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diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex index 1c48351..767ef13 100644 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ b/chapitres/Dedekind.tex @@ -52,11 +52,11 @@ Un anneau de Dedekind est un anneau nœthérien, intègre, normal, de dimension \begin{proposition2} \XXX Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. -Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$ -et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_𝔭(\got{a})$, $𝔭\in S$, +Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$ +et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$, tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$ De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si -$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \SP\max(A)$, +$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). \end{proposition2} @@ -102,7 +102,7 @@ Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$. \begin{corollaire2} Presque tous les idéaux sont non-ramifiés. -\end{corolllaire2} +\end{corollaire2} Méthodes de calcul. @@ -146,10 +146,10 @@ Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$. \begin{démo} \XXX Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements -$K\hra \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC}, -\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K\hra \CC$. +$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC}, +\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$. Le morphisme -$𝒪_K\ra K_{\RR}\isononcan \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}\iso \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$ +$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$ est de la forme $$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x), \mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots, @@ -196,7 +196,7 @@ un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$ $\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$. Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$ -car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). +car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons $\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$. Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$ @@ -238,7 +238,7 @@ $$ \{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in \mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\} $$ -soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t\ra +\infty$. +soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. \end{théorème2} \begin{démo} @@ -288,7 +288,7 @@ Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$. Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$. Alors, si $\vol(Y)>0$, $$ -\#(B\cap aY)\sr{a\ra +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}. +\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}. $$ \end{quote} @@ -298,17 +298,17 @@ Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$. On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités} -que $\log:𝒪_K\ra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, +que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$. Ainsi, le logarithme induit une injection : -$P(\got{b}_\mathsf{C})\hra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. +$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection -$D\oplus P \iso \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection -canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}\surj \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. +$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection +canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. [FIGURE] Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme @@ -345,24 +345,24 @@ engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants. \XXX On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension $K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$. -Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ +Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}. \end{proof} -\begin{theoreme2}[Théorème des unités de Dirichlet] +\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet] \XXX Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que : -$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$ +$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$ Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$ est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$. -\end{thm} +\end{théorème2} \begin{proof} \XXX -\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}. +\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}. Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$ et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite) @@ -370,7 +370,7 @@ $$ \log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}. $$ Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→ -\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$. +\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$. Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$, @@ -486,7 +486,7 @@ Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29. \XXX Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale -connexe alors $\ZZ\iso A$. +connexe alors $\ZZ⥲ A$. \end{théorème2} \begin{démo} |