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+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
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+\input{commun}
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+
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+
+\title{Algorithmes de calcul}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\setcounter{tocdepth}{1}
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Algorithmes de calcul}
+\fi
+
+
+\section{Algorithmes généraux}
+
+Nous nous attachons dans ce chapitre à présenter certaines des
+techniques permettant de calculer, de façon effective, le groupe de
+Galois d'un polynôme. Dans un premier temps, nous exposerons
+certaines techniques complètement générales prouvant que le problème
+(de déterminer le groupe de Galois d'un polynôme, disons, sur $\QQ$)
+est au moins théoriquement algorithmique (c'est-à-dire, décidable au
+sens de Church-Turing), même si ces algorithmes tout à fait généraux
+sont inutilisables dans la pratique en raison de leur complexité.
+
+\subsection{La méthode de Kronecker}
+
+Le résultat suivant, dû à Kronecker, ramène la détermination d'un
+groupe de Galois à la factorisation d'un polynôme.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
+(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$,
+et $\xi_1,\ldots,\xi_d$ ses racines dans son corps de décomposition
+noté $L$ (de sorte que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$). On définit
+la \emph{résolvante de Kronecker} de $f$ comme
+\[
+s = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}
+\Big(X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_{\sigma(i)}\Big)
+\in L[X, Y_1,\ldots,Y_d]
+\]
+Ce polynôme $s$ est, en fait, à coefficients dans $K$, et il est
+invariant par $\mathfrak{S}_d$ agissant par permutation sur les
+variables $Y_1,\ldots,Y_d$. Soit $h$ un facteur irréductible
+quelconque de $s$ dans $K[X, Y_1,\ldots,Y_d]$, choisi unitaire comme
+polynôme en $X$ ; et soit $S_h$ le sous-groupe $S_h$ de
+$\mathfrak{S}_d$ formé des permutations $\sigma\in\mathfrak{S}_d$
+(permutant les $Y_i$) qui laissent $h$ invariant. Alors $S_h$ est
+conjugué, dans $\mathfrak{S}_d$, au groupe de Galois $G = \Gal(L/K)$
+de $f$ sur $K$ vu comme un groupe de permutations sur $\{\xi_i\}$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Remarquons tout d'abord que les facteurs $X-\sum_{i=1}^d Y_i
+\xi_{\sigma(i)}$, étant linéaires, sont irréductibles dans
+$L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, donc l'expression définissant $s$ donne
+exactement sa décomposition en facteurs irréductibles dans
+$L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$. La même chose vaudra pour n'importe quel
+produit de tels facteurs (et en particulier pour le polynôme $g$
+défini ci-dessous).
+
+Le polynôme $s$ est, par construction, totalement invariant par
+n'importe quelle permutation $\sigma\in\mathfrak{S}_d$ des $\xi_i$, et
+notamment par l'action du groupe de Galois $G \leq \mathfrak{S}_d$
+de $f$. Il s'ensuit que $s$ est à coefficients dans le corps fixe par
+$G$ dans $L$, c'est-à-dire $K$ ; cette même remarque prouve aussi que
+le polynôme $g$ défini par $g = \prod_{\sigma\in G}
+\big(X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_{\sigma(i)}\big)$ est aussi à coefficients
+dans $K$ (et c'est manifestement un facteur de $s$). Ici, on a
+identifié $G$ à un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ au moyen de la
+numérotation choisie pour les racines, c'est-à-dire en posant
+$\xi_{\sigma(i)} = \sigma(\xi_i)$.
+
+Comme $\sum_{i=1}^d Y_i \xi_{\sigma(i)} = \sum_{i=1}^d
+Y_{\sigma^{-1}(i)} \xi_i$, on peut encore réécrire $s$ comme $s =
+\prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d} \big(X-\sum_{i=1}^d Y_{\sigma(i)}
+\xi_{i}\big)$, donc $s$ est bien invariant par l'action
+de $\mathfrak{S}_d$ qui permute les variables $Y_1,\ldots,Y_d$. Pour
+ce qui est de $g$, il est pour la même raison fixé au moins par
+l'action de $G$ sur les $Y_i$ (soulignons on a identifié $G$ à un
+sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$). Pour montrer qu'il n'est pas fixé
+par plus (c'est-à-dire que $S_g = G$ exactement), on observe que si un
+$\tau\in \mathfrak{S}_d$ laisse $g$ invariant (en agissant par
+permutation sur les $Y_i$), il doit permuter les facteurs
+irréductibles de $g$ dans $L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, et notamment il
+envoie $X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_i$ sur $X-\sum_{i=1}^d Y_i
+\xi_{\tau^{-1}(i)}$ ce qui prouve que $\tau \in G$.
