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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index 6e6e05a..ba38aba 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1421,6 +1421,32 @@ condition de \ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} est alors manifestement satisfaite de $J$ si elle l'est de $I$. \end{proof} +\begin{algorithme2}\label{algorithme-calcul-inverse-algebre-de-type-fini} +Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de +$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, et $x$ un élément de $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$, on +peut déterminer si $x$ est inversible dans cette algèbre et, le cas +échéant, en calculer un inverse. +\end{algorithme2} +\begin{proof}[Description de l'algorithme] +Introduisons une nouvelle variable $Y$ : soit $\tilde I$ l'idéal de +$k[Z_1,\ldots,Z_d,Y]$ engendré par $I$ (c'est-à-dire, par les +générateurs donnés de $I$) et par $\hat x Y - 1$ (où $\hat x$ est un +relèvement quelconque de $x$ à $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, étant évident que +$\tilde I$ ne dépend pas de ce choix). On calcule la base de Gröbner +réduite $\tilde B$ de $\tilde I$ pour un ordre monomial $\preceq$ +quelconque qui ordonne $Y$ après n'importe quel monôme en +$Z_1,\ldots,Z_d$ : cette base est de la forme $B \cup C$ où $B$ est la +base de Gröbner réduite de $I$ (pour le même ordre monomial, +c'est-à-dire, pour sa restriction aux monômes en $Z_1,\ldots,Z_d$) et +$C$ est formé de polynômes de degré partiel en $Y$ valant exactement +$1$. L'élément $x$ est inversible si et seulement si $C$ est réduit à +un unique polynôme $Y - g$ avec $g \in k[Z_1,\ldots,Z_d]$, et lorsque +c'est le cas, la classe de $g$ modulo $I$ est l'inverse recherché. +\end{proof} +\begin{proof} +\XXX +\end{proof} + \subsection{Algèbre de décomposition universelle d'un polynôme}\label{section-algebre-de-decomposition-universelle} |