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@@ -19,7 +19,7 @@
\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
\fi
-\DeclareMathOperatorWithFont{\vol}{\mathrm}{vol}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\vol}{\mathtextrm}{vol}
\section{Anneaux de Dedekind : généralités}
@@ -154,8 +154,8 @@ Formule
\begin{proposition2}
\XXX
\[
-\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2
-=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
+\mathtextrm{dét}(\sigma_i(x_j))^2
+=|\mathtextrm{dét}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -184,8 +184,8 @@ Le morphisme
$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
est de la forme
$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
+\mathtextrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathtextrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
+\mathtextrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathtextrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
Passer de la matrice ayant ces colonnes à
$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
La formule en résulte.
@@ -230,13 +230,13 @@ du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$, il
-existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\mathfrak{a})$.
+existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\N_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \N(\mathfrak{a})$.
\end{quote}
Soit $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\mathfrak{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mathscr{O}_K$.
et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \mathfrak{a}$, il existe
un idéal $\mathfrak{c}$ de $\mathscr{O}_K$ tel que $(x)=\mathfrak{c}\mathfrak{a}$
(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
-$\mathrm{N}(\mathfrak{c})\leq \mu_K$.
+$\N(\mathfrak{c})\leq \mu_K$.
Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
@@ -246,7 +246,7 @@ Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big)
Soit $\mathfrak{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
tel que
$$
-m^d\leq \mathrm{N}(\mathfrak{a}) < (m+1)^d.
+m^d\leq \N(\mathfrak{a}) < (m+1)^d.
$$
Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
@@ -296,7 +296,7 @@ de $K → ⨁_v K_v/O_v$.
\XXX
Corps de nombres :
-\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\]
+\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathtextrm{Hasse}}.\]
\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
(fonction zêta complétée) où
$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
@@ -319,7 +319,7 @@ $ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$.
$ζ_{𝐐(\sqrt{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(\sqrt{m})}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
-$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
+$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathtextrm{Hasse}}(s)$.
\end{exemple2}
@@ -347,7 +347,7 @@ Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
+\mathsf{C}\text{ et } \N(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{théorème2}
@@ -362,7 +362,7 @@ $$
établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
$$
\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \mathfrak{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
-|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}.
+|\N_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \N(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}.
$$
Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
@@ -371,7 +371,7 @@ quotient $P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}):=\mathfrak{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$
où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
en effet les idéaux principaux contenus dans $\mathfrak{b}_\mathsf{C}$.
C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
-la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
+la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\N_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
se factorise.
Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
$$
@@ -400,7 +400,7 @@ Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
Alors, si $\vol(Y)>0$,
$$
-\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
+\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathtextrm{covol}(B)} a^{n}.
$$
\end{quote}
@@ -489,19 +489,19 @@ Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
-Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
-est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
-= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
+Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\N_{K/\QQ}(u)$,
+est un entier relatif ; comme il en est de même de $\N_{K/\QQ}(u^{-1})
+= \N_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\N_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
$$
\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
$$
Cela résulte de l'égalité
-$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
+$\N_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\N_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
-des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
+des coordonnées. Plus précisément, $\N_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
-l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
+l'égalité $\N_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
@@ -538,7 +538,7 @@ Il existe une constante $\mu_K$
telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
$$\left\{ \begin{array}{l}
\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
-\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
+\N_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
\end{array}\right.$$
\end{quote}
@@ -562,9 +562,9 @@ fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
-\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
+\mathtextrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
-$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
+$\mathtextrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
c'est-à-dire $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
@@ -625,17 +625,17 @@ le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
-$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
+$$\mathtextrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
-$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
+$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathtextrm{vol}(tA)
+ \geq 2^n \mathtextrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
-f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
+f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
@@ -650,7 +650,7 @@ $$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
-$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
+$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathtextrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
@@ -702,7 +702,7 @@ que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.
Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
-$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
+$\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
@@ -713,7 +713,7 @@ Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
-\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
+\mathtextrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,