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index 2ad3f9b..47eb669 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -2036,14 +2036,14 @@ l'argument donné n'utilisait pas l'hypothèse que l'anneau des coefficients
soit un corps. Nous dirons donc que $p_φ$ est un \emph{projecteur de
rang un}.
-\subsubsection{}Soient $\mathrm{pr}_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne »
-de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\mathrm{pr}_{i|M_φ}$ leurs restrictions
-à $M_φ$. L'application $\mathrm{pr}_{1|M_φ}$
+\subsubsection{}Soient $\pr_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne »
+de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\pr_{i|M_φ}$ leurs restrictions
+à $M_φ$. L'application $\pr_{1|M_φ}$
induit un isomorphisme sur son image $L_φ$ dont l'inverse est
l'application $L_φ → M_φ$ envoyant $l$ sur $(φ(E_{1,1})l,…,φ(E_{n,1})l)$.
On peut donc reconstruire $L_φ$ à partir de $M_φ$ ; l'égalité
\[
-(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \mathrm{pr}_{i|M_φ} ∘ {\mathrm{pr}_{1|M_φ}}^{-1}
+(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \pr_{i|M_φ} ∘ {\pr_{1|M_φ}}^{-1}
\]
montre comment reconstruire $ι_φ$. (Par construction,
le terme de droite prolonge l'inclusion $L⊆A^n$.)
@@ -2052,9 +2052,9 @@ Pour tout anneau $A$, notons $𝐏⁰(𝐌_n)(A)$,
l'ensemble des sous-$A$-modules $M$ de $𝐌_n(A)$
tels que l'application « image » (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}
\emph{infra} pour une justification de cette terminologie)
-\[I_M := ∑_i \mathrm{pr}_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme.
-L'application \[M↦(L_M=\Im \mathrm{pr}_{1|M}, ι_M=∑_i \mathrm{pr}_{i|M} ∘
-{\mathrm{pr}_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre
+\[I_M := ∑_i \pr_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme.
+L'application \[M↦(L_M=\Im \pr_{1|M}, ι_M=∑_i \pr_{i|M} ∘
+{\pr_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre
$\mathbf{P}⁰(𝐌_n)(A)$ et $ℒ_n(A)$. Il en résulte que les foncteurs
$\Aut(𝐌_n)$ et $𝐏⁰(𝐌_n)$ sont isomorphes. (Si $A → B$ un morphisme de
$k$-algèbres, l'application $𝐏⁰(𝐌_n)(A) → 𝐏⁰(𝐌_n)(B)$ envoie $M⊆𝐌_n(A)$
@@ -2086,10 +2086,10 @@ un $k$-plongement de $R$ dans $R'$.
des ouverts d'un espace affine.)
Pour toute paire d'indices $(i,j)∈\{1,…,n\}²$,
et tout anneau $A$, posons
-\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \mathrm{pr}_{ij|M}:M ⥲ A\},\]
-où $\mathrm{pr}_{ij}$ est l'application $𝐌_n(A) ↠ A$
+\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \pr_{ij|M}:M ⥲ A\},\]
+où $\pr_{ij}$ est l'application $𝐌_n(A) ↠ A$
« coefficient $(i,j)$ de la matrice » et
-$\mathrm{pr}_{ij|M}$ sa restriction à $M$.
+$\pr_{ij|M}$ sa restriction à $M$.
Si $A$ est un corps, cela revient à regarder les droites comme ci-dessus
dont un élément a sa coordonnée en position $(i,j)$ inversible.
@@ -2124,7 +2124,7 @@ inversible mais il en résulte cependant que les coefficients d'une colonne
quelconque (par exemple la première) engendre l'idéal unité de $A$.
(Calculer le déterminant en développant le long de cette colonne.)
Si l'on inverse l'un quelconque de ces coefficients, disons $a_{i1}$,
-l'application $\mathrm{pr}_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme.
+l'application $\pr_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme.
Ceci achève la démonstration du fait que les sous-foncteurs
$𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)$ recouvrent $𝐏⁰(𝐌_n)$ .