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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 9cf0575..b93725d 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -273,7 +273,7 @@ Soit $P \in k[X]$ un polynôme unitaire à coefficients dans un corps $k$ : on notera $k(x) = k[X]/(P)$ l'algèbre quotient, où $x$ désigne la classe dans $k[X]/(P)$ de l'indéterminée $X$. On appelle \emph{transformation de Tschirnhaus} sur $P$ un élément $y$ de $k(x)$ -dont le polynôme minimal $Q$ sur $P$ soit du même degré que $P$ --- +dont le polynôme minimal $Q$ sur $k$ soit du même degré que $P$ --- c'est-à-dire que les puissances $1,y,y^2,\ldots,y^{\deg P-1}$ forment une base de la $k$-algèbre $k(x)$ de dimension $\deg P$. On représentera la transformation sous la forme $U(x)$ avec $U \in k[X]$ @@ -836,7 +836,9 @@ termes de théorie de Galois : \begin{proposition2}\label{polynomes-tschirnhaus-equivalents-et-stabilisateurs-conjugues} Soient $P,Q$ deux polynômes séparables de même degré sur un corps $k$, ayant même corps de décomposition $E$, ou, de façon équivalente, même -groupe de Galois $G = \Gal(E\bo k)$ à l'intérieur du groupe de Galois +groupe de Galois $G = \Gal(E\bo k)$ à l'intérieur +\commentaire{pas plutôt quotient ?} +du groupe de Galois d'une clôture séparable de $k$. Si $U,V$ désignent les sous-groupes de $G$ (définis à conjugaison près) stabilisant une racine quelconque de $P,Q$ respectivement (de sorte que l'action de $G$ sur les classes @@ -933,7 +935,10 @@ K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$. De plus, lorsque c'est le cas (pour un $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$), le corps $E := \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est engendré sur corps $F := \Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des fonctions rationnelles -totalement symétriques par l'unique élément $P$ (autrement dit, $E = +totalement symétriques par l'unique +\commentaire{unique : ambiguë. « est monogène sur $F$, +engendré par l'élément $P$ » ?} +élément $P$ (autrement dit, $E = F(P)$). \end{proposition2} \begin{proof} @@ -1124,7 +1129,7 @@ multiplicité d'un polynôme $f \in K[X]$ dont $L$ est, donc, le corps de décomposition. Autrement dit, nous nous poserons la \begin{question2}\label{question-trouver-critere-polynomes-invariants} Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un -corps $K$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les racines comptées +corps $K$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines comptées avec multiplicité dans un corps de décomposition $L = K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$. À quelle condition sur $f$ et $H$ peut-on dire que |