+
+Dans $L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, on a signalé que les facteurs
+irréductibles de $s$ sont donnés exactement par les $X-\sum_{i=1}^d
+Y_i \xi_{\sigma(i)}$. En particulier, la factorisation de $h$ doit
+être donnée par un sous-ensemble de ces facteurs ; quitte à permuter
+les variables $Y_i$ (ce qui revient à conjuguer le sous-groupe $S_h$ à
+l'intérieur de $\mathfrak{S}_d$), on peut supposer que $h$ comporte le
+facteur $X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_i$ (correspondant à $\sigma = \Id$).
+On cherche alors à prouver que $S_h = G$. Étant donné que $h$ est à
+coefficients dans $K$, il est invariant par l'action de $G$ agissant
+sur les $\xi_i$ : puisque $h$ comporte le facteur $X-\sum_{i=1}^d Y_i
+\xi_i$, il est aussi divisible par tous les facteurs $X-\sum_{i=1}^d
+Y_i \xi_{\sigma(i)}$ avec $\sigma \in G$, c'est-à-dire que $g$ divise
+$h$ (dans $L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$ mais donc aussi dans
+$K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, où ces deux polynômes vivent). Or $h$ était
+supposé irréductible (dans $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$), et tous deux sont
+unitaires, donc $g=h$ et $S_h=S_g=G$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item La démonstration ci-dessus décrit exactement la décomposition en
+ facteurs irréductibles de $s$ dans $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$ : ce sont
+ les $\tau(g) = \prod_{\sigma\in G\tau^{-1}} \big(X-\sum_{i=1}^d Y_i
+ \xi_{\sigma(i)}\big)$, où $G\tau^{-1}$ parcourt les classes à gauche
+ de $G$ dans $\mathfrak{S}_d$.
+\item Si on sait déjà que le groupe de Galois de $G$ est contenu dans
+ un certain sous-groupe $\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, l'énoncé
+ reste vrai en utilisant la résolvante $s_{\mathfrak{G}} =
+ \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} \Big(X-\sum_{i=1}^d Y_i
+ \xi_{\sigma(i)}\Big) \in L[X, Y_1,\ldots,Y_d]$ au lieu de $s$ (ceci
+ ne possède d'intérêt algorithmique, toutefois, que si on sait
+ exprimer comme éléments de $K$ les polynômes
+ $\mathfrak{G}$-invariants des $\xi_i$, cf. ci-dessous).
+
+ Toutefois, il faut se garder de croire que le fait que le
+ $s_{\mathfrak{G}}$ défini ci-dessus soit dans $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$
+ suffise à impliquer que $\mathfrak{G}$ contienne le (ou un conjugué
+ du) groupe de Galois de $G$. En effet, si $\mathfrak{G}$ est
+ l'intersection de tous les conjugués $\sigma G \sigma^{-1}$ de $G$
+ dans $\mathfrak{S}_d$, alors $s_{\mathfrak{G}}$ est le pgcd des
+ $s_{\sigma G \sigma^{-1}}$ qui appartiennent tous à
+ $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, donc il est bien à coefficients dans $K$, et
+ pourtant ce $\mathfrak{G}$ peut être strictement plus petit que tout
+ conjugué $\sigma G \sigma^{-1}$ de $G$. \XXX (Je ne dis pas des
+ bêtises, là ?)
