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+++ b/chapitres/algo-corps-finis.tex
@@ -32,139 +32,21 @@
\section{Calculs de racines carrées, équations quadratiques}\label{equations-quadratiques-corps-finis}
-\subsection{Le caractère quadratique}
-
-\begin{definition2}\label{definition-caractere-quadratique}
-Soit $q$ une puissance d'un nombre premier impair. On
-appelle \emph{caractère quadratique} sur $\FF_q$ la fonction
-$a \mapsto a^{(q-1)/2}$. On note $\FF_q^{\times2}$ l'ensemble des
-éléments de $\FF_q^\times$ qui sont des carrés.
-\end{definition2}
-
-\begin{proposition2}\label{denombrement-carres-f-q}
-Si $q$ est une puissance d'un nombre premier impair, alors le caractère
-quadratique ne prend sur $\FF_q^\times$ que les valeurs $+1$ et $-1$,
-et on a $a \in \FF_q^{\times2}$ si et seulement si $a^{(q-1)/2} =
-+1$ ; de plus, $\# \FF_q^{\times2} = \frac{1}{2}(q-1)$.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-L'application $z \mapsto z^2$, vue comme un morphisme
-$\FF_q^\times \to \FF_q^\times$, a pour noyau $\{\pm 1\}$ (de
-cardinal $2$), et pour image $\FF_q^{\times2}$, donc
-$2\, \#\FF_q^{\times2} = \#\FF_q^{\times}$ : ceci montre la dernière
-affirmation.
-
-Si $e = a^{(q-1)/2}$ avec $a \in \FF_q^\times$, alors $e^2 = a^{q-1} =
-1$, donc $e$ vaut $+1$ ou $-1$.
-
-Si $a = b^2$ avec $b \in \FF_q^\times$, alors $a^{(q-1)/2} = b^{q-1} =
-+1$. On a donc montré que sur tout élément de $\FF_q^{\times2}$ le
-caractère quadratique vaut $+1$ : comme on vient de voir qu'il y a
-$\frac{1}{2}(q-1)$ tels éléments et que le polynôme $X^{(q-1)/2} - 1$
-(de degré $\frac{1}{2}(q-1)$) n'est pas nul, il ne peut s'annuler en
-aucun autre point de $\FF_q$ : on voit donc que réciproquement si
-$a^{(q-1)/2} = +1$ alors $a \in \FF_q^{\times2}$.
-\end{proof}
-
-On pouvait également démontrer ce résultat en utilisant un élément
-primitif $g$ (cf. \refext{Fin}{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}) : les
-éléments de $\FF_q^{\times2}$ sont ceux qui s'écrivent $g^{2i}$ avec
-$i$ entier (et bien défini modulo $\frac{1}{2}(q-1)$).
-
-\begin{corollaire2}\label{produits-de-non-carres-dans-f-q}
-Un produit $ab$ dans $\FF_q$ est un carré \emph{si et seulement si}
-les deux facteurs $a,b$ sont soit tous deux des carrés soit tous deux
-des non-carrés.
-\end{corollaire2}
-\begin{proof}
-Cela découle de \ref{denombrement-carres-f-q} et du fait que le
-caractère quadratique est un morphisme multiplicatif : $(ab)^{(q-1)/2}
-= a^{(q-1)/2}\, b^{(q-1)/2}$.
-\end{proof}
-
-\subsubsection{} Le calcul du caractère quadratique peut se faire
-efficacement par un algorithme d'exponentiation rapide : ceci permet
-donc de savoir effectivement si un élément donné de $\FF_q^\times$
-admet une racine carrée. (On renvoie à \refext{Fin}{remarques-critere-rabin}
-pour la question de la représentation des corps finis et
-l'algorithmique dans ceux-ci ; mais pour beaucoup de questions
-algorithmiques considérées ici, le cas où $q = p$ est premier et
-$\FF_q = \ZZ/p\ZZ$ est déjà intéressant.) Calculer effectivement la
-racine carrée d'un élément qui en admet une est une question plus
-délicate. Commençons par considérer le cas facile où $q \equiv
-3 \pmod{4}$ :
-
-\begin{lemme2}\label{carres-extensions-corps-finis}
-Soit $q = p^r$ avec $p$ premier impair. Si $r$ est impair, alors un
-élément de $\FF_p$ est un carré dans $\FF_p$ si et seulement si il
-l'est dans $\FF_q$ (autrement dit, $\FF_q^{\times 2} \cap \FF_p
-= \FF_p^{\times 2}$). Si $r$ est pair, alors tout élément de $\FF_p$
-est un carré dans $\FF_q$.
-\end{lemme2}
-\begin{proof}
-On peut par exemple, pour $a \in \FF_p^\times$, écrire $a^{(q-1)/2} =
-a^{(p^r-1)/2} = (a^{(p-1)/2})^{p^{r-1} + \cdots + p + 1}$, et
-$a^{(p-1)/2}$ vaut $+1$ ou $-1$ selon que $a$ est un carré
-dans $\FF_p$, et la parité de $p^{r-1} + \cdots + p + 1$ est la même
-que celle de $r$, ce qui démontre le résultat.
-
-Une autre démonstration consiste à considérer le polynôme $X^2 - a$ et
-à lui
-appliquer \refext{Fin}{corollaire-scindage-partiel-polynomes-corps-finis}.
