1 files changed, 62 insertions, 4 deletions

diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 6760bd9..70bfa76 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1052,13 +1052,13 @@ Cela découle immédiatement
 de \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-factorisation}.
 \end{proof}
 
-\begin{remarque2}
+\begin{remarque2}\label{exemple-polynomes-meme-corps-decomposition-mais-pas-tschirnhaus-equivalents}
 On a vu en \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois} que si
 $P$ et $Q$ sont Tschirnhaus-équivalents, alors ils ont même corps de
 décomposition (et même groupe de Galois).  Il peut cependant se
 produire que deux polynômes unitaires de même degré $P$ et $Q$, même
 irréductibles et séparables, aient même corps de décomposition (et
-même groupe de Galois) sans pour autant qu'ils soient
+donc même groupe de Galois) sans pour autant qu'ils soient
 Tschirnhaus-équivalents.  À titre d'exemple, les polynômes $X^4 - 2$
 et $X^4 + 2$ sur $\QQ$ ont même corps de décomposition
 $\QQ(\sqrt{-1},\root4\of2)$, pourtant ils ne sont pas
@@ -1068,10 +1068,68 @@ identifiant la classe de $X$ à $\root4\of2 \approx 1.189 \in \RR$, or
 le polynôme $X^4 + 2$ se décompose dans $\RR$ comme $(X^2 + \root4\of8
 X + \sqrt{2}) \, (X^2 - \root4\of8 X + \sqrt{2})$, et n'a pas de
 racine).
-
-\XXX --- Expliquer cet exemple en termes de théorie de Galois.
 \end{remarque2}
 
+La proposition suivante a pour but d'expliquer l'exemple précédent en
+termes de théorie de Galois :
+\begin{proposition2}
+Soient $P,Q$ deux polynômes séparables de même degré sur un corps $k$,
+ayant même corps de décomposition $E$, ou, de façon équivalente, même
+groupe de Galois $G = \Gal(E\bo k)$ à l'intérieur du groupe de Galois
+d'une clôture séparable de $k$.  Si $U,V$ désignent les sous-groupes
+de $G$ (définis à conjugaison près) stabilisant une racine quelconque
+de $P,Q$ respectivement (de sorte que l'action de $G$ sur les classes
+à gauche de $U,V$ respectivement soit équivalente à celle sur les
+racines de $P,Q$ respectivement).  Alors $P,Q$ sont
+Tschirnhaus-équivalents si et seulement si $U,V$ sont conjugués
+dans $G$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $U,V$ sont conjugués, il revient au même de supposer qu'ils sont
+égaux : il existe une racine $x$ de $P$ (celle stabilisée par $U$) et
+une racine $y$ de $Q$ (celle stabilisée par $V$) telles que $y$ soit
+stabilisée par $U$, c'est-à-dire, appartienne au corps de rupture
+$k(x)$ de $P$.  D'après
+\ref{polynomes-irreductibles-tschirnhaus-equivalents}, ceci montre que
+$P$ et $Q$ sont Tschirnhaus-équivalents.
+
+Réciproquement, si $P$ et $Q$ sont Tschirnhaus-équivalents, leurs
+corps de rupture $k(x) = k[X]/(P)$ et $k(y) = k[Y]/(Q)$ sont
+isomorphes.  Les racines choisies de $P$ et $Q$ (celles stabilisées
+par $U$ et $V$ respectivement) définissent des plongements de $k(x)$
+et $k(y)$ dans $E$ (en identifiant $x$ et $y$ à ces deux racines
+choisies) : d'après \refext{CG}{prolongement-plongement}, il existe un
+automorphisme $\sigma$ de la clôture algébrique, donc de $E$, se
+restreignant en l'isomorphisme voulu de $k(x)$ sur $k(y)$ : ce $\sigma
+\in G$ conjugue $U$ en $V$.
+\end{proof}
+
+\begin{exemple2}
+Ln'exemple de la
+remarque \ref{exemple-polynomes-meme-corps-decomposition-mais-pas-tschirnhaus-equivalents}
+peut maintenant s'analyser comme suit : le groupe de Galois $G$ de $E
+= \QQ(\sqrt{-1},\root4\of2)$ est le groupe diédral du carré, dont les
+côtés peuvent être étiquetés $\root4\of2$, $\sqrt{-1}\root4\of2$,
+$-\root4\of2$, $-\sqrt{-1}\root4\of2$ (on notera $\tau$ la symétrie
+diagonale de ce carré échangeant $\sqrt{-1}\root4\of2$ et son opposé
+et laissant les deux autres sommets fixes, par exemple réalisée par la
+conjugaison complexe, et $\sigma$ la rotation permutant les quatre
+sommets dans l'ordre dans lequel ils ont été énumérés,
+$\sigma(\root4\of2) = \sqrt{-1}\root4\of2$) ; dans ce groupe, le
+sous-groupe $U$ stabilisant $x = \root4\of2$ est $U = \{1,\tau\}$,
+tandis que le sous-groupe $V$ stabilisant $y = \root4\of{-2} :=
+\frac{\sqrt{2}\root4\of2}{2}(1+\sqrt{-1})$ est $\{1,\sigma\tau\}$ (on
+peut visualiser les choses en étiquetant comme $\root4\of{-2}$ le côté
+du carré reliant les sommets étiquetés $\root4\of2$ et
+$\sqrt{-1}\root4\of2$ et ensuite $-\sqrt{-1}\root4\of{-2}$,
+$-\root4\of{-2}$ et $\sqrt{-1}\root4\of{-2}$ ses trois images
+successives par $\sigma$).  Ces deux sous-groupes $U$ et $V$ ne sont
+pas conjugués à l'intérieur de $G$ (le seul conjugué de $\tau$ autre
+que lui-même est $\sigma\tau\sigma^{-1} = \sigma^2 \tau$), donc les
+corps $\QQ(\root4\of2)$ et $\QQ(\root4\of{-2})$ ne sont pas
+isomorphes.
+\end{exemple2}
+
 \subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
 
 La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du