+\item Le calcul explicite de $s$ est, au moins en principe,
+ algorithmique à partir de la connaissance de $f$ : on peut, par
+ exemple, calculer le polynôme « universel »
+\[
+\Upsilon := \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}
+\Big(X-\sum_{i=1}^d Y_i Z_{\sigma(i)}\Big)
+\in \ZZ[X,Y_1,\ldots,Y_d,Z_1,\ldots,Z_d]
+\]
+qui est totalement symétrique dans les variables $Z_1,\ldots,Z_d$ et
+s'écrit donc, et de façon algorithmique, comme polynôme (à
+coefficients dans $\ZZ[X,Y_1,\ldots,Y_d]$) dans les fonctions
+symétriques élémentaires $\sigma_j$ en les $Z_i$ (soit
+$\sigma_1=Z_1+\cdots+Z_d$, $\sigma_2=\sum_{\alpha<\beta} Z_\alpha
+Z_\beta$, ..., $\sigma_d=Z_1\cdots Z_n$) ; en substituant $(-1)^i a_i$
+(les coefficients de $f$, au signe près) à $\sigma_i$ dans $\Upsilon$
+on obtient précisément le polynôme $s$.
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\begin{exemple2}
+Soit $f = X^3 + X^2 - 2 X - 1$
+(cf. \refext{ExG}{exemple-galois-cubique-cyclique}). On peut alors
+vérifier que
+\[
+\begin{array}{r@{}l}
+s =& \phantom{\cdot}\Big(X^3 + (Y_1+Y_2+Y_3) X^2\\
+& \mskip25mu + \big(-2(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2) + 3(Y_1Y_2 + Y_2Y_3 + Y_3Y_1)\big) X\\
+& \mskip25mu + \big(-(Y_1^3+Y_2^3+Y_3^3) - 3(Y_1^2 Y_2 + Y_2^2 Y_3 + Y_3^1 Y_1)\\
+& \mskip50mu + 4(Y_1 Y_2^2 + Y_2 Y_3^2 + Y_3 Y_1^2) + Y_1 Y_2 Y_3\big)\Big)\\
+& \cdot\Big(X^3 + (Y_1+Y_2+Y_3) X^2\\
+& \mskip25mu + \big(-2(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2) + 3(Y_1Y_2 + Y_2Y_3 + Y_3Y_1)\big) X\\
+& \mskip25mu + \big(-(Y_1^3+Y_2^3+Y_3^3) + 4(Y_1^2 Y_2 + Y_2^2 Y_3 + Y_3^1 Y_1)\\
+& \mskip50mu - 3(Y_1 Y_2^2 + Y_2 Y_3^2 + Y_3 Y_1^2) + Y_1 Y_2 Y_3\big)\Big)\\
+\end{array}
+\]
+L'existence de cette factorisation prouve que le groupe de Galois
+de $f$ est contenu dans $\ZZ/3\ZZ$ opérant cycliquement sur les
+racines ; et le fait que ces deux facteurs soient irréductibles est
+équivalent au fait que le groupe de Galois de $f$ n'est pas
+strictement plus petit (c'est-à-dire, que $f$ n'est pas scindé).
+\end{exemple2}
+
+Il résulte de ce qui précède que, dès lors que le corps $K$ est tel
+qu'on sache algorithmiquement faire des calculs dans $K$ et factoriser
+en irréductibles les polynômes à plusieurs variables à coefficients
+dans $K$, il est également possible algorithmiquement de calculer le
+groupe de Galois d'un polynôme à coefficients dans $K$. La
+proposition suivante justifie que c'est le cas pour $\QQ$ ainsi que
+pour tout corps pour lequel on sait (faire des calculs et) factoriser
+les polynômes à une seule indéterminée.
+
+\begin{proposition2}
+Les problèmes suivants sont résolubles algorithmiquement (i.e.,
+décidables au sens de Church-Turing) :
+\begin{itemize}
+\item Décomposer un élément de $\QQ[X]$ en facteurs irréductibles.