-\end{proof}
-
-Mentionnons par ailleurs le résultat combinatoire suivant, qui est une
-application inattendue des propriétés du caractère quadratique sur les
-corps finis :
-\begin{proposition2}\label{matrice-d-hadamard-par-corps-finis}
-Soit $q$ une puissance d'un nombre premier vérifiant $q \equiv
-3 \pmod{4}$. Alors il existe une matrice $M$ de taille $(q+1)\times
-(q+1)$ à coefficients dans $\{\pm 1\}$ telle que deux lignes
-distinctes quelconques de $M$ ont la même valeur en $\frac{1}{2}(q+1)$
-de leurs entrées et une valeur opposée en les $\frac{1}{2}(q+1)$
-autres.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-En notant $\PP^1(\FF_q) = \FF_q \cup \{\infty\}$, on définit une
-fonction $\varphi\colon \PP^1(\FF_q) \times \PP^1(\FF_q) \to \{\pm
-1\}$ par $\varphi(\infty,\infty) = \varphi(x,\infty)
-= \varphi(\infty,y) = +1$ si $x \in \FF_q$ et $y \in \FF_q$, par
-$\varphi(x,x) = -1$ pour tout $x \in \FF_q$, et par $\varphi(x,y) =
-(x-y)^{(q-1)/2}$ (c'est-à-dire $+1$ ou $-1$ selon que $x-y$ est un
-carré ou non dans $\FF_q$, cf. \ref{denombrement-carres-f-q}) si
-$x\neq y$ avec $x,y\in \FF_q$. La matrice indicée par
-$\PP^1(\FF_q) \times \PP^1(\FF_q)$ dont les coefficients sont donnés
-par la fonction $\varphi$ répond à la question : pour le montrer, il
-s'agit de voir que si $x,x' \in \PP^1(\FF_q)$ avec $x\neq x'$ alors il
-existe $\frac{1}{2}(q+1)$ valeurs $y \in \PP^1(\FF_q)$ exactement
-telles que $\varphi(x,y) = \varphi(x',y)$.
-
-Si $x$ vaut $\infty$, il s'agit de voir que $\frac{1}{2}(q+1)$ valeurs
-$y$ vérifient $\varphi(x',y) = -1$, c'est-à-dire (puisque
-$\varphi(x',x')=-1$) que $\frac{1}{2}(q-1)$ éléments $y \in \FF_q$
-sont tels que $x'-y$ ne soit pas un carré dans $\FF_q$, ce qui est
-bien le cas (cf. \ref{denombrement-carres-f-q}). Si $x,x' \in \FF_q$,
-on s'intéresse à $\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$. Si $y \in \FF_q$ et
-$y \not\in \{x,x'\}$, cette fonction vaut
-$(\frac{x-y}{x'-y})^{(q-1)/2}$, or l'expression $\frac{x-y}{x'-y}$
-prend toutes les valeurs de $\FF_q$ sauf $0$ et $1$, donc
-$(\frac{x-y}{x'-y})^{(q-1)/2}$ prend $\frac{1}{2}(q-3)$ fois la
-valeur $+1$ ; si $y = \infty$, l'expression
-$\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$ vaut $+1$ ; si $y=x$ ou $y=x'$, enfin,
-l'expression $\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$ vaut $-(x'-x)^{(q-1)/2}$ et
-$-(x-x')^{(q-1)/2}$ respectivement, et ces valeurs sont opposées
-puisque $q\equiv 3 \pmod{4}$ entraîne $(-1)^{(q-1)/2} = -1$ ; on a
-donc montré que $\varphi(x,y)/\varphi(x',y)$ prend exactement
-$\frac{1}{2}(q+1)$ fois la valeur $+1$ lorsque $y$
-parcourt $\PP^1(\FF_q)$.
-\end{proof}
-
-Une matrice telle que fournie par la
-proposition \ref{matrice-d-hadamard-par-corps-finis}
-s'appelle \emph{matrice d'Hadamard} de taille $q+1$. On conjecture
-qu'il existe une matrice d'Hadamard de toute taille multiple de $4$.
-
-\subsection{Algorithmes de calcul des racines carrées}
+\subsection{Calculs de racines carrées en caractéristique impaire}
+
+On rappelle qu'en \refext{Fin}{definition-caractere-quadratique} on a
+introduit la définition suivante : si $q$ est une puissance d'un
+nombre premier impair, on appelle \emph{caractère quadratique} sur
+$\FF_q$ la fonction $a \mapsto a^{(q-1)/2}$, et on note
+$\FF_q^{\times2}$ l'ensemble des éléments de $\FF_q^\times$ qui sont
+des carrés. On rappelle (\refext{Fin}{denombrement-carres-f-q}) que
+$a \in \FF_q^{\times2}$ si et seulement si $a^{(q-1)/2} = +1$ (tandis
+que si $a \in \FF_q^\times$ n'est pas un carré alors $a^{(q-1)/2} =
+-1$), et que de plus $\#\FF_q^{\times2} = \frac{q-1}{2}$.
+
+\XXX --- Revoir les propositions suivantes maintenant que les faits de
+base sur le caractère quadratique et la réciprocité quadratique ont
+été avancés dans le chapitre sur les corps finis.
\begin{proposition2}\label{tonelli-shanks-pour-3-mod-4}
Soit $q$ une puissance d'un nombre premier impair. On suppose
@@ -178,7 +60,8 @@ la même expression produit une racine carrée de $-D$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour ce qui est de la première affirmation, on a $(-1)^{(q-1)/2} = -1$
-car $\frac{1}{2}(q-1)$ est impair (puisque $q-1 \equiv 2 \pmod{4}$).
+car $\frac{1}{2}(q-1)$ est impair (puisque $q-1 \equiv 2 \pmod{4}$),
+cf. \refext{Fin}{caractere-quadratique-de-moins-un}.
Pour ce qui est de la seconde, soit $z = D^{(q+1)/4}$ : on a alors
$z^2 = D^{(q+1)/2} = D^q D^{-(q-1)/2} = \pm D$ où le signe est $+$ si
@@ -196,28 +79,8 @@ $D^{(q-1)/4}$ vaut $+1$ ou $-1$.
