 +1060,18 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item l'extension $\dec(f)\bo K$ est séparable ;
\item chaque $f_i$ est séparable ;
-\item le polynôme $f_\red$ est séparable.
+\item le polynôme $f_{\red}$ est séparable.
\end{enumerate}
-De plus, le polynôme $f$ est séparable \ssi chaque $f_i$ est séparable et de multiplicité
-$r_i$ égale à un (\cad $f=f_\red$).
+De plus, le polynôme $f$ est séparable si et seulement si chaque $f_i$ est séparable et de multiplicité
+$r_i$ égale à un (c'est-à-dire $f=f_{\red}$).
\end{lemme2}
\begin{définition2}
-Si $f_\red$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de
+Si $f_{\red}$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de
l'extension $\dec(f)\bo K$, noté $G_f$ ou $\Gal(f)$.
\end{définition2}
-Il résulte de la définition que $G_f=G_{f_\red}$.
+Il résulte de la définition que $G_f=G_{f_{\red}}$.
Le cas crucial est bien entendu celui où $f$ est un polynôme irréductible
séparable. Il nous a cependant paru utile de ne pas se limiter à ce cas
@@ -1118,7 +1092,7 @@ la convention \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel}, nous nous autorisons
groupe de Galois d'une équation, même si ce dernier n'est pas abélien.
Une façon de procéder pour résoudre cette difficulté est de fixer une clôture algébrique
de $K$, ou plus généralement toute extension $Ω$ de $K$ sur laquelle $f$ est scindé,
-et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, \cad
+et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, c'est-à-dire
le groupe de Galois de l'unique corps de décomposition de $f$ dans $Ω$.
\subsubsection{}Le fait trivial suivant est d'importance capitale : l'ensemble
@@ -1151,19 +1125,19 @@ sur $\dec(f)$ tout entier et, finalement, $g=\Id$.
\begin{lemme2}\label{action transitive de Galois si poly irréductible}
Le groupe de Galois $G_f$ agit \emph{transitivement}
-sur les racines $R_f$ \ssi le polynôme séparable
-$f_\red$ est \emph{irréductible}.
+sur les racines $R_f$ si et seulement si le polynôme séparable
+$f_{\red}$ est \emph{irréductible}.
Sous cette hypothèse, $\deg(f)$ divise $\# G_f$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
-On peut supposer $f=f_\red$.
+On peut supposer $f=f_{\red}$.
Si $f$ est irréductible, c'est le polynôme minimal
de chacune de ses racines. La conclusion résulte
alors de \ref{conjugues=racines}.
Réciproquement, il résulte de \emph{loc. cit.}
-que deux racines sont conjuguées \ssi elles ont même polynôme
+que deux racines sont conjuguées si et seulement si elles ont même polynôme
minimal. Ainsi, si $G_f$ agit transitivement sur $R_f$,
et $r∈R_f$, $f$ a pour unique diviseur irréductible $μ_{r,k}$.
Comme $f$ est supposé séparable, on a $f=μ_{r,k}$
@@ -1177,7 +1151,7 @@ sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$.
[À déplacer/modifier : simple copier-coller d'exos à l'X] \XXX
-\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-\jap{永田})
+\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田})
Soit $A$ un anneau commutatif.
Un polynôme $P ∈ A[X]$ non nul est diviseur de
zéro si et seulement si il existe $a ≠ 0$ dans $A$ tel que
@@ -1202,7 +1176,7 @@ Enfin, soient $A=∑_0^n \overline{A_i} X^i$ et $B=∑_0^m
\overline{B_j} X^j$ les polynômes dans $R[X]$.
Par construction, $AB=0$. D'autre part,
les coefficients de $A$ (resp. $B$) engendrent l'idéal unité de $R$.
-Il résulte du lemme de McCoy-\jap{永田}, que l'anneau $R$ est nul.
+Il résulte du lemme de McCoy-{\IPAMincho 永田}, que l'anneau $R$ est nul.
\begin{définition2}
On dit un polynôme à coefficients dans un anneau $A$ est
@@ -1397,7 +1371,7 @@ respectifs $d_1,\ldots,d_r$, de $f_p$. Le
théorème \ref{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire} permet de
conclure.
-(\XXX --- Il faudrait mieux intégrer ce corollaire avec ce qui
+(\XXX — Il faudrait mieux intégrer ce corollaire avec ce qui
l'entoure, et donner des références. Le fait que le groupe de Galois
d'une extension de corps finis soit engendré par le Frobenius devrait
apparaître ailleurs, comme son action sur les racines ; la remarque
@@ -1440,10 +1414,10 @@ $\dec(h)$.
\subsubsection{}\label{exemple-galois-equation-generique}
Soient $d$ un entier et $k$ un corps. Considérons le corps des fractions
rationnelles en $d$ indéterminées $L=k(X₁,\dots,X_d)$. Le groupe
-symétrique $\got{S}_d$ agit $k$-linéairement sur $L$
+symétrique $\mathfrak{S}_d$ agit $k$-linéairement sur $L$
par permutation des variables : $g(X_i)=X_{g(i)}$ pour tout $1≤i≤d$.
-Soit $K:=\Fix_{\got{S}_d}L$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension
-$L\bo K$ est galoisienne, de groupe $\got{S}_d$. En particulier,
+Soit $K:=\Fix_{\mathfrak{S}_d}L$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension
+$L\bo K$ est galoisienne, de groupe $\mathfrak{S}_d$. En particulier,
elle est de degré $d!$.
D'autre part, notons $σ_j$ ($1≤i≤d$) les fonctions
symétriques élémentaires en les $X_i$ :
@@ -1455,9 +1429,9 @@ $$
Il en résulte que $L=k(X₁,\dots,X_d)$ est un corps de décomposition du
polynôme de droite, de degré $d$, sur le sous-corps $K'=k(σ₁,\dots,σ_d)$ de
$L$. D'après \ref{dec-deg-inf-fact-n}, on a donc $[L:K']≤d!$.
-Puisque $K'⊆K$ on a $K=K'$, \cad
+Puisque $K'⊆K$ on a $K=K'$, c'est-à-dire
$$
-\Fix_{\got{S}_d} k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d).
+\Fix_{\mathfrak{S}_d} k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d).
$$
Remarquons que ce résultat, présenté ici comme un corollaire
du lemme d'Artin, se démontre directement sans difficulté.
@@ -1465,7 +1439,7 @@ du lemme d'Artin, se démontre directement sans difficulté.
Le résultat précédent se paraphrase ainsi :
\begin{quote}
« Pour tout corps $k$, l'équation \emph{générique} de degré
-$d$ sur $k$ est séparable de groupe $\got{S}_d$. »
+$d$ sur $k$ est séparable de groupe $\mathfrak{S}_d$. »
\end{quote}
\subsubsection{Discriminant et $2$-distinguant} Supposons $d≥2$. Soit $𝔄_d$ le groupe alterné,
@@ -1476,7 +1450,7 @@ tel que $\Fix_{𝔄_d} k(X₁,\dots,X_d)$ soit le corps de décomposition
du polynôme (séparable) $X²-Δ$ (resp. $X²-X-Δ$) si $\car(k)≠2$ (resp.
$\car(k)=2$).
-\begin{lemme3}\label{construction discriminant et 2-distinguant}
+\begin{lemme2}\label{construction discriminant et 2-distinguant}
\begin{enumerate}
\item Soit $δ_{2'}∈𝐙[X₁,\cdots,X_d]$ l'élément $∏_{1≤i<j≤d}(X_i-X_j)$.
Pour tout $σ∈𝔖_d$, $σ(δ_{2'})=ε_{2'}(σ)\cdot δ_{2'}$, où $ε_{2'}:𝔖_d↠\{±1\}⊆𝐙$
@@ -1492,7 +1466,7 @@ En particulier,
Δ₂=\sur{δ₂}(\sur{δ₂}-1)=∑_{1≤i<j≤d}\frac{X_iX_j}{X_i²+X_j²}
\] appartient à $𝐅₂(σ₁,\cdots,σ_d)$.
\end{enumerate}
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
Il en résulte que si l'on note $δ$ (resp. $Δ$) l'image dans $k(X₁,\dots,X_d)$ de, suivant la
caractéristique, $δ_{2'}$ ou $δ₂$ (resp. $Δ_{2'}$ ou $Δ₂$), $\Fix_{𝔄_d}
@@ -1511,7 +1485,7 @@ Il résulte de l'identité : $$\frac{x}{x+y}=\frac{y}{x+y}+1$$ dans $∈𝐅₂
que $(αβ)S=S+2(j-i)+1=S+1$. CQFD.
\end{démo}
-\begin{définition3}\label{definition discriminant et 2-distinguant}
+\begin{définition2}\label{definition discriminant et 2-distinguant}
On appelle \emph{discriminant}\index{discriminant} du polynôme général de degré $d$
le polynôme $Δ_{2'}∈𝐙[σ₁,\dots,σ_d]$.
Si $f=X^d+∑_{i=1}^{d}a_i X^{d-i}$ est un polynôme unitaire à coefficients
@@ -1519,21 +1493,21 @@ dans un corps $k$ de caractéristique différente de deux,
on appelle \emph{discriminant de $f$} l'élément
$Δ(f):=Δ_{2'}(a₁,\dots,a_d)∈k$. En caractéristique deux, on appellera
\emph{$2$-distinguant}\index{2-distinguant} de $f$,
-l'élément $\japmath{別}_2(f):=Δ_{2}(a₁,\dots,a_d)∈k$.
-\end{définition3}
+l'élément $別_2(f):=Δ_{2}(a₁,\dots,a_d)∈k$.
+\end{définition2}
-(On peut prononcer « bétsou » le caractère \jap{別}.)
+(On peut prononcer « bétsou » le caractère {\IPAMincho 別}.)
Référence. Bourbaki, V, exercice §10, №23 et \cite{Involutions@KMRT}, chap. V, §18.
-\begin{exemples3}[Discriminants et $2$-distinguants]\label{exemples discriminants et 2-distinguants}
+\begin{exemples2}[Discriminants et $2$-distinguants]\label{exemples discriminants et 2-distinguants}
\begin{enumerate}
\item Soit $f=X²-c₁X+c₂$.
\[Δ(f)=c₁²-4c₂.\]
-\[\japmath{別}_2(f)=\frac{c₂}{c₁²}.\]
+\[別_2(f)=\frac{c₂}{c₁²}.\]
\item Soit $f=X³-c₁X²+c₂X-c₃$.
\[Δ(f)=c₁²c₂²-4c₁³c₃+18c₁c₂c₃-4c₂³-27c₃².\]
-\[\japmath{別}₂(f)=\frac{c₁³c₃+c₂³+c₁c₂c₃+c₃²}{c₁²c₂²+c₃²}.\]
+\[別₂(f)=\frac{c₁³c₃+c₂³+c₁c₂c₃+c₃²}{c₁²c₂²+c₃²}.\]
% ordre : degré total + par la fin
\item Soit $f=X^4-c_1 X^3 + c_2 X^2 - c_3 X + c_4$.
\[
@@ -1543,46 +1517,46 @@ Référence. Bourbaki, V, exercice §10, №23 et \cite{Involutions@KMRT}, chap.
&\quad - 27 c_3^4 + 144 c_2 c_3^2 c_4 - 128 c_2^2 c_4^2 - 192 c_1 c_3 c_4^2 + 256 c_4^3\\
\end{array}
\]
-\[\japmath{別}_2(f) = \frac{c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 + c_1^3 c_2 c_3 c_4 + c_1^4
+\[別_2(f) = \frac{c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 + c_1^3 c_2 c_3 c_4 + c_1^4
c_4^2 + c_2^3 c_3^2 + c_1 c_2 c_3^3 + c_3^4}{c_1^2 c_2^2 c_3^2 + c_1^4 c_4^2 +
c_3^4}.\]
\item Soit  $f=X⁵+aX+b$.
\[
Δ(f)= 4⁴a⁵+5⁵b⁴.
\]
-\[\japmath{別}_2(f) = ...\]
+\[別_2(f) = ...\]
\XXX
Plus généralement si $f=X^n + aX+b$.
Cf. par exemple Lombardi-Quitté p. 156. \XXX
\end{enumerate}
-\end{exemples3}
+\end{exemples2}
La proposition suivante résulte immédiatement des formules du lemme précédent,
où l'on remplace les $X_i$ par les racines d'un polynôme donné.
-\begin{proposition3}\label{caracterisation groupe Gal alterne}
+\begin{proposition2}\label{caracterisation groupe Gal alterne}
Soient $f∈k[X]$ un polynôme unitaire séparable et $R_f$ l'ensemble
des racines de $f$ dans une clôture séparable de $k$.
\begin{enumerate}
\item Si $\car(k)≠2$, l'image de $G_f$ dans $𝔖_{R_f}$
est contenue dans le groupe alterné $𝔄_{R_f}$
-\ssi le discriminant de $f$ est un carré dans $k$,
-\cad s'il appartient à l'image de l'application $λ↦λ²$.
+si et seulement si le discriminant de $f$ est un carré dans $k$,
+c'est-à-dire s'il appartient à l'image de l'application $λ↦λ²$.
\item Si $\car(k)=2$, l'image $G_f$ dans $𝔖_{R_f}$ est contenue
dans le groupe alterné $𝔄_{R_f}$
-\ssi le $2$-distinguant de $f$ appartient à l'image de
+si et seulement si le $2$-distinguant de $f$ appartient à l'image de
l'application $℘:λ↦λ²-λ$.
\end{enumerate}
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
-\begin{remarque3}\label{remarque Spec Z simplement connexe}
+\begin{remarque2}\label{remarque Spec Z simplement connexe}
On peut montrer (cf. \refext{}{}) que le discriminant
d'un polynôme $f$ unitaire irréductible de $𝐙[X]$ ne peut
être inversible dans $𝐙$ — c'est-à-dire égal à $±1$ —
que si $f$ est de degré un.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
\subsubsection{Équation discriminante en toute caractéristique. Distinguant.}
% Discussion avec Jean Lannes. (Cf. lien entre l'invariant
@@ -1606,7 +1580,7 @@ $(1+2δ)²∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$.)
Il en résulte (cf. \emph{supra}) que pour tout corps $k$ de caractéristique différente
de deux et tout polynôme séparable $f∈k[X]$ \emph{tel que la somme
de deux racines distinctes soit toujours non nulle}, le groupe de Galois
-agit par permutations paires sur les racines \ssi l'équation
+agit par permutations paires sur les racines si et seulement si l'équation
$X²-(1+2δ)²$ a une racine dans $k$, où l'on remplace dans la fraction rationnelle
$(1+2δ)²$ les $σ_i$ par les coefficients de $f$.
Le changement de variable $Y=½(X-1)$ transforme l'équation précédente
@@ -1616,30 +1590,30 @@ la fraction rationnelle $δ$ est $δ₂$}.
En résumé, nous avons démontré la proposition suivante,
qui nous a été suggérée par Jean Lannes.
-\begin{proposition3}\label{distinguant distingue groupe alterné}
+\begin{proposition2}\label{distinguant distingue groupe alterné}
Soient $k$ un corps, $f=X^d-c₁X^{d-1}+\cdots+c_d∈k[X]$ un polynôme,
$K$ un corps de décomposition de $f$ et $\{x₁,\dots,x_d\}$
les racines de $f$ dans $K$, comptées avec multiplicités.
\emph{Si $∏_{i<j}\big((x_i-x_j)(x_i+x_j)\big)≠0$}, le polynôme $f$ est séparable
et le groupe de Galois $\Gal(K\bo k)$ de $f$
agit par permutations paires sur les racines
-\ssi l'équation
+si et seulement si l'équation
\[
-Y²+Y-\japmath{別}(c₁,\dots,c_d)
+Y²+Y-別(c₁,\dots,c_d)
\]
a une racine dans $k$, où
-$\japmath{別}∈𝐙[σ₁,…,σ_n][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ est la fraction rationelle en les coefficients
+$別∈𝐙[σ₁,…,σ_n][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ est la fraction rationelle en les coefficients
définie par
\[
-\japmath{別}=\frac{∏_{i<j}(x_i+x_j)²-Δ_{2'}}{4Δ_{2'}}.
+別=\frac{∏_{i<j}(x_i+x_j)²-Δ_{2'}}{4Δ_{2'}}.
\]
-De plus, $\japmath{別}=δ²+δ$ où $δ∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$
+De plus, $別=δ²+δ$ où $δ∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$
est congru modulo $2$ à $δ_{2'}$. En particulier,
-la réduction modulo $2$ de $\japmath{別}$ est le $2$-distinguant
-$\japmath{別}₂$.
-\end{proposition3}
+la réduction modulo $2$ de $別$ est le $2$-distinguant
+$別₂$.
+\end{proposition2}
-\begin{exemples3}
+\begin{exemples2}
En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathrm{r\acute{e}s}(f(X),f(-X))$
[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathrm{r\acute{e}s}(f,f')$, on trouve
@@ -1647,11 +1621,11 @@ facilement les formules ci-dessous. \XXX
\begin{enumerate}
\item Soit $f=X²-c₁X+c₂$.
-\[\japmath{別}=\frac{c_2}{c_1^2 - 4 c_2}\]
+\[別=\frac{c_2}{c_1^2 - 4 c_2}\]
\item Soit $f=X³-c₁X²+c₂X-c₃$.
-\[\japmath{別}=\frac{c_1^3 c_3 + c_2^3 - 5 c_1 c_2 c_3 + 7 c_3^2}{c_1^2 c_2^2 - 4 c_1^3 c_3 - 4 c_2^3 + 18 c_1 c_2 c_3 - 27 c_3^2}\]
+\[別=\frac{c_1^3 c_3 + c_2^3 - 5 c_1 c_2 c_3 + 7 c_3^2}{c_1^2 c_2^2 - 4 c_1^3 c_3 - 4 c_2^3 + 18 c_1 c_2 c_3 - 27 c_3^2}\]
\item Soit $f=X^4-c_1 X^3 + c_2 X^2 - c_3 X + c_4$.
-\[\japmath{別}=\frac{
+\[別=\frac{
\left(
\begin{array}{l}
c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 - 5 c_1^3 c_2 c_3 c_4 + 7 c_1^4 c_4^2\\
@@ -1669,15 +1643,15 @@ c_1^2 c_2^2 c_3^2 - 4 c_1^3 c_3^3 - 4 c_1^2 c_2^3 c_4 + 18 c_1^3 c_2 c_3 c_4 - 2
\right)
}\]
\end{enumerate}
-\end{exemples3}
+\end{exemples2}
\subsubsection{Exercices}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Déterminer le groupe de Galois du polynôme $X³-2∈𝐐[X]$.
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}\label{borne-degre-elements}
+\begin{exercice2}\label{borne-degre-elements}
Soient $p$ un nombre premier et $k=\FF_p((t_i)_{i∈𝐍})$ le
corps des fractions de l'anneau de polynômes en une infinité
de variables $\FF_p[(t_i)_{i∈𝐍}]$. Soit $Ω$ une clôture
@@ -1686,24 +1660,24 @@ les éléments $t_i^{1/p}$ ($i∈𝐍$). Montrer que pour tout
$x∈K$, on a $x^p∈k$ mais que $[K:k]=+∞$.
(Le corps $K$ sera noté $k^{1/p}$ dans un paragraphe ultérieur, consacré aux extensions
\emph{radicielles}.)
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Montrer que même en caractéristique deux, il n'existe pas d'équation « discriminante »
de la forme $X²-X-P$ où $P$ est un \emph{polynôme} en les coefficients.
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Soit $A=𝐙[X₁,\dots,X_d][Δ_{2'}^{-1}]$, $B=\Fix_{𝔄_d}(A)$
et $C=\Fix_{𝔖_d}(A)=𝐙[σ₁,\dots,σ_n][Δ_{2'}^{-1}]$.
Montrer que le morphisme $C↪B$ est galoisien de groupe
$𝐙/2$ (\ref{algèbre G-galoisienne}) mais qu'il n'existe pas de polynôme $P∈C[T]$ tel que $B≃C[T]/P$.
(C'est cependant le cas après changement de base
$C→C[∏_{i<j}(X_i+X_j)^{-1}]$.)
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice3}
+\begin{exercice2}
Soient $A$ un anneau et $P=∑ (-1)^i a_{n-i} X^i ∈A[X]$ un polynôme unitaire de
degré $n$. On appelle \emph{algèbre de décomposition} de $P$
la $A$-algèbre $A(P)=A[X₁,\dots,X_n]/(∑_i X_i=a₁,\dots,∏_i X_i=a_n)$.
@@ -1715,7 +1689,7 @@ que les monômes $∏_i x_i^{e_i}$, où $e_i≤n-i$, forment un base.)
de la trace) et le discriminant de $P$.
\item À quelle condition $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=k$ ?
\end{enumerate}
-\end{exercice3}
+\end{exercice2}
%NDLR. Cela aurait un rapport avec la définition de Grothendieck des
%classe de Chern (cf. principe de scindage) etc.
@@ -1730,7 +1704,7 @@ sont des bijections inverses l'une de l'autre,
et décroissantes pour l'inclusion, entre l'ensemble des sous-groupes de $G$
et l'ensemble des sous-$k$-extensions
de $K$. De plus, une sous-$k$-extension $k'$ de $K$ est galoisienne sur $k$
-\ssi $H=\Gal(K\bo k')$ est un sous-groupe distingué de $G$. Dans ce cas, l'application
+si et seulement si $H=\Gal(K\bo k')$ est un sous-groupe distingué de $G$. Dans ce cas, l'application
de restriction $\Gal(K\bo k)→\Gal(k'\bo k)$ induit un isomorphisme
$G/H ⥲ \Gal(k'\bo k)$.
\end{théorème2}
@@ -1754,11 +1728,11 @@ est une bijection ; d'autre part l'application
$\Gal(K\bo k)=\Hom_k(K,K)→\Hom_k(k',K)$ est une surjection
(\ref{prolongement-plongement}). Il en résulte
que tout $k$-plongement $ι:k'↪Ω$ est la restriction d'un élément
-$g∈G$. Ainsi, l'extension $k'\bo k$ est normale \ssi
+$g∈G$. Ainsi, l'extension $k'\bo k$ est normale si et seulement si
pour tout $g∈G$, $g(k')=k'$. Puisque $k'=\Fix_H(K)$,
cette condition se réécrit : $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$,
pour tout $g∈G$. Par bijectivité de l'application $H↦\Fix_H(K)$,
-on a $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$ \ssi $gHg^{-1}=H$.
+on a $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$ si et seulement si $gHg^{-1}=H$.
Le groupe $H$ est donc distingué dans $G$.
Enfin, si $k'\bo k$ est normale, donc galoisienne,
on a $\Hom_k(k',Ω)=\Gal(k'\bo k)$ de sorte
@@ -1801,7 +1775,7 @@ En effet, le corps $𝐑$ étant de caractéristique nulle donc parfait,
il résulte du théorème de l'élément primitif que toute extension finie
$K\bo 𝐑$ est un corps de décomposition d'un polynôme irréductible de degré
$[K:𝐑]$. Or, tout polynôme réel de degré impair a une racine ; il est donc
-irréductible \ssi il est de degré un.
+irréductible si et seulement si il est de degré un.
\item \emph{Toute extension finie de $𝐑$ est de degré une puissance de deux.}
Soit $K\bo 𝐑$ une extension finie et $K'$ une clôture galoisienne de $K$ sur
@@ -1809,7 +1783,7 @@ $𝐑$. Puisque $[K:𝐑]$ divise $[K':𝐑]$, on peut supposer l'extension $K\b
Soit $S$ un $2$-Sylow de $G=G_{K\bo 𝐑}$. Le corps $\Fix_S(K)$ est de degré
$[G:S]$ sur $𝐑$ (cf. \refext{CG}{}).
Ce nombre est impair par hypothèse. D'après ce qui précède, on
-a donc $[G:S]=1$, \cad $G=S$. CQFD.
+a donc $[G:S]=1$, c'est-à-dire $G=S$. CQFD.
\item \emph{Toute extension finie de $𝐂$ est triviale.}
Soit $K\bo 𝐂$ une extension finie. D'après ce qui précède,
@@ -1891,7 +1865,7 @@ $\Spec(K⊗_k {k'}\alg)→\Spec(K⊗_k k')$ est surjectif
(\refext{AC}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude})
et $G$-équivariant donc on peut supposer $k'$ algébriquement clos.
Dans ce cas, $A$ est isomorphe comme $k'$-algèbre, munie
-d'une action de $G$, à $\Hom_\cont(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}).
+d'une action de $G$, à $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}).
Le spectre de cette algèbre est canoniquement isomorphe à $G$
(\refext{Krull}{Spec(Hom(X,k))}) agissant (transitivement) sur lui-même par translation.
@@ -1934,13 +1908,14 @@ Le (iii) est un cas particulier du (ii).
