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index acc519a..f72e3b4 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -1,27 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
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-
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-
-\usepackage{palatino,euler}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Notions d'algèbre commutative}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
@@ -30,15 +12,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Notions d'algèbre commutative
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Notions d'algèbre commutative}
@@ -62,7 +37,7 @@ contenant $S$ et multiplicative.
Si $S$ est une partie multiplicative,
la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
-$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
+$(a,s)ℛ(a',s')$ si et seulement si il existe $t∈S$
tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
On vérifie immédiatement que les opérations
@@ -99,7 +74,7 @@ maximal.
\begin{démo}
On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
-$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
+$𝔭∩S=∅$ si et seulement si $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
car tout élément de $S$ est envoyé
@@ -123,7 +98,7 @@ des fractions, il existe $t∈S$ tel que
Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à
$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
-Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
+Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, c'est-à-dire que l'application
$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
@@ -305,13 +280,13 @@ Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini.
\end{définition2}
-\begin{exemples}
-Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad
+\begin{exemples2}
+Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, c'est-à-dire
dans l'image du morphisme structural $A→B$, est entier sur $A$.
Moins trivialement, il résulte de la proposition
\ref{caracterisation-entiers} ci-dessous que le nombre
complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$.
-\end{exemples}
+\end{exemples2}
Il est naturel de compléter cette définition par la suivante.
@@ -323,7 +298,7 @@ est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}.
On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le
morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à
confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entendu : sur $A$).
-Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi
+Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ si et seulement si
l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente.
\begin{lemme2}\label{composé de finis=fini}
@@ -359,7 +334,7 @@ Une relation $P(b)=0$, pour $P$ comme en \ref{2}, est appelée
une \emph{relation de dépendance intégrale} à coefficients
dans $A$.
-\begin{miseengarde}
+\begin{miseengarde2}
L'hypothèse \ref{3} ne peut en général pas être affaiblie en l'existence
d'un sous-$A$-\emph{module} de $B$ fini sur $A$ et contenant $b$.
C'est cependant vrai si $A$ est \emph{nœthérien}.
@@ -373,7 +348,7 @@ sur $A$ : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients dans
$A$ de degré $n$, $P(XY)$ ne contient qu'un seul monôme $X^n Y^n$
de sorte que $P(XY)≠0$.
% = cas particulier de ZS, volume I p. 255 (qui nécessite valuation rang $>1$).
-\end{miseengarde}
+\end{miseengarde2}
\XXX La démonstration ci-dessous est moche.
@@ -399,12 +374,15 @@ Par hypothèse, il existe une surjection $A$-linéaire $s:A^n↠C$.
Observons que l'endomorphisme $A$-linéaire de $C$
défini par la multiplication par $b$ se \emph{relève}, non canoniquement, en
un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
-$$
-\xymatrix{
-A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
-C \ar[r]^{b} & C
-}
-$$
+
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
+%C \ar[r]^{b} & C
+%}
+%$$
+
En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et
que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$
tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir
@@ -573,7 +551,7 @@ On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière.
Réciproquement :
\begin{proposition2}\label{fini=entier+tf}
-Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini.
+Un morphisme d'anneaux est fini si et seulement si il est entier et de type fini.
\end{proposition2}
@@ -709,10 +687,10 @@ B₂$ l'est aussi.
\begin{définition2}\label{normalisation,normal}
Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre
-$A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
+$A^正$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation}
de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle,
-entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
+entière, $A→A^正$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
\emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}.
\end{définition2}
@@ -816,16 +794,16 @@ Le diagramme
de l'application $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$,
on peut remplacer $A$ par $A_𝔭$ et $B$ par $B_𝔭$.
En d'autre termes, on peut supposer $A$ \emph{local},
-\cad ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$.
+c'est-à-dire ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$.
Soit $𝔮∈\Specmax(B)$ arbitraire et $𝔭=A∩𝔮$
son image réciproque dans $\Spec(A)$. Le morphisme composé $A↪B↠B/𝔮$ induit une
injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme
-ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD.
+ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, c'est-à-dire que $𝔭=𝔪$. CQFD.
\end{démo}
\begin{lemme2}
Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres.
-L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps.
+L'anneau $A$ est un corps si et seulement si $B$ est un corps.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -852,7 +830,7 @@ que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$.
\begin{corollaire2}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et
$𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal
-\ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
+si et seulement si $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$.
\end{corollaire2}
@@ -888,7 +866,7 @@ Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux propriétés du morphisme
$A→B$ ainsi qu'à celles de l'application $Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$
associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses,
l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$,
-\cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
+c'est-à-dire au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.
\subsubsection{Intégralité et finitude}
@@ -965,7 +943,7 @@ Il est clair que l'image de $A[S^{-1}]$ dans $B[T^{-1}]$
est fixe sous l'action de $G$. Vérifions l'injectivité.
Si $a/s$ est d'image nulle dans $B[T^{-1}]$,
il existe $t∈T$ tel que $ta=0$. Quitte à symétriser
-$t$, \cad considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer
+$t$, c'est-à-dire considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer
$t∈S$. Ainsi, $a/s=0$ dans $A[S^{-1}]$.
Vérifions la surjectivité. Soit $y∈\Fix_G(B[T^{-1}])$ ;
on veut montrer qu'il existe $s∈S$ et $a∈A$ tels que
@@ -1071,7 +1049,7 @@ Il résulte de \ref{invariants et localisation} que
$\Fix_G(B_𝔭)=A_𝔭$. D'autre part l'idéal premier $𝔮$ de $B$
est l'image d'un (unique) idéal premier $𝔮_𝔭$ de $B_𝔮$
par l'application $\Spec(B_𝔭)↪\Spec(B)$ et les corps résiduels
-$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (\cad : les morphismes
+$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (c'est-à-dire : les morphismes
canoniques $κ(𝔭)→κ(𝔭_𝔭)$ et $κ(𝔮)→κ(𝔮_𝔭)$, où
$𝔭_𝔭$ est l'idéal maximal de $A_𝔭$, sont des isomorphismes).
Enfin l'action de $D(𝔮)$ sur $\Spec(B)$
@@ -1080,7 +1058,7 @@ $D(𝔮_𝔭)$. On peut donc supposer $A$ local d'idéal maximal
$𝔭$. Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers}
que $𝔮$ est alors maximal également.
-Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, \cad que pour tout
+Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, c'est-à-dire que pour tout
$β∈l=B/𝔮$, il existe un polynôme à coefficients dans $k$, scindé sur
$l$ et s'annulant en $β$. (Cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, (iv)).
Soit $b$ un relèvement de $β$ dans $B$ et considérons
@@ -1126,7 +1104,7 @@ $l$ tout entier.
\begin{lemme2}
Deux automorphismes d'une extension algébrique coïncident
-\ssi ils agissent de la même manière sur les éléments séparables.
+si et seulement si ils agissent de la même manière sur les éléments séparables.
\end{lemme2}
Ce lemme est un cas particulier de \refext{RT}{}.
@@ -1150,7 +1128,7 @@ et, finalement, $σ(x)=τ(x)$ car l'élévation à la puissance $p$
est injective en caractéristique $p>0$.
\end{démo}
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
On montrera plus tard que pour toute $A$-algèbre $A'$,
le morphisme $A'→\Fix_G(B⊗_A A')$ est un isomorphisme
si $A→A'$ est \emph{plat} et même dans les cas
@@ -1159,7 +1137,7 @@ l'application induite sur les spectres
$\Spec(\Fix_G(B⊗_A A'))⥲\Spec(A')$ est néanmoins
une bijection.
%Voir aussi Liu, « Quotient maps and base change ».
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}