\end{itemize}
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Montrons d'abord que $2$ n'est pas un carré dans $\FF_q$. Pour cela,
-écrivons $q = p^r$ avec $p$ premier : comme $q \equiv 5 \pmod{8}$ et
-que tous les carrés sont congrus à $1$ modulo $8$, on voit que $r$ est
-impair et $p \equiv 5 \pmod{8}$. D'après le
-lemme \ref{carres-extensions-corps-finis}, il s'agit de montrer que
-$2$ n'est pas un carré dans $\FF_p = \ZZ/p\ZZ$. Pour cela,
-considérons d'une part les $\frac{1}{2}(p-1)$ entiers
-$1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$, dont le produit est $(\frac{p-1}{2})!$,
-et considérons d'autre part leurs doubles, qui sont congrus modulo $p$
-à $2,4,6,\ldots,\frac{p-1}{2},\penalty-100
--\frac{p-3}{2},-\frac{p-5}{2},\ldots,-1$ (on a choisi systématiquement
-le représentant de plus petite valeur absolue) ; or $\frac{p-1}{4}$
-(un nombre impair) parmi ces représentants sont négatifs et leurs
-valeurs absolues comptent bien chacun des entiers entre $1$ et
-$\frac{p-1}{2}$ : donc le produit des entiers
-$2,4,6,\ldots,\frac{p-1}{2},\penalty-100
--\frac{p-3}{2},-\frac{p-5}{2},\ldots,-1$ est $-(\frac{p-1}{2})!$ ;
-mais ce produit est congru modulo $p$ à $2^{(p-1)/2}\,
-(\frac{p-1}{2})!$ puisqu'il s'agit des représentants des doubles des
-entiers $1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$. On a donc prouvé que
-$2^{(p-1)/2} \equiv -1 \pmod{p}$, donc que $2$ n'est pas un carré
-modulo $p$, ni dans $\FF_q$.
+La première affirmation a déjà été démontrée
+en \refext{Fin}{formule-complementaire}.
Passons à la seconde affirmation. Soit $x = D^{(q+3)/8}$ : on a alors
$x^2 = D^{(q+3)/4} = D \cdot D^{(q-1)/4}$. Notons que $D^{(q-1)/4}$
@@ -228,12 +91,6 @@ comme annoncé. Si $D^{(q-1)/4} = -1$, on a $x^2 = -D$ : soit $x' =
puisqu'on a démontré que $2^{(q-1)/2} = -1$.
\end{proof}
-L'affirmation que $2$ n'est pas un carré dans $\FF_q$ lorsque
-$q \equiv 5 \pmod{8}$ sera généralisée ultérieurement (on verra
-en \ref{formule-complementaire} que
-$2^{(q-1)/2} = (-1)^{(q^2-1)/8}$ dans $\FF_q$, ce qui peut se montrer
-avec la même technique qu'on a utilisée ci-dessus).
-
Les techniques de calcul de racines carrées explicitées dans les
propositions \ref{tonelli-shanks-pour-3-mod-4} et \ref{tonelli-shanks-pour-5-mod-8}
sont des cas particuliers d'un algorithme plus général appelé
@@ -365,7 +222,7 @@ se place à présent dans ce dernier cas.
Pour tout élément non nul $z$ de $\FF_q$ on a $z^{(q-1)/2} = \pm 1$,
ce nombre valant $+1$ pour $\frac{1}{2}(q-1)$ éléments $z$, et $-1$
pour les $\frac{1}{2}(q-1)$ autres
-(cf. \ref{denombrement-carres-f-q}). On en déduit que si $t =
+(cf. \refext{Fin}{denombrement-carres-f-q}). On en déduit que si $t =
y^{(q-1)/2}$ s'écrit $t = c_0 + c_1 x$, alors chacun des éléments $c_0
+ c_1 d = (a_0 + a_1 d)^{(q-1)/2}$ et $c_0 - c_1 d = (a_0 - a_1
d)^{(q-1)/2}$ vaut $+1$ ou $-1$. Et chacune des quatre combinaisons
@@ -440,58 +297,16 @@ cas particulier de l'algorithme de Cipolla que de celui de Legendre.
\subsection{La caractéristique $2$}\label{equations-quadratiques-corps-finis-caracteristique-2}
-\subsubsection{} En caractéristique $2$, calculer
-des racines carrées dans $\FF_q = \FF_{2^r}$ est facile : on a
-$x^{2^r} = x$ d'après \refext{Fin}{petit-theoreme-fermat}, donc $x^{2^{r-1}}$
-est une racine carrée de $x$. À la différence du cas où $2$ est
-inversible, cependant, savoir calculer des racines carrées ne permet
-pas de résoudre toutes les équations quadratiques puisqu'on ne peut
-pas écrire $X^2 + bX + c = 0$ sous la forme $(X+\frac{b}{2})^2 +
-(c-\frac{b^2}{4}) = 0$. À la place, si on note $\wp(Z) = Z^2 + Z$,
-l'équation $X^2 + bX + c = 0$, lorsque $b\neq 0$ (le cas $b=0$ ayant
-déjà été traité) peut se réécrire $\wp(X/b)+(c/b^2) = 0$, soit $X =
-b\,\root\wp\of{c/b^2}$ si on note $\root\wp\of E$ une solution (si
-elle existe) de l'équation $Z^2+Z = E$, l'autre solution étant alors
-$\root\wp\of E + 1$ (puisque $\wp(Z+1) = \wp(Z)$).
-
-\begin{definition2}
-Soit $q = 2^r$ une puissance de $2$. On appelle \emph{caractère
-quadratique additif} sur $\FF_q$ la fonction $\tau \colon a \mapsto a
-+ a^2 + a^4 + a^8 + \cdots + a^{2^{r-1}}$ (qu'on notera aussi $\tau_r$
-en cas d'ambiguïté). On note $\wp\FF_q$ l'ensemble des éléments de
-$\FF_q$ qui sont dans l'image de la fonction $\wp\colon z \mapsto z^2
-+ z$.
-\end{definition2}
-
-On peut aussi considérer $\tau$ comme la trace pour l'extension
-$\FF_q\bo\FF_2$ (cf. \refext{Fin}{trace-et-norme-corps-finis}).
-
-\begin{proposition2}\label{denombrement-artin-schreier-2-f-q}
-Si $q$ est une puissance de $2$, alors le caractère quadratique
-additif $\tau$ ne prend sur $\FF_q$ que les valeurs $0$ et $1$, et on
-a $a \in \wp\FF_q$ si et seulement si $\tau(a) = 0$ ; de plus,
+On rappelle qu'en
+\refext{Fin}{definition-caractere-quadratique-en-caracteristique-2} on
+a introduit la notation suivante : si $q = 2^r$ est une puissance
+de $2$, on appelle \emph{caractère quadratique additif} sur $\FF_q$ la
+fonction $\tau \colon a \mapsto a + a^2 + a^4 + a^8 + \cdots +
+a^{2^{r-1}}$, et on note $\wp\FF_q$ l'ensemble des éléments de $\FF_q$
+qui sont dans l'image de la fonction $\wp\colon z \mapsto z^2 + z$.