Avant de commencer la démonstration, faisons un diagramme récapitulatif
des corps intervenant dans la proposition :
-$$
-\xymatrix{
-K \ar[rr]^{u} & & K'=Kk' \\
-& k'∩K \ar[ul] \ar[rd] \ar[ur] & \\
-k \ar[rr] \ar[uu] \ar[ur] & & k' \ar[uu]^{u'}
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%K \ar[rr]^{u} & & K'=Kk' \\
+%& k'∩K \ar[ul] \ar[rd] \ar[ur] & \\
+%k \ar[rr] \ar[uu] \ar[ur] & & k' \ar[uu]^{u'}
+%}
+%$$
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[auto]
@@ -1971,10 +1946,10 @@ L'injectivité du morphisme de double restriction résulte
contenue dans le produit fibré de l'énoncé est immédiat : un $k$-automorphisme
de $K'$ induit des automorphismes de $K$ et $k'$ qui coïncident sur $k'∩K$.
Réciproquement, considérons un élément $(σ_K,σ_{k'})$ du produit fibré,
-\cad une paire automorphismes $k$-linéaires $σ_K:K→K$ et
+c'est-à-dire une paire automorphismes $k$-linéaires $σ_K:K→K$ et
$σ_{k'}:k'→k'$ telle que ${σ_K}_{|K∩k'}={σ_{k'}}_{|k'∩K}$.
On souhaite montrer qu'ils proviennent d'un automorphisme
-$K'→K'$, \cad que $σ_K$ et $σ_{k'}$ s'étendent de façon compatible à $K'=Kk'$.
+$K'→K'$, c'est-à-dire que $σ_K$ et $σ_{k'}$ s'étendent de façon compatible à $K'=Kk'$.
L'élément $(σ_K,σ_{k'})$ induit un isomorphisme
$σ=σ_K⊗σ_{k'}:K⊗_k k'→K⊗_k k'$ ; on souhaite
montrer que l'application composée $K⊗_k k'→K⊗_k k'\dessusdessous{u,u'}{↠}K'$ se
@@ -2002,13 +1977,13 @@ $K⊗_{k'∩K} k'→ K'$ (donnée par $u$ et $u'$) est un isomorphisme
de sorte que $σ$ induit bien un isomorphisme $K' ⥲ K'$.
\end{démo}
-\begin{lemme3}\label{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
+\begin{lemme2}\label{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions.
\begin{enumerate}
\item Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, $K₁∩K₂=k$.
\item Si $K₁\bo k$ est galoisienne et $K₁∩K₂=k$, le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂$ est un \emph{corps}.
\end{enumerate}
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\begin{démo}
(i) Soit $K=K₁∩K₂$ et considérons $x∈K$. L'élément $1⊗x-x⊗1$ de $K₁⊗_k K₂$ est d'image nulle par l'application
@@ -2062,7 +2037,7 @@ groupes finis simples). [Cf. Bardavid, « Profinite… »]
\begin{exercice2}
Soient $k$ un corps muni de la topologie discrète, $G$ un groupe topologique
-et $A$ la $k$-algèbre des fonctions continues (\cad localement constantes) de $G$ dans $k$.
+et $A$ la $k$-algèbre des fonctions continues (c'est-à-dire localement constantes) de $G$ dans $k$.
On fait agir $G$ sur $A$ par translation à droite sur les fonctions.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Fix_G(A)=k$.
diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex
index bb590e6..a47e360 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -1,38 +1,18 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
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-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix,arrows}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
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+\title{Calculs de groupes de Galois : exemples}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{algo-corps-finis}
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-
-\title{Calculs de groupes de Galois~: exemples}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
-\chapter{Calculs de groupes de Galois~: exemples}
+\chapter{Calculs de groupes de Galois : exemples}
\fi
@@ -40,7 +20,7 @@
Le but de ce chapitre est d'illustrer certaines des méthodes
permettant de calculer un groupe de Galois, et spécifiquement celui
-d'un polynôme à racines simples sur $\QQ$ --- ou du moins de démontrer
+d'un polynôme à racines simples sur $\QQ$ — ou du moins de démontrer
que tel groupe annoncé est bien le groupe de Galois.
Les arguments peuvent généralement se diviser en deux sortes : ceux
@@ -266,7 +246,7 @@ X - 1$ que nous venons d'expliquer peut se constater à leur réduction
modulo divers nombres premiers : quel que soit le nombre premier $p$
modulo lequel on réduit $g$, le polynôme $g_p$ ainsi réduit ne peut
jamais avoir une factorisation « $1+2$ », c'est-à-dire comme produit
-d'un facteur linéaire et d'un facteur quadratique irréductible --- en
+d'un facteur linéaire et d'un facteur quadratique irréductible — en
effet, une telle factorisation donnerait un élément d'ordre $2$
de $\Gal(g_p)$ donc de $\Gal(g)$ d'après le
théorème \refext{CG}{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire}, ou plus
@@ -1001,7 +981,7 @@ Soit $d = \#I$. Pour tout $0\leq r\leq d$, le groupe
$\mathfrak{S}(I)$ et, pour $d\geq 3$, le groupe $\mathfrak{A}(I)$,
opère transitivement sur les parties à $r$ éléments de $I$. La donnée
de $H$ est donc déterminée par l'ensemble $\%(H)$ des entiers $0\leq
-r\leq d$ tels que $H$ contienne un parmi --- et donc tous --- les éléments
+r\leq d$ tels que $H$ contienne un parmi — et donc tous — les éléments
de $\{\pm 1\}^I$ dont $r$ coordonnées valent $-1$. On a toujours
$0 \in \%(H)$. Si $r,r' \in \%(H)$ avec $r\geq r'$ alors
manifestement $r-r' \in \%(H)$ (en écrivant le produit d'un élément
@@ -1074,7 +1054,7 @@ fait que tout élément $\tilde\sigma \in G$ au-dessus du produit
de deux transpositions disjointes est d'ordre $4$.
\end{itemize}
\end{proposition2}
-\XXX --- trouver une référence.
+\XXX — trouver une référence.
\begin{lemme2}\label{lemme-sous-groupes-produit-en-couronne-de-pm1-par-s-n}
Soit $H \leq \{\pm 1\}^I$ un sous-groupe de $\{\pm 1\}^I$ (où $I$ est
@@ -1211,8 +1191,8 @@ signes sur les $\xi_i$. Or $h$ a quatre racines réelles dont deux
négatives : ceci prouve que la conjugaison complexe réalise deux
changements de signes, et puisque $Q = \mathfrak{S}_4$ (en
particulier, il est $2$-transitif) ces changements de signes peuvent
-être quelconques, et $H$ est exactement le noyau --- isomorphe à
-$\{\pm\}^3$ --- de $\{\pm 1\}^4 \to \{\pm 1\}$ envoyant $\varepsilon$
+être quelconques, et $H$ est exactement le noyau — isomorphe à
+$\{\pm\}^3$ — de $\{\pm 1\}^4 \to \{\pm 1\}$ envoyant $\varepsilon$
sur $\prod_{i=1}^4 \varepsilon_i$.
Puisque $H$ est plus petit que $\{\pm 1\}^4$, il n'est plus évident
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index ed147b2..5ae3b17 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -1,39 +1,17 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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-
-%\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
-
-\synctex=1
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+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
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+\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
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\begin{document}
-%\maketitle
-\begin{center}
-Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
@@ -105,9 +83,9 @@ A↠∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭) \tag{$\star$}
de noyau l'idéal $⋂_{𝔭∈\Spec(A)}𝔭$. D'après \refext{Spec}{caracterisation-nilpotents},
cet idéal est l'ensemble $\Nilp(A)$ des éléments nilpotents de $A$.
(Seule l'inclusion $⋂𝔭⊆\Nilp(A)$ est non triviale.)
-La surjection ci-dessus est donc un isomorphisme \ssi
+La surjection ci-dessus est donc un isomorphisme si et seulement si
$\Nilp(A)=\{0\}$ — on dit alors que $A$ est \emph{réduit} —
-ou encore \ssi $[A:k]=∑_{𝔭∈\Spec(A)} [κ(𝔭):k]$.
+ou encore si et seulement si $[A:k]=∑_{𝔭∈\Spec(A)} [κ(𝔭):k]$.
D'autre part, on a un morphisme de projection
\begin{equation}
@@ -121,9 +99,9 @@ sont dits \emph{rationnels} sur $k$. Comme observé
en \refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux},
l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$
associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$,
-aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ ou $\japmath{田}A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
+aussi noté $A^{田}(k)$ ou $田A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
des idéaux premiers rationnels. La projection ci-dessus est donc un isomorphisme
-\ssi l'injection d'ensembles $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$ est une bijection.
+si et seulement si l'injection d'ensembles $田A(k)→\Spec(A)$ est une bijection.
\subsubsection{Morphisme d'évaluation}
\label{morphisme évaluation}
@@ -131,11 +109,11 @@ Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
démonstration) que l'application composée de $(\star)$ et
$(\star\star)$, réécrite sous la forme
\[
-A↠k^{\japmath{田}A(k)},
+A↠k^{田A(k)},
\]
coïncide avec l'application d'évaluation
-$a↦\big(f∈\japmath{田}A(k)↦f(a)\big)$.
-D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit et
+$a↦\big(f∈田A(k)↦f(a)\big)$.
+D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme si et seulement si $A$ est réduit et
chaque idéal premier est rationnel.
\subsubsection{Composantes connexes}
@@ -156,7 +134,7 @@ suivant, fonctoriel (de façon contravariante) en $A$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{
-|(points)| \japmath{田}A(k) & & \\ |(specmax)| \Specmax(A) & |(spec)| \Spec(A) & |(pi0)| π₀(A) \\};
+|(points)| 田A(k) & & \\ |(specmax)| \Specmax(A) & |(spec)| \Spec(A) & |(pi0)| π₀(A) \\};
\draw[->>] (spec) -- (pi0);
\draw[right hook->] (points) -- (specmax);
\draw[right hook->] (specmax) -- (spec);
@@ -170,19 +148,19 @@ partie de ces observations dans le théorème suivant.
\begin{théorème2}\label{k-algebres-finies}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
\begin{enumerate}
-\item Les trois ensembles $\japmath{田}A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
+\item Les trois ensembles $田A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
finis ; ils satisfont la condition suivante :
-\[\# \japmath{田}A(k) ≤ \# π₀(A)= \# \Spec(A) ≤ [A:k].\]
+\[\# 田A(k) ≤ \# π₀(A)= \# \Spec(A) ≤ [A:k].\]
\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$.
Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et
-reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$.
+reçoit naturellement $田A(k)$.
\item L'anneau $A$ est canoniquement isomorphe à un produit $∏_{𝔵
∈ π₀(A)} A_𝔵$ de $k$-algèbres locales d'idéal maximal nilpotent.
\item Le morphisme chinois $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$, où $κ(𝔭)=A/𝔭$, est
-surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit.
-\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{\japmath{田}A(k)}$ est
-surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi on a égalité :
-\[\# \japmath{田}A(k)=[A:k].\]
+surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si $A$ est réduit.
+\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{田A(k)}$ est
+surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si on a égalité :
+\[\# 田A(k)=[A:k].\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -226,12 +204,12 @@ des séries formelles sur un corps, dans des chapitres ultérieurs.
Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{\japmath{田}A(k)}$ est un isomorphisme ;
-\item l'inégalité \emph{a priori} $\#\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
+\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{田A(k)}$ est un isomorphisme ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $\#田A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
\item l'inégalité \emph{a priori} $\# π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ;
\item la famille d'applications linéaires $[×a]=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
-\item l'injection $\japmath{田}A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
+\item l'injection $田A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
et $A$ est réduit.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -246,7 +224,7 @@ algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est
isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$
est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections
-$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
+$\pr_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v).
La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
@@ -267,7 +245,7 @@ Le choix d'un isomorphisme comme en (ii) est parfois appelé une
\emph{diagonalisation} de $A$ sur $k$.
Notons que si $A$ est une algèbre diagonalisable, les trois
-ensembles finis $\japmath{田}A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
+ensembles finis $田A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
naturellement en bijection.
@@ -294,17 +272,17 @@ induit $k → B$ étant surjectif, c'est un isomorphisme.
L'algèbre $B$ est donc isomorphe à $k$ et, \emph{a fortiori}, diagonalisable.
Considérons maintenant un morphisme de $k$-algèbres $f:B → A$.
-Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{\japmath{田}A(k)}$
-de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japmath{田}B(k)}$ de $B$ :
+Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{田A(k)}$
+de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{田B(k)}$ de $B$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
-|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{\japmath{田}B(k)} & |(Ad)| k^{\japmath{田}A(k)} \\};
+|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{田B(k)} & |(Ad)| k^{田A(k)} \\};
\draw[->>] (B) -- node[swap]{$\ev_B$} (Bd);
\draw[right hook->>] (A) -- node{$\ev_A$} (Ad);
\draw[->] (B) -- node{$f$} (A);
-\draw[->] (Bd) -- node{$k^{\japmath{田}f}$} (Ad);
+\draw[->] (Bd) -- node{$k^{田f}$} (Ad);
\end{tikzpicture}
\end{center}
@@ -312,22 +290,22 @@ de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japm
\item Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est
également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la
sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable.
-D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}$ étant injectif,
-l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$
-est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est
-l'ensemble des applications de $\japmath{田}A(k)$ vers $k$ constantes
-sur les fibres de $\japmath{田}f$.
-Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$.
-Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une
+D'autre part, le morphisme $k^{田f}$ étant injectif,
+l'application $田f:田A(k) → 田B(k)$
+est \emph{surjective}. L'image de $k^{田f}$ est
+l'ensemble des applications de $田A(k)$ vers $k$ constantes
+sur les fibres de $田f$.
+Ces fibres forment une partition de $田A(k)$.
+Réciproquement, toute partition de $田A(k)$ définit une
sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition.
\item Si l'on ne suppose plus $f$ injectif mais que l'on suppose $B$
diagonalisable, la commutativité du diagramme ci-dessus — dont
les flèches verticales sont des isomorphismes —
montre que la donnée de $f$ est équivalente à la donnée
-du morphisme d'ensembles $\japmath{田}f: \japmath{田}B(k) → \japmath{田}A(k)$.
+du morphisme d'ensembles $田f: 田B(k) → 田A(k)$.
Rappelons que ces ensembles sont respectivement canoniquement isomorphes à $π₀(B)$ et $π₀(A)$
-et d'autre part que $\japmath{田}f$ correspond à $π₀(f)$ par ces
+et d'autre part que $田f$ correspond à $π₀(f)$ par ces
isomorphismes.
\end{itemize}
@@ -404,7 +382,7 @@ Zorn).
\end{démo}
Remarquons que dans la démonstration ci-dessus, on pourrait
-supposer que $e=e'$ ou bien $f=f'$, \cad $λ=\Id$ ou $μ=\Id$,
+supposer que $e=e'$ ou bien $f=f'$, c'est-à-dire $λ=\Id$ ou $μ=\Id$,
de sorte qu'il suffit d'établir le cas particulier $(λ₁⊗\Id)(λ₂⊗\Id)=(λ₁λ₂⊗\Id)$
de la formule précédente.
@@ -526,7 +504,7 @@ est une application $k$-linéaire (resp. un morphisme de $k$-algèbres), l'appli
$W_{k'}→V_{k'}$ (resp. $B_{k'}→A_{k'}$), caractérisée par $x⊗λ'↦f(x)⊗λ'$, est
une application $k'$-linéaire (resp. un morphisme de $k'$-algèbres).
Comme on le voit immédiatement en choisissant des bases adaptées,
-ces morphismes sont injectifs (resp. surjectifs) \ssi $f$ l'est.
+ces morphismes sont injectifs (resp. surjectifs) si et seulement si $f$ l'est.
\begin{exemple2}\label{kXtenskY}
Soient $X,Y$ deux ensembles finis.
@@ -539,7 +517,7 @@ de Dirac définies par $e_x(x)=1$ et $e_x(x')=0$ si $x'≠x$
de structures $a_{x,x'}^{x''}$ (resp. $b_{yy'}^{y''}$) valent un
si $x=x'=x''$ (resp. $y=y'=y''$) et zéro sinon.
Les constantes de structure $c_{(x,y),(x',y')}^{(x'',y'')}=a_{x,x'}^{x''}b_{y,y'}^{y''}$
-de $A⊗_k B$ sont donc non nulles \ssi $(x,y)=(x',y')=(x'',y'')$ auquel cas elles valent
+de $A⊗_k B$ sont donc non nulles si et seulement si $(x,y)=(x',y')=(x'',y'')$ auquel cas elles valent
un. Cette propriété caractérise la $k$-algèbre $k^{X×Y}$.
\end{exemple2}
@@ -601,7 +579,7 @@ s'il est non nul et de coefficient dominant égal
à un.
On dit que le polynôme $μ_a$ est le \emph{polynôme minimal}
-\index{polynôme minimal} de l'élément $a$. Il est irréductible \ssi $k[a]$
+\index{polynôme minimal} de l'élément $a$. Il est irréductible si et seulement si $k[a]$
est un corps, que l'on note alors
souvent $k(a)$. Dans tous les cas, on a
$[k[a]:k]=\deg\,μ_a$.
@@ -675,7 +653,7 @@ ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(\sqrt{3}):𝐐]=2$
et $[𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
engendrés par ces racines : $K=𝐐(\sqrt{3})$ et $L=K(\sqrt[3]{2})$.
Comme $\sqrt[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
-$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité \ssi $T³-2$ est irréductible dans $K$.
+$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité si et seulement si $T³-2$ est irréductible dans $K$.
De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au
plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients
rationnels en $\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$, par exemple $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$,
@@ -748,7 +726,7 @@ première démonstration).
\begin{conventionrestreinte2}
Pour toute $k$-algèbre $A$ et toute partie $S$ de $A$,
on note $k[S]$ la plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant $S$,
-\cad l'image de l'unique morphisme de $k$-algèbres $k[x_s :s∈S]→A$,
+c'est-à-dire l'image de l'unique morphisme de $k$-algèbres $k[x_s :s∈S]→A$,
envoyant $x_s$ sur $s∈A$. Si $A$ est un anneau intègre, on note
$k(S)$ le corps des fractions de son sous-anneau $k[S]$.
\end{conventionrestreinte2}
@@ -1368,7 +1346,7 @@ Si un élément $a$ de $A$ nilpotent, les éléments $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A
de $k$ sont également nilpotents.
\end{proposition2}
-Il en résulte que si $k$ est \emph{réduit} (\cad $\Nilp(k)=\{0\}$),
+Il en résulte que si $k$ est \emph{réduit} (c'est-à-dire $\Nilp(k)=\{0\}$),
l'application $k$-linéaire $\Tr_{A\bo k}:A→k$ se factorise
à travers le quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$
où, rappelons-le, $\Nilp(A)=\{a∈A:∃n∈𝐍,a^n=0\}$.
@@ -1393,7 +1371,7 @@ formule $\N(a^n)=\N(a)^n$ et de l'égalité $\N(0)=0$.
\begin{lemme2}
Soient $k$ un anneau et $Q ∈ k[X]$ un polynôme.
-Le polynôme $1+XQ(X)$ est inversible dans $k[X]$ \ssi
+Le polynôme $1+XQ(X)$ est inversible dans $k[X]$ si et seulement si
les coefficients de $Q$ sont nilpotents.
\end{lemme2}
@@ -1459,7 +1437,7 @@ $a↦a⊗1$, induit une bijection
\]
\item
Le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$
-est majoré par $[A:k]$, avec égalité \ssi $A$ est diagonalisée par $K\bo k$.
+est majoré par $[A:k]$, avec égalité si et seulement si $A$ est diagonalisée par $K\bo k$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -1563,10 +1541,10 @@ qui est un cas particulier explicite de \ref{k-algebres-finies} (iii).
\begin{lemme2}\label{structure k-f}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme unitaire. La $k$-algèbre $k_f$ est :
\begin{enumerate}
-\item \emph{connexe} \ssi $f$ est une puissance d'un polynôme irréductible ;
-\item \emph{intègre} \ssi $f$ est \emph{irréductible} ;
-\item \emph{réduite} \ssi $f$ est \emph{sans facteur carré} ;
-\item \emph{diagonalisable} \ssi $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}.
+\item \emph{connexe} si et seulement si $f$ est une puissance d'un polynôme irréductible ;
+\item \emph{intègre} si et seulement si $f$ est \emph{irréductible} ;
+\item \emph{réduite} si et seulement si $f$ est \emph{sans facteur carré} ;
+\item \emph{diagonalisable} si et seulement si $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}.
\end{enumerate}
\end{lemme2}
@@ -1578,14 +1556,14 @@ Réciproquement, si $f=P^n$, $k_f$ est local, car $(P)$ est maximal
donc connexe (\refext{Spec}{local implique connexe}).
Le second point est évident ; il n'est mis que pour mémoire.
Vérifions (iii). D'après la décomposition précédente et compte tenu
-du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit \ssi chaque facteur l'est,
+du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit si et seulement si chaque facteur l'est,
il suffit de vérifier que si $P$ est un polynôme irréductible,
-l'anneau $k_{P^n}$ est réduit \ssi $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$,
+l'anneau $k_{P^n}$ est réduit si et seulement si $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$,
la classe de $P$ dans $k_{P^n}$ est un nilpotent non trivial. (L'implication
réciproque est un corollaire de (ii).)
Vérifions (iv). D'après \ref{critere-numerique-diagonalisable},
et \ref{points k-f}, $k_f$ est diagonalisable
-\ssi $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD.
+si et seulement si $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD.
\end{démo}
\begin{lemme2}\label{changement-base-k-f}
@@ -1646,7 +1624,7 @@ On verra plus bas qu'une extension algébrique engendrée par des éléments
séparables est séparable.
Il est clair qu'une extension algébrique $k'\bo k$ est séparable
-\ssi toute sous-$k$-extension \emph{finie} de $k$ est séparable.
+si et seulement si toute sous-$k$-extension \emph{finie} de $k$ est séparable.
\begin{proposition2}\label{critère différentiel de séparabilité polynôme}
Soit $f∈k[X]$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
@@ -1716,7 +1694,7 @@ si pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est \emph{réduit}.
On dit également que le \emph{morphisme} $k → A$, aussi noté $A\bo k$, est \emph{géométriquement réduit}.
\begin{exemple2}\label{geom-red-separable}
-Une algèbre monogène $k_f$ est géométriquement réduite \ssi $f$ est séparable.
+Une algèbre monogène $k_f$ est géométriquement réduite si et seulement si $f$ est séparable.
(cf. \ref{pot-diag-reduit}).
\end{exemple2}
@@ -1855,7 +1833,7 @@ sont toutes nulles, il en est de même de $d$.
\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps et $f∈k[X]$.
-La $k$-algèbre $k_f$ est formellement nette \ssi le polynôme $f$ est séparable.
+La $k$-algèbre $k_f$ est formellement nette si et seulement si le polynôme $f$ est séparable.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -1875,7 +1853,7 @@ alors formellement nette sur $Ω$. Contradiction (cf. \ref{nombres duaux pas net
\begin{corollaire2}\label{mono geom red ssi f-nette}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre finie monogène est géométriquement réduite
-\ssi elle est formellement nette.
+si et seulement si elle est formellement nette.
\end{corollaire2}
\begin{proposition2}\label{net-implique-reduit}
@@ -1972,7 +1950,7 @@ une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
-est étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
+est étale si et seulement si $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
\begin{remarque2}[terminologique]
Il résulte du théorème précédent qu'une extension $k'\bo k$
@@ -2016,7 +1994,7 @@ signalons le fait suivant — qui sera généralisé en \ref{k(sep)=sep} —,
pas évident à partir de la définition d'un élément séparable :
\begin{quote}
Soit $K\bo k$ une extension et soit $x∈K$ un élément algébrique, séparable sur $k$.
-Alors l'\emph{extension} $k(x)$ est séparable : tout élément $y∈k(x)$ — \cad
+Alors l'\emph{extension} $k(x)$ est séparable : tout élément $y∈k(x)$ — c'est-à-dire
tout polynôme en $x$ à coefficients dans $k$ — est racine d'un polynôme séparable
à coefficients dans $k$.
\end{quote}
@@ -2084,7 +2062,7 @@ Le fait que $k'\bo k$ soit séparable est trivial : tout élément
de $k'$ appartient à $k''$ donc est séparable sur $k$.
Soit $x∈k''$. Il est séparable sur $k$ donc sur $k'$
car si le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est sans facteur carré, le polynôme
-$μ_{x,k'}$ --- qui le divise --- est également sans facteur carré.
+$μ_{x,k'}$ — qui le divise — est également sans facteur carré.
\end{démo}
Réciproquement.
@@ -2442,7 +2420,7 @@ bien entendu également que l'on a l'égalité $B_Ω=B'_Ω$.) Il résulte
immédiatement de la définition donnée en \ref{section définition restreinte
produit tensoriel} que le $Ω$-espace vectoriel quotient $B'_Ω/B_Ω$
est isomorphe au produit tensoriel $(B'/B)⊗_k Ω$ (voir aussi \refext{Tens}{suite exacte}).
