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@@ -14,7 +14,7 @@
\chapter{Bases de Gröbner et applications}
\fi
-\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathrm}{in}
+\DeclareMathOperatorWithFont{\initial}{\mathtextrm}{in}
\section{Bases de Gröbner}
@@ -254,7 +254,7 @@ variables, que $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots \preceq Z_d$.
\subsubsection{L'ordre lexicographique (pur)} L'\textbf{ordre
lexicographique} est défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}
-\mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
+\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
ssi $\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus grand} $i$ tel que $\ell_i
\neq \ell'_i$. Autrement dit, l'ordre lexicographique compare deux
monômes en comparant leur degré en $Z_d$ ou, en cas d'égalité, de
@@ -275,7 +275,7 @@ Z_3^2 \preceq \cdots \preceq Z_4 \preceq \cdots$ (l'ordinal associé à
ce bon ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ vaut $\omega^d$).
\begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-pur}
-Si $\initial_{\mathtt{lex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
+Si $\initial_{\mathtexttt{lex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
d$) alors $f \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$. De plus, cette propriété
caractérise l'ordre lexicographique (parmi les ordres admissibles).
\end{proposition2}
@@ -307,7 +307,7 @@ coïncident.
\subsubsection{L'ordre lexicographique gradué} L'\textbf{ordre
lexicographique par degré} ou \textbf{ordre lexicographique gradué}
est défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}
-\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
+\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$
ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum \ell'_i$ et
$\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus grand} $i$ tel que $\ell_i \neq
\ell'_i$. Autrement dit, les monômes sont classés en priorité par
@@ -327,15 +327,15 @@ ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ vaut $\omega$ comme c'est
le cas pour tout ordre gradué).
\begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-gradue}
-L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ est gradué au sens
+L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ est gradué au sens
de \ref{definition-ordres-admissibles}, et si
-$\initial_{\mathtt{glex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
+$\initial_{\mathtexttt{glex}}(f) \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (pour un $t\leq
d$) avec $f$ un polynôme homogène, alors $f \in k[Z_1,\ldots,Z_t]$.
De plus, ces propriétés caractérisent l'ordre lexicographique gradué
(parmi les ordres admissibles).
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ soit gradué
+Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ soit gradué
est évident sur sa définition ; pour ce qui est de la deuxième
propriété, il suffit de remarquer que tous les monômes plus petits,
pour l'ordre lexicographique gradué, et de même degré, qu'un monôme
@@ -353,17 +353,17 @@ k[Z_1,\ldots,Z_t]$ ; ceci signifie que tout monôme faisant intervenir
supérieur à tout monôme du même degré ne faisant intervenir que
$Z_1,\ldots,Z_t$. Si $s = Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et $s' =
Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ sont deux monômes de même degré
-total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}} s'$ (donc, vu que
-le degré total est le même, $s \mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}} s'$),
+total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}} s'$ (donc, vu que
+le degré total est le même, $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}} s'$),
la démonstration utilisée dans le cas de l'ordre lexicographique pur
montre que $s \preceq s'$, et ceci démontre que $\preceq$ coïncide
-avec l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$.
+avec l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$.
\end{proof}
\subsubsection{L'ordre lexicographique inversé gradué} L'\textbf{ordre
lexicographique inversé par degré} (ou \textbf{...gradué}) est
défini par $Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}
-\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots
+\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}} Z_1^{\ell'_1} \cdots
Z_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum
\ell'_i$ et $\ell_i > \ell'_i$ pour le \emph{plus petit} $i$ tel que
$\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, cet ordre trie en premier lieu
@@ -384,21 +384,21 @@ Z_1 Z_2 Z_3 \preceq \cdots \preceq Z_2^3 \preceq \cdots$ (l'ordinal
associé à ce bon ordre sur les monômes de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$
vaut $\omega$ comme c'est le cas pour tout ordre gradué).
-On peut noter que $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ et
-$\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ coïncident lorsqu'il n'y a que
+On peut noter que $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ et
+$\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{glex}}}$ coïncident lorsqu'il n'y a que
deux variables (une fois fixé l'ordre entre celles-ci).
\begin{proposition2}\label{caracterisation-ordre-lexicographique-inverse-gradue}
-L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ est gradué au sens
+L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ est gradué au sens
de \ref{definition-ordres-admissibles}, et si
-$\initial_{\mathtt{grevlex}}(f) \in (Z_1,\ldots,Z_t)$ (pour un $t\leq
+$\initial_{\mathtexttt{grevlex}}(f) \in (Z_1,\ldots,Z_t)$ (pour un $t\leq
d$, et en notant bien sûr $(Z_1,\ldots,Z_t)$ l'idéal engendré par ces
variables) avec $f$ un polynôme homogène, alors $f \in
(Z_1,\ldots,Z_t)$. De plus, ces propriétés caractérisent l'ordre
lexicographique inversé gradué (parmi les ordres admissibles).
