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index 6049119..353a50b 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -275,7 +275,7 @@ et fixons un générateur $σ$. Fixons également un générateur $ζ$ de $μ_n(
L'isomorphisme $ι:Π ⥲ μ_n(k)$, $σ ↦ ζ$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
font de $K$ un $μ_n(k)$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
-G-torseur}). L'ensemble $\mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$
+G-torseur}). L'ensemble $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$
des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
de cohomologie $H¹(K\bo k,μ_n(k))=\Hom(Π,μ_n(k))$ ;
cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
@@ -294,7 +294,7 @@ $H⁰(K\bo k,K^×)$ est, par définition, $\Fix_Π(K^×)$, lui-même égal
à $k^×$ et $H⁰(K\bo k,{K^×}^n)=k^× ∩ {K^×}^n$ pour la même raison.
Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
\[
-(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼.
+(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼.
\]
Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
la classe d'un élément $a$ de $k^× ∩ {K^×}^n$
@@ -310,7 +310,7 @@ CQFD.
\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
une démonstration de \ref{extension cyclique=Kummer} (ii).
\item On peut vérifier que le morphisme composé
-\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mathrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\]
+\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\]
envoie la classe de $a$ sur la classe du $μ_n(k)$-torseur
$k[X]/(X^n-a)$. % \XXX à faire
\end{itemize}
@@ -1010,7 +1010,7 @@ cyclique d'ordre $p$, et fixons un générateur $σ$.
L'isomorphisme $ι:Π ⥲ 𝐙/p$, $σ ↦ 1$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
font de $K$ un $𝐙/p$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
-G-torseur}). L'ensemble $\mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$
+G-torseur}). L'ensemble $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$
des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
de cohomologie $H¹(K\bo k,𝐙/p)=\Hom(Π,𝐙/p)$ ;
cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
@@ -1028,7 +1028,7 @@ $H⁰(K\bo k,K)$ est, par définition, $\Fix_Π(K)$, lui-même égal
à $k$ et $H⁰(K\bo k,℘(K))=k ∩ ℘(K)$ pour la même raison.
Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
\[
-(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼.
+(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼.
\]
Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
la classe d'un élément $a$ de $k ∩ ℘(K)$
@@ -1045,7 +1045,7 @@ CQFD.
\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
une démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (ii).
\item On peut vérifier que le morphisme composé
-\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mathrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\]
+\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\]
envoie la classe de $a$ sur la classe du $𝐙/p$-torseur
$k[X]/(X^p-X-a)$. % \XXX à faire
\end{itemize}
@@ -1432,11 +1432,11 @@ $⊕$ leur loi de groupe. Ainsi, nous appellerons par exemple
« multiplication par un entier $r$ » le morphisme $[r]:(W_n(A),⊕) → (W_n(A),⊕)$, $f ↦ f^r$
(pour $A$ variable).
-\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mathrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i
-∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mathrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$.
-On a $\mathrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mathrm{Fil}^iW_n=\{1\}$.
-Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mathrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots
-↦ a$ induisent un isomorphisme $\mathrm{Fil}^iW_n/\mathrm{Fil}^{i+1}W_n
+\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mathtextrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i
+∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mathtextrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$.
+On a $\mathtextrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mathtextrm{Fil}^iW_n=\{1\}$.
+Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mathtextrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots
+↦ a$ induisent un isomorphisme $\mathtextrm{Fil}^iW_n/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_n
→ \Ga$, où l'on rappelle que l'on note $\Ga$ le foncteur
envoyant un anneau $A$ sur le groupe additif $(A,+)$.