-Il est donc nul \ssi $B'/B$ l'est, \cad si $B=B'$.
+Il est donc nul si et seulement si $B'/B$ l'est, c'est-à-dire si $B=B'$.
\end{remarque2}
%\end{facultatif}
@@ -2462,7 +2440,7 @@ est finie et $k$ parfait.
\end{theoreme2}
Remarquons que dans l'énoncé ne suppose pas l'extension $K\bo k$ finie \emph{a priori}.
-Cependant, si $K$ est monogène sur $k$, \cad $K=k[x]$ pour un $x∈K$,
+Cependant, si $K$ est monogène sur $k$, c'est-à-dire $K=k[x]$ pour un $x∈K$,
$x$ est nécessairement algébrique sur $k$ car dans le cas contraire $K$ serait
isomorphe à l'anneau de polynômes $k[X]$ qui n'est pas un corps.
@@ -2500,7 +2478,7 @@ diviseurs de $f∈K[X]$ étant en nombre fini, le résultat en découle.
\begin{remarques2}
Dans l'esprit de ce chapitre, il est tentant d'essayer de donner une
-démonstration du théorème par « extension des scalaires », \cad par tensorisation avec une
+démonstration du théorème par « extension des scalaires », c'est-à-dire par tensorisation avec une
clôture algébrique de $k$.
On observera cependant que la $k$-algèbre \emph{monogène} $k[X]/X^4$ possède
de nombreuses sous-$k$-algèbres ; par exemple les $k+k(X²+α X³)$ pour
@@ -2553,7 +2531,9 @@ général dit de \emph{localisation}.
\section{Exercices}
-\begin{exercice}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
+\subsection{\XXX}
+
+\begin{exercice2}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe $3$ classes d'isomorphisme
de $𝐑$-algèbres de rang $2$.
@@ -2563,7 +2543,7 @@ de $𝐑$-algèbres de rang $2$
dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en
dimension quatre.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
% esquisse solution en rang $3$ sur $𝐑$.
%Comme une telle algèbre·$A$ est un produit d'algèbres locales,
@@ -2585,16 +2565,16 @@ dimension quatre.
%sont donc
%\[𝐑³,𝐑[X]/X² × 𝐑, 𝐑× 𝐂, 𝐑[X]/X³, 𝐑[X,Y]/(X,Y)².\]
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une
infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
\begin{démo}
Cf. Poonen \XXX
\end{démo}
-\begin{exercice}%\label{structure-algebres-finies}
+\begin{exercice2}%\label{structure-algebres-finies}
Soit $k$ un corps. Dans cet exercice, on démontre
sans faire appel à la notion d'anneau connexe que
toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales},
@@ -2608,9 +2588,9 @@ coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$.
\item Vérifier que chaque anneau $A/𝔪_i^N$ est local.
\item Conclure.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}\label{algebres finies via idempotents}
+\begin{exercice2}\label{algebres finies via idempotents}
Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application qui à un idempotent indécomposable
@@ -2621,21 +2601,21 @@ entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$.
\item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$,
$a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Montrer que si $λ$ est une matrice $n×n$ et
$μ$ une matrice $m×m$, $\det(λ⊗μ)=\det(λ)^m\det(μ)^n$.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}\label{utilisation matrices compagnons}
+\begin{exercice2}\label{utilisation matrices compagnons}
Donner une démonstration de \ref{entiers sur corps=sous-corps}
inspirée des calculs de \ref{exemple somme algébriques=algébrique}.
On pourra introduire les matrices compagnons de polynômes minimaux
adéquats.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $P(X)=X^3-X-1\in \QQ[X]$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P$ est irréductible sur $𝐐$.
@@ -2655,14 +2635,14 @@ strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la r
(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit
nombre de Pisot.}.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $K\bo k$ une extension de corps. Montrer que
-l'anneau $K⊗_k K$ est un corps \ssi $k=K$.
-\end{exercice}
+l'anneau $K⊗_k K$ est un corps si et seulement si $k=K$.
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}\label{non unicite composition}
+\begin{exercice2}\label{non unicite composition}
Soient $k$ un corps et $K=k[X]/f(X)$ où $f$ est un polynôme
irréductible. À quelle condition sur $f$
les extensions composées de $K$ avec lui-même sont-elles
@@ -2671,14 +2651,14 @@ toutes $k$-isomorphes ?
pour lesquelles toute $k$-extension composée de $K$ par $K$ est
$k$-isomorphe à $K$ (cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale},
(v)).)
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $f$ comme ci-dessus et soit $K$ un corps de décomposition sur $k$. La relation
de divisibilité $[K:k]|n!$ est-elle satisfaite ?
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}%Difficile à ce niveau là.
+\begin{exercice2}%Difficile à ce niveau là.
Soit $K$ une extension algébrique de $k$ telle que
tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que $K$
est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de
@@ -2687,9 +2667,9 @@ $k$.)
% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$.
% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}[Théorème de d'Alembert-Gauß]
+\begin{exercice2}[Théorème de d'Alembert-Gauß]
\begin{enumerate}
\item Soient $f∈𝐂[X]$ un polynôme non constant tel que $f(0)=1$.
Montrer qu'il existe des nombres complexes $z$ arbitrairement proches de $0$
@@ -2699,15 +2679,15 @@ tels que $|f(z)|<1$.
un zéro. (On pourra commencer par montrer que $\min_{z∈𝐂}\,|f(z)|$ existe puis qu'il est
nul.)
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}[Analogue algébrique de la notion d'immersion]
+\begin{exercice2}[Analogue algébrique de la notion d'immersion]
\begin{enumerate}
\item Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Montrer que
$A\bo k$ est formellement net si et seulement si pour toute $k$-algèbre $T$, tout idéal de carré nul $I$
@@ -2740,9 +2720,9 @@ où $∇_x f={\frac{∂}{∂_{X₁}}f}_{x}+\cdots+{\frac{∂}{∂_{X_n}}f}_{x}$,
sur $k$, alors $n=1$ et pour tout $x∈k$ tel que $f(x)=0$,
nécessairement $f'(x)∈k^×$.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre, et $M$ un $A$-module.
Posons $M[ε]=A⊕M$, muni de la structure de $k$-algèbre
suivante : $(a⊕m)(a'⊕m')=aa'⊕(am'+a'm)$, et $λ(a⊕m)=λa⊕λm$.
@@ -2755,7 +2735,7 @@ vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$.
\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire
$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
diff --git a/chapitres/formes-tordues.tex b/chapitres/formes-tordues.tex
index 6705890..6cdf363 100644
--- a/chapitres/formes-tordues.tex
+++ b/chapitres/formes-tordues.tex
@@ -1,38 +1,15 @@
-%%% vim: set textwidth=150: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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+\title{Formes tordues}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
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-
-\title{Formes tordues}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -146,7 +123,7 @@ sur $\ev_A(a)$ via isomorphisme $π₀$ et $K$-points...
Soit $K\bo k$ une extension finie étale de groupe
de Galois $Π$.
\begin{enumerate}
-\item Les applications $A↦ A^{\japmath{田}}(K)$ et $X↦k_X$ induisent
+\item Les applications $A↦ A^{田}(K)$ et $X↦k_X$ induisent
des bijections entre l'ensemble des classes d'isomorphismes
de $k$-algèbres étales trivialisées par $K\bo k$
et l'ensemble des classes d'isomorphismes de $Π$-ensembles
@@ -158,25 +135,25 @@ suivant :
\item pour toute $k$-algèbre étale $A$ trivialisée par $K\bo
k$,
l'application d'évaluation
-\[\ev_A:A→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(A^\japmath{田}(K),K)=k_{A^\japmath{田}(K)}\]
+\[\ev_A:A→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(A^田(K),K)=k_{A^田(K)}\]
\[a↦\big((f:A→K)↦f(a)\big)\]
est un isomorphisme de $k$-algèbres ;
\item pour tout $Π$-ensemble $X$, l'application
-d'évaluation \[\ev_X:X→\Hom_k(k_X,K)={k_X}^\japmath{田}(K)\]
+d'évaluation \[\ev_X:X→\Hom_k(k_X,K)={k_X}^田(K)\]
\[x↦\big((f:X→K)↦f(x)\big)\] est une bijection
$Π$-équivariante.
\end{enumerate}
\item Pour toute paire de $k$-algèbres étales diagonalisées
par $K\bo
k$ et toute paire de $Π$-ensembles finis, les applications
-\[\Hom_k(A,B)→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(B^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)\]
+\[\Hom_k(A,B)→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(B^田(K),A^田(K)\big)\]
et
\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(X,Y)→\Hom_k(k_Y,k_X)\]
sont des \emph{bijections}.
\item (Lien avec correspondance de Galois classique)
Soit $H$ un sous-groupe de $Π$ et soit $k'$ une sous-$k$-extension de $K$.
L'algèbre $k_{Π/H}$ est naturellement isomorphe au
-\emph{corps} $\Fix_H(K)$ et le $Π$-ensemble ${k ′}^\japmath{田}(K)$
+\emph{corps} $\Fix_H(K)$ et le $Π$-ensemble ${k ′}^田(K)$
à l'ensemble quotient $Π/\Gal(K\bo k ′)$.
Plus précisément :
\begin{enumerate}
@@ -186,7 +163,7 @@ Plus précisément :
où $Π/H$ désigne l'ensemble $\{σH\}$ des classes à gauche
suivant $H$, est un isomorphisme.
\item Le morphisme de $Π$-ensembles
-\[Π/\Gal(K\bo k')→{k'}^\japmath{田}(K)\]
+\[Π/\Gal(K\bo k')→{k'}^田(K)\]
\[σ\Gal(K\bo k')↦\big(k'→K,x'↦σ(x')\big)\]
est un isomorphisme.
\end{enumerate}
@@ -196,7 +173,7 @@ est un isomorphisme.
On peut essentiellement paraphraser (i)-(iii) en disant,
suivant (\refext{Cat}{definition-equivalence-categories}), que les
catégories des $k$-algèbres étales diagonalisées par $K\bo k$ et des $Π$-ensembles finis sont
-anti-\emph{équivalentes}, les foncteurs $A↦ A^{\japmath{田}}(K)$ et $X↦k_X$
+anti-\emph{équivalentes}, les foncteurs $A↦ A^{田}(K)$ et $X↦k_X$
étant \emph{quasi}-inverses l'un de l'autre.
Une démonstration « cohomologique » d'une partie de cette proposition
@@ -209,10 +186,10 @@ de Galois classique.
(iv). Pour tout $Π$-ensemble $Y$, l'application
$\Hom_{Π\traitdunion\Ens}(Π/H,Y)→\Fix_H(Y)$, $f↦f(H)$
est une bijection. Le a) en découle. Vérifions b). Soit $ι$ l'injection
-$k'↪K$ vue comme élément de ${k'}^\japmath{田}(K)$. Il est
+$k'↪K$ vue comme élément de ${k'}^田(K)$. Il est
tautologique que le stabilisateur $\Stab_Π(ι)$ de $ι$ est
le sous-groupe $\Gal(K\bo k')$ de $Π$. Pour démontrer b), il
-suffit donc de vérifier que l'action de $Π$ sur ${k'}^\japmath{田}(K)$
+suffit donc de vérifier que l'action de $Π$ sur ${k'}^田(K)$
est \emph{transitive}. Or, si $ι₁$ et $ι₂$ sont deux
$k$-plongements
$k'→K$, ils se prolongent en des $k$-automorphismes $σ_1$ et
@@ -220,10 +197,10 @@ $σ₂$ de $K$. L'élément $σ=σ_1σ₂^{-1}$ envoie $ι₂$ sur $ι₁$.
(ii). Soient $X$ un $Π$-ensemble et $A$ une
$k$-algèbre.
-Puisque $k_{X∐Y}$ (resp. $(A×B)^\japmath{田}(K)$) est naturellement
-isomorphe à $k_X×k_Y$ (resp. $A^\japmath{田}(K)∐B^\japmath{田}(K)$), et que ces
+Puisque $k_{X∐Y}$ (resp. $(A×B)^田(K)$) est naturellement
+isomorphe à $k_X×k_Y$ (resp. $A^田(K)∐B^田(K)$), et que ces
isomorphismes sont compatibles aux applications d'évaluations, on peut supposer
-que $X$ est \emph{connexe}, \cad que l'action de $Π$ sur $X$ est
+que $X$ est \emph{connexe}, c'est-à-dire que l'action de $Π$ sur $X$ est
transitive, et d'autre part que $A$ est un corps.
Quitte à remplacer $X$ (resp. $A$) par un $Π$-ensemble
(resp. une $k$-algèbre) isomorphe, on peut supposer que
@@ -232,20 +209,20 @@ $X=Π/H$ (resp. $A=k'$) où $H$ est un sous-groupe de $Π$
(\refext{Alg}{diagonalisable implique sous-truc}) que toute $k$-\emph{extension}
trivialisée par $K$ se plonge dans $K$.) Vérifions le point a).
Comme nous l'avons vu en (iv), le $Π$-ensemble
-${k'}^\japmath{田}(K)=\Hom_k(k',K)$ et la $k$-algèbre $k_{Π/\Gal(K\bo k')}$ sont respectivement
+${k'}^田(K)=\Hom_k(k',K)$ et la $k$-algèbre $k_{Π/\Gal(K\bo k')}$ sont respectivement
isomorphes à $Π/\Gal(K\bo k')$ et $k'$. On vérifie immédiatement que
-l'isomorphisme $k'⥲k_{{k'}^\japmath{田}(K)}$ obtenu ainsi par composition n'est autre
+l'isomorphisme $k'⥲k_{{k'}^田(K)}$ obtenu ainsi par composition n'est autre
que le morphisme d'évaluation de l'énoncé. La démonstration du b) est semblable.
Seconde démonstration de a) n'utilisant pas la correspondance de Galois
classique.
On souhaite montrer que le morphisme d'évaluation
-$A → \Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est un isomorphisme.
+$A → \Fix_Π(\Hom_\Ens(A^田(K),K))$ est un isomorphisme.
Comme l'algèbre $A$ est supposée étale sur $k$, trivialisée par $K$, on
-a égalité $\#A^\japmath{田}(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension
-du $K$-espace vectoriel $\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est $n$. Il résulte
+a égalité $\#A^田(K)=\dim_k(A)=:n$ de sorte que la dimension
+du $K$-espace vectoriel $\Hom_\Ens(A^田(K),K))$ est $n$. Il résulte
du lemme \ref{lemme de Speiser} ci-dessous que le $k$-espace vectoriel
-$\Fix_Π(\Hom_\Ens(A^\japmath{田}(K),K))$ est également de dimension $n$.
+$\Fix_Π(\Hom_\Ens(A^田(K),K))$ est également de dimension $n$.
Pour montrer que le morphisme $\ev_A$ est un isomorphisme il suffit donc de vérifier
qu'il est injectif. Si $a$ est dans le noyau, on a $f(a)=0$ pour tout
$k$-morphisme $f:A → K$. Il en résulte que les $K$-morphismes $A_K=A ⊗_k K →
@@ -254,20 +231,20 @@ la considération des $n$ projections montre que $a ⊗ 1=0$ et, finalement, $a=
(iii). Soient $L$ une sous-$k$-extension de $K$ et $A$ une
$k$-algèbre étale diagonalisée par $K\bo k$.
-L'isomorphisme (iv.b) $Π/\Gal(K\bo L)⥲L^\japmath{田}(K)$ induit une
+L'isomorphisme (iv.b) $Π/\Gal(K\bo L)⥲L^田(K)$ induit une
bijection
-\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)⥲
-\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(Π/\Gal(K\bo L),A^\japmath{田}(K)\big).\]
+\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^田(K),A^田(K)\big)⥲
+\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(Π/\Gal(K\bo L),A^田(K)\big).\]
Par composition avec l'isomorphisme
\[\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(Π/\Gal(K\bo L),\tiret)⥲
\Fix_{\Gal(K\bo L)}(\tiret)\] on en déduit
un isomorphisme
-\(\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)⥲\Fix_{Π/\Gal(K\bo
-L)}\big(A^\japmath{田}(K)\big)\).
+\(\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^田(K),A^田(K)\big)⥲\Fix_{Π/\Gal(K\bo
+L)}\big(A^田(K)\big)\).
Ce dernier ensemble n'est autre que $\Hom_k(A,L)$ car
$\Fix_{Π/\Gal(K\bo L)}(K)=L$. On vérifie sans peine que la
bijection ainsi obtenue est l'inverse de l'application
-$\Hom_k(A,L)→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^\japmath{田}(K),A^\japmath{田}(K)\big)$
+$\Hom_k(A,L)→\Hom_{Π\traitdunion\Ens}\big(L^田(K),A^田(K)\big)$
de l'énoncé. Le cas d'une $k$-algèbre étale $B$
diagonalisable sur $K$ se ramène à ce cas particulier par « dévissage »
(décomposition en produit de corps).
@@ -564,8 +541,8 @@ $k$-algèbres de rang
$n$ trivialisées par l'extension $K\bo k$.
Pour mémoire, rappelons que les trois applications
-$\{1,\dots,n\}→\Spec(K^n)$, $i↦\Ker(\mathrm{pr}_i)$
-($\mathrm{pr}_i$ est la projection sur le $i$-ième facteur),
+$\{1,\dots,n\}→\Spec(K^n)$, $i↦\Ker(\pr_i)$
+($\pr_i$ est la projection sur le $i$-ième facteur),
$\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K)→\Spec(K^n)$,
$φ↦\Ker(φ)$, et
$\Aut_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n)→\Aut_{\Ens}(\Hom_{K\traitdunion\categ{Alg}}(K^n,K))$,
@@ -606,7 +583,7 @@ est une bijection.
\begin{démo}
Soit $A$ une $K\bo k$-forme de $k^n$ et
-considérons le $Π$-ensemble fini $A^\japmath{田}(K)$ où $σ∈Π$ agit par
+considérons le $Π$-ensemble fini $A^田(K)$ où $σ∈Π$ agit par
composition :
$σ⋅x=g∘x$. Par hypothèse, cet ensemble est de cardinal $n$.
D'après la correspondance de Galois-Grothendieck
@@ -644,34 +621,34 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre de rang $n$ trivialisée par $K\bo
k$.
Le morphisme d'évaluation (cf. \refext{Alg}{consequences
lemme chinois})
-$A_K→ K^{A_K^\japmath{田}(K)}$ est un isomorphisme. Rappelons que
+$A_K→ K^{A_K^田(K)}$ est un isomorphisme. Rappelons que
$A_K=A⊗_k K$ (par définition) et que l'application de
restriction
-$A_K^\japmath{田}(K)→A^\japmath{田}(K)$ des $K$-morphismes de $A_K$ dans $K$
+$A_K^田(K)→A^田(K)$ des $K$-morphismes de $A_K$ dans $K$
vers les $k$-morphismes de $A$ dans $K$ est une bijection
(\refext{Alg}{critere-numerique-diagonalisable}).
-Notons $\ev:A_K⥲K^{A^\japmath{田}(K)}$ l'isomorphisme ainsi obtenu
+Notons $\ev:A_K⥲K^{A^田(K)}$ l'isomorphisme ainsi obtenu
et $φ$ son inverse. On vérifie immédiatement que $\ev$
-envoie $b=a⊗λ$ sur $x∈A^\japmath{田}(K)↦λx(a)∈K$.
+envoie $b=a⊗λ$ sur $x∈A^田(K)↦λx(a)∈K$.
Soit $σ∈Π=\Gal(K\bo k)$. Son action sur $A_K$ est
caractérisée par
$σ_A⋅a⊗λ=a⊗σ(λ)$ tandis que son action sur l'algèbre
diagonale
-$K^{A^\japmath{田}(K)}$ se fait coordonnées par coordonnées :
-$σ⋅(λ_x)_{x∈A^\japmath{田}(K)}=(σ(λ_x))_{x∈A^\japmath{田}(K)}$.
+$K^{A^田(K)}$ se fait coordonnées par coordonnées :
+$σ⋅(λ_x)_{x∈A^田(K)}=(σ(λ_x))_{x∈A^田(K)}$.
Ainsi,
\[\big(σ∘\ev∘σ_A^{-1}∘{\ev}^{-1}\big)\big(x↦λx(a)\big)=(x↦λ
\big(σ∘x)(a)\big).\]
Par définition, l'automorphisme $σ∘\ev∘σ_A^{-1}∘{\ev}^{-1}$
est l'\emph{inverse} du $K$-automorphisme $c_{φ}(σ)$ de
-$K^{A^\japmath{田}(K)}$ ;
-d'après ce qui précède, la permutation de $A^\japmath{田}(K)$
+$K^{A^田(K)}$ ;
+d'après ce qui précède, la permutation de $A^田(K)$
induite par $c_φ$ en prenant le spectre n'est autre que
l'application $x↦σ∘x$.
(Prendre garde que si $σ$ est une permutation d'un ensemble
fini $X$,
l'image inverse par l'automorphisme $(λ_x)↦(λ_{σ(x)})$ de
-$K^X$ de l'idéal premier $𝔭_x=\Ker(\mathrm{pr}_x)$
+$K^X$ de l'idéal premier $𝔭_x=\Ker(\pr_x)$
est $𝔭_{σ^{-1}(x)}$.) CQFD.
\end{démo}
@@ -700,7 +677,7 @@ Supposons que l'algèbre $A$ soit un corps. Elle est alors $k$-isomorphe à un q
où $f ∈ k[X]$ est un polynôme séparable de degré $n$, scindé sur $K$.
Il est essentiellement tautologique (cf. \refext{CG}{definition discriminant et
2-distinguant}) de vérifier que l'algèbre étale de rang $2$ obtenue
-est $k[T]/(T²-Δ(f))$ si $\car(k)≠2$ et $k[T]/(T²-T-\japmath{別}₂(f))$ sinon.
+est $k[T]/(T²-Δ(f))$ si $\car(k)≠2$ et $k[T]/(T²-T-別₂(f))$ sinon.
\end{remarque2}
\subsection{Torseurs sur $k$ sous un groupe fini $G$}\label{G-torseurs sur k}
@@ -852,7 +829,7 @@ Cependant, à tout tel torseur $B$, on peut associer l'algèbre
des points fixes $A=\Fix_{𝔖_{n-1}}(B)$ où $𝔖_{n-1}$ agit par l'injection
canonique $𝔖_{n-1} ↪ 𝔖_n$. L'algèbre $A$ étale de rang $n$ sur $k$ et
trivialisée par $K\bo k$. Réciproquement, si $A$ est une algèbre étale de rang
-$n$ trivialisée par $K\bo k$, posons $X=A^{\japmath{田}}(K)$ (cf. p. ex.
+$n$ trivialisée par $K\bo k$, posons $X=A^{田}(K)$ (cf. p. ex.
\ref{notations Galois-Grothendieck}) et $Y⊆X^n$ le sous-ensemble de $n$-uplets
à coordonnées toutes distinctes. Il est naturellement muni d'une action du
groupe de permutation $𝔖_n$ ; il en est donc de même de l'algèbre $k_Y$.
@@ -1226,7 +1203,7 @@ En d'autres termes, la $k$-algèbre
\[A_{X,e}=k[T_{i,j},U]/\big((g_α(T_{i,j}))_{1≤ α ≤N},\det(T_{i,j})U-1\big)\]
\emph{représente} le foncteur $G_{X}$ :
les applications $(f_{i,j}) ↦ f$ induisent un isomorphisme
-de foncteur $A_{X,e}^\japmath{田} ⥲ G_{X}$. En particulier,
+de foncteur $A_{X,e}^田 ⥲ G_{X}$. En particulier,
il résulte du lemme de Yoneda (\refext{Cat}{lemme-de-yoneda})
que la $k$-algèbre $A_{X,e}$ est bien définie à $k$-isomorphisme près ;
nous la noterons $A_{X}$ voire $A$ pour alléger les notations.
@@ -1258,7 +1235,7 @@ isomorphe à $A_{L'}$ — car $K$ est contenu dans $L'$ —,
donc réduit par hypothèse sur $A_X$. On utilise alors le théorème \refext{AC}{}
d'après lequel une $k$-algèbre de type fini non nulle et géométriquement
réduite a un point dans une extension étale. Si $k'\bo k$
-est une telle extension, l'inégalité $B^\japmath{田}(k')≠ ∅$
+est une telle extension, l'inégalité $B^田(k')≠ ∅$
signifie que $I_{X,Y}(k')$ est non vide : $X$ et $Y$ sont isomorphes
sur $k'$. CQFD.