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ soit gradué
+Le fait que l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ soit gradué
est évident sur sa définition ; pour ce qui est de la deuxième
propriété, il suffit de remarquer que tous les monômes plus petits,
pour l'ordre lexicographique inversé gradué, et de même degré, qu'un
@@ -406,7 +406,7 @@ monôme dans $(Z_1,\ldots,Z_t)$, sont eux-mêmes dans
$(Z_1,\ldots,Z_t)$ : en effet, dire d'un monôme qu'il appartient à
$(Z_1,\ldots,Z_t)$ signifie qu'il a un degré $>0$ dans l'une des $t$
premières variables, et, à degré total constant, diminuer le monôme
-pour $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ se fait en augmentant le
+pour $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$ se fait en augmentant le
degré dans la plus petite variable.
Pour montrer que les propriétés énoncées caractérisent l'ordre
@@ -419,7 +419,7 @@ ordre admissible gradué tel que si $\initial_{\preceq}(f) \in
inférieur à tout monôme du même degré ne faisant intervenir que
$Z_{t+1},\ldots,Z_d$. Si $s = Z_1^{\ell_1} \cdots Z_d^{\ell_d}$ et
$s' = Z_1^{\ell'_1} \cdots Z_d^{\ell'_d}$ sont deux monômes de même
-degré total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}} s'$,
+degré total tels que $s \mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}} s'$,
c'est-à-dire tels que $\ell_i > \ell'_i$ où $i$ est le \emph{plus
petit} possible tel que $\ell_i \neq \ell'_i$, on appelle comme
précédemment $s^0 = Z_1^{\ell^0_1} \cdots Z_d^{\ell^0_d}$ le plus
@@ -428,7 +428,7 @@ par$s = s^0 s^1$ et $s' = s^0 s^{1\prime}$ : on a alors $s^1 \preceq
s^{1\prime}$ puisque $s^1$ fait intervenir $Z_i$ et non $s^{1\prime}$
(alors qu'ils sont de même degré total), donc $s \preceq s'$, et ceci
démontre que $\preceq$ coïncide avec
-l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$.
+l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$.
\end{proof}
\subsubsection{Quelques autres ordres possibles} Il est assez fréquent
@@ -700,7 +700,7 @@ L'un ou l'autre de ces phénomènes montre que $f_1,f_2$ ne forment pas
une base de Gröbner de l'idéal $I$ qu'ils engendrent. En fait, il
s'avère que cet idéal $I$ est celui engendré par $f_2$ et $f = -f_1 +
X f_2$, et que ces polynômes-là en forment une base de Gröbner,
-l'idéal initial $\initial_{\mathtt{lex}}(I)$ étant celui engendré par
+l'idéal initial $\initial_{\mathtexttt{lex}}(I)$ étant celui engendré par
$X^3$ et $Y^2$. (Par ailleurs, si $k = \QQ$, alors $\QQ[X,Y]/I$ est
le corps $\QQ(\root3\of2, j\root3\of2)$ de décomposition de $X^3 - 2$
sur $\QQ$.)
@@ -1242,11 +1242,11 @@ algorithme permettant de le résoudre :
\begin{proposition2}\label{base-de-groebner-elimination}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I
-\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors on a $\initial_{\mathtt{lex}}(J) =
-\initial_{\mathtt{lex}}(I) \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (où on est convenu
+\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors on a $\initial_{\mathtexttt{lex}}(J) =
+\initial_{\mathtexttt{lex}}(I) \cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$ (où on est convenu
d'ordonner les variables de la manière $Z_1 \preceq Z_2 \preceq \cdots
\preceq Z_d$) ; et si $B = \{f_1,\ldots,f_r\}$ est une base de Gröbner
-de $I$ pour l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}}$, alors $B \cap
+de $I$ pour l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{lex}}}$, alors $B \cap
k[Z_1,\ldots,Z_t]$ est une base de Gröbner de $J$.
Plus généralement, ces affirmations (à $t$ fixé) valent pour tout
@@ -1293,7 +1293,7 @@ dans cette démonstration ?
\emph{si on connaît $t$ à l'avance}, consiste à prendre l'ordre sur le
degré total en les seules variables $Z_1,\ldots,Z_t$ comme premier
critère de comparaison, et en cas d'égalité comparer avec
-$\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$.)
+$\mathrel{\preceq_{\mathtexttt{grevlex}}}$.)
\begin{corollaire2}\label{projection-et-extensions-de-corps}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I