Le foncteur en groupes commutatifs $W_n$ est donc extension successive
@@ -1454,11 +1454,11 @@ qui sont des \emph{isomorphismes} de groupes (cf. \ref{Wn en caractéristique
nulle}).
\begin{remarque2}\label{groupe unipotent est ensemblistement trivial}
-Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mathrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie
-sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mathrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués
-$\mathrm{gr}^{\mathrm{Fil}}_i(W)=\mathrm{Fil}^iW/\mathrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un
+Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mathtextrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie
+sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mathtextrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués
+$\mathtextrm{gr}^{\mathtextrm{Fil}}_i(W)=\mathtextrm{Fil}^iW/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un
même groupe $G$. Chaque choix de sections \emph{ensemblistes} $s_i$ aux morphismes
-$\mathrm{Fil}^i(W) ↠ \mathrm{gr}^{\mathrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$,
+$\mathtextrm{Fil}^i(W) ↠ \mathtextrm{gr}^{\mathtextrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$,
$(g₀, …,g_{r-1}) ↦ s₀(g₀)\cdots s_{r-1}(g_{r-1})$.
\end{remarque2}
@@ -1494,7 +1494,7 @@ dans $k$ indépendants de la $k$-algèbre $A$.
\end{lemme2}
Remarquons que les applications $α ↦ E(\frac{α}{u} x^i)$ sont des sections
-(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mathrm{Fil}^iW_n/\mathrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$.
+(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mathtextrm{Fil}^iW_n/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$.
L'énoncé (ii), dont (i) est le cas particulier $k=𝐙$ et $E(X)=1-X$, est
donc une variante de la remarque \ref{groupe unipotent est
ensemblistement trivial}.
@@ -1516,10 +1516,10 @@ Le cas $n=∞$ se démontre de même. (ii)
Supposons $n$ fini.
On suffit de montrer par récurrence sur $r ≤ n$ que
tout élément $f ∈ W_n(A)$ s'écrit $E(α₁X) \cdots E(α_r X^r) g_r$
-où $g_r ∈ \mathrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé.
+où $g_r ∈ \mathtextrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé.
Cela résulte du fait que pour chaque $α ∈ A$, le quotient
d'une série $g=1+αX^{r+1}+ β X^{r+2}+\cdots $ par $E(\frac{α}{u} X^{r+1})$ appartient
-à $ \mathrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$
+à $ \mathtextrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$
est un polynôme en $α$ et $β$ à coefficients dans $k$. (Ce polynôme
ne dépend que de $r$ et des coefficients de $E$.) Le cas $n=∞$ se démontre de même.
\end{démo}
@@ -1573,7 +1573,7 @@ Soient $r$ et $s$ des entiers non nuls. Les identités suivantes sont valables d
\item $F_s F_t =F_{st}$ ;
\item $V_s V_t =V_{st}$ ;
\item $F_r V_s=V_s F_r$ si $r$ et $s$ sont premiers entre eux.
-\item $V_r F_r (\mathrm{Fil}^s) ⊆ \mathrm{Fil}^s$.
+\item $V_r F_r (\mathtextrm{Fil}^s) ⊆ \mathtextrm{Fil}^s$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -1649,9 +1649,9 @@ de $p$. Le produit fini $e_L=∏_{ℓ ∈ L} (1-ε_ℓ)$ des
idempotents $1-ε_ℓ$ est un idempotent de $\End(W_{∞|𝐙_{(p)}})$.
Développant le produit, on trouve :
\[
-e_L=∑_{\mathrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r,
+e_L=∑_{\mathtextrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r,
\]
-où le support $\mathrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble
+où le support $\mathtextrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble
des nombres premiers le divisant et où $μ$ est la fonction de Möbius
(cf. \refext{CF}{definition-fonction-de-Moebius}).
Faisant tendre l'ensemble fini $L$ vers l'ensemble infini $𝒫-\{p\}$
@@ -2119,7 +2119,7 @@ s'en déduisant par passage au quotient \XXX.
Par récurrence et d'après \ref{bijections entre Wn et An},
il suffit de démontrer que pour chaque $α ∈ K$ et chaque entier $i ≥ 1$,
il existe $β ∈ K$ tel que le quotient $(1-α X^i)/℘(1-β X^i)$
-appartienne à $\mathrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte
+appartienne à $\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte
de l'égalité
\[
\frac{(1-α X^i)(1-β X^i)}{1-β^p X^i}=1+(β^p-β-α)X^i+ \cdots.