+On rappelle (\refext{Fin}{denombrement-artin-schreier-2-f-q}) que $a
+\in \wp\FF_q$ si et seulement si $\tau(a) = 0$, et que de plus
$\#(\wp\FF_q) = \frac{q}{2}$.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-L'application $\wp\colon z \mapsto z^2+z$, vue comme une application
-$\FF_2$-linéaire $\FF_q \to \FF_q$, a pour noyau $\{0,1\}$ (de
-cardinal $2$) puisque $0,1$ sont les deux solutions de $Z^2 + Z = 0$ ;
-et elle a pour image $\wp\FF_q$, donc $2\, \#(\wp\FF_q) = \#\FF_q$ :
-ceci montre la dernière affirmation.
-
-Si $e = \tau(a)$ avec $a \in \FF_q$, alors $\wp(e) = e^2 + e = (a^2 +
-a^4 + \cdots + a^q) + (a + a^2 + \cdots + a^{q/2}) = 0$ puisque $a^{q}
-= a$, donc $e$ vaut $0$ ou $1$.
-
-Si $a = \wp(b)$ avec $b \in \FF_q$, alors $\tau(a) = a + a^2 + \cdots
-+ a^{q/2} = (b^2 + b) + (b^4 + b^2) + \cdots + (b^{q} + b^{q/2}) = 0$.
-On a donc montré que sur tout élément de $\wp\FF_q$ le caractère
-quadratique additif $\tau$ vaut $0$ : comme on vient de voir qu'il y a
-$\frac{q}{2}$ tels éléments et que le polynôme $X + X^2 + X^4 + \cdots
-+ X^{q/2}$ (de degré $\frac{q}{2}$) n'est pas nul, il ne peut
-s'annuler en aucun autre point de $\FF_q$ : on voit donc que
-réciproquement si $\tau(a) = 0$ alors $a \in \wp\FF_q$.
-\end{proof}
La proposition suivante est l'analogue
de \ref{proposition-algorithme-cipolla} pour la caractéristique $2$ :
@@ -504,7 +319,7 @@ de $Z^2+Z+E=0$ dans $\FF_q$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
L'hypothèse $\tau(v/E^2) = 1$, c'est-à-dire que $v/E^2$ n'est pas
-dans $\wp\FF_q$ (cf. \ref{denombrement-artin-schreier-2-f-q}),
+dans $\wp\FF_q$ (cf. \refext{Fin}{denombrement-artin-schreier-2-f-q}),
implique que le polynôme $X^2 + EX + v$ n'est pas scindé sur $\FF_q$,
donc est irréductible, donc $\FF' = \FF_q[X]/(X^2+EX+v)$ est un corps,
isomorphe à $\FF_{q^2}$. L'élément $x$ représenté par $X$
@@ -548,7 +363,7 @@ l'isomorphisme $a_0 + a_1 x \mapsto (a_0+a_1 e, {(a_0+a_1)}+a_1 e)$).
Pour tout élément non nul $z$ de $\FF_q$ on a $z + z^2 + z^4 + \cdots
+ z^{q/2} \in \{0, 1\}$, ce nombre valant $0$ pour $\frac{q}{2}$
éléments $z$, et $1$ pour les $\frac{q}{2}$ autres
-(cf. \ref{denombrement-artin-schreier-2-f-q}). On en déduit que si $t
+(cf. \refext{Fin}{denombrement-artin-schreier-2-f-q}). On en déduit que si $t
= y + y^2 + y^4 + \cdots + y^{q/2}$ s'écrit $t = c_0 + c_1 x$, alors
chacun des éléments $c_0 + c_1 e = \tau(a_0 + a_1 e)$ et $(c_0+c_1) +
c_1 e = \tau((a_0+a_1) + a_1 e)$ vaut $0$ ou $1$. Et chacune des
@@ -607,396 +422,6 @@ l'application en question (si $q = 2^r$), puis à sommer les éléments
en question. On procède alors comme on vient d'expliquer.
-\section{Réciprocité quadratique}
-\label{reciprocite-quadratique}
-
-\subsection{Le symbole de Legendre}
-
-\begin{definition2}\label{definition-symbole-legendre}
-Si $p$ est un nombre premier impair et $a$ un entier, on
-appelle \emph{symbole de Legendre} de $a$ modulo $p$, et on note
-$\Legendre{a}{p}$, l'entier valant $0$ si $p|a$, et $1$ si $a$ est un
-carré dans $\FF_p$, et $-1$ si $a$ n'est pas un carré dans $\FF_p$.
-\end{definition2}
-
-Il résulte trivialement de \ref{denombrement-carres-f-q} et
-de \ref{produits-de-non-carres-dans-f-q} que :
-\begin{proposition2}\label{formule-symbole-legendre}
-Si $p$ est un nombre premier impair et $a$ un entier, alors
-\[
-\Legendre{a}{p} \equiv a^{(p-1)/2} \pmod{p}
-\]
-De plus, quels que soient les entiers $a,b$, on a $\Legendre{ab}{p}
-= \Legendre{a}{p} \Legendre{b}{p}$.
-\end{proposition2}
-
-\subsection{Réciprocité quadratique et formule complémentaire}
-
-L'énoncé suivant, qui compare le caractère quadratique de $p$ modulo
-$q$ au caractère quadratique de $q$ modulo $p$, et dont on va donner
-deux démonstrations, porte le nom de \emph{loi de réciprocité
-quadratique} :
-
-\begin{theoreme2}\label{loi-reciprocite-quadratique}
-Soient $p,q$ deux nombres premiers impairs distincts. On a alors :
-\[
-\Legendre{p}{q} \Legendre{q}{p} = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}
-\]
---- c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si
-$p,q \equiv 3 \pmod{4}$ auquel cas $\Legendre{q}{p} =
--\Legendre{p}{q}$.