\end{démo}
@@ -1278,7 +1255,7 @@ Moins formellement :
\begin{corollaire2}
Il existe une $k$-algèbre de type fini $B$ telle
-que pour toute extension $K\bo k$, l'ensemble $B^{\japmath{田}}(K)=\Hom_K(X_{\bo K}, Y_{\bo
+que pour toute extension $K\bo k$, l'ensemble $B^{田}(K)=\Hom_K(X_{\bo K}, Y_{\bo
K})$ soit non vide si et seulement si il existe un $K$-isomorphisme
entre $X_{\bo K}$ et $Y_{\bo K}$.
\end{corollaire2}
@@ -1299,20 +1276,20 @@ D'après ce qui précède, il suffit de démontrer le lemme suivant.
\begin{lemme2}
Soit $B$ une $k$-algèbre de type finie et soit $K\bo k$ une extension
-telle que l'ensemble $B^{\japmath{田}}(K)$ soit non vide. Alors, il existe
+telle que l'ensemble $B^{田}(K)$ soit non vide. Alors, il existe
une extension \emph{finie} $k ′ \bo k$ telle que $B(k ′)≠ ∅$.
\end{lemme2}
\begin{démo}[Démonstration dans le cas particulier où $K\bo k$ est algébrique]
Comme expliqué par exemple en \refext{Spec}{points-quotient}, un élément
-de $B^{\japmath{田}}(K)$ correspond — via le choix d'une « présentation » de $B$ — à
+de $B^{田}(K)$ correspond — via le choix d'une « présentation » de $B$ — à
un point $x=(x₁, …, x_n)$ d'un espace affine $K^n$ satisfaisant un nombre fini d'équations
polynomiales. Le sous-corps $k ′=k(x₁, … ,x_n)$ de $K$, algébrique sur $k$,
convient.
\end{démo}
\begin{démo}[Cas général]
-L'ensemble $B^{\japmath{田}}(K)$ étant non vide, l'anneau $B$ est non nul.
+L'ensemble $B^{田}(K)$ étant non vide, l'anneau $B$ est non nul.
Soit donc $𝔪$ un idéal \emph{maximal} de $B$ (\refext{Spec}{Krull}).
Le quotient $B/𝔪$ est une $k$-algèbre de type fini qui est un corps. D'après
\refext{}{} \XXX, l'extension $B/ 𝔪 \bo k$ est \emph{finie}.
diff --git a/chapitres/groupes-permutations.tex b/chapitres/groupes-permutations.tex
index e1d315f..720e041 100644
--- a/chapitres/groupes-permutations.tex
+++ b/chapitres/groupes-permutations.tex
@@ -1,27 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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-
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+\title{Notions sur les groupes de permutations}
\externaldocument{correspondance-galois}
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-
-\title{Notions sur les groupes de permutations}
-
\begin{document}
\maketitle
-\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\else
\chapter{Notions sur les groupes de permutations}
@@ -376,7 +362,7 @@ naturelle sur cinq objets) et celui d'une partie à deux éléments
éléments des cinq objets naturels), mais aussi les conjugués du
sous-groupe à $20$ éléments donné par toutes les applications affines
$t \mapsto at+b$ (pour $a \in (\ZZ/5\ZZ)^\times$ et $b \in \ZZ/5\ZZ$)
-de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ --- ceci définissant l'action
+de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ — ceci définissant l'action
de $\mathfrak{S}_5$ sur les $6$ façons de considérer $\{1,\ldots,5\}$
comme une droite affine sur $\FF_5$.
\end{remarques2}
@@ -1191,7 +1177,7 @@ suivantes est vraie :
\end{itemize}
\end{theoreme2}
-\XXX --- Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...
+\XXX — Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...
\begin{corollaire2}\label{o-nan-scott-sous-groupes-maximaux-de-s-n}
Un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$ est d'un des types
@@ -1233,12 +1219,12 @@ Alors $G$ contient $𝔄_n$.
Nous ferons usage de la terminologie suivante :
-\begin{dfn2}
+\begin{définition2}
Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $𝔖_X$ agissant
transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
-$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$
-sont $\vide,X$, et les singletons.
-\end{dfn2}
+$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\varnothing,Y\}$
+sont $\varnothing,X$, et les singletons.
+\end{définition2}
De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de
partition\footnote{En particulier, par définition,
chaque constituant est non vide.}
@@ -1283,13 +1269,13 @@ Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
-remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
+remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \varnothing$, alors $g'(E)=E$.
(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)
\item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement
sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.)
-\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
+\item Soit $F'=F\cap g(F)$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui
sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
\end{itemize}
\end{proof}
@@ -1329,15 +1315,17 @@ de $D→ 𝔖_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$.
\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre}
+\subsection{\XXX}
+
Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme
irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et
$R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois
$G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de
$𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes. D'autre part,
-il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité \ssi $G$ n'est
+il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité si et seulement si $G$ n'est
contenu dans aucun sous-groupe maximal (strict) de $𝔖_R$.
-\begin{proposition}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4}
+\begin{proposition2}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4}
\begin{enumerate}
\item Les sous-groupes maximaux de $𝔖₄$ sont $𝔄₄$, les stabilisateurs
des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$
@@ -1346,7 +1334,7 @@ des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$
les $2$-Sylow, et ses sous-groupes d'ordre $4$, isomorphes
à $C₄$ ou $V₄=𝐙/2×𝐙/2$.
\end{enumerate}
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
\begin{enumerate}
@@ -1377,16 +1365,16 @@ possibilités sont celles de l'énoncé.
Le théorème suivant est une généralisation de la proposition
\ref{Gal(deg 3)=cyclique}.
-\begin{théorème}
+\begin{théorème2}
Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$
un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et
$G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant.
\begin{enumerate}
-\item $G⊆𝔄_R$ \ssi $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et
+\item $G⊆𝔄_R$ si et seulement si $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et
$Δ₂(f)$ est de la forme $x²+x$ ;
-\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine \ssi
+\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine si et seulement si
$f$ a une racine dans $k$ ;
-\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ \ssi la \emph{résolvante
+\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ si et seulement si la \emph{résolvante
cubique}
\[
g=\big(Y-(x₁x₃+x₂x₄)\big)\big(Y-(x₁x₂+x₃x₄)\big)\big(Y-(x₁x₄+x₂x₃)\big)=
@@ -1396,7 +1384,7 @@ a une racine dans $k$. Le discriminant du polynôme $g$ est égal
au discriminant, non nul, de $f$. En caractéristique deux, les
pseudo-discriminants coïncident également.
\end{enumerate}
-\end{théorème}
+\end{théorème2}
\begin{démo}
diff --git a/chapitres/krull.tex b/chapitres/krull.tex
index b5147f2..9b3ed00 100644
--- a/chapitres/krull.tex
+++ b/chapitres/krull.tex
@@ -1,33 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-\usepackage{stmaryrd}
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-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
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+\title{Théorie de Galois infinie}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{KAS}
-%\makeindex
-
-\title{Théorie de Galois infinie}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -74,7 +54,7 @@ distingué d'indice fini algébrique.
\begin{démo}
(i) Soit $H⊆G$ contenant $H'=G_{K\bo k'}$ où $k'\bo k$ est
-finie. Quitte à agrandir $k'$ (\cad rétrécir $G_{K\bo k'}$),
+finie. Quitte à agrandir $k'$ (c'est-à-dire rétrécir $G_{K\bo k'}$),
on peut
supposer que $k'\bo k$ est finie galoisienne. L'application
composée $H/H'↪G/H' ⥲ \Gal(k'\bo k)$
@@ -106,7 +86,7 @@ les sous-groupes d'indice fini algébriques soient ouverts.
\begin{définition2}
On appelle \emph{topologie de Krull} sur $G$ la topologie
-pour laquelle un sous-ensemble $U$ de $G$ est ouvert \ssi
+pour laquelle un sous-ensemble $U$ de $G$ est ouvert si et seulement si
pour tout $u∈U$ il existe un sous-groupe
d'indice fini \emph{algébrique} $H_{u,U}$ de $G$ tel
que $uH_{u,U}$ soit contenu dans $U$.
@@ -126,7 +106,7 @@ que $U∩U'$ est ouvert.
Enfin, remarquons qu'il n'y a pas de « nouveaux »
sous-groupes ouverts :
-un sous-groupe de $G$ est ouvert \ssi il est d'indice fini
+un sous-groupe de $G$ est ouvert si et seulement si il est d'indice fini
algébrique.
Cela résulte immédiatement de la définition de la topologie
et
@@ -169,7 +149,7 @@ k}$ étant caractérisé par son action sur les $y_i$,
le morphisme $G→\{±1\}^𝐍$, $g\mapsto (\frac{g(y_i)}{y_i})$
est
injectif. D'autre part, pour tout $i∈𝐍$, le polynôme
-$X²-y_i$ est irréductible (\cad : n'a pas de racine) sur
+$X²-y_i$ est irréductible (c'est-à-dire : n'a pas de racine) sur
$k(y_j, j≠i)$ (exercice).
Il en résulte que pour toute partie finie $I⊆𝐍$, le corps
$k(y_i,i∈I)$ est isomorphe
@@ -237,7 +217,7 @@ de $K$ dans $K$ et munissons-le de la topologie produit
où chaque facteur $K$ est muni de la topologie discrète.
Montrons que l'injection canonique $G→K^K$, $g\mapsto
(g(λ))_{λ∈K}$, est
-continue, \cad que pour tout indice $λ∈K$, l'application
+continue, c'est-à-dire que pour tout indice $λ∈K$, l'application
composée
$G→K^K\dessusdessous{\ev_λ}{→}K_λ$ est continue, où on note $\ev_λ$
l'« évaluation en $λ$ », projection
@@ -315,7 +295,7 @@ réunion \emph{disjointe} des classes à gauche (ou à droite)
de $H$ dans $G$
(resp. des classes à gauche différentes de $H$). Puisque les
translations sont des homéomorphismes,
-chaque classe est ouverte (resp. fermée) \ssi $H$ l'est.
+chaque classe est ouverte (resp. fermée) si et seulement si $H$ l'est.
Les énoncés (i—iii) résultent immédiatement de cette
observation.
\end{démo}
@@ -468,9 +448,9 @@ Un morphisme entre groupes profinis n'est pas nécessairement
continu :
on a vu en \ref{exemple-Kummerien} qu'il existe des
morphismes
-non continus entre $\FF₂^𝐍$ --- muni de la topologie
-produit, profinie ---
-et $\FF₂$ --- muni de la topologie discrète, profinie.
+non continus entre $\FF₂^𝐍$ — muni de la topologie
+produit, profinie —
+et $\FF₂$ — muni de la topologie discrète, profinie.
De même, un groupe abstrait peut-être le groupe sous-jacent
à des groupes topologiques profinis non homéomorphes, cf.
exercice \refext{CG}{isom-non-cont}.
@@ -488,7 +468,7 @@ constantes}\label{Spec(Hom(X,k))}
Soient $X$ un espace topologique, $k$ un corps muni de la
topologie discrète et
-$A$ l'anneau des fonctions \emph{continues} (\cad localement
+$A$ l'anneau des fonctions \emph{continues} (c'est-à-dire localement
constantes)
de $X$ dans $k$. Le morphisme d'évaluation
en $x$, $\ev_x:f↦f(x)$, est une surjection de $A$ sur $k$.
@@ -496,11 +476,11 @@ Son noyau
$\{f∈A: f(x)=0\}$ est donc un idéal maximal de $A$, que nous
noterons $\MM_x$.
-\begin{proposition3}\label{Spec(Hom(X,k))}
+\begin{proposition2}\label{Spec(Hom(X,k))}
Si l'espace topologique $X$ est quasi-compact et totalement
discontinu,
l'application $X→\Spec(A)$, $x↦\MM_x$, est une bijection.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
Puisque $X$ est totalement discontinu, l'application
@@ -582,7 +562,7 @@ $\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$.
%Réduction au cas où $G$ est fini.
%Cas où $G$ est fini.
%Soient $𝔭,𝔭'$ deux idéaux de $A$ ayant même image dans
-%$B=\Fix_G(A)$, \cad
+%$B=\Fix_G(A)$, c'est-à-dire
%tels que $𝔭⋂B=𝔭'⋂B=p$. Soit $x∈𝔭$ et considérons $y=∏_{g∈G}
%g(x)$. Il est
%$G$-invariant et appartient à $𝔭$ donc à $𝔭⋂B=𝔭'⋂B⊆𝔭'$.
@@ -604,17 +584,17 @@ $\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$.
\subsection{Le groupe de Galois, muni de la topologie de
Krull, est profini}\label{galois=profini}
-Considérons une famille $\mc{E}$
+Considérons une famille $\mathscr{E}$
de sous-$k$-extensions galoisiennes $E\bo k$
-(finies ou non) \emph{exhaustive}, \cad telle que
-$⋃_{E∈\mc{E}} E=K$.
+(finies ou non) \emph{exhaustive}, c'est-à-dire telle que
+$⋃_{E∈\mathscr{E}} E=K$.
Supposons que, munie de la relation d'ordre définie
par la relation d'inclusion des corps,
cette famille soit \emph{filtrante à droite} :
-pour toute paire d'extensions $E₁,E₂∈\mc{E}$,
-il existe $E∈\mc{E}$ telle que $E₁⊆E$ et $E₂⊆E$.
+pour toute paire d'extensions $E₁,E₂∈\mathscr{E}$,
+il existe $E∈\mathscr{E}$ telle que $E₁⊆E$ et $E₂⊆E$.
-Si $E$ et $E'$ sont dans $\mc{E}$, avec $E⊆E'$, la
+Si $E$ et $E'$ sont dans $\mathscr{E}$, avec $E⊆E'$, la
restriction à $E$ induit un morphisme surjectif
$π_{E,E'}:G_{E'\bo k}↠G_{E\bo k}$. Notons $\lim_E G_{E\bo
k}$ la limite de ce
@@ -625,7 +605,7 @@ Ce morphisme est :
\begin{itemize}
\item injectif car tout élément non trivial
de $G$ agit non trivialement sur un élément de $K$,
-et en particulier sur toute extension galoisienne $E∈\mc{E}$
+et en particulier sur toute extension galoisienne $E∈\mathscr{E}$
qui le contient ;
\item surjectif car toute famille compatible
d'éléments $(g_E∈G_{E\bo k})$ se « recolle »
@@ -633,7 +613,7 @@ en un automorphisme $g∈G_{K\bo k}$.
\end{itemize}
Ainsi, on a un isomorphisme de groupes abstraits :
$$
-G ⥲ \lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}.
+G ⥲ \lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}.
$$
Supposons maintenant que les extensions $E∈ℰ$ soient
@@ -645,13 +625,13 @@ la limite projective (des groupes de Galois des extensions
sous-extensions
finie galoisiennes de $K\bo k$).
-Puisque $G$ est compact et $\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$
+Puisque $G$ est compact et $\lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}$
séparé (car compact, cf. \ref{limite-compacts=compact}),
-la bijection $G→\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$ est un
+la bijection $G→\lim_{E∈\mathscr{E}} G_{E\bo k}$ est un
homéomorphisme
-\ssi elle est continue (\cite{TG@Bourbaki}, I.63, cor. 2).
+si et seulement si elle est continue (\cite{TG@Bourbaki}, I.63, cor. 2).
Par définition de la topologie de la limite,
-il suffit de vérifier que pour chaque $E'∈\mc{E}$ le
+il suffit de vérifier que pour chaque $E'∈\mathscr{E}$ le
morphisme composé $G→\lim_E G_{E\bo k}→G_{E'\bo k}$
est continu. Puisque c'est un morphisme de groupes et que le
but
@@ -675,9 +655,9 @@ $a⊗b\mapsto \big(g∈G\mapsto
g(a)b∈K'\big)$
induit un isomorphisme de $K'$-algèbres
$$
-K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\cont}(G,K'),
+K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K'),
$$
-où $\Hom_{\cont}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
+où $\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
\emph{continues}
de $G$ dans $K'$, $G$ étant muni de la topologie de Krull et
$K'$ de la topologie
@@ -702,7 +682,7 @@ par translation à droite donc localement constante, et par
conséquent continue car l'espace
but est discret.
-Notons $\mc{E}$ l'ensemble des sous-$k$-extensions
+Notons $\mathscr{E}$ l'ensemble des sous-$k$-extensions
\emph{finies
galoisiennes} de $K$. La démonstration se fait par « passage
à la limite »
@@ -710,7 +690,7 @@ sur $E∈ℰ$.
Commençons par démontrer l'affirmation suivante, qui est une
variante
-de \refext{CG}{galois=autodiag} : pour tout $E∈\mc{E}$,
+de \refext{CG}{galois=autodiag} : pour tout $E∈\mathscr{E}$,
l'application $f_{E,K}:E⊗_k
K'→\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$
envoyant $e⊗b$ sur $\big(g\mapsto g(e)b\big)$ est un
@@ -731,24 +711,25 @@ qui est $K'$-isomorphe à $\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ par
l'application
$β:φ⊗b\mapsto (g\mapsto φ(g)b)$.
La conclusion résulte de la commutativité du diagramme
-$$
-\xymatrix{
-(E⊗_k E)⊗_E K' \ar[r]^{f_{E,E}⊗_E K'} \ar[d]^{\alpha} &
-\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)⊗_E K'
-\ar[d]^{\beta} \\
-E⊗_k K' \ar[r]^{f_{E,F}} & \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%(E⊗_k E)⊗_E K' \ar[r]^{f_{E,E}⊗_E K'} \ar[d]^{\alpha} &
+%\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)⊗_E K'
+%\ar[d]^{\beta} \\
+%E⊗_k K' \ar[r]^{f_{E,F}} & \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')
+%}
+%$$
-Pour tout $E∈\mc{E}$, l'application $E⊗_k K'→ K ⊗_k K'$
+Pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application $E⊗_k K'→ K ⊗_k K'$
déduite de l'inclusion
$E⊆K$ est injective (cf. \refext{Cat}{}). De plus,
identifiant
$E⊗_k K'$ à son image dans $K ⊗_k K'$, on a (cf.
\refext{Cat}{}) :
-$$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mc{E}} E⊗_k K'.$$
+$$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mathscr{E}} E⊗_k K'.$$
-D'autre part, pour tout $E∈\mc{E}$, l'application
+D'autre part, pour tout $E∈\mathscr{E}$, l'application
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')→
\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de
restriction $r_E:G→G_{E\bo k}$
@@ -756,7 +737,7 @@ est injective car $r_E$ est surjectif. Identifiant
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ à son image dans
$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$,
on a :
-$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mc{E}}
+$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mathscr{E}}
\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K').$$
Soit en effet $f:G→K'$ une application continue ; on
souhaite
@@ -764,9 +745,9 @@ montrer qu'elle se factorise à travers un quotient par un
sous-groupe
distingué ouvert de $G$.
Comme remarqué plus haut, puisque $K'$ est discret,
-une application de but $K'$ est continue \ssi elle est
+une application de but $K'$ est continue si et seulement si elle est
localement
-constante \cad si pour tout $g∈G$, il existe un ouvert $U_g$
+constante c'est-à-dire si pour tout $g∈G$, il existe un ouvert $U_g$
de $G$ contenant
$g$ tel que $f(U_g)=\{f(g)\}$. Puisque $G$ est un groupe
topologique, on peut
@@ -787,13 +768,14 @@ factorise
donc par le groupe quotient $G/H$. CQFD.
La conclusion résulte de la commutativité des diagrammes
-$$
-\xymatrix{
-K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\cont}(G,K') \\
-E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u]
-}
-$$
-pour chaque $E∈\mc{E}$.
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\mathrm{cont}}(G,K') \\
+%E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u]
+%}
+%$$
+pour chaque $E∈\mathscr{E}$.
Le fait que cet isomorphisme soit $G$-équivariant est
conséquence immédiate des définitions.
@@ -803,10 +785,10 @@ conséquence immédiate des définitions.
L'espace topologique sous-jacent à $G$ étant compact,
il résulte du résultat de \ref{Spec(Hom(X,k))} que le
spectre de
-$\Hom_{\cont}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
+$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
$G$, par l'application naturelle $g↦\Ker(\ev_g)$.
On retrouve le résultat de \refext{CG}{points-KtensK}, pour $K'=K$,
-puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\cont}(G,K')→K'$
+puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')→K'$
correspond
par l'isomorphisme de la proposition à l'application
$a⊗b↦g(a)b$,
@@ -847,7 +829,7 @@ de sorte que l'application $H\mapsto \Fix_H(K)$, de
l'ensemble
de \emph{tous} les sous-groupes de $G_{K\bo k}$ vers les
sous-corps de $K$ n'est injective
-que si $G=\Gal(K\bo k)$ est fini, \cad si l'extension $K\bo
+que si $G=\Gal(K\bo k)$ est fini, c'est-à-dire si l'extension $K\bo
k$ est finie.
\end{miseengarde2}
@@ -883,7 +865,7 @@ Le fait que $K\bo k'$ soit galoisienne n'est mis que pour
mémoire.
Soit $g$ un élément du sous-groupe \emph{fermé} $\Gal(K\bo
k')$.
-On veut montrer que $g$ est adhérent à $H$, \cad que pour
+On veut montrer que $g$ est adhérent à $H$, c'est-à-dire que pour
tout sous-groupe ouvert
$U$ de $G$, l'intersection $H∩gU$ est non vide. Il suffit de
le vérifier
@@ -1052,12 +1034,12 @@ Cf. p. ex., Fontaine, cours à Orsay. \XXX
On montre par Hilbert 90 que $\dim_k D(V)=\dim_{𝐅_p} V$.
Pour la réciproque, on utilise le·:
-\begin{lemme3} Soient $K$ un corps de caractéristique $p>0$
+\begin{lemme2} Soient $K$ un corps de caractéristique $p>0$
et
$(a_{ij})∈\GL_d(K)$. Posons $P_i=X_i^p+∑_j a_{ij}X_j$
et $A=K[X₁,…,X_d]/(P₁,…,P_d)$. Alors, le $𝐅_p$-sous-espace
vectoriel $A(K)$ de $K^d$ est de dimension finie $d$.
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\end{démo}
Amplification. [Katz, «·p-adic properties of modular schemes
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 7cdc8dd..234e1bb 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1,36 +1,9 @@
%%% vim: set textwidth=80: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
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\title{Corps locaux, corps globaux}
-
\externaldocument{AC}
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@@ -42,22 +15,14 @@
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\begin{document}
-\begin{center}
-Corps locaux, corps globaux
-\end{center}
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+\maketitle
\tableofcontents
\else
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\fi
-\renewcommand{\mod}{\mathrm{mod}}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathrm}{mod}
\section{Corps locaux}
@@ -465,12 +430,12 @@ $ν(ψ)$ arbitrairement proche de $1$. Nécessairement, $μ(φ)=ν(φ)$ ; CQFD
Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_G f ∘ φ^{-1}   d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
-réel $\mod(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$ ; il
+réel $\module(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\module(φ) μ$ ; il
ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction,
-pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
+pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\module(φ)μ(E)$.
Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module
unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (fait général aux mesures de Radon) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$
-— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
+— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\module(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
Appliquant cette observation au cas des automorphismes
intérieurs, on en déduit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable,
on a $μ(E)=μ(gEg^{-1})=μ(Eg^{-1})$ : la mesure $μ$
@@ -524,12 +489,12 @@ Il résulte immédiatement de la formule ci-dessus que pour tout
automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$,
on a
\[
-\mod_G(φ)=\mod_{G/Γ}(φ)\mod_Γ(φ).
+\module_G(φ)=\module_{G/Γ}(φ)\module_Γ(φ).
\]
Dans le cas particulier considéré ici,
-on a $\mod_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
-et $\mod_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
-d'où $\mod_G(φ)=1$.
+on a $\module_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
+et $\module_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
+d'où $\module_G(φ)=1$.
Réciproquement, partant d'une mesure de Haar sur $G$,
et imposant à $μ_Γ$ d'être — par exemple — la mesure de comptage,
@@ -570,13 +535,13 @@ du paragraphe précédent.
\subsubsection{}Soit $K$ un corps topologique localement
compact, non discret. Fixons une mesure de Haar $μ$ sur le
-groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\mod_K(x)$
+groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\module_K(x)$
le module de l'automorphisme $[×a]:x ↦ ax$ du groupe additif
-de $K$ : $μ(aX)=\mod_K(a)μ(X)$ pour toute partie
-mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\mod_K(0)=0$.
+de $K$ : $μ(aX)=\module_K(a)μ(X)$ pour toute partie
+mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\module_K(0)=0$.
Dans cette section nous allons montrer comment
construire une valeur absolue sur $K$
-à partir de $\mod_K$ et démontrer un analogue
+à partir de $\module_K$ et démontrer un analogue
du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet}
dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}).
Nous terminons par une démonstration du
@@ -586,15 +551,15 @@ théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
\begin{proposition2}
\label{continuité de modK}
-La fonction $\mod_K:K → 𝐑_+$ est continue et
-satisfaisant l'égalité $\mod_K(ab)=\mod_K(a)\mod_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$.
