summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/RT.tex
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'chapitres/RT.tex')
-rw-r--r--chapitres/RT.tex42
1 files changed, 38 insertions, 4 deletions
diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
index 37ef526..7284426 100644
--- a/chapitres/RT.tex
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -36,11 +36,31 @@
\section{Degré de transcendance}
+
+\begin{proposition2}
+Une extension est de type fini si et seulement si
+elle est finie sur une extension transcendante
+pure « finie ».
+\end{proposition2}
+
+\begin{corollaire2}
+\label{finitude clôture algébrique dans tf}
+Soit $K \bo k$ une extension de type fini.
+La clôture algébrique de $k$ dans $K$ est finie
+sur $k$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{corollaire2}
+\label{sous-extension de tf est tf}
+Toute sous-extension d'une extension de type fini est
+de type fini.
+\end{corollaire2}
+
+% cf. p. ex A.VI.§16.nº7.
+
\section{Extensions radicielles. $p$-bases}
-\section{Extensions séparables}
-\section{Extension régulières, linéairement disjointes}
-\subsection{Extensions linéairement disjointes (facultatif)}
+\subsection{Extensions linéairement disjointes}
La démonstration de \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii), et particulièrement le lemme
\ref{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}, motivent la définition suivante (voir aussi
@@ -244,7 +264,7 @@ D'après le critère précédent, il suffit en effet de vérifier que le produit
tensoriel $⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i]$ est intègre.
dans le cas particulier où $I$ est fini.
Ceci résulte de l'existence d'un isomorphisme (donné par le produit des polynômes)
-$⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i]\iso k[X_α,\,α∈\coprod_{i∈I} A_i]$ (\ref{produit
+$⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i] ⥲ k[X_α,\,α∈\coprod_{i∈I} A_i]$ (\ref{produit
tensoriel d'anneaux de polynômes}).
(On vérifie sans peine que l'application produit induit un isomorphisme même si $I$
est infini.)
@@ -391,6 +411,20 @@ A_i)$.
+\section{Extensions séparables}
+
+\begin{théorème2}
+\label{critère de MacLane}
+$L \bo K$ est séparable si et seulement si elle
+est linéairement disjointe de $K^{p^{-∞}}$ sur $K$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{corollaire2}
+\label{extension corps parfait est séparable}
+Toute extension d'un corps \emph{parfait} est séparable.
+\end{corollaire2}
+
+
\section{Théorème de Lüroth}