-\end{theoreme2}
-\begin{proof}[Première démonstration]
-Convenons pour cette démonstration de représenter les éléments de
-$\ZZ/p\ZZ$ par $-\frac{p-1}{2},\ldots,\frac{p-1}{2}$, et de
-dire d'un élément de $(\ZZ/p\ZZ)^\times$ qu'il est « positif »
-lorsqu'il est congru à l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers
-$1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$, et « négatif » lorsqu'il est congru à
-l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers $-\frac{p-1}{2},\ldots,-1$. Avec
-cette définition, si $k \in \ZZ$ n'est pas multiple de $p$, son
-« signe » modulo $p$ (c'est-à-dire $+1$ ou $-1$ selon qu'il a un
-résidu positif ou négatif) vaut $(-1)^{\lfloor 2k/p\rfloor}$ où
-$\lfloor\tiret\rfloor$ désigne la fonction partie entière. Remarquons
-d'ores et déjà que pour tout entier $i$ non multiple de $p$ on a
-$\lfloor \frac{2qi}{p}\rfloor + \lfloor \frac{q(p-2i)}{p}\rfloor =
-q-1$ (car $\lfloor\theta\rfloor +
-\lfloor q-\theta\rfloor = q-1$ pour tout
-$\theta \in \RR \setminus \ZZ$), et que cet entier est pair, de sorte
-que $(-1)^{\lfloor 2qi/p\rfloor} = (-1)^{\lfloor q(p-2i)/p\rfloor}$
-(ces deux expressions donnent donc le signe de $qi$ modulo $p$).
-
-Le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} \bar\imath$ des éléments positif de
-$(\ZZ/p\ZZ)^\times$ vaut $(\frac{p-1}{2})!$ modulo $p$. Considérons
-maintenant le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} q\bar\imath$ : on peut
-manifestement l'écrire comme $q^{(p-1)/2} (\frac{p-1}{2})!$
-modulo $p$. Mais par ailleurs on ne peut pas avoir $q\bar\imath =
-\pm q\bar\imath'$ pour $i,i' \in \{1,\ldots,\frac{p-1}{2}\}$ distincts,
-donc les $q\bar\imath$ s'écrivent $\pm\bar\jmath$ avec $\bar\jmath$
-parcourant $1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$ et le signe $\pm$ donné par
-$(-1)^{\lfloor 2qi/p\rfloor} = (-1)^{\lfloor q(p-2i)/p\rfloor}$ comme
-on l'a expliqué ; ainsi, $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} q\bar\imath =
-(-1)^{\sum_{i=1}^{(p-1)/2} \lfloor 2qi/p\rfloor}(\frac{p-1}{2})!$, et
-en comparant les deux expressions trouvées et en
-utilisant \ref{formule-symbole-legendre}, on a $\Legendre{q}{p} =
-(-1)^{\sum_{i=1}^{(p-1)/2} \lfloor 2qi/p\rfloor}$ (« lemme
-d'Eisenstein »), ou, mieux, $\Legendre{q}{p} =
-(-1)^{\sum_{m=1}^{(p-1)/2} \lfloor qm/p\rfloor}$ (en appelant $m$ le
-nombre $2i$ ou $p-2i$ selon que $0<i<\frac{p}{4}$ ou
-$\frac{p}{4}<i<\frac{p}{2}$, de sorte que $m$ parcourt aussi les
-entiers de $1$ à $\frac{p-1}{2}$ quand $i$ les parcourt).
-
-Cette dernière expression admet l'interprétation géométrique
-suivante : $\Legendre{q}{p}$ vaut $(-1)^\mu$ avec $\mu$ le nombre de
-points $(m,n)$ à coordonnées entières telles que $0<m<\frac{p}{2}$ et
-$0<n<\frac{q}{p}m$ et (donc) $0<n<\frac{q}{2}$, ou, si l'on préfère,
-le nombre de points à coordonnées entières strictement à l'intérieur
-du triangle du plan dont les sommets sont $(0,0)$, $(\frac{p}{2},0)$
-et $(\frac{p}{2},\frac{q}{2})$. On en déduit que
-$\Legendre{p}{q} \Legendre{q}{p}$ est $(-1)^{\mu+\nu}$ avec $\mu+\nu$
-le nombre de points $(m,n)$ à coordonnées entières vérifiant
-$0<m<\frac{p}{2}$ et $0<n<\frac{q}{2}$ : on a bien $\mu+\nu
-= \frac{(p-1)(q-1)}{4}$.
-\end{proof}
-\begin{proof}[Seconde démonstration]
-Considérons $\FF_{q^r} = \FF_q(\zeta)$ (où $r$ est l'ordre
-multiplicatif de $p$ modulo $q$) l'extension de $\FF_q$ par une racine
-primitive $p$-ième de l'unité $\zeta$, c'est-à-dire le corps de
-décomposition de $\Phi_p(X)$ sur $\FF_q$
-(cf. \refext{Fin}{factorisation-phi-n}) dont on note $\zeta$ une racine. Dans
-ce corps, considérons la somme
-\[
-G = \sum_{i\in\FF_p^\times} \Legendre{i}{p} \zeta^i
-\]
-où on confond abusivement un $i \in \FF_p$ avec un représentant
-quelconque de celui-ci dans $\ZZ$ (puisque $\Legendre{i}{p}$ et
-$\zeta^i$ ne dépendent de la classe de $i$ modulo $p$).
-
-On a alors $G^2
-= \sum_{i,j\in \FF_p^\times} \Legendre{ij}{p} \zeta^{i+j}
-= \sum_{i,t \in \FF_p^\times} \Legendre{t}{p} \zeta^{i(1+t)}$ (en
-posant $t = j/i \in \FF_p^\times$ et en utilisant le fait que
-$\Legendre{i}{p}^2 = 1$) ; comme $\sum_{i\in\FF_p^\times} \zeta^{iu}$
-vaut $-1$ si $u \in \FF_p^\times$ et vaut $p - 1$ si $u = 0$, on en
-déduit (en distinguant selon que $t=-1$ ou non) $G^2
-= \Legendre{-1}{p}(p-1) - \sum_{t\neq 0,-1} \Legendre{t}{p}
-= \Legendre{-1}{p} p$ car $\sum_{t\in\FF_p^\times} \Legendre{t}{p} =
-0$ en vertu de \ref{denombrement-carres-f-q}.
