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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 4909be0..eda91c5 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1522,6 +1522,26 @@ alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$. \subsection{Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme}\label{section-algebre-de-decomposition-universelle} +\begin{lemme2} +Soit $k$ un corps. On considère l'algèbre $S = k[E_1,\ldots,E_d]$ des +polynômes en $d$ variables sur les indéterminées $E_1,\ldots,E_d$ +comme une sous-algèbre de l'algèbre isomorphe $R = k[Z_1,\ldots,Z_d]$ +en envoyant chaque $E_i$ sur le $i$-ième polynôme symétrique +élémentaire $e_i(Z_1,\ldots,Z_d)$ en les $Z_i$. Alors $R$ est un +$S$-module libre de dimension $d!$. +\end{lemme2} +\begin{proof} +Le résultat classique \XXX sur les polynômes symétriques élémentaires +garantit que $E_i \mapsto e_i$ définit bien un morphisme injectif de +$S$ dans $R$ dont l'image est la sous-algèbre de $R$ formée des +polynômes totalement symétriques. + +On gradue $R$ par le degré total : la graduation induite sur $S$ +s'obtient en donnant à chaque $E_i$ le degré $i$. + +\XXX +\end{proof} + \begin{proposition2}\label{relations-algebre-de-decomposition-universelle} Soit $k$ un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire, disons $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d$. On considère l'idéal $I$ de |