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@@ -439,7 +439,7 @@ en posant $φ(m ′ + s m)=φ(m ') + s y$. Absurde.
\begin{lemme2}\label{bidualité Zsurn modules finis}
Soit $M$ un $𝐙/n$-module \emph{fini}.
\begin{enumerate}
-\item $ ♯ D(M) = ♯ M$.
+\item $ \# D(M) = \# M$.
\item Le morphisme d'évaluation (ou « bidualité ») $M → D(D(M))$
est un isomorphisme.
\end{enumerate}
@@ -476,7 +476,7 @@ $A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ est également
démontré en \ref{Kummer 4}, si l'on se souvient de
l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ et $H¹(K\bo k,μ_n)$.)
Notons en particulier que les groupes $A_K \bo {k^×}^n$ et $\Gal(K\bo k)$
-ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
+ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
Soit $K ′=k(A_{K}^{1/n})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$.
@@ -701,8 +701,8 @@ quatrième de l'unité $x-1$ appartient à $k$.
$(k^×⟨A⟩:k^×)$ être une puissance d'un nombre premier $ℓ$.
En effet, si l'on considère pour chaque $ℓ$ l'image inverse $T_ℓ$
du $ℓ$-Sylow $S_ℓ$ de $k^×⟨A⟩/k^×$ dans $k^×⟨A⟩$, et que l'on démontre
-l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=♯S_ℓ)$, on aura
-la divisibilité $♯ S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement
+l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=\#S_ℓ)$, on aura
+la divisibilité $\# S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement
la relation $(k^×⟨A⟩ : k^×) | [k(A):k]$. On peut alors conclure
en utilisant la majoration $[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩ : k^×)$ démontrée ci-dessus.
@@ -1162,7 +1162,7 @@ $A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ est également
démontré en \ref{AS 4}, si l'on se souvient de
l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ et $H¹(K\bo k,𝐙/p)$.)
Notons en particulier que les groupes $A_K \bo ℘(k)$ et $\Gal(K\bo k)$
-ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $♯ \Gal(K\bo k) = ♯ D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
+ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).
Soit $K ′=k(\root ℘ \of A_{K})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.