-
-Par ailleurs, $G^q = \Frob_q(G)
-= \sum_{i\in\FF_p^\times} \Legendre{i}{p} \zeta^{qi}
-= \sum_{j\in\FF_p^\times} \Legendre{q}{p} \Legendre{j}{p} \zeta^j$ (en
-posant $j = qi$ et en utilisant de nouveau le fait que
-$\Legendre{q}{p}$ est son inverse), donc $G^q = \Legendre{q}{p} G$, et
-par conséquent $G^{q-1} = \Legendre{q}{p}$.
-
-En écrivant $G^{q-1} = (G^2)^{(q-1)/2}$, on a donc prouvé
-$\Legendre{q}{p} = \Legendre{-1}{p}^{(q-1)/2} p^{(q-1)/2} =
-(-1)^{(p-1)(q-1)/4} \Legendre{p}{q}$ ; cette égalité entre éléments de
-$\{\pm 1\}$ a lieu dans $\FF_{q^r}$ donc dans $\ZZ$ : c'est ce qu'on
-voulait prouver.
-\end{proof}
-
-Pour ce qui est du caractère quadratique de $2$, il est déterminé par
-la proposition suivante souvent appelée « formule complémentaire » :
-\begin{proposition2}\label{formule-complementaire}
-Soit $p$ un nombre premier impair. On a alors :
-\[
-\Legendre{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8}
-\]
---- c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et
-$\Legendre{2}{p} = -1$ si $p\equiv 3,5 \pmod{8}$.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}[Première démonstration]
-Convenons pour cette démonstration de représenter les éléments de
-$\ZZ/p\ZZ$ par $-\frac{p-1}{2},\ldots,\frac{p-1}{2}$, et de
-dire d'un élément de $(\ZZ/p\ZZ)^\times$ qu'il est « positif »
-lorsqu'il est congru à l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers
-$1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$, et « négatif » lorsqu'il est congru à
-l'un des $\frac{p-1}{2}$ entiers $-\frac{p-1}{2},\ldots,-1$.
-
-Le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} \bar\imath$ des éléments positif de
-$(\ZZ/p\ZZ)^\times$ vaut $(\frac{p-1}{2})!$ modulo $p$. Considérons
-maintenant le produit $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} 2\bar\imath$ : on peut
-manifestement l'écrire comme $2^{(p-1)/2} (\frac{p-1}{2})!$
-modulo $p$. Mais par ailleurs on ne peut pas avoir $2\bar\imath =
-\pm 2\bar\imath'$ pour $i,i' \in \{1,\ldots,\frac{p-1}{2}\}$ distincts,
-donc les $2\bar\imath$ s'écrivent $\pm\bar\jmath$ avec $\bar\jmath$
-parcourant $1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$ et le signe $\pm$ (donné par
-$(-1)^{\lfloor 4i/p\rfloor}$ si l'on veut) vaut $+$ pour
-$0<i<\frac{p}{4}$ et $-$ pour $\frac{p}{4}<i<\frac{p}{2}$. Le nombre
-de signes $-$ est donc égal au nombre d'entiers entre $\frac{p}{4}$ et
-$\frac{p}{2}$ et il est facile de se convaincre (par exemple en
-considérant séparément chaque cas $1,3,5,7$ modulo $8$) que le signe
-du produit est alors $(-1)^{(p^2-1)/8}$. Ainsi,
-$\prod_{i=1}^{(p-1)/2} 2\bar\imath =
-(-1)^{(p^2-1)/8}(\frac{p-1}{2})!$, et en comparant les deux
-expressions trouvées et en utilisant \ref{formule-symbole-legendre},
-on a $\Legendre{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8}$.
-
-(Cette démonstration a déjà été donnée, dans un cas particulier,
-en \ref{tonelli-shanks-pour-5-mod-8}.)
-\end{proof}
-\begin{proof}[Seconde démonstration]
-Considérons $\FF_{p^r} = \FF_p(\zeta)$ (où $r$ est l'ordre
-multiplicatif de $8$ modulo $p$) l'extension de $\FF_p$ par une racine
-primitive $8$-ième de l'unité $\zeta$, c'est-à-dire le corps de
-décomposition de $\Phi_8(X)$ sur $\FF_p$
-(cf. \refext{Fin}{factorisation-phi-n}) dont on note $\zeta$ une racine. Dans
-ce corps, considérons la somme
-\[
-G = \zeta - \zeta^3 - \zeta^5 + \zeta^7
-\]
-
-On a alors $G^2 = 4 - 4\zeta^4 = 8$.
-
-Par ailleurs, $G^p = \Frob_p(G) = \zeta^p - \zeta^{3p} - \zeta^{5p}
-+ \zeta^{7p}$, donc $G^p = (-1)^{(p^2-1)/8} G$ (en considérant
-séparément les cas $p\equiv 1,7\pmod{8}$ et $p\equiv 3,5\pmod{8}$), et
-par conséquent $G^{p-1} = (-1)^{(p^2-1)/8}$.
-
-En écrivant $G^{p-1} = (G^2)^{(p-1)/2}$, on a donc prouvé
-$(-1)^{(p^2-1)/8} = 8^{(p-1)/2} = \Legendre{8}{p} = \Legendre{2}{p}$ ;
-cette égalité entre éléments de $\{\pm 1\}$ a lieu dans $\FF_{p^r}$
-donc dans $\ZZ$ : c'est ce qu'on voulait prouver.
-
-Signalons la variante suivante. L'élément $ζ+ζ_{-1}$ est,
-dans $𝐅_{p^r}$ une racine carré de $2$ car
-$(ζ+ζ_{-1})²=2+ζ²+{ζ²}^{-1}=2$. Il en résulte que $2$ est un carré
-dans $𝐅_p$ si et seulement si $ζ^p+ζ^{-p}=ζ+ζ^{-1}$. Cette condition
-ne dépend que de $±p$ modulo $8$ et on vérifie immédiatement quelles
-sont les valeurs pour lesquelles elle est satisfaite.