+La fonction $\module_K:K → 𝐑_+$ est continue et
+satisfaisant l'égalité $\module_K(ab)=\module_K(a)\module_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$.
\end{proposition2}
Ce résultat est également vrai lorsque $K$ est discret.
\begin{démo}
L'égalité est un cas particulier de la formule générale évidente :
-$\mod(φ ∘ ψ)=\mod(φ) \mod(ψ)$ où $φ$ et $ψ$
+$\module(φ ∘ ψ)=\module(φ) \module(ψ)$ où $φ$ et $ψ$
sont deux automorphismes d'un groupe localement compact.
Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact
de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $ε>0$
@@ -604,11 +569,11 @@ Soit $A$ un voisinage compact de $a$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$,
dont l'existence est assurée par la continuité du produit.
Pour chaque $x ∈ A$, on a :
\[
-\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\mod_K(x) ≤ \mod_K(a)+ ε μ(C)^{-1}.
+\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\module_K(x) ≤ \module_K(a)+ ε μ(C)^{-1}.
\]
-Il en résulte que la fonction $\mod_K$ est \emph{semi-continue
+Il en résulte que la fonction $\module_K$ est \emph{semi-continue
supérieurement}. En particulier, elle est continue en $0$ (où
-elle atteint son minimum.) L'égalité $\mod_K(x)=\mod_K(x^{-1})^{-1}$
+elle atteint son minimum.) L'égalité $\module_K(x)=\module_K(x^{-1})^{-1}$
pour chaque $x ≠ 0$ montre qu'elle est aussi semi-continue
inférieurement sur $K^×$ donc, finalement, continue.
\end{démo}
@@ -621,20 +586,20 @@ En déduire que $K$ n'est pas compact.
\subsubsection{}
\label{compacité des Br}
Soit $r>0$ un réel. Il résulte de la
-proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\mod_K(x)
+proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\module_K(x)
≤ r\}$ est un voisinage fermé de $0$ dans $K$. Montrons
qu'il est \emph{compact}. Soit $V$ un voisinage compact
de $0$ et $W$ un voisinage ouvert de $0$ tel que $WV ⊆ V$.
L'existence de $V$ résulte de la locale compacité de $K$ ;
celle de $W$ de la continuité du produit $K×K → K$.
-Le corps $K$ étant non discret et $\mod_K$ étant
+Le corps $K$ étant non discret et $\module_K$ étant
continue, il existe $x ∈ W ∩ V$ tel que
-$0<\mod_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$
+$0<\module_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$
pour tout $n ≥ 1$. Nous allons montrer que $B_r$ est contenu
dans une réunion finie d'ensembles $x^{-n}V$, $n ≥ 0$.
Soit $y$ une valeur d'adhérence de la suite $(x^n)$.
-Le réel $\mod_K(y)$ est valeur d'adhérence de la
-suite $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$
+Le réel $\module_K(y)$ est valeur d'adhérence de la
+suite $\module_K(x^n)=\module_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$
est nul. Comme la suite $(x^n)$ appartient au \emph{compact} $V$,
elle tend donc vers $0$. Ainsi, pour chaque $a ∈ K$, il
existe $n ≥ 0$ — que l'on peut supposer minimal —
@@ -645,9 +610,9 @@ Si $n>0$, $x^n a ∈ V-xV$. Soit $X$
l'adhérence de $V-xV$ ; c'est un compact, car fermé
dans $V$, ne contenant pas $0$, car $xV$ en est un
voisinage. Il en résulte qu'il existe $m_r>0$
-tel que $\mod_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$.
-En particulier, $\mod_K(x^n a)=\mod_K(a) \mod_K(x)^n ≥ m_r$.
-Comme $\mod_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\mod_K(x)<1$,
+tel que $\module_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$.
+En particulier, $\module_K(x^n a)=\module_K(a) \module_K(x)^n ≥ m_r$.
+Comme $\module_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\module_K(x)<1$,
l'entier $n$ est majoré indépendamment de $a$. CQFD.
\subsubsection{}
@@ -657,9 +622,9 @@ voisinage de $0$ dans $K$ : pour tout voisinage $V$ de $0$,
il existe $r>0$ tel que $B_r ⊆ V$. Pour le montrer, on peut
supposer $V$ compact (par locale compacité de $K$). Soit $ρ$
un réel strictement supérieur à la borne supérieure
-de $\mod_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence
+de $\module_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence
de $B_ρ-V$. C'est un compact ne contenant pas $0$. Soit $σ$
-la borne inférieure de $\mod_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$.
+la borne inférieure de $\module_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$.
Considérons enfin $0<r<σ$ ; par construction, $B_r ∩ X= ∅$
et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$.
@@ -667,23 +632,23 @@ et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$.
\label{module est valeur absolue}
Soit
\[
-A_K=\sup_{\mod_K(x) ≤ 1} \mod_K(1+x) ,
+A_K=\sup_{\module_K(x) ≤ 1} \module_K(1+x) ,
\]
le réel $ ≥ 1$ dont l'existence est assurée par la continuité
-de la fonction $\mod_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité
+de la fonction $\module_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité
de $B_1$ (\ref{compacité des Br}).
Pour toute paire $(x,y) ∈ K²$, on a l'inégalité
\[
-\mod_K(x+y) ≤ A_K \max\{\mod_K(x),\mod_K(y)\}
+\module_K(x+y) ≤ A_K \max\{\module_K(x),\module_K(y)\}
\]
et $A_K$ est le plus petit réel pour lequel ceci soit vrai.
Pour vérifier l'inégalité, on peut supposer
-$x ≠ 0$ et $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, auquel
-cas on a $\mod_K(x+y)=\mod_K(1+yx^{-1}) \mod_K(x) ≤ A_K \mod_K(x)$ car
-$\mod_K(yx^{-1})≤ 1.$
+$x ≠ 0$ et $\module_K(y) ≤ \module_K(x)$, auquel
+cas on a $\module_K(x+y)=\module_K(1+yx^{-1}) \module_K(x) ≤ A_K \module_K(x)$ car
+$\module_K(yx^{-1})≤ 1.$
\subsubsection{}Soit $f_K$ la fonction $𝐍 → 𝐑_+$, $n ↦
-\mod_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\module_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f_K ≤ 1$
\item $A_K=1$.
@@ -697,7 +662,7 @@ Vérifions l'équivalence ci-dessus. Une récurrence immédiate montre que (ii)
Considérons la réciproque. Soient $r$ un entier et $n=2^r$.
Par récurrence sur $r$, on a
\[
-\mod_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \mod_K(x_i)
+\module_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \module_K(x_i)
\]
pour tout choix d'éléments $x₁,…,x_n ∈ K$.
Quitte à considérer des éléments nuls, cette inégalité
@@ -710,18 +675,18 @@ où $x$ et $y$ sont des éléments quelconques de $K$
et la somme de gauche contient $2^r+1 ≤ 2^{r+1}$ termes, on
obtient, grâce à l'hypothèse faite sur $f_K$,
\[
-\mod_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\mod_K(x)^i  \mod_K(y)^{2^r-i}\}.
+\module_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\module_K(x)^i  \module_K(y)^{2^r-i}\}.
\]
-Si $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, on en tire
+Si $\module_K(y) ≤ \module_K(x)$, on en tire
\[
-\mod_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \mod_K(x),
+\module_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \module_K(x),
\]
et l'inégalité ultramétrique par passage à la limite.
\subsubsection{}
\label{corps localement compacts archimédiens}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{archimédien}.
-La restriction du module $\mod_K$ au sous-corps premier $𝐐$
+La restriction du module $\module_K$ au sous-corps premier $𝐐$
est $|⋅|_∞^c$, où $|⋅|_∞$ désigne la valeur absolue usuelle et $c>0$ est un réel.
D'autre part, la topologie induite sur $𝐐$ est celle donnée
par la valeur absolue : cela résulte de \ref{Br système
@@ -741,25 +706,25 @@ sur corps valué complet}).
\subsubsection{}
\label{corps localement compacts ultramétriques}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{ultramétrique}.
-Posons $𝒪=\{x ∈ K: \mod_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que
+Posons $𝒪=\{x ∈ K: \module_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que
nous notions $B₁$ précédemment. Il est donc compact. D'autre
part, on a $𝒪+𝒪=𝒪$ car $K$ est ultramétrique. Ainsi, $𝒪$
est un sous-anneau compact de $K$ ; il est maximal
-car — comme il résulte de la continuité de $\mod_K$
-et de la formule $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ —
+car — comme il résulte de la continuité de $\module_K$
+et de la formule $\module_K(x^n)=\module_K(x)^n$ —
tout sous-ensemble relativement compact de $K$
-est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\mod_K(x)<1\}$
+est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\module_K(x)<1\}$
de $𝒪$ est un idéal ; il est maximal car tout élément de $x ∈ 𝒪-𝔭$
est de module $1$ donc d'inverse $x^{-1}$ dans $𝒪$.
Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants
de $𝒪$ modulo $𝔭$. L'ensemble $𝒪$ est recouvert par les ouverts
-disjoints $\{x ∈ K:\mod_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
+disjoints $\{x ∈ K:\module_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
fini ; le corps résiduel $k=𝒪/𝔭$ aussi. Le quotient $k$ étant
fini donc séparé, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝒪$ donc
compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts
-$\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
-tel que $𝔭=\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$. La valeur
-absolue $\mod_K$ est donc discrète : son
+$\{x:\module_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
+tel que $𝔭=\{x:\module_K(x)<1-1/n\}$. La valeur
+absolue $\module_K$ est donc discrète : son
image est un sous-groupe discret de $𝐑_+$.
Ainsi, $K$ est le corps des fractions d'un anneau de
valuation discrète de corps résiduel fini.
@@ -776,7 +741,7 @@ En caractéristique nulle, on peut à nouveau considérer
l'adhérence du corps $𝐐$ et utiliser \refext{AVD-D}{Ostrowki}).
En caractéristique $p>0$, on peut remplacer $𝐐$
par le corps $ℚ=𝐅_p(ϖ)$ engendré par un élément $ϖ ∈ K$ tel
-que $\mod_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant
+que $\module_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant
sur $𝐅_p$ sans quoi il serait une racine de l'unité,
de module $1$. Utilisant \refext{AVD-D}{k-valuations de k(X)},
il en résulte que l'adhérence de $ℚ$ dans $K$
@@ -878,7 +843,7 @@ constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant
un voisinage de l'origine, on se ramène par translation
à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante.
Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$
-d'après laquelle $\Hom_\cont(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
+d'après laquelle $\Hom_{\mathrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
@@ -1003,9 +968,9 @@ du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
-coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$.
+coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \module 𝔪^r$.
Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
-l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
+l'ensemble des relèvements de $x_n \module 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
@@ -1194,7 +1159,7 @@ on a la généralisation suivante de
pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$,
l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
-tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
+tout $g ∈ G$ (car $\module(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé
ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
@@ -1240,7 +1205,7 @@ dans $𝐙[1/ \sqrt{q}]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
-$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
+$f_χ(x)=χ(x \module p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙=𝐅_p$
et on étend $χ$ à $𝐅_p$ en la prolongeant par zéro.
On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
@@ -2565,7 +2530,7 @@ la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée}.
En effet, le saturé $HF$ d'un fermé $F$ de $G$
est l'image du morphisme propre — donc fermé —
composé de l'isomorphisme $H×G ⥲ H×G$, $(h,g) → hg$, et
-du morphisme propre $\mathrm{pr}₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.
+du morphisme propre $\pr₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.
\begin{proposition2}
\label{discrétion et séparation quotient}
@@ -2751,8 +2716,8 @@ craindre, le produit
d'espaces topologiques. Toute inclusion $U′ ⊆ U$ induit une immersion
ouverte (continue) $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U) ↪ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$. Le produit restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ (ou
simplement $𝒳_𝐀$) des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$ — aussi noté
-$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement
-$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
+$\resprod_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement
+$\resprod_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
\[(𝒳;\! 𝒱)_𝐀=\colim_{U ⊆ Σ} (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),\]
où $U$ parcourt les sous-ensembles cofinis de $Σ$. Ensemblistement,
$(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ est l'ensemble des $(x_s)_{s ∈ Σ} ∈ ∏_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ tels que pour presque
@@ -2982,7 +2947,7 @@ Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
Cependant, si $U$ est \emph{affine} (\ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}), le morphisme diagonal
-$K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
+$K → \resprod_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
\commentaire{notations non homogènes, cf. $\chap{u}$...}
\item L'inclusion $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
un isomorphisme modulo les compacts.
@@ -3099,7 +3064,7 @@ de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module et mesure quotients}
que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$.
D'autre part, il résulte immédiatement de la construction
de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite})
-que $\mod_K([×a])= ∏_x \mod_{K_x}([×a])$.
+que $\module_K([×a])= ∏_x \module_{K_x}([×a])$.
Les facteurs sont respectivement égaux à $|a|_x$. CQFD.
\end{démo}
@@ -3144,7 +3109,7 @@ si pour chaque nombre premier $p$, $x_p$ désigne l'idèle de $𝐐$
dont la seule coordonnée non triviale vaut $p$ en $p$, la suite $x_p$ converge
vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais pas dans $𝐐^×_𝐀$
-Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \mod_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$,
+Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \module_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$,
n'est \emph{pas} continue pour la topologie adèlique, alors que sa restriction
en $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ l'est — essentiellement par définition — pour la topologie
idélique : si pour chaque entier $n$, $x_n$ désigne l'adèle de $𝐐$ tel que $x_{n,∞}=1$ et
@@ -4027,8 +3992,8 @@ adélique}).
\begin{enumerate}
\item La mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante
du choix de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
-telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ soit le produit
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
+telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$ soit le produit
(au sens de \ref{module et mesure quotients}) de la mesure de comptage sur le groupe discret $K$ par
la mesure de Haar normalisée sur le groupe \emph{compact} $K_𝐀/K$.
@@ -4058,7 +4023,7 @@ forme $[×a]^*ψ$ (noté également $ψ_a$) pour un unique $a ∈ K^×$. Il ré
$+$}}_{ψ_a}$. (On montre également, en utilisant la formule
$ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$ que le terme de droite de l'égalité (iii)
ne dépend pas de $ψ$, comme attendu.) Le fait que la mesure induite
-par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ sur le quotient $K_𝐀/K$
+par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$ sur le quotient $K_𝐀/K$
soit \emph{normalisée} sera établi à la fin de la démonstration.
\subsubsection{Formule d'inversion}
@@ -4453,7 +4418,7 @@ et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2
L'égalité locale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$
entraîne l'égalité
\[
-μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
+μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
\]
Le module $|d_ψ|$ ne dépendant pas du choix de $ψ$, on
le note dorénavant $|d_K|$.
@@ -4496,9 +4461,9 @@ Pour toute mesure de Haar $μ$ sur $K_𝐀$, notons ici
$\sur{μ}$ l'unique mesure de Haar sur $K_𝐀/K$
telle que $μ$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients})
de $\sur{μ}$ par la mesure de comptage sur le sous-groupe discret $K$.
-Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$
+Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}(K_𝐀 ∕ K)=1$
(\ref{Fourier adélique}, (i)), et $μ^{\mbox{\minus
-$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
+$+$}}_{玉}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{Tamagawa et idèle différentiel}), on a :
\[
\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
@@ -5141,7 +5106,7 @@ Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial des classes d
et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
Soit $f:K_𝐀 → 𝐂$ une fonction dans $𝒮(K_𝐀)$.
\begin{enumerate}
-\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est absolument convergente et définit une fonction
+\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{玉}$ est absolument convergente et définit une fonction
holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
comme un produit « eulérien » absolument convergent
\[
@@ -5253,8 +5218,8 @@ exactement $h_K>0$ diviseurs de degré $n$.
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
-\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}
@@ -5279,7 +5244,7 @@ $𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.
\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
-\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
+\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}
@@ -5305,7 +5270,7 @@ Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
@@ -5402,7 +5367,7 @@ $$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
-la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
@@ -5487,7 +5452,7 @@ qui est égale à $\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})$ (cf. \ref{réécriture
par $P$, on a $c_{2g-n}=q^{g-n}c_n$ pour chaque $0 ≤ n ≤ g$. Il en résulte que la fonction
Zêta $Z=P (1-T)^{-1}(1-qT)^{-1}$ est déterminée par $c₁,…,c_g$.
Or, l'égalité
-$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})) \mod (T^{g+1})$
+$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})) \module (T^{g+1})$
montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1 ≤ n ≤ g$.
\end{démo}
@@ -5573,7 +5538,7 @@ Il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement
indépendantes sur $K′=K^{q′}$. Or, si $∑_s λ_s^{q′} f_s=0$, où les coefficients
$λ_s$ sont non nuls et dans $K$, il existe deux indices distincts $s₁,s₂$
dans $S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′}
-f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \mod q′$, ce qui
+f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \module q′$, ce qui
est exclu car $s₁$ et $s₂$ sont majorés par $N=q′ -1$.
Il résulte de ce qui précède que le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{N,M}$ de $K$
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index 41fed71..fda3639 100644
--- a/chapitres/omega.tex
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\title{Différentielles}
-
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-\begin{center}
-Différentielles
-\end{center}
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\chapter{Différentielles}
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\title{Produit tensoriel}
-\setcounter{tocdepth}{3}
-%\setcounter{secnumdepth}{2}
-%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
-
+%%%
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -32,7 +19,7 @@
\subsubsection{Définition}
-\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire}
+\begin{definition2}\label{definition-application-bilineaire}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $P$ un groupe abélien. On dit
qu'une application $f\colon M × N \to P$ est
@@ -45,9 +32,9 @@ $A$-\emph{bilinéaire} lorsque :
\item pour tous $x$ dans $M$, $y$ dans $N$ et $a$ dans $A$,
on a $f(xa,y) = f(x,ay)$.
\end{itemize}
-\end{definition3}
+\end{definition2}
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche. On dit qu'un groupe abélien $P$
muni d'une application $A$-bilinéaire $\varphi\colon M × N \to P$ est
@@ -57,7 +44,7 @@ groupe abélien $T$ quelconque il existe une unique application
additive $\tilde f \colon P \to T$ (c'est-à-dire morphisme de groupes
abéliens) telle que $f = \tilde f \circ \varphi$ (cette propriété
s'appelant la \emph{propriété universelle du produit tensoriel}).
-\end{definition3}
+\end{definition2}
Avant de prouver (dans la
proposition \ref{existence-produit-tensoriel} ci-dessous) que le
@@ -68,7 +55,7 @@ de leurs bases (on verra
en \ref{produit-tensoriel-et-puissance-directe} qu'il en va de même
des modules libres en général) :
-\begin{exemple3}
+\begin{exemple2}
Soit $k$ un corps (ce qui, par convention signifie : commutatif), $E$
et $F$ deux $k$-espaces vectoriels ayant pour bases respectivement
$(e_i)_{i \in I}$ et $(f_j)_{j \in J}$. Soit $E \otimes_k F$ l'espace
@@ -84,7 +71,7 @@ $k$-espace vectoriel quelconque, revient à se donner l'image de
$(e_i,f_j)$ par $b$ (dans $T$) pour chaque couple $(e_i,f_j)$, et se
donner une application $k$-linéaire $E \otimes_k F \to T$ revient
également à se donner l'image de chaque couple $(e_i,f_j)$.
-\end{exemple3}
+\end{exemple2}
(Remarquons par ailleurs que $E\otimes_k F$ n'est pas seulement un
groupe abélien mais même un $k$-espace vectoriel : ce phénomène sera
@@ -96,7 +83,7 @@ ces dimensions.)
\subsubsection{Existence et fonctorialité}
-\begin{proposition3}\label{existence-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}\label{existence-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche. Il existe un produit tensoriel
$(P,\varphi)$ de $M$ et $N$ au-dessus de $A$, et de plus si
@@ -104,7 +91,7 @@ $(P',\varphi')$ est un autre produit tensoriel, alors il existe un
isomorphisme de groupes abéliens $h\colon P \to P'$ tel que $\varphi'
= h \circ \varphi$ (et cet isomorphisme est unique sous cette
condition).
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
@@ -137,7 +124,7 @@ s'annule sur $F_0$ donc passe au quotient et définit un $\tilde b
\end{proof}
L'existence du produit tensoriel étant acquise, on peut convenir :
-\begin{convention3}[notation]\label{convention-produit-tensoriel}
+\begin{convention2}[notation]\label{convention-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche : on notera $M \otimes_A N$, ou
abusivement $M \otimes N$ s'il n'en résulte aucune ambiguïté, un
@@ -154,14 +141,14 @@ de \ref{definition-produit-tensoriel}) dont l'existence et l'unicité
sont garanties par la définition du produit tensoriel. (Il s'agit de
l'unique application additive $M\otimes_A N \to T$ envoyant $x\otimes
y$ sur $f(x,y)$ pour tous $(x,y) \in M\times N$.)
-\end{convention3}
+\end{convention2}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche : alors $M \otimes_A N$ est
engendré, en tant que groupe abélien, par les éléments de la forme $x
\otimes y$ avec $x \in M$ et $y \in N$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Cela résulte par exemple de la construction faite de $M \otimes_A N$
dans la preuve de la proposition \ref{existence-produit-tensoriel}.
@@ -183,14 +170,14 @@ notant $\{e_1,e_2\}$ la base canonique de $k^2$.
On aura besoin de la notion de produit tensoriel d'applications
linéaires, qui traduit la \emph{fonctorialité} du produit tensoriel :
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules à droite, et
$g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules
à gauche. Alors il existe une unique application additive $h\colon
M\otimes_A N \to M'\otimes_A N'$ telle que $h(x\otimes y) = f(x)
\otimes g(y)$ pour tous $x\in M$ et $y\in N$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
L'application $M×N \to M'\otimes_A N'$ définie par $(x,y) \mapsto
f(x)\otimes g(y)$ est manifestement $A$-bilinéaire : la propriété
@@ -205,29 +192,29 @@ universelle du produit tensoriel, grâce à laquelle on n'a jamais à
revenir à la construction explicite qui a été donnée de l'objet en
question.)
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-applications}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-applications}
Dans les conditions et avec les notation de la
propositions \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, on notera $h =
f\otimes_A g$ (ou $f \otimes g$) et on l'appellera produit tensoriel
des morphismes $f$ et $g$. Lorsque de plus $g = \Id_N$, on note aussi
$f \otimes_A N$ (au lieu de $f \otimes_A \Id_N$), et de même si $f =
\Id_M$ on note aussi $M \otimes_A g$ (au lieu de $\Id_M \otimes_A N$).
-\end{definition3}
+\end{definition2}
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
et $f'\colon M'\to M''$ deux applications $A$-linéaire composables
entre $A$-modules à droite, et $g\colon N\to N'$ et $g'\colon N'\to
N''$ deux applications $A$-linéaires composables entre $A$-modules à
gauche. Alors $(f'\circ f) \otimes (g'\circ g) = (f'\otimes g') \circ
(f\otimes g)$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
d'applications.
\end{proof}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules
à droite, et $g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire
@@ -235,7 +222,7 @@ une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules
g$ est surjective. De plus, son noyau est engendré (en tant que
groupe abélien) par les éléments de la forme $x \otimes y$ où $x \in
\Ker f$ \emph{ou bien} $y \in \Ker g$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
On a vu en \ref{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs} que les
$x' \otimes y'$ avec $x' \in M'$ et $y' \in N'$ engendrent $M' \otimes
@@ -261,7 +248,7 @@ M'\otimes_A N' \to (M\otimes_A N)/T$, telle que $h'h =
\subsubsection{Cas des bimodules}
Pour cette section, nous rappelons la définition suivante :
-\begin{definition3}
+\begin{definition2}
Soient $A$ et $B$ deux anneaux non nécessairement commutatifs : un
\emph{$(A,B)$-bimodule} est la donnée d'une structure de $A$-module à
gauche et de $B$-module à droite sur un même groupe abélien $M$, qui
@@ -276,7 +263,7 @@ $A$-linéaire (pour la structure de $A$-modules à gauche de $M$ et $N$)
et $B$-linéaire (pour la structure de $B$-modules à droite de
$M$ et $N$). Un \emph{isomorphisme} de $(A,B)$-bimodules est une
application $(A,B)$-linéaire bijective entre eux.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
De même qu'un $\ZZ$-module à gauche (resp. à droite) n'est rien
d'autre qu'un groupe abélien, on voit que, pour tout anneau non
nécessairement commutatif $A$, un $(\ZZ,A)$-bimodule (resp. un
@@ -284,7 +271,7 @@ $(A,\ZZ)$-bimodule) n'est rien d'autre qu'un $A$-module à droite
(resp. un $A$-module à gauche), et une application $(\ZZ,A)$-linéaire
(resp. $(A,\ZZ)$-linéaire) n'est autre qu'une application $A$-linéaire.
