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--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -1,25 +1,9 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\usepackage{palatino,euler}
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-\input{../configuration/adresse}
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-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Réduction modulo $p$}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{calculs-galois}
@@ -30,15 +14,8 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-%\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
\begin{document}
-\begin{center}
-Réduction modulo $p$
-\end{center}
+\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Réduction modulo $p$}
@@ -317,13 +294,13 @@ en $s=1$.
On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème,
que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$,
-\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$.
+c'est-à-dire que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$.
Cf. chapitre précédent \refext{}{}.
\begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
-Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad
+Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ c'est-à-dire
une partition de $d$.
Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
$$
@@ -377,7 +354,7 @@ $\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème.
Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes
-$A_F↠ \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
+$A_F↠ \FF_p$, c'est-à-dire les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ »
car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
Ainsi,
@@ -464,7 +441,7 @@ polynômes $u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}$ sont irréductibles.
L'égalité $s\Psi_S(\sous{\alpha})=s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ entraînerait
$u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}=u_0+u_1\alpha_{s'\sigma(1)}+\cdots+u_d
\alpha_{s'\sigma(d)}$ pour un $\sigma\in S$. Comme les racines sont toutes distinctes,
-cela force l'égalité $s=s'\sigma$ \cad $sS=s'S$.
+cela force l'égalité $s=s'\sigma$ c'est-à-dire $sS=s'S$.
\end{proof}
Les polynômes en $\sous{u}$ $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$ étant non nuls
pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d+1}$,
@@ -589,7 +566,7 @@ Posons :
$$
\sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s).
$$
-On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée
+On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ c'est-à-dire reste bornée
quand $s→ 1+$.
Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent :
$$
@@ -636,7 +613,7 @@ cf. \cite{Jordan@Serre}.
Le polynôme $f$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si,
la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{𝐅_p}$ a un point
fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant
-sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
+sans point fixe (c'est-à-dire qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
La formule
$$
\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)=\# \mathrm{Orbites},=1\
@@ -661,7 +638,7 @@ Alors, $a$ est un carré.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
-Si $X^2-a$ était irréductible (\cad $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
+Si $X^2-a$ était irréductible (c'est-à-dire $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
pas un carré pour une infinité de $p$.
\end{proof}