-\end{proof}
-
-\begin{remarque2}
-L'étude des nombres premiers $p$ pour lesquels $2$ est un \emph{cube}
-est plus délicate et s'insère naturellement dans la « théorie
-non abélienne du corps de classes » (ou « programme de Langlands »).
-On démontre que le nombre de solutions
-dans $𝐅_p$ de l'équation $x³=2$
-est $1+a_p$, où les $a_n$ sont les coefficients
-de la série formelle
-\[
-x∏_{n=1}^∞ \big((1-x^{6n})(1-x^{18n})\big)=∑^∞_{n=1} a_n x^n.
-\]
-% cf. nouveau livre de Katô p. 36. À déplacer ?
-\end{remarque2}
-
-\begin{remarques2}\label{remarque-periodicite-symbole-legendre}
-La loi de réciprocité quadratique et la formule complémentaire (ainsi
-que la formule \ref{formule-symbole-legendre} pour le cas $a=-1$)
-permettent de conclure que $\Legendre{a}{p}$, qui est évidemment une
-fonction périodique de $a$ à $p$ fixé, est aussi, ce qui n'était pas
-évident a priori, une fonction périodique de $p$ à $a$ fixé (au sens
-où il existe un entier $T$ ne dépendant que de $a$ tel que si $p,p'$
-sont premiers impairs et $p \equiv p' \pmod{T}$ alors $\Legendre{a}{p}
-= \Legendre{a}{p'}$) ; plus précisément, il admet pour période $T =
-4|a|$ (cela sera démontré en \ref{proprietes-symbole-jacobi}
-ci-dessous). Ceci peut inciter à vouloir donner un sens à
-$\Legendre{a}{n}$ dans des cas où $n$ n'est plus nécessairement
-premier, en appliquant cette périodicité (par exemple, puisque
-$\Legendre{3}{p} = +1$ pour tout premier $p \equiv 1 \pmod{12}$, on
-est tenté de convenir que $\Legendre{3}{25} = +1$ et $\Legendre{3}{85}
-= +1$ même si $25$ et $85$ ne sont pas premiers et que $3$ n'est même
-pas un carré dans $\ZZ/25\ZZ$ ni $\ZZ/85\ZZ$). Le symbole de Jacobi
-constitue une telle généralisation du symbole de Legendre :
-\end{remarques2}
-
-\subsection{Symboles de Jacobi et de Kronecker}
-
-\begin{definition2}\label{definition-symbole-jacobi}
-Pour tout $a \in \ZZ$ et tout $b \in \NN$ impair, on
-appelle \emph{symbole de Jacobi} de $a$ et $b$, et on note
-$\Legendre{a}{b}$, le symbole défini par $\Legendre{a}{b}
-= \Legendre{a}{p_1}\cdots \Legendre{a}{p_k}$ où $b = p_1\cdots p_k$
-avec $p_i$ des nombres premiers impairs, et où $\Legendre{a}{p_i}$
-désigne alors le symbole de
-Legendre (\ref{definition-symbole-legendre}).
-\end{definition2}
-
-\begin{proposition2}\label{proprietes-symbole-jacobi}
-Le symbole de Jacobi défini en \ref{definition-symbole-jacobi} a les
-propriétés suivantes :
-\begin{itemize}
-\item On a $\Legendre{a}{b} = 0$ si et seulement si $a,b$ sont
-premiers entre eux.
-\item Pour tous $a,a',b \in \ZZ$ avec $b$ positif impair, on a
-$\Legendre{aa'}{b} = \Legendre{a}{b} \Legendre{a'}{b}$.
-\item Pour tous $a,b,b' \in \ZZ$ avec $b,b'$ positifs impairs, on a
-$\Legendre{a}{bb'} = \Legendre{a}{b} \Legendre{a}{b'}$.
-\item À $b$ positif impair fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est
-périodique admettant $b$ pour période.
-\item À $a \neq 0$ fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est périodique
-admettant $4|a|$ pour période, et même $2|a|$ si $a \equiv 1
-\pmod{4}$ et $|a|$ si $a \equiv 0 \pmod{4}$.
-\item Pour tout $b$ positif impair, on a $\Legendre{-1}{b} =
-(-1)^{(b-1)/2}$.
-\item Pour tout $b$ positif impair, on a $\Legendre{2}{b} =
-(-1)^{(b^2-1)/8}$.
-\item Pour tous $a,b$ positifs impairs, on a
-$\Legendre{a}{b} \Legendre{b}{a} = (-1)^{(a-1)(b-1)/4}$.
-\end{itemize}
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Les deux premières propriétés découlent immédiatement des propriétés
-correspondantes du symbole de Legendre. La troisième propriété est
-une conséquence immédiate de la définition. La quatrième propriété
-(périodicité en $a$) découle de nouveau de la propriété correspondante
-du symbole de Legendre. La propriété suivante (périodicité en $b$)
-sera démontrée en dernier.
-
-Les formules $\Legendre{-1}{b} = (-1)^{(b-1)/2}$, $\Legendre{2}{b} =
-(-1)^{(b^2-1)/8}$ et $\Legendre{a}{b} \Legendre{b}{a} =
-(-1)^{(a-1)(b-1)/4}$ résultent des formules correspondantes pour le
-symbole de Legendre
-(\ref{formule-symbole-legendre}, \ref{formule-complementaire}
-et \ref{loi-reciprocite-quadratique}) et du fait que ces formules sont
-multiplicatives en $b$.
-
-Montrons enfin que $\Legendre{a}{b}$ est périodique en $b$ avec les
-périodes annoncées. Si $a$ est positif impair, on a $\Legendre{a}{b}
-= (-1)^{(a-1)(b-1)/4} \Legendre{b}{a}$ comme on vient de le voir, et
-le membre de droite admet $4a$ pour période ou même $2a$ si $a \equiv
-1 \pmod{4}$ ; si $a = -1$ alors $\Legendre{-1}{b}$ est périodique de
-période $4$ et on en déduit le résultat pour tout $a$ impair. Enfin,
-si $a = 2^v a'$ avec $a'$ impair, on a $\Legendre{a}{b}
-= \Legendre{2}{b}^v \Legendre{a'}{b}$. Pour $v=1$ (cas où $a \equiv
-2 \pmod{4}$), le premier facteur a pour période $8$ et le second admet
-la période $4|a'|$, donc le produit admet la période $8|a'| = 4|a|$ ;
-pour $v=2$, le premier facteur est constant et le second admet la
-période $4|a'|$ donc le produit admet la période $4|a'| = |a|$ ; et
-pour $v\geq 3$, le premier facteur admet la période $8$ et le second
-la période $4|a'|$, donc le produit admet la période $8|a'|$
-donc $|a|$.