-\begin{remarque3}\label{hom-bimodules}
+\begin{remarque2}\label{hom-bimodules}
Lorsque $N$ et $P$ sont respectivement un $(B,C)$-bimodule et un
$(A,C)$-bimodule (avec $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement
commutatifs), le groupe abélien $\Hom_C(N,P)$ des applications
@@ -299,9 +286,9 @@ structure de $(B,C)$-bimodule.
En revanche, si $M$ et $N$ sont deux $(A,B)$-bimodules, l'ensemble
$\Hom_{A,B}(M,N)$ des applications $(A,B)$-linéaires de $M$ vers $N$
n'a pas naturellement plus qu'une structure de groupe abélien.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
-\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire-bimodules}
+\begin{definition2}\label{definition-application-bilineaire-bimodules}
Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un
$(A,B)$-bimodule, $N$ un $(B,C)$-bimodule et $P$ un $(A,C)$-bimodule :
on dit que $f\colon M\times N \to P$ est $(A,B,C)$-bilinéaire lorsque
@@ -317,9 +304,9 @@ en \ref{hom-bimodules}, ou encore que l'application $N \mapsto
\Hom_A(M,P)$ donnée par $y \mapsto (x \mapsto f(x,y))$ est
$(B,C)$-linéaire où $\Hom_A(M,P)$ est muni de la structure de
$(B,C)$-bimodule explicitée au même endroit.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-bimodules}
Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un
$(A,B)$-bimodule et $N$ un $(B,C)$-bimodule. Il existe alors une
unique structure de $(A,C)$-bimodule sur le groupe abélien $M
@@ -333,7 +320,7 @@ de \ref{definition-application-bilineaire-bimodules}), alors
l'application $\tilde f\colon M\otimes_B N \to T$ vérifiant $\tilde
f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont l'existence et l'unicité sont garanties
par la définition du produit tensoriel) est $(A,C)$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour un $a\in A$, considérons l'application $M\otimes_B N \to
M\otimes_B N$ donnée par $x\otimes y \mapsto (ax)\otimes y$
@@ -365,7 +352,7 @@ droite de façon naturelle, et que le produit tensoriel sur $B$ d'un
$(A,B)$-bimodule et d'un $B$-module à gauche est un $A$-module à
gauche de façon naturelle.
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
On pourrait être tenté d'imaginer que si $M$ est un $(A,B)$-bimodule
et $N$ un $(B,C)$-bimodule, il existe sur $M\otimes_B N$ une structure
de module sur $B$ (que ce soit à gauche ou à droite) en tentant de
@@ -375,9 +362,9 @@ xb\otimes y = x \otimes by$ n'est en général pas $B$-bilinéaire (au
sens de \ref{definition-application-bilineaire}), donc il n'est pas
possible d'en déduire une application de multiplication par $B$ sur $M
\otimes_B N$.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications}
Soit $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, et $f\colon
M\to M'$ et $g\colon N\to N'$ deux applications respectivement
$(A,B)$-linéaire et $(B,C)$-linéaire entre des $(A,B)$-bimodules
@@ -385,7 +372,7 @@ $M$ et $M'$ et des $(B,C)$-bimodules $N$ et $N'$. Si l'on munit
$M\otimes_B N$ et $M'\otimes_B N'$ de la structure de $(A,C)$-bimodule
définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}, alors
$f\otimes_B g$ est $(A,C)$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Si on note $a_P$ la multiplication par $a$ dans un $A$-module $P$, on
a $a_{M\otimes_B N} = a_M \otimes_B \Id_N$ par définition de la
@@ -403,12 +390,12 @@ fait que $f \circ a_M = a_{M'} \circ f$. La $C$-linéarité de
$f\otimes_B g$ se démontre de même.
\end{proof}
-\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules}
+\begin{convention2}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules}
Le produit tensoriel sur $B$ d'un $(A,B)$-bimodule et d'un
$(B,C)$-bimodule sera toujours implicitement muni de la structure de
$(A,C)$-bimodule définie par la
proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
\subsubsection{Suites de bimodules et associativité}\label{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel}
@@ -422,7 +409,7 @@ cela, on fait la définition suivante, qui généralise
\ref{definition-application-bilineaire} ainsi que la définition
utilisée dans l'énoncé \ref{produit-tensoriel-bimodules} :
-\begin{definition3}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire}
+\begin{definition2}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
On dit qu'une application $f\colon M_1\times \cdots \times M_n \to P$,
@@ -443,7 +430,7 @@ $(A_0,\ldots,A_n)$-\emph{séquentiellement multilinéaire} lorsque :
\item pour tout $a\in A_n$ et tous $(y_j) \in M_1\times \cdots \times
M_n$, on a $f(y_1,\ldots, y_n a) = f(y_1,\ldots, y_n) a$.
\end{itemize}
-\end{definition3}
+\end{definition2}
On notera $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ l'ensemble des
applications $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaires de
@@ -451,7 +438,7 @@ $M_1\times \cdots \times M_n$ vers $P$. Remarquons qu'utiliser $\ZZ$
pour $A_0$ ou $A_n$ permet d'éliminer l'avant-dernière ou la dernière
des conditions ci-dessus.
-\begin{remarque3}\label{multihom-bimodules}
+\begin{remarque2}\label{multihom-bimodules}
L'ensemble $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ comme ci-dessus
n'est naturellement muni que d'une structure de groupe abélien. En
revanche, si $k \in \{1,\ldots,n-1\}$, l'ensemble
@@ -481,12 +468,12 @@ multilinéaire $M_{k+1} \times \cdots \times M_n \to
((x_1,\ldots,x_k) \mapsto f(x_1,\ldots,x_n))$.
(Cf. \ref{definition-application-bilineaire-bimodules} pour le
cas $n=3$.)
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
La définition suivante généralise \ref{definition-produit-tensoriel}
et \ref{produit-tensoriel-bimodules}
(cf. \ref{convention-produit-tensoriel-bimodules}) :
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
On dit qu'un $(A_0,A_n)$-bimodule $P$ muni d'une application
@@ -497,14 +484,14 @@ $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaire $f \colon M_1 \times
\cdots \times M_n \to T$ vers un $(A_0,A_n)$-bimodule quelconque $T$
il existe une unique application $(A_0,A_n)$-linéaire $\tilde f \colon
P\to T$ telle que $f = \tilde f \circ \varphi$.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
Pour éclaircir le rapport entre les notions de produit tensoriel
introduites en \ref{definition-produit-tensoriel} et
\ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}, commençons par établir
le lemme suivant :
-\begin{lemme3}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus}
+\begin{lemme2}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
Soit $k \in \{1,\ldots,n-1\}$. Si $(P',\varphi')$
@@ -518,7 +505,7 @@ M_1\times \cdots \times M_n \to P$ est donné par $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
\varphi'(x_1,\ldots,x_k) \otimes \varphi''(x_{k+1},\ldots,x_n)$, alors
$(P,\varphi)$ est un produit tensoriel (au sens
de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$.
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
\begin{proof}
L'application $\varphi$ introduite est bien séquentiellement
multilinéaire puisque $\varphi'$ et $\varphi''$ le sont et que
@@ -592,7 +579,7 @@ peut dire qu'ils s'obtiennent comme composantes de l'opération $*$
définie par $(Y',Z')*(Y'',Z'') = (Y'\mathbin{\sharp}Y'',
Z'\mathbin{\flat}Z'')$.
-\begin{proposition3}[associativité séquentielle du produit tensoriel]
+\begin{proposition2}[associativité séquentielle du produit tensoriel]
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
Il existe un produit tensoriel $(P,\varphi)$ (au sens
@@ -610,7 +597,7 @@ de \ref{definition-produit-tensoriel},
$\varphi \colon M_1 \times \cdots \times M_n \to P$ envoyant
$(x_1,\ldots,x_n)$ sur $x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$ parenthésé
identiquement.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
@@ -646,7 +633,7 @@ M_n$ et $x_1\otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de
$M_1,\ldots,M_n$.
\end{proof}
-\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{convention2}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel}
Cette proposition justifie d'écrire désormais $M_1\otimes_{A_1} \cdots
\otimes_{A_n} M_n$ pour un produit tensoriel quelconque (au sens
de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$,
@@ -665,9 +652,9 @@ l'application ($\tilde f$ avec les notatons
de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) dont l'existence et
l'unicité sont garanties par la définition du produit tensoriel dans
ce cadre.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ une application
$(A_{i-1},A_i)$-linéaire $f_i\colon M_i \to M'_i$ entre
@@ -682,7 +669,7 @@ $M'_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n} M'_n$ étaient vus comme des
parenthésages complets identiques des expressions formelles en
question, alors $h$ peut être décrit comme parenthésage identique de
l'expression formelle $f_1 \otimes \cdots \otimes f_n$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Comme en \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, la démonstration de la
@@ -704,7 +691,7 @@ connu pour les sous-expressions gauche et droite de ce parenthésage.
Cette proposition justifie d'écrire désormais $f_1\otimes \cdots
\otimes f_n$ pour un $h$ tel qu'elle définit.
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ deux applications
$(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i
@@ -712,7 +699,7 @@ $(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i
f_1) \otimes \cdots \penalty300 \otimes (f'_n \circ f_n) =
(f'_1\otimes \cdots \otimes f'_n) \circ \penalty0 (f_1\otimes \cdots
\otimes f_n)$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
d'applications.
@@ -728,7 +715,7 @@ supplémentaire de $(A_0,A_n)$-bimodule sur le produit tensoriel de
$M_1,\ldots,M_n$ sur $\ZZ,A_1,\ldots,A_{n-1},\ZZ$ (lequel fournit donc
le groupe abélien sous-jacent) :
-\begin{proposition3}
+\begin{proposition2}
Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs,
soit pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un
$(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$. Notons $P = M_1 \otimes \cdots
@@ -743,7 +730,7 @@ pour tous $a \in A_0$ et $(x_1,\ldots,x_n) \in M_1 \times \cdots
$(A_0,A_n)$-bimodule $P$ (toujours muni de $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de
$M_1,\ldots,M_n$ sur $A_0,\ldots,A_n$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour un $a\in A_0$, considérons l'application $P \to P$ donnée par
$x_1\otimes \cdots \otimes x_n \mapsto (ax_1)\otimes \cdots \otimes
@@ -807,7 +794,7 @@ contrainte qu'on lui impose.
Lorsque $A$ est un anneau commutatif, les notions de $A$-module à
gauche, de $A$-module à droite, et de $(A,A)$-bimodule coïncident.
Les propositions précédentes permettent de conclure que :
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-commutatif}
Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $M$ et $N$ deux $A$-modules.
Il existe alors une unique structure de $A$-module sur le groupe
abélien $M \otimes_A N$ telle qu'on ait $a(x\otimes y) = (ax)\otimes
@@ -821,29 +808,29 @@ M\otimes_A N \to T$ vérifiant $\tilde f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont
l'existence et l'unicité sont garanties par la
définition \ref{definition-produit-tensoriel} du produit tensoriel)
est $A$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la
proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}.
\end{proof}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications}
Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $f\colon M\to M'$ et $g\colon
N\to N'$ deux applications $A$-linéaires entre $A$-modules. Si l'on
munit $M\otimes_A N$ et $M'\otimes_A N'$ de la structure de $A$-module
définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}, alors
$f\otimes_A g$ est $A$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la
proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules-applications}.
\end{proof}
-\begin{convention3}
+\begin{convention2}
Dans le contexte des anneaux commutatifs, le produit tensoriel de deux
modules sera toujours implicitement muni de la structure définie par
la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
Les résultats de la
section \ref{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel} permettent de
@@ -871,7 +858,7 @@ celui défini jusqu'à présent.
On rappelle :
-\begin{definition3}
+\begin{definition2}
Si $A$ est un anneau non nécessairement commutatif, une \emph{suite
exacte} de $A$-modules à gauche $M_0 \buildrel f_1\over\to M_1
\buildrel f_2\over\to \cdots \buildrel f_n\over\to M_n$ est la donnée
@@ -889,7 +876,7 @@ M_3 \to 0$.
On définit de façon analogue les notions de suite exacte de
$A$-modules à droite, de bimodules sur un couple d'anneaux non
nécessairement commutatifs.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
Lorsque $M_0 = 0$ (auquel cas il n'est pas nécessaire de spécifier
$f_1$ qui est nécessairement nul), l'exactitude en $M_1$ équivaut à
l'injectivité de $f_2$. Lorsque $M_n = 0$ (auquel cas il n'est pas
@@ -902,14 +889,14 @@ g = \Im f$.
Dans la proposition suivante, on attire l'attention sur l'absence
de $0$ à gauche de la seconde suite :
-\begin{proposition3}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel}
Soit $M' \buildrel f\over\to M \buildrel g\over\to M'' \to 0$ une
suite exacte de modules à droite sur un anneau non nécessairement
commutatif. Alors pour tout $A$-module à gauche $N$, la suite
$M'\otimes_A N \buildrel f\otimes N\over \rightarrow M\otimes_A N
\buildrel g\otimes N\over \rightarrow M''\otimes_A N \to 0$ est
exacte.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Il s'agit donc de prouver que $g\otimes N$ est surjectif sous
l'hypothèse que $g$ l'est, et que son noyau est égal à l'image de
@@ -936,7 +923,7 @@ module \emph{plat}. \XXX
\subsubsection{Distributivité sur les sommes directes}
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif et $N$ un
$A$-module à gauche. Alors :
\begin{itemize}
@@ -952,7 +939,7 @@ Ces isomorphismes se comprennent comme des isomorphismes de groupes
abéliens et, si $A$ est commutatif, de $A$-modules. De plus, on a les
mêmes résultats, \textit{mutatis mutandis} pour le facteur gauche du
produit tensoriel.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Montrons que l'application $\eta\colon N \to A\otimes_A N$ donnée par
$y \mapsto 1\otimes y$ est réciproque de l'application
@@ -980,7 +967,7 @@ $\eta\varepsilon = \Id_{(\bigoplus_i M_i)\otimes_A N}$.
La conséquence suivante est immédiate :
-\begin{corollaire3}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe}
+\begin{corollaire2}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe}
Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $I$ un ensemble. Alors
l'application $(x_i) \otimes y \mapsto (x_i \otimes y)$ définit un
@@ -998,9 +985,9 @@ l'identification étant donnée par $e_i \otimes f_j \mapsto g_{i,j}$
sur les bases canoniques $(e_i)_{i\in I}$, $(f_j)_{j\in j}$ et
$(g_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$ respectives de $A^{(I)}$, $A^{(J)}$
et $A^{(I\times J)}$.
-\end{corollaire3}
+\end{corollaire2}
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
Si $(M_i)$ est une famille de $A$-modules à droite sur un anneau non
nécessairement commutatif $A$ et $N$ un $A$-module à gauche, on a
également une application naturelle $\left(\prod_i M_i\right)
@@ -1010,9 +997,9 @@ en \ref{produit-tensoriel-et-sommes-directes}. Cependant, même dans
le cas où tous les $M_i$ sont égaux à $A$ et où $A$ est commutatif,
l'application $A^I \otimes_A N \to N^I$ n'est pas nécessairement ni
surjective ni même injective. \XXX
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
Rappelons qu'une \emph{présentation} d'un $A$-module à droite $M$ est
la donnée d'une suite exacte $A^{(J)} \buildrel f\over\to A^{(I)}
\buildrel g\over\to M \to 0$ (c'est-à-dire d'une famille génératrice
@@ -1024,7 +1011,7 @@ que pour tout $A$-module à gauche $N$, le module $M \otimes_A N$ se
décrit (à isomorphisme près) comme le conoyau de l'application $f
\otimes N \colon N^{(J)} \to N^{(I)}$. Ceci fournit une méthode
systématique pour « calculer » les produits tensoriels.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
\subsection{Cas de familles de modules sur un anneau commutatif}\label{sous-section-produit-tensoriel-commutatif}
@@ -1069,7 +1056,7 @@ $A$-linéaire $\tilde f \colon P \to T$ telle que $f = \tilde f \circ
Autrement dit, lorsque $(P,\varphi)$ est un produit tensoriel de
$(M_i)_{i\in I}$, l'application (visiblement $A$-linéaire)
$\Hom_A(P,T) \to \MHom_A((M_i)_{i\in I}; T)$ donnée par $\tilde f
-\mapsto \tilde f\circ\varphi$ est \emph{bijective} --- c'est donc un
+\mapsto \tilde f\circ\varphi$ est \emph{bijective} — c'est donc un
isomorphisme de $A$-modules.
Pour éclaircir le rapport entre les notions de produit tensoriel
diff --git a/chapitres/radicaux.tex b/chapitres/radicaux.tex
index 94afc43..dc94ba2 100644
--- a/chapitres/radicaux.tex
+++ b/chapitres/radicaux.tex
@@ -1,39 +1,21 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
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-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
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-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix,arrows}
-
-\synctex=1
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie}
\externaldocument{KASW}
\externaldocument{calculs-galois}
\externaldocument{bases-groebner}
-
-\title{Radicaux, r\'esolubilit\'e, calculs explicites et cyclotomie}
-
\begin{document}
\maketitle
-\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\else
\chapter{Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie}
\fi
\makeatletter
-\newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mathrm{r\acute{e}sol}}\else^{\mathrm{r\acute{e}sol}\,#1}\fi}
+\newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mathrm{résol}}\else^{\mathrm{résol}\,#1}\fi}
\makeatother
\section{Extensions résolubles}
@@ -77,7 +59,7 @@ est injectif puisque $F = k(\zeta)$ (ce qui assure qu'un élément
$\sigma \in \Gal(F\bo k)$ est déterminé par son image sur $\zeta$).
\end{proof}
-\XXX --- Elle n'était pas déjà quelque part, cette proposition ?
+\XXX — Elle n'était pas déjà quelque part, cette proposition ?
Sinon, il faut peut-être la déplacer ailleurs.
\begin{definition2}\label{definition-corps-clos-par-radicaux}
@@ -514,7 +496,7 @@ exemple $n-1$) d'un élément de $\QQ(\zeta)$ à calculer explicitement.
Pour justifier ce fait, il est naturel d'invoquer le fait que
$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de
-Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), avec
+Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX — référence ?), avec
pour générateur $\sigma \colon \omega\mapsto \omega^g$, de sorte que
$\sigma(\alpha_j) = \zeta^{-j} \alpha_j$, et $\sigma(a_j) = a_j$ si
$a_j = (\alpha_j)^{n-1}$. En vérité, on n'a pas vraiment besoin
@@ -609,7 +591,7 @@ que simplement calculer numériquement $\alpha$ et $\root m\of{a}$ avec
une précision garantie suffisante pour obtenir l'argument du quotient
à $2\pi/m$ près.
-\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$ et $\sin\frac{2\pi}{n}$}
+\subsection{Expressions en radicaux de quelques \texorpdfstring{$\cos\frac{2\pi}{n}$}{cos(2π/n)} et \texorpdfstring{$\sin\frac{2\pi}{n}$}{sin(2π/n)}}
Nous nous proposons maintenant de calculer explicitement les
expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/n}$ ou au moins
@@ -696,7 +678,7 @@ Ici, cette expression est moins plaisante que celle calculée
ci-dessus, mais pour de plus grandes valeurs de $n$ ce ne sera pas
forcément le cas.
-\XXX --- Y a-t-il moyen plus intelligent d'« expliquer » le fait que
+\XXX — Y a-t-il moyen plus intelligent d'« expliquer » le fait que
$\root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} =
\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ ?
@@ -1125,7 +1107,7 @@ ses variables. On a de plus $Z_i = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1}
C'est évident.
\end{proof}
-\XXX --- C'est une trivialité, mais où est-ce que je veux en venir, au
+\XXX — C'est une trivialité, mais où est-ce que je veux en venir, au
juste ?
\begin{proposition2}\label{resolution-equations-cycliques-cas-artin-schreier}
@@ -1191,10 +1173,10 @@ purement inséparable : avec nos définitions on ne parle pas ici
d'extension par radicaux. Si $b \neq 0$, on peut effectuer la
transformation de Tschirnhaus $U = \frac{1}{b} X$, qui transforme $f$
en $g = X^2 + X + \frac{c}{b^2}$, c'est-à-dire $g = X^2 - X +
-\japmath{別}_2$ où $\japmath{別}_2 = \frac{c}{b^2}$ désigne le
+\betsu_2$ où $\betsu_2 = \frac{c}{b^2}$ désigne le
$2$-distinguant de $f$ (cf. \refext{CG}{exemples discriminants et
2-distinguants}). Le polynôme $f$ st donc scindé sur (une extension
-quelconque de) $k$ si et seulement si $\japmath{別}_2$ y est dans
+quelconque de) $k$ si et seulement si $\betsu_2$ y est dans
l'image de $\wp\colon x \mapsto x^2 - x$, et lorsque c'est le cas ses
racines sont $\displaystyle b \big(\root\wp\of{\frac{c}{b^2}} +
\big\lwave\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\big\rwave\big)$ où la
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index c635c72..cdaa8d8 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -1,34 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
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+\title{Spectre et idéaux premiers}
\externaldocument{categories}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Spectre et idéaux premiers
-\end{center}
-\version
-\setcounter{tocdepth}{1}
+\maketitle
\tableofcontents
-
\else
\chapter{Spectre et idéaux premiers}
\fi
@@ -152,26 +131,26 @@ Ainsi, $xy∉𝔮$ et, \emph{a fortiori}, $xy∉𝔭$.
\subsubsection{}\label{points-algebre}Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire
un morphisme d'anneaux $k→A$.
-Pour toute $k$-algèbre $T$, on notera souvent $A^\japmath{田}(T)$
-ou $\japmath{田}A(T)$ l'ensemble $\Hom_k(A,T)$\footnote{L'usage
+Pour toute $k$-algèbre $T$, on notera souvent $A^田(T)$
+ou $田A(T)$ l'ensemble $\Hom_k(A,T)$\footnote{L'usage
le plus courant est d'utiliser plutôt les lettres $h$ (« Hom ») ou
-$y$ (« Yoneda ») au lieu de $\japmath{田}$.}
+$y$ (« Yoneda ») au lieu de $田$.}
En un sens qu'il n'est pas nécessaire de préciser ici,
-la collection des $\japmath{田}A(T)$, pour $T$ variable,
+la collection des $田A(T)$, pour $T$ variable,
caractérise $A$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}).
-L'ensemble $\japmath{田}A(k)$ joue souvent
+L'ensemble $田A(k)$ joue souvent
un rôle particulier ; c'est l'ensemble des \emph{points rationnels} \index{point
rationnel} de $A$.
%Remarquons que tout morphisme de $k$-algèbres
%$A→k$ est surjectif car l'image est une sous-$k$-algèbre de $k$
%contenant l'unité.
-Soit $f∈\japmath{田}A(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est
+Soit $f∈田A(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est
l'ensemble à un élément $\Spec(k)=\{(0)\}$. L'image de $\Spec(f)$ dans
$\Spec(A)$ est, par définition, le singleton d'élément $f^{-1}(0)=\Ker(f)∈\Spec(A)$.
\begin{lemme2}\label{points rationnels et ideaux maximaux}
-L'application $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image
+L'application $田A(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image
contenue dans $\Specmax(A)$. Son image est l'ensemble des $𝔮$ dans $\Specmax(A)$
tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme.
\end{lemme2}
@@ -187,7 +166,7 @@ $\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est
l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme
$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant
le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle.
-L'injectivité de l'application $\japmath{田}A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
+L'injectivité de l'application $田A(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où
la seconde flèche est l'inverse de l'isomorphisme $k→A↠A/𝔭$.
Il résulte de cette description que l'image de l'ensemble des points rationnels
@@ -252,7 +231,7 @@ Pour tout anneau $A$, l'anneau quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$ est réduit.
C'est le plus grand quotient réduit de $A$ : pour tout morphisme d'anneau $A→B$
avec $B$ réduit, il existe un unique morphisme $A_{\red}→B$ à travers lequel
$A→B$ se factorise. En d'autres termes, si $B$ est un anneau réduit,
-l'application injective $\japmath{田}A_{\red}(B)→\japmath{田}A(B)$
+l'application injective $田A_{\red}(B)→田A(B)$
déduite de la surjection $A↠A_{\red}$ est une bijection.
\end{proposition2}
@@ -517,10 +496,10 @@ que N. Bourbaki les appelle plutôt « anneaux booléiens ».
D'après \ref{SpecBoole=HomF2} et \ref{points rationnels et ideaux
maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc :
\[
-π₀(A) = \japmath{田}\Idem(A)(𝐅₂),
+π₀(A) = 田\Idem(A)(𝐅₂),
\]
où l'ensemble de droite est $\Hom_{𝐅₂}(\Idem(A),𝐅₂)$.
-% ☡ la notation \japmath{田} s'accorde mal avec ⊞...
