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diff --git a/chapitres/algo-corps-finis.tex b/chapitres/algo-corps-finis.tex index ada5e20..2ce817e 100644 --- a/chapitres/algo-corps-finis.tex +++ b/chapitres/algo-corps-finis.tex @@ -797,6 +797,13 @@ En écrivant $G^{p-1} = (G^2)^{(p-1)/2}$, on a donc prouvé $(-1)^{(p^2-1)/8} = 8^{(p-1)/2} = \Legendre{8}{p} = \Legendre{2}{p}$ ; cette égalité entre éléments de $\{\pm 1\}$ a lieu dans $\FF_{p^r}$ donc dans $\ZZ$ : c'est ce qu'on voulait prouver. + +Signalons la variante suivante. L'élément $ζ+ζ_{-1}$ est, +dans $𝐅_{p^r}$ une racine carré de $2$ car +$(ζ+ζ_{-1})²=2+ζ²+{ζ²}^{-1}=2$. Il en résulte que $2$ est un carré +dans $𝐅_p$ si et seulement si $ζ^p+ζ^{-p}=ζ+ζ^{-1}$. Cette condition +ne dépend que de $±p$ modulo $8$ et on vérifie immédiatement quelles +sont les valeurs pour lesquelles elle est satisfaite. \end{proof} \begin{remarque2} |