-\end{proof}
-
-\begin{remarques2}
-\begin{itemize}
-\item Comme on l'a déjà illustré
-en \ref{remarque-periodicite-symbole-legendre} par l'exemple de
-$\Legendre{3}{25} = +1$ et $\Legendre{3}{85} = +1$, on peut très bien
-avoir $\Legendre{a}{b} = +1$ sans que $a$ soit un carré
-dans $\ZZ/b\ZZ$. En revanche, si $\Legendre{a}{b} = -1$ (avec $b$
-positif impair) alors $a$ n'est pas un carré dans $\ZZ/b\ZZ$ puisque
-$a$ n'est pas un carré modulo l'un des facteurs premiers de $b$.
-Voir cependant \ref{symbole-de-jacobi-et-corps-finis} ci-dessous.
-\item La formule \ref{formule-symbole-legendre} n'est pas valable en
-général pour le symbole de Jacobi, même si $a$ est effectivement un
-carré modulo $b$ (le nombre noté $p$
-en \ref{formule-symbole-legendre}) : par exemple, $\Legendre{11}{35} =
-+1$, et de fait $11 \equiv 9^2 \pmod{35}$, pourtant
-$11^{(35-1)/2} \equiv 16 \pmod{35}$.
-\end{itemize}
-\end{remarques2}
-
-La proposition suivante est utile pour certains calculs, mais elle est
-vraie pour des raisons essentiellement triviales :
-\begin{proposition2}\label{symbole-de-jacobi-et-corps-finis}
-Soit $q$ une puissance d'un nombre premier $p$ impair, et $a \in \ZZ$
-non multiple de $p$. Alors $a$ est un carré dans $\FF_q$ si et
-seulement si $\Legendre{a}{q} = +1$ où $\Legendre{a}{q}$ désigne le
-symbole de Jacobi.
-\end{proposition2}
-\begin{proof}
-Écrivons $q = p^r$. Si $r$ est pair alors $\Legendre{a}{q}
-= \Legendre{a}{p}^2 = +1$, et $a$ est bien un carré dans $\FF_q$
-d'après \ref{carres-extensions-corps-finis}. Si $r$ est impair alors
-$\Legendre{a}{q} = \Legendre{a}{p}^r = \Legendre{a}{p}$, et $a$ est un
-carré dans $\FF_q$ si et seulement s'il l'est dans $\FF_p$ de nouveau
-d'après \ref{carres-extensions-corps-finis}.
-\end{proof}
-
-\begin{remarque2}
-On définit parfois une généralisation encore plus poussée des symboles
-de Legendre et de Jacobi : le \emph{symbole de Kronecker}
-$\Legendre{a}{b}$ défini pour tous $a,b\in\ZZ$. Celui-ci est défini
-en écrivant $b = u p_1\cdots p_k$ avec $u \in \{\pm 1\}$ et $p_i$ des
-nombres premiers (cette fois $p_i=2$ est admis), où $\Legendre{a}{p}$
-désigne le symbole de Legendre (\ref{definition-symbole-legendre}) si
-$p$ est premier impair, et de plus :
-\[\Legendre{a}{2} = \left\{
-\begin{array}{ll}
-0&\textrm{si $a$ est pair}\\
-(-1)^{(a^2-1)/8}&\textrm{si $a$ est impair}\\
-\end{array}
-\right.\]
-\[\Legendre{a}{-1} = \left\{
-\begin{array}{ll}
-1&\textrm{si $a\geq 0$}\\
--1&\textrm{si $a<0$}\\
-\end{array}
-\right.\]
-et enfin
-\[\Legendre{a}{0} = \left\{
-\begin{array}{ll}
-1&\textrm{si $a = \pm 1$}\\
-0&\textrm{sinon}\\
-\end{array}
-\right.\]
-Le prix à payer pour une telle généralisation est principalement de
-perdre la périodicité de $\Legendre{a}{b}$ par rapport à $b$ lorsque
-$a \equiv -1 \pmod{4}$ (ainsi que la périodicité par rapport à $a$
-lorsque $b \leq 0$). En fait, le choix de $\Legendre{a}{2} =
-(-1)^{(a^2-1)/8}$ (pour $a$ impair) est quelque peu arbitraire, et le
-symbole de Kronecker ne possède pas le caractère naturel du symbole de
-Jacobi. Il vérifie néanmoins les propriétés suivantes dont la
-vérification est laissée au lecteur :
-\begin{itemize}
-\item On a $\Legendre{a}{b} = 0$ si et seulement si $a,b$ sont
-premiers entre eux.
-\item Pour tous $a,a',b \in \ZZ$, on a $\Legendre{aa'}{b}
-= \Legendre{a}{b} \Legendre{a'}{b}$.
-\item Pour tous $a,b,b' \in \ZZ$, on a $\Legendre{a}{bb'}
-= \Legendre{a}{b} \Legendre{a}{b'}$ sauf éventuellement si $a=-1$ et
-$bb'=0$.
-\item À $b>0$ fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est périodique
-admettant $4b$ pour période, et même $b$ si $b \not\equiv 2 \pmod{4}$.
-\item À $a \neq 0$ fixé, la fonction $\Legendre{a}{b}$ est périodique
-admettant $4|a|$ pour période si $a \not\equiv -1 \pmod{4}$, et même
-$|a|$ si $a \equiv 0,1 \pmod{4}$.
-\end{itemize}
-\end{remarque2}
-
-
\section{Factorisation de polynômes sur les corps finis}\label{factorisation-polynomes-corps-finis}
On a vu dans la section \ref{equations-quadratiques-corps-finis}