+% ☡ la notation 田 s'accorde mal avec ⊞...
\begin{proposition2}
Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont
@@ -935,13 +914,14 @@ des sous-anneaux de $A$, donc sont réduits. D'après \ref{artinien
\section{Exercices}
+\subsection{\XXX}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $A$ un anneau. Montrer que $\Nilp(A[X])=\Nilp(A)[X]$ :
tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
\label{ultrafiltres et produits infinis}
Soit $X$ un ensemble non vide. Un \emph{ultrafiltre}\index{ultrafiltre} $𝔉$
sur $X$ est un ensemble de parties non vides de $X$ stable par intersection finie
@@ -965,10 +945,10 @@ On peut alors montrer que l'espace \emph{topologique}
$\Spec(k^X)$ est homéomorphe au compactifié de Stone-Čech
$β(X)$ de l'espace topologique discret $X$,
lui-même trivialement homéomorphe au coproduit $∐_{x ∈ X} \Spec(k)$.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $A$ un anneau.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $(e_x)_{x∈X}$ est une famille \emph{finie}
@@ -980,9 +960,9 @@ La propriété $∑_x e_x=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idemp
Comparer le résultat obtenu avec \ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}.
\item Montrer que si $A$ est nœthérien, $π₀(A)$ est fini.
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
Soit $A$ l'anneau des suites de nombres rationnels
constantes à partir d'un certain rang.
\begin{enumerate}
@@ -994,18 +974,18 @@ est un ensemble de fonctions nulles en un point
fixé ou bien au voisinage de l'infini. Etc.
À développer [David], cf. Gillman-Jerison. \XXX
\end{enumerate}
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
\label{exercice-idéal idempotent engendré par idempotent}
Soit $I$ un idéal de type fini d'un anneau $A$.
Montrer que si $I=I²$, il existe $e ∈ \Idem(A)$
tel que $I=(e)$.
% 松村, exercice 2.1
% 中山 ⇒ ∃ i tel que (1-i)I=0$. OPS I principal et c'est alors facile
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
-\begin{exercice}
+\begin{exercice2}
\label{dévissage Hom(A,produit connexes)}
Soit $k$ un corps et soient $A,B$ deux $k$-algèbres
dont on note respectivement $X$ et $Y$ les ensembles de composantes
@@ -1023,7 +1003,7 @@ avec l'ensemble
Ainsi, le calcul d'ensembles d'homomorphismes
se ramène au calcul d'ensembles de composantes connexes et
et d'homomorphismes entre anneaux connexes.
-\end{exercice}
+\end{exercice2}
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex
index 3c75592..f4ccca0 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
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@@ -1,26 +1,9 @@
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\ifx\danslelivre\undefined
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-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
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+\title{Équations verselles et petits degrés}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
@@ -30,18 +13,8 @@
\externaldocument{formes-tordues}
\externaldocument{cohomologie-groupes}
\externaldocument{KASW}
-
-%\makeindex
-
-\setcounter{tocdepth}{1}
-
-\textwidth16cm
-\hoffset-1.5cm
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Équations verselles et petits degrés
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Équations verselles et petits degrés}
@@ -57,7 +30,7 @@ contient strictement $k$ et est inclus dans $K$. Ainsi, la
$k$-extension $K$ est isomorphe au quotient $k_f=k[X]/f$ où $f=X²-aX+b$ est un
polynôme irréductible de degré deux. Par irréductibilité, le coefficient $b$ est
nécessairement non nul. L'extension $K$ est séparable
-\ssi le polynôme $f$ est séparable
+si et seulement si le polynôme $f$ est séparable
(\refext{Alg}{dec(f)-sep=>f-red-separable}),
ce qui est le cas sauf si $\car(k)=2$ et $a=0$
(cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}).
@@ -84,7 +57,7 @@ d'\emph{Artin-Schreier}\index{Artin-Schreier}, cf. \refext{KAS}{}.)
En résumé, nous avons établi la proposition suivante.
-\begin{proposition}\label{equation verselle C2}
+\begin{proposition2}\label{equation verselle C2}
\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un corps. Toute extension séparable de degré
deux est galoisienne
@@ -94,14 +67,14 @@ $X²-σX+1$ où $σ∈k$, de discriminant $σ²-4$ et de distinguant
$(σ²-4)^{-1}$.
\item Si $k$ est de caractéristique différente de deux,
l'équation précédente se transforme en $X²-π$,
-de discriminant $4π$. Un tel polynôme est irréductible \ssi
+de discriminant $4π$. Un tel polynôme est irréductible si et seulement si
$π∉k²$.
\item Si $k$ est de caractéristique deux, l'équation
précédente
se transforme en $X²-X-a$, de $2$-distinguant $a$.
-Un tel polynôme est irréductible \ssi $a∉℘k$.
+Un tel polynôme est irréductible si et seulement si $a∉℘k$.
\end{enumerate}
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
%idéalement, remplacer $℘$ par un $2$ sous une forme
%spéciale.
@@ -110,7 +83,7 @@ Les énoncés sur l'irréductibilité sont évidents et résultent
d'ailleurs de \refext{CG}{caracterisation groupe Gal
alterne}.
-\begin{remarque}
+\begin{remarque2}
La proposition ci-dessus ne donne pas une description
parfaite des extensions galoisiennes de degré deux : la
famille
@@ -121,13 +94,13 @@ les extensions $k_σ\bo k$ et $k_σ'\bo k$ peuvent
$σ²<4$ et $𝐑_σ≃𝐑²$ dans le cas contraire.)
L'équation ci-dessus est donc une équation « verselle »
et non universelle.
-\end{remarque}
+\end{remarque2}
\section{Extensions de groupe $C₃=𝐙/3$}
Nous nous proposons d'exhiber une équation verselle (à un
paramètre)
-pour le groupe $C₃$, \cad une équation (à un paramètre)
+pour le groupe $C₃$, c'est-à-dire une équation (à un paramètre)
décrivant,
de façon non nécessairement unique, les extensions
galoisienne de groupe $C₃$ d'un corps $k$.
@@ -221,14 +194,14 @@ racine
d'un polynôme du type attendu (où $a=\frac{y³-3y+1}{y²-y}$).
Il faut vérifier que, pour un choix convenable de $x$, $y_x$
engendre $K$ sur
-$k$, \cad n'appartient pas à $k$. La condition $y∈k$ se
+$k$, c'est-à-dire n'appartient pas à $k$. La condition $y∈k$ se
réécrit $σ(y)=y$
ou encore $y(1-y)=1$, équation ayant au plus deux solutions
dans $K$.
Or, si $1,α,β$ est une $k$-base de $K$, les quantités
$y_α,y_β$ et $y_{α+β}$
sont deux à deux distinctes.
-En effet, si par exemple $y_α=y_β=λ∈k$, \cad
+En effet, si par exemple $y_α=y_β=λ∈k$, c'est-à-dire
\[
\frac{α-σ²(α)}{α-σ(α)}=λ=\frac{β-σ²(β)}{β-σ(β)},
\]
@@ -326,18 +299,18 @@ En résumé, on a démontré la proposition suivante :
Soient $k$ un corps et $f=X³+aX+b$ un polynôme irréductible
séparable sur $k$.
Le groupe de Galois du polynôme $f$ est cyclique d'ordre
-trois \ssi
+trois si et seulement si
le polynôme $Y²+3bY+(a³+9b²)$ est scindé sur $k$.
\end{proposition2}
\begin{remarque2}\label{ce n'est pas une coincidence}
Il résulte des formules \refext{CG}{} que
\[
-\japmath{別}(Y²+3bY+(a³+9b²))=-\frac{a³+\mathbf{9}b²}{4a³+27b²}
+別(Y²+3bY+(a³+9b²))=-\frac{a³+\mathbf{9}b²}{4a³+27b²}
\]
et
\[
-\japmath{別}(X³+aX+b)=-\frac{a³+\mathbf{7}b²}{4a³+27b²}.
+別(X³+aX+b)=-\frac{a³+\mathbf{7}b²}{4a³+27b²}.
\]
La somme des deux racines du polynôme quadratique est $3b$,
où $b≠0$
@@ -380,12 +353,12 @@ $k₄=k₂(\sqrt{a+b\sqrt{ε}})$.
\begin{enumerate}
\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
cyclique
-d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est
+d'ordre quatre si et seulement si $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est
de la forme $εc²$ pour
un $c∈k^×$.
\item Une extension quadratique $k(\sqrt{ε})$ se plonge
dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre
-quatre \ssi $ε$ est une somme
+quatre si et seulement si $ε$ est une somme
de deux carrés dans $k$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -520,7 +493,7 @@ carrées (usuelles) par des racines $\root℘\of{}$.
\begin{exercice2}
Déduire du théorème précédent qu'un
polynôme $X⁴+AX²+B$ est de groupe de Galois isomorphe
-à $C₄$ \ssi $A²-4B∉k²$ et $\frac{A²-4B}{B}∈{k^×}²$.
+à $C₄$ si et seulement si $A²-4B∉k²$ et $\frac{A²-4B}{B}∈{k^×}²$.
\end{exercice2}
\begin{exercice2}
@@ -535,7 +508,7 @@ de $X$ sur $𝐐(T)$ est
X⁴-TX³+6X²+TX+1=0
\]
\item Montrer que l'équation ci-dessus est verselle
-\ssi $-1$ est un carré dans $k$.
+si et seulement si $-1$ est un carré dans $k$.
\end{enumerate}
\end{exercice2}
@@ -556,7 +529,7 @@ on associe le corps $k₄=k₂(\sqrt[℘]{a+b\sqrt[℘]{ε}})$.
\begin{enumerate}
\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
cyclique
-d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est
+d'ordre quatre si et seulement si $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est
de la forme
$ε+℘(c)$ pour un $c∈k$.
\item Une extension quadratique $k(\sqrt[℘]{ε})$ se plonge
@@ -639,7 +612,7 @@ $W_{r+1}(k)/℘W_{r+1}(k)↠W_{r}(k)/℘W_{r}(k)$
Déduire du théorème précédent
qu'un polynôme $X⁴+aX²+bX+c$ est de groupe de Galois
isomorphe
-à $C₄$ \ssi $...$ et $...$. \XXX
+à $C₄$ si et seulement si $...$ et $...$. \XXX
\end{exercice2}
\section{¶ Extensions de groupe quaternionique}
@@ -1186,7 +1159,7 @@ $\Hom_k(k[𝐇_k],A)$ est naturellement isomorphe
à l'ensemble $𝐇(A)$ est quaternions à coefficients
dans $k$. (En d'autres termes, l'algèbre
$k[𝐇_k]$ \emph{représente} (cf. \refext{Categ}{}) le \emph{foncteur}
-$𝐇:A ↦ 𝐇(A)$ : $𝐇=k[𝐇_k]^{\japmath{田}}$.)
+$𝐇:A ↦ 𝐇(A)$ : $𝐇=k[𝐇_k]^{田}$.)
De même $\Hom_k(k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}],A) ⥲ 𝐇^×(A)$.
Remarquons que les anneaux $k[𝐇^×]:=k[𝐇_k][\frac{1}{x₁²+x²_\i+x²_\j+x²_\k}]$
et $k[𝐇_k]$ ont même corps des fractions de sorte qu'il suffit
@@ -1366,7 +1339,7 @@ Signalons la caractérisation suivante des bases normales.
\begin{proposition2}\label{caracterisation base normale}
Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne de groupe $G$
et $x∈K$. Les éléments $g(x)$, où $g$ parcourt $G$,
-forment une base de $K$ sur $k$ \ssi le déterminant
+forment une base de $K$ sur $k$ si et seulement si le déterminant
$\det\big(g′g(x)\big)_{(g ′,g)∈G²}$ est non nul.
\end{proposition2}
@@ -1391,7 +1364,7 @@ que les $\{g(x)\}_{g∈G}$ sont liés.
\subsubsection{Stratégie}
Nous allons procéder par « changement de base » (on dit aussi
« localisation (étale) » ) : on « monte » en tensorisant par $K$ sur
-$k$ --- la situation devenant alors limpide --- puis on « redescend » à $k$.
+$k$ — la situation devenant alors limpide — puis on « redescend » à $k$.
L'ingrédient essentiel de la première étape est la proposition \refext{CG}{galois=autodiag}.
Une autre méthode, relativement proche, consiste à démontrer
par changement de base l'indépendance algébrique des caractères
@@ -1419,7 +1392,7 @@ g^{-1}(λ)μ \,e_{g})$ (produit dans $K[G]$). Ce produit est $y=∑_g g^{-1}(λ)
\begin{proposition2}\label{pleine-fidelite-cb}
Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension, $A$ une $k$-algèbre non nécessairement commutative
et $A_K$ le produit tensoriel $A⊗_k K$. Deux $A$-modules à gauche $M₁$ et $M₂$
-\emph{de dimension finie sur $k$} sont $A$-isomorphes \ssi $M₁⊗_k K$ et $M₂⊗_k
+\emph{de dimension finie sur $k$} sont $A$-isomorphes si et seulement si $M₁⊗_k K$ et $M₂⊗_k
K$ sont $A_K$-isomorphes.
\end{proposition2}
@@ -1432,7 +1405,7 @@ Ceci est suffisant pour démontrer le théorème de la base normale car tout gro
d'une extension finie de corps finis est cyclique.
\begin{démo}
-Soient $M₁$ et $M₂$ comme dans l'énoncé, supposés isomorphes sur $K$ \cad tels
+Soient $M₁$ et $M₂$ comme dans l'énoncé, supposés isomorphes sur $K$ c'est-à-dire tels
qu'il existe un $A_K$-isomorphisme ${M₁}_K≃{M₂}_K$.
Nécessairement $\dim_k(M₁)=\dim_k(M₂)$ car $\dim_k(M_i)=\dim_K({M_i}_K)$ pour
chaque $i∈\{1,2\}$. Soit $V=\Hom_A(M₁,M₂)$ ; c'est un sous-$k$-espace vectoriel de
@@ -1547,9 +1520,9 @@ les extensions de groupe $G$.
\end{théorème2}
Rappelons que l'ensemble des $k$-morphismes de $BG$ vers une $k$-algèbre
-$T$ est noté $BG^\japmath{田}(T)$. Le théorème précédent
+$T$ est noté $BG^田(T)$. Le théorème précédent
affirme donc que toute extension galoisienne de $K$ de groupe
-$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^\japmath{田}(K)$
+$G$ correspond à (au moins) un élément de l'ensemble $BG^田(K)$
des \emph{$K$-points de $BG$}. Le choix des notations
provient de la topologie, où l'on note souvent $BG$
les espaces dit « classifiants » et $EG$ le « $G$-torseur universel »
@@ -1569,12 +1542,15 @@ Le morphisme composé $k[x_g:g∈G] ↪ K[x_g:g∈G] → L$ s'étend
donc, de façon unique, en un $k$-morphisme $EG → L$.
Par construction, ce morphisme est $G$-équivariant ;
il s'insère donc dans un diagramme commutatif
-\[
-\xymatrix{
-L & EG \ar[l] \\
-K \ar[u] & BG \ar[u] \ar[l]
-}
-\]
+
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%\[
+%\xymatrix{
+%L & EG \ar[l] \\
+%K \ar[u] & BG \ar[u] \ar[l]
+%}
+%\]
+
On utilise ici le fait que $\Fix_G(L)=K$.
Par propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres,
le morphisme $EG → L$ se factorise en
@@ -1593,7 +1569,7 @@ est un isomorphisme.
Soient $G$ un groupe abélien et $k$ un anneau. Le foncteur $k\traitdunion\Alg→\Ens$,
associant à une $k$-algèbre $A$ l'ensemble $\Hom_{\Ens}(G,A)=A^{(G)}$ est
représentable par la $k$-algèbre $CG=k[x_g:g∈G]$. En effet, l'application
-\[CG^\japmath{田}(A)=\{φ \colon k[x_g:g∈G]→A\}→\Hom_{\Ens}(G,A),\]
+\[CG^田(A)=\{φ \colon k[x_g:g∈G]→A\}→\Hom_{\Ens}(G,A),\]
envoyant un morphisme $φ $ sur la fonction $f_φ: g↦φ(x_g)$ est une bijection fonctorielle en $A$.
Pour chaque $A$, les ensembles $\Hom_{\Ens}(G,A)$
@@ -1602,13 +1578,13 @@ donnée par le \emph{produit de convolution} :
\[(f⋆f')(h)=∑_{gg'=h}f(g)f'(g').\] Cette $k$-algèbre n'est autre que
l'algèbre de groupe $A[G]$. Le produit $A[G]×A[G]→A[G]$, pour $A$
variable, correspond donc à un morphisme de foncteurs
-\[CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}.\] Par
+\[CG^田×CG^田→CG^田.\] Par
définition du produit tensoriel, le foncteur « produit cartésien »
-$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}$ envoyant
-$A$ sur $CG^\japmath{田}(A)×CG^\japmath{田}(A)$ est représentable
+$CG^田×CG^田$ envoyant
+$A$ sur $CG^田(A)×CG^田(A)$ est représentable
par le produit tensoriel $CG ⊗_k CG$.
D'après le lemme de Yoneda, le morphisme de foncteurs
-$CG^\japmath{田}×CG^\japmath{田}→CG^\japmath{田}$,
+$CG^田×CG^田→CG^田$,
déduit du produit de convolution, correspond à un morphisme de $k$-algèbres
dans l'autre sens :
\[
@@ -1702,15 +1678,15 @@ tensoriel $k[T,T^{-1}]^{⊗ μ}$ (produit tensoriel indicé par l'ensemble
à $n$ éléments $μ$), lui-même isomorphe à l'algèbre
$k[T_ζ^{±1}: ζ ∈ μ]$. Soit $ζ ∈ μ$ une racine primitive. La projection
$\pr_ζ:\Gm^μ→\Gm$ induit, via l'isomorphisme
-$E_n^\japmath{田} ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
-$E_n ^\japmath{田}→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
+$E_n^田 ≃ \Gm^ μ$, un morphisme de foncteurs
+$E_n ^田→\Gm$ ; il est $𝐙/n$-équivariant
si l'on fait agir $\sur{i} ∈ 𝐙/n$ sur $\Gm$ par multiplication
par la puissance $ζ^{\sur{i}}$ de $ζ$. Le morphisme composé
-de foncteurs $E _n ^\japmath{田}→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^\japmath{田}$
+de foncteurs $E _n ^田→\Gm \dessusdessous{[n]}{→} \Gm=k[X,X^{-1}]^田$
étant $𝐙/n$-équivariant, où le second $\Gm$ est muni
de l'action triviale, il se factorise
-à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^\japmath{田}→ B_n
-^\japmath{田}$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$.
+à travers le morphisme de foncteurs $E_n ^田→ B_n
+^田$, où l'on écrit $B_n$ pour $B(𝐙/n)$.
Détaillons pourquoi. Le morphisme d'algèbres composé $k[X,X^{-1}] → k[X,X^{-1}] → E_n$
correspondant est $𝐙/n$-équivariant où l'action est triviale à la source : son
image est donc contenue dans l'algèbre des points fixes
@@ -1721,12 +1697,14 @@ Si $L \bo K$ est une extension galoisienne de groupe $𝐙/n$,
où $K$ est une extension de $k$, le diagramme de la démonstration du théorème
\ref{base normale géométrique} se complète
donc en un diagramme commutatif de $k$-algèbres
-\[
-\xymatrix{
-L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
-K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
-}
-\]
+
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%\[
+%\xymatrix{
+%L & E _n \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \\
+%K \ar[u] & B _n \ar[u] \ar[l] & k[X,X^{-1}] \ar[l] \ar[u]^{X ↦ X^n}
+%}
+%\]
L'extension $k[X^{±1}] → k[X^{±1}]$, $X ↦ X^n$
est galoisienne de groupe $𝐙/n$ (\refext{CG}{revêtement
@@ -1764,13 +1742,13 @@ a₀+a₁X+\cdots+a_{p-1}X^{p-1} \mod X^p ∈ (A[X]/(X^p))^×↦ \frac{a₁}{a
sont $𝐙/p$-équivariants, où $𝐙/p$ agit par multiplication
par $1+X$ sur $(A[X]/(X^p))^×$ et par translation par $1$ sur $A$.
Ils définissent un morphisme de foncteurs
-$E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga=k[Y]^{\japmath{田}}$,
+$E_{[1]}^{田}→\Ga=k[Y]^{田}$,
où l'on écrit $E_{[1]}$ pour $E(𝐙/p¹)$.
Enfin, l'action de $𝐙/p$ sur $\Ga$ étant tuée par
le morphisme de Weierstraß $ ℘:Y ↦ Y^p-Y$,
-le morphisme composé $E_{[1]}^{\japmath{田}}→\Ga
+le morphisme composé $E_{[1]}^{田}→\Ga
\dessusdessous{℘}{→} \Ga$ se factorise à travers un morphisme
-$B_{[1]}^{\japmath{田}} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$.
+$B_{[1]}^{田} → \Ga$, où l'on écrit $B_{[1]}$ pour $B(𝐙/p)$.
En retournant les flèches, on obtient comme ci-dessus — par le lemme de Yoneda —
un morphisme de $k$-algèbres $k[Y] → B _{[1]}$.
diff --git a/config/macros.tex b/config/macros.tex
new file mode 100644
index 0000000..fcd8f5d
--- /dev/null
+++ b/config/macros.tex
@@ -0,0 +1,271 @@
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
+
+%%
+%% Macros pour les formules
+%%
+
+%% Opérateurs en caractères romains, etc.
+
+% Macro pour définir un opérateur dans une police quelconque
+\newcommand\DeclareMathOperatorWithFont[3]{%
+\newcommand{#1}{\mathop{\kern0pt\relax#2{#3}}\nolimits}}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Hom}{\mathsf}{Hom}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\MHom}{\mathsf}{MHom}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\End}{\mathsf}{End}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Isom}{\mathsf}{Isom}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Aut}{\mathsf}{Aut}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Int}{\mathsf}{Int}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Out}{\mathsf}{Out}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Sym}{\mathsf}{Sym} % quelle police utiliser ?
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Der}{\mathrm}{Dér} % quelle police utiliser ?
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Id}{\mathrm}{Id}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Ker}{\mathrm}{Ker}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Coker}{\mathrm}{Coker}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\rmIm}{\mathrm}{Im}
+\AtBeginDocument{\let\Im\rmIm} % Écrase la définition standard de \Im
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Fix}{\mathrm}{Fix}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Stab}{\mathrm}{Stab}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\pgcd}{\mathrm}{pgcd}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\ppcm}{\mathrm}{ppcm}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\prlim}{\mathrm}{lim}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\colim}{\mathrm}{colim}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\car}{\mathrm}{car}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Frob}{\mathrm}{Frob}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Spec}{\mathrm}{Spec}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Specmax}{\mathrm}{Specmax}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Frac}{\mathrm}{Frac}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Nilp}{\mathrm}{Nilp}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\red}{\mathrm}{red}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Idem}{\mathrm}{Idem}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Ann}{\mathrm}{Ann}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\rad}{\mathrm}{rad}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\dec}{\mathrm}{déc}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Gal}{\mathrm}{Gal}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Result}{\mathrm}{Résult}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Pic}{\mathrm}{Pic}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Br}{\mathrm}{Br}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Azu}{\mathrm}{Azu}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Tr}{\mathrm}{Tr}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Trd}{\mathrm}{Trd}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\N}{\mathrm}{N}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Nrd}{\mathrm}{Nrd}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\NSpin}{\mathrm}{N\!S}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\ev}{\mathrm}{ev}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\pr}{\mathrm}{pr}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\ob}{\mathsf}{Ob}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\GL}{\mathrm}{GL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\PGL}{\mathrm}{PGL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\AGL}{\mathrm}{AGL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\PSL}{\mathrm}{PSL}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Orth}{\mathrm}{O}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\SOrth}{\mathrm}{SO}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\rang}{\mathrm}{rang}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\degtr}{\mathrm}{deg.tr}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\diag}{\mathrm}{diag}
+
+\DeclareMathOperatorWithFont{\Res}{\mathrm}{Rés}
+
+% Exposants
+\newcommand{\op}{^{\mathsf{op}}}
+\newcommand{\sep}{^{\mathrm{sép}}}
+\newcommand{\alg}{^{\mathrm{alg}}}
+
+%% Ensembles usuels
+\newcommand{\ZZ}{\mathbf{Z}}
+\newcommand{\NN}{\mathbf{N}}
+\newcommand{\RR}{\mathbf{R}}
+\newcommand{\QQ}{\mathbf{Q}}
+\newcommand{\CC}{\mathbf{C}}
+\newcommand{\PP}{\mathbf{P}}
+\newcommand{\FF}{\mathbf{F}}
+\newcommand{\GG}{\mathbf{G}}
+\newcommand{\Gm}{\mathbf{G}_{\mathrm{m}}}
+\newcommand{\Ga}{\mathbf{G}_{\mathrm{a}}}
+
+%% Divers (choses qu'on pourrait vouloir changer)
+
+% Barre oblique apparaissant dans A/k
+\newcommand{\bo}{/}
+
+% Symbole de Legendre
+\newcommand{\Legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}
+
+% Quaternions
+\def\quater#1#2{\left(\frac{#1}{#2}\right)_{\mathbf{H}}}
+
+% Transposée
+\def\transpose#1{{^{\mathrm{t}}{#1}}}
+
+% Pourquoi a-t-on fait ça ?
