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index 9c4f8f2..3e5ee9b 100644
--- a/chapitres/AVD.tex
+++ b/chapitres/AVD.tex
@@ -17,7 +17,7 @@
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}
-\title{titre}
+\title{Anneaux de valuation discrète}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
@@ -34,11 +34,11 @@
\begin{document}
\begin{center}
-titre
+Anneaux de valuation discrète
\end{center}
\tableofcontents
\else
-\chapter{titre}
+\chapter{Anneaux de valuation discrète}
\fi
\section{}
@@ -71,7 +71,7 @@ La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module
libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète
complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$,
tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
-\end{théorème}
+\end{théorème2}
\begin{définition2}
indice de ramification
@@ -120,30 +120,29 @@ fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$.
Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
\begin{enumerate}
-\item $G_0\iso G$,
+\item $G_0⥲ G$,
\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
\item L'application
-$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
+$$\left\{\begin{array}{l}G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
$$
-G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
+G_i/G_{i+1}↪ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
$$
\item On a des isomorphismes canoniques :
$$
\begin{array}{l}
- U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\
- U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
+ U^{(0)}_L/U^{(1)}_L⥲ k_L^{\times}\\
+ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L⥲ \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
\end{array}
$$
-pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement.
+pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
\XXX
-\begin{proof}
-1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$.
+1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$.
Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
@@ -180,15 +179,15 @@ $$
\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
$$
-entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
+entraîne que $G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
noyau est par définition $G_{i+1}$.
-4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit
-un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$.
+4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B↠ k_L$ induit
+un isomorphisme $B^{\times}→ 1+\MM_B→ k_L^{\times}$.
Enfin,
$$
\begin{array}{l}
-U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
+U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L→ \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
1+x\mapsto x
\end{array}
$$
@@ -211,7 +210,7 @@ Sous les hypothèses précédentes :
Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
et d'ordre premier à la caractéristique.
-Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe
+Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L≃ k_L$ n'a pas de sous-groupe
fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
@@ -261,7 +260,7 @@ est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
\begin{itemize}
\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
-\item $$\begin{array}{l}A[X]/f\ra B\\ X\mapsto x\end{array}$$
+\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
\end{itemize}
\end{proposition2}
@@ -289,10 +288,11 @@ ex. Hasse, chap. 16.]
\begin{démo}
\XXX
-Soit $L$ une extension finie galoisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où
+Soit $L$ une extension finie galoisienne de
+$K=k((t))=\mathrm{Frac}(k[[t]])$ où
$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
-précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
+précédent que $G=\Gal(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
de groupe $\mu_n(k)$.