+\newcommand{\MM}{\mathfrak{m}}
+
+% Police pour les catégories
+\newcommand{\categ}[1]{\mathtt{#1}}
+
+\newcommand{\Ens}{\categ{Ens}}
+\newcommand{\Alg}{\categ{Alg}}
+
+%% Macros générales
+\providecommand*\clap[1]{\hbox to 0pt{\hss#1\hss}}
+
+% Trouvé sur <URL: http://tug.org/pipermail/luatex/2010-October/002192.html >
+\makeatletter
+\def\DeclareUnicodeMathSymbol#1#2#3#4{
+ \global\luatexUmathchardef#1=
+ "\mathchar@type#2
+ "\the\csname sym#3\endcsname
+ #4
+}
+\makeatother
+
+% Adapté du package mathtools
+\makeatletter
+\newcommand\mathrlap[1][\@empty]{
+ \ifx\@empty#1\@empty
+ \expandafter \mathpalette \expandafter \sub@mathrlap
+ \else
+ \expandafter \sub@mathrlap \expandafter #1
+ \fi
+}
+\def\sub@mathrlap#1#2{{}\rlap{$\m@th#1{#2}$}}
+\makeatother
+
+%% Tiret et trait d'union en mode maths
+%\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"2013}
+\DeclareUnicodeMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"2013}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+
+%% Symboles divers
+\DeclareUnicodeMathSymbol{\boxempty}{\mathord}{operators}{"25A1}
+\DeclareUnicodeMathSymbol{\bimu}{\mathord}{operators}{"1D6CD}
+
+%% En attendant de trouver une solution (cf. \bigboxtimes de mathabx qui ne marche pas avec nos paquets)
+\newcommand{\bigboxtimes}{\mathop{\lower.6ex\hbox{\huge$\boxtimes$}}\limits}
+
+%% Produit restreint
+\newcommand{\resprod}{\mathop{\mathrlap{\coprod}{\prod}}}
+
+%% Une horreur pour avoir \lwave et compagnie sans inclure le package mathdesign:
+\DeclareFontFamily{OMX}{mdput}{}
+\DeclareFontShape{OMX}{mdput}{m}{n}{<-> mdputr7v}{}
+\DeclareSymbolFont{mathdesignlargesymbols}{OMX}{mdput}{m}{n}
+\SetSymbolFont{mathdesignlargesymbols}{bold}{OMX}{mdput}{b}{n}
+\DeclareMathDelimiter{\lwave}{\mathopen} {mathdesignlargesymbols}{"D0}{mathdesignlargesymbols}{"D0}
+\DeclareMathDelimiter{\rwave}{\mathclose}{mathdesignlargesymbols}{"D0}{mathdesignlargesymbols}{"D0}
+\DeclareMathDelimiter{\levaw}{\mathopen} {mathdesignlargesymbols}{"D1}{mathdesignlargesymbols}{"D1}
+\DeclareMathDelimiter{\revaw}{\mathclose}{mathdesignlargesymbols}{"D1}{mathdesignlargesymbols}{"D1}
+
+%% Caractères japonais
+% On définit la police IPA Mincho. En mode texte :
+\newfontfamily\IPAMincho[Script=CJK]{IPAMincho}
+% Et en mode maths (l'argument range semble ne pas fonctionner !) :
+\setmathfont[range={"4E00-"9FFF},Script=CJK]{IPAMincho}
+% On sauve le nom LaTeX de famille de cette police
+\ExplSyntaxOn
+\let\saveIPAMinchoFamily\um_symfont_tl
+\ExplSyntaxOff
+% Maintenant on peut définir les caractères eux-mêmes
+\Umathcode`米="0"\the\csname sym\saveIPAMinchoFamily\endcsname"7C73
+\DeclareUnicodeMathSymbol{\yone}{\mathord}{\saveIPAMinchoFamily}{"7C73}
+\Umathcode`田="0"\the\csname sym\saveIPAMinchoFamily\endcsname"7530
+\DeclareUnicodeMathSymbol{\yoneDA}{\mathord}{\saveIPAMinchoFamily}{"7530}
+\Umathcode`別="0"\the\csname sym\saveIPAMinchoFamily\endcsname"5225
+\DeclareUnicodeMathSymbol{\betsu}{\mathord}{\saveIPAMinchoFamily}{"5225}
+
+% Voir <URL: http://tex.stackexchange.com/questions/95304/spacing-changes-when-using-unicode-math-range-feature-why >
+\setmathfont[range={}]{XITS Math}
+
+%% Fabrice n'aime pas les noms anglais
+\let\chap\widehat
+\let\gtilde\widetilde
+\let\sur\overline
+\let\sous\underline
+\let\dessusdessous\stackrel
+
+%%
+%% Environnements français
+%%
+
+\newtheorem{lemme2}[subsubsection]{Lemme}
+\newtheorem{proposition2}[subsubsection]{Proposition}
+\newtheorem{theoreme2}[subsubsection]{Théorème}
+% Ce qui suit définit l'environnement {théorème2} comme exactement synonyme de {theoreme2}
+\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname théorème2\endcsname\csname theoreme2\endcsname
+\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname endthéorème2\endcsname\csname endtheoreme2\endcsname
+\newtheorem{corollaire2}[subsubsection]{Corollaire}
+\newtheorem{sslmm2}[subsubsection]{Sous-lemme}
+\newtheorem{definition2}[subsubsection]{Définition}
+% Ce qui suit définit l'environnement {définition2} comme exactement synonyme de {definition2}
+\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname définition2\endcsname\csname definition2\endcsname
+\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname enddéfinition2\endcsname\csname enddefinition2\endcsname
+\newtheorem{convention2}[subsubsection]{Convention}
+\newtheorem{remarque2}[subsubsection]{Remarque}
+\newtheorem{remarques2}[subsubsection]{Remarques}
+\newtheorem{miseengarde2}[subsubsection]{Mise en garde}
+\newtheorem{exemple2}[subsubsection]{Exemple}
+\newtheorem{exemples2}[subsubsection]{Exemples}
+\newtheorem{exercice2}[subsubsection]{Exercice}
+\newtheorem{algorithme2}[subsubsection]{Algorithme}
+\newtheorem{question2}[subsubsection]{Question}
+\newtheorem{definitionrestreinte2}[subsubsection]{Définition restreinte}
+% Ce qui suit définit l'environnement {définition2} comme exactement synonyme de {definition2}
+\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname définitionrestreinte2\endcsname\csname definitionrestreinte2\endcsname
+\expandafter\expandafter\expandafter\let\expandafter\expandafter\csname enddéfinitionrestreinte2\endcsname\csname enddefinitionrestreinte2\endcsname
+\newtheorem{conventionrestreinte2}[subsubsection]{Convention restreinte}
+
+\renewcommand{\proofname}{Démonstration}
+% Ce qui suit définit l'environnement {démo} comme exactement synonyme de {proof}
+\expandafter\let\csname démo\endcsname\proof
+\expandafter\let\csname enddémo\endcsname\endproof
+
+\renewcommand{\contentsname}{Table des matières}
+
+%%
+%% Macros générales
+%%
+
+%% Référence externe (chapitre #1, référence #2)
+\newcommand\refext[2]{\textbf{#1}-\ref{#2}}
+
+%% Commentaires
+\newcommand\commentaire[1]{\textcolor{Magenta}{#1}}
+\newcommand\XXX{\textcolor{Magenta}{(XXX)}}
+
+%%
+%% Macros pourries
+%%
+\newcommand{\bbk}[5]{{\bf Bourbaki}, #1,~{\sc #2}, §#3, n°#4\,#5}
+\newcommand{\bbkac}[4]{\bbk{A.C.}{#1}{#2}{#3}{#4}}
+\newcommand{\bbka}[4]{\bbk{A.}{#1}{#2}{#3}{#4}}
+
+\newcommand\BourbakiAC[1]{[{\bf AC}, #1]}
+\newcommand\BourbakiTS[1]{[{\bf TS}, #1]}
+\newcommand\BourbakiE[1]{[{\bf E}, #1]}
+\newcommand\BourbakiA[1]{[{\bf A}, #1]}
+\newcommand\BourbakiEVT[1]{[{\bf EVT}, #1]}
+\newcommand\BourbakiFVR[1]{[{\bf FVR}, #1]}
+\newcommand\BourbakiINT[1]{[{\bf INT}, #1]}
+\newcommand\BourbakiVAR[1]{[{\bf VAR}, #1]}
+\newcommand\BourbakiLIE[1]{[{\bf LIE}, #1]}
+\newcommand\BourbakiTG[1]{[{\bf TG}, #1]}
+
+%%
+%% Paramétrages divers
+%%
+\setcounter{tocdepth}{2}
+
diff --git a/config/preambule.tex b/config/preambule.tex
new file mode 100644
index 0000000..f3abff4
--- /dev/null
+++ b/config/preambule.tex
@@ -0,0 +1,26 @@
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
+%%
+%% Les packages à inclure.
+%%
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+%\usepackage{xr-hyper}
+%% TEMPORAIRE :
+\newcommand\externaldocument[1]{\relax}
+\usepackage[pagebackref,unicode]{hyperref}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{fontspec}
+\usepackage[math-style=ISO,bold-style=upright,sans-style=upright]{unicode-math}
+%%
+%% Bibliothèques TikZ
+%%
+\usetikzlibrary{matrix}
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{calc}
+\usetikzlibrary{positioning}
+%%
+%% Polices
+%%
+\setmainfont{Linux Libertine O}
+\setmathfont{XITS Math}
diff --git a/decorum/leitfaden.tex b/decorum/leitfaden.tex
index 451ec9a..36e97e9 100644
--- a/decorum/leitfaden.tex
+++ b/decorum/leitfaden.tex
@@ -1,31 +1,8 @@
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\synctex=1
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{arrows,matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
-
-\textwidth18cm
-\voffset-2cm
-\hoffset-3cm
-\textheight25cm
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\begin{document}
\fi
\begin{center}
diff --git a/decorum/plan-bouquin.tex b/decorum/plan-bouquin.tex
index ccfa714..bb2978a 100644
--- a/decorum/plan-bouquin.tex
+++ b/decorum/plan-bouquin.tex
@@ -1,28 +1,11 @@
-%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{article}
-\usepackage[francais,english]{babel}
-\usepackage[utf8x]{inputenc}
-\usepackage[T1]{fontenc}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-% A tribute to the worthy AMS:
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{amsfonts}
-\usepackage{amssymb}
-\usepackage{amsthm}
-\usepackage{mathrsfs}
-\usepackage{bm}
-%
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/ucs_manquants}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-%
-
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\begin{document}
-%\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
\fi
+
\begin{center}
Plan et avancement
\end{center}
@@ -35,7 +18,7 @@ Plan et avancement
\end{center}
\begin{enumerate}
-\item ✓ Spectre et idéaux premiers (appendice). \texttt{spectre.tex} [Spec] (F)
+\item ✔ Spectre et idéaux premiers (appendice). \texttt{spectre.tex} [Spec] (F)
\begin{enumerate}
\item Spectre, spectre maximal.
\item Lemme chinois.
@@ -43,7 +26,7 @@ Plan et avancement
\item Idempotents.
\end{enumerate}
-\item ✓ Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques. \texttt{extensions-algebriques.tex} [Alg] (F).
+\item ✔ Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques. \texttt{extensions-algebriques.tex} [Alg] (F).
\begin{enumerate}
\item Conséquences du lemme chinois.
\item Structures des algèbres de dimension finie sur un corps.
@@ -56,34 +39,34 @@ Plan et avancement
\item Corps finis. \texttt{corps-finis.tex} [Fin] (D).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Existence et unicité.
-\item ✓ Cyclicité du groupe multiplicatif.
+\item ✔ Existence et unicité.
+\item ✔ Cyclicité du groupe multiplicatif.
\item Sommes de Jacobi/Gauß ; hypersurfaces diagonales.
\end{enumerate}
\item Correspondance de Galois. \texttt{correspondance-galois.tex} [CG] (F).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Conjugués d'un élément, extensions normales, galoisiennes.
+\item ✔ Conjugués d'un élément, extensions normales, galoisiennes.
\item (en cours) ¶ Extension galoisiennes d'anneaux
-\item ✓ Groupe de Galois d'un polynôme. Réduction modulo $p$ (facile).
-\item ✓ Correspondance de Galois : le cas fini classique.
-\item ✓ Fonctorialité.
-\item ✓ $\mathbb{C}$ est algébriquement clos. Groupe de Galois de $\mathbb{C}/\mathbb{R}$. (F).
+\item ✔ Groupe de Galois d'un polynôme. Réduction modulo $p$ (facile).
+\item ✔ Correspondance de Galois : le cas fini classique.
+\item ✔ Fonctorialité.
+\item ✔ $\CC$ est algébriquement clos. Groupe de Galois de $\CC/\RR$. (F).
\item $\Gal(𝐐(\zeta_n)\bo 𝐐)=(𝐙/n)^×$ via théorème de spécialisation.
\end{enumerate}
\item Catégories (appendice). \texttt{categories.tex} [Cat] (D).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Catégories, foncteurs, transformations naturelles. (Exemples, dont
+\item ✔ Catégories, foncteurs, transformations naturelles. (Exemples, dont
ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
-\item ✓ Limites, colimites.
-\item ✓ Foncteurs représentables, lemme de Yoneda. (Objets compacts ?)
-\item ✓? Adjonctions de foncteurs.
+\item ✔ Limites, colimites.
+\item ✔ Foncteurs représentables, lemme de Yoneda. (Objets compacts ?)
+\item ✔? Adjonctions de foncteurs.
\end{enumerate}
\item Produit tensoriel (appendice). \texttt{produit-tensoriel.tex} [Tens] (D).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Produit tensoriel de modules.
+\item ✔ Produit tensoriel de modules.
\item Produit tensoriel d'algèbres. [dont produit tensoriel infini]
\end{enumerate}
@@ -96,13 +79,13 @@ ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{\value{valeur}}
-\item ✓ Algorithmiques des corps finis. \texttt{algo-corps-finis.tex} [ACF] (D).
+\item ✔ Algorithmiques des corps finis. \texttt{algo-corps-finis.tex} [ACF] (D).
\begin{enumerate}
\item Dénombrement des polynômes irréductibles, critères d'irréductibilité.
\item Algorithme(s) de factorisation.
\end{enumerate}
-\item ✓ Bases de Gröbner et applications. \texttt{bases-groebner.tex} [Groebner] (D).
+\item ✔ Bases de Gröbner et applications. \texttt{bases-groebner.tex} [Groebner] (D).
\begin{enumerate}
\item Monômes, idéaux monomiaux et ordres admissibles.
\item Bases de Gröbner.
@@ -112,21 +95,21 @@ ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\end{enumerate}
-\item ✓ Calculs de groupes de Galois : exemples. \texttt{exemples-galois.tex} [ExG] (D).
+\item ✔ Calculs de groupes de Galois : exemples. \texttt{exemples-galois.tex} [ExG] (D).
\begin{enumerate}
\item premiers exemples : équations explicites de petits degré. (D)
\item Polynômes en $t^2$. (D)
\item Groupe simple à 168 éléments etc. (D)
\end{enumerate}
-\item ✓ Algorithmes de calculs. \texttt{calculs-galois.tex} [calculs] (D).
+\item ✔ Algorithmes de calculs. \texttt{calculs-galois.tex} [calculs] (D).
\begin{enumerate}
\item Résolvantes.
\end{enumerate}
\item Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie. (D) \texttt{radicaux.tex} [radicaux]
\begin{enumerate}
-\item ✓ Résolubilité par radicaux.
+\item ✔ Résolubilité par radicaux.
\item th. Loewy/Hölder sur la résolubilité par radicaux réels  ; cas des racines de l'unité
\item Calculs explicites en degré $3$. (Y compris \textit{casus irreductibilis} [cf. partiel 2006 Rosso])
\item Calculs explicites en degré $4$.
@@ -154,19 +137,19 @@ ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\item Formes tordues. \texttt{formes-tordues.tex} [formes] (F).
\begin{enumerate}
\item (réécriture en cours) Galois-Grothendieck.
-\item ✓ Formes et cohomologie galoisienne.
-\item ✓ Hilbert 90.
+\item ✔ Formes et cohomologie galoisienne.
+\item ✔ Hilbert 90.
\item Torseurs.
\end{enumerate}
-\item ✓ Corps $C₁$. \texttt{corps-c1.tex} [C1] (D).
+\item ✔ Corps $C₁$. \texttt{corps-c1.tex} [C1] (D).
\begin{enumerate}
\item Définitions.
\item Chevalley-Warning et application aux coniques.
\item Tsen.
\end{enumerate}
-\item ✓ Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer. \texttt{brauer.tex} [Azu] (F).
+\item ✔ Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer. \texttt{brauer.tex} [Azu] (F).
\begin{enumerate}
\item Skolem-Nœther.
\item $\Azu_n=H¹(K\bo k,\PGL_n)$.
@@ -179,21 +162,21 @@ ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\item Équations verselles et petits degrés. \texttt{verselles.tex} [versel] (F).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/2$.
-\item ✓ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/3$. Extensions de degré $3$.
-\item ✓ Extensions de groupe $V_4$.
-\item ✓ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/4$.
-\item ✓ Extensions quaternioniques.
-\item ✓ Théorème de la base normale et $G$-algèbre galoisienne verselle
+\item ✔ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/2$.
+\item ✔ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/3$. Extensions de degré $3$.
+\item ✔ Extensions de groupe $V_4$.
+\item ✔ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/4$.
+\item ✔ Extensions quaternioniques.
+\item ✔ Théorème de la base normale et $G$-algèbre galoisienne verselle
\item Extension de degré $5$ (théorème d'Hermite)
\end{enumerate}
\item Théorie de Kummer et Artin-Schreier-Witt. (F) \texttt{KASW.tex} [KAS]
\begin{enumerate}
-\item ✓ Irréductibilité des $X^n-a$. Kummer.
-\item ✓ Artin-Schreier.
-\item ✓ Vecteurs de Witt.
-\item ✓ Artin-Schreier-Witt.
+\item ✔ Irréductibilité des $X^n-a$. Kummer.
+\item ✔ Artin-Schreier.
+\item ✔ Vecteurs de Witt.
+\item ✔ Artin-Schreier-Witt.
\item Algèbres simples centrales de degré $p^r$.
\item Facultatif : construction d'anneaux de Fontaine.
\end{enumerate}
@@ -211,7 +194,7 @@ ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\item Théorie de Galois infinie. \texttt{krull.tex} [Krull] (F).
\begin{enumerate}
-\item ✓ Généralités.
+\item ✔ Généralités.
\item Équivalence de catégories entre $\mathrm{Rep}_{\mathbb{F}_p}(G_k)$ et $\varphi$-modules étales
si $k$ est un corps de caractéristique $p>0$.
\end{enumerate}
@@ -239,9 +222,9 @@ si $k$ est un corps de caractéristique $p>0$.
\begin{enumerate}
\item topologie sur $\Spec(A)$
\item foncteur $A↦T(A)$ ; th. de constructibilité de Chevalley. ([Olivier 1978], « Anneau absolument plat universel etc. ».)
-\item ✓ Éléments entiers sur un anneau.
-\item ✓ Relèvement des idéaux premiers (Cohen-Seidenberg).
-\item ✓ Anneaux d'invariants sous un groupe fini.
+\item ✔ Éléments entiers sur un anneau.
+\item ✔ Relèvement des idéaux premiers (Cohen-Seidenberg).
+\item ✔ Anneaux d'invariants sous un groupe fini.
\item (en cours) Spécialisation du groupe de Galois.
\item Normalisation dans une extension séparable. (Donner un contre-exemple non japonais)
\item théorie de la dimension
@@ -268,7 +251,7 @@ et densité des poins algébriques séparables dans un schéma lisse sur un corp
\item Krasner ; complétude $𝐂_p$.
\item Sous-groupes de ramification ; interprétation « géométrique »
\item Groupe de Galois de l'exponentielle tronquée (dont postulat de Bertrand).
-\item Automorphismes de $\mathbb{Q}_p$ sur $\mathbb{Q}$.
+\item Automorphismes de $\QQ_p$ sur $\QQ$.
\item Corps $p$-adiquement clos.
\item Anneaux de Dedekind : généralités
\item Différente, discriminant et ramification
@@ -279,15 +262,15 @@ et densité des poins algébriques séparables dans un schéma lisse sur un corp
\item Corps locaux, corps globaux. \texttt{locaux-globaux.tex} [LG]
\begin{enumerate}
-\item (esquisse ✓) définition, caractérisation
-\item (esquisse ✓) Analyse harmonique locale
-\item (esquisse ✓) Adèles et idèles ; lien avec le groupe de Picard etc.
+\item (esquisse ✔) définition, caractérisation
+\item (esquisse ✔) Analyse harmonique locale
+\item (esquisse ✔) Adèles et idèles ; lien avec le groupe de Picard etc.
\item théorie géométrique des nombres : théorème des unités, théorème de Minkowski, calculs de volumes
\item finitude du groupe de Picard ; formule dans le cas quadratique
-\item (esquisse ✓) Analyse harmonique globale : formule de Poisson-Riemann-Roch
-\item (esquisse ✓) Théorème de Riemann-Roch pour les courbes
+\item (esquisse ✔) Analyse harmonique globale : formule de Poisson-Riemann-Roch
+\item (esquisse ✔) Théorème de Riemann-Roch pour les courbes
\item (esquisse partielle) Équations fonctionnelles pour fonctions $L$ de Hecke : la méthode de Iwasawa-Tate.
-\item (esquisse ✓) Fonction $\zeta$ de Dedekind ; pôle en $1$.
+\item (esquisse ✔) Fonction $\zeta$ de Dedekind ; pôle en $1$.
\item Simple connexité de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$. Application : groupe de Galois de $X^n - X - 1$.
\item ¶ Hypothèse de Riemann pour les courbes : méthode de Bombieri.
\item fonction $\zeta$ sur $\mathbb{Z}$ de $x^3+y^3+z^3$.
@@ -297,7 +280,7 @@ et densité des poins algébriques séparables dans un schéma lisse sur un corp
\item Frobenius, \v{C}ebotarëv. \texttt{Cebotarev.tex} [modp]
\begin{enumerate}
-\item ✓ Rappels sur la réduction modulo $p$ ; th. de van der Waerden
+\item ✔ Rappels sur la réduction modulo $p$ ; th. de van der Waerden
\item Théorème de Frobenius : énoncé et démonstration
\item Applications
\item Exemples
@@ -331,7 +314,7 @@ Grothendieck et cas radiciel (cf. LNM 389).
[si elle existe] des polynômes de degré donné ayant exactement $r$-racines
réelles ?)
\item Groupes de Galois absolus finis (Artin-Schreier).
-\item Automorphismes de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{Q}$.
+\item Automorphismes de $\RR$ sur $\QQ$.
\end{enumerate}
\item Constructions « exotiques » de corps.
diff --git a/decorum/translitterations.tex b/decorum/translitterations.tex
index c6a5187..0bcca69 100644
--- a/decorum/translitterations.tex
+++ b/decorum/translitterations.tex
@@ -1,31 +1,21 @@
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
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-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\begin{document}
\begin{center}Orthographe originale des noms translittérés ; transcription\end{center}
\else
\chapter{Orthographe originale des noms translittérés ; transcription}
\fi
-AKIDUKI (AKIZUKI) \jap{秋月康夫} [API] ...
+AKIDUKI (AKIZUKI) {\IPAMincho 秋月康夫} [API] ...
-SAÏTÔ Takeshi \jap{斎藤毅} [API]
+SAÏTÔ Takeshi {\IPAMincho 斎藤毅} [API]
-IWASAWA Kenkiti \jap{岩沢健吉} [API] :) % être systématique mais ça vaut le coup : tout le monde dit IwaZawa
+IWASAWA Kenkiti {\IPAMincho 岩沢健吉} [API] :) % être systématique mais ça vaut le coup : tout le monde dit IwaZawa
-Lev PONTRÂGIN \russe{Понтрягин} [API] %Pontriaguine
+Lev PONTRÂGIN Понтрягин [API] %Pontriaguine
Vijayaraghavan %திருகண்ணபுரம் விஜயராகவன்
diff --git a/livre/livre.tex b/livre/livre.tex
index ec056b9..5e294c6 100644
--- a/livre/livre.tex
+++ b/livre/livre.tex
@@ -1,23 +1,8 @@
-\documentclass[9pt]{../configuration/amsbook}
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsbook}
\def\danslelivre{1}
-\usepackage{palatino,euler}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{arrows}
-\usetikzlibrary{calc}
-\usetikzlibrary{positioning}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
%\InputIfFileExists{../.cv.tex}{}{}