+\item Décomposer un élément de $K[T_1,\ldots,T_n]$ en facteurs
+ irréductibles, en supposant algorithmiques les opérations dans $K$
+ et le fait de décomposer un élément de $K[X]$ en facteurs
+ irréductibles.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Commençons par considérer le problème de la factorisation dans
+$\ZZ[X]$. On peut supposer que le polynôme $f$ à factoriser est
+primitif (c'est-à-dire de contenu $1$, le contenu étant le pgcd de ses
+coefficients), ce qui écarte les facteurs constants. Il s'agit alors,
+pour chaque $k > 0$ inférieur au degré de $f$, de décider si $f$
+possède un facteur de degré $k$ et le cas échéant de le calculer. On
+calcule $f(0),\ldots,f(k)$ et, pour chaque choix $(d_0,\ldots,d_k)$ de
+diviseurs des entiers $(f(0),\ldots,f(k))$, on calcule l'unique
+polynôme $g \in \QQ[X]$ de degré $k$ tel que $g(0) = d_0$, ..., $g(k)
+= d_k$ (polynôme interpolateur de Lagrange), et, si $g \in \ZZ[X]$, on
+teste si $g$ divise $f$. Si un diviseur de $f$ existe, il sera
+nécessairement trouvé par cet algorithme.
+
+Le cas de $\QQ[X]$ découle de $\ZZ[X]$ : si $f \in \QQ[X]$, on peut
+écrire $f = c f_1$ où $c \in \QQ$ et $f_1 \in\ZZ[X]$ est primitif.
+Les facteurs irréductibles de $f$ sont alors ceux de $f_1$. \XXX
+
+Montrons maintenant que la connaissance d'un algorithme de
+factorisation pour une seule variable permet, en principe, de
+factoriser les polynômes à plusieurs variables. Donné $f \in
+K[T_1,\ldots,T_n]$, on choisit $e$ un entier strictement supérieur au
+degré de $f$ dans n'importe laquelle des variables $T_i$ et on calcule
+$S_e(f) := f(X,X^e,X^{e^2},\ldots,X^{e^{n-1}}) \in K[X]$. Si $f$
+possède un facteur $g$ non-trivial, alors manifestement $S_e(g)$
+divise $S_e(f)$. Supposant qu'on sait factoriser le polynôme univarié
+$S_e(f)$, on peut vérifier pour chacun de ses facteurs s'il est
+susceptible de s'écrire sous la forme $S_e(g)$ avec $g$ de degré
+inférieur à $e$ en chaque variable : le polynôme $g$ se retrouve de
+façon unique en remplaçant chaque monôme $X^{i_0 + i_1 e + i_2 e^2 +
+ \cdots + i_{n-1} e^{n-1}}$ (l'exposant étant écrit en base $e$) par
+$T_1^{i_0} \cdots T_n^{i_{n-1}}$ ; on teste alors si $g$ divise $f$.
+Si un diviseur de $f$ existe, il sera nécessairement trouvé par cet
+algorithme.
+\end{proof}
+
+\XXX --- Faut-il mentionner ici le fait qu'une extension algébrique
+finie séparable (par un polynôme explicite) d'un corps dans lequel on
+sait algorithmiquement factoriser les polynômes possède la même
+propriété ? (Cf.  Fried \& Jarden, lemme 19.2.2.) En revanche, sans
+supposer l'extension séparable, ce n'est pas vrai en général :
+cf. Fröhlich \& Shepherdson, « Effective Procedures in Field Theory »,
+\textit{Phil. Trans. R. Soc. A} \textbf{248} (1956) 407--432,
+théorème 7.27.
+
+\subsection{Factorisations successives}
+
+\XXX À écrire : on peut calculer le groupe de Galois d'un polynôme en
+factorisant successivement dans tous les corps de rupture possibles.
+
+
+\section{La notion de résolvante}
+
+\subsection{Polynômes invariants}
+
+La proposition suivante assure que pour chaque sous-groupe $H$ de
+$\mathfrak{S}_d$ on peut trouver un polynôme $P$ en $d$ variables
+$Z_1,\ldots,Z_d$ tel que les permutations des variables $Z_i$ laissant
+$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $P$ :
+\begin{proposition2}
+Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si
+on fait opérer $\mathfrak{S}_d$ sur $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou
+$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ par $\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) =
+P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$, alors il existe $P \in
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$. De plus,
+lorsque c'est le cas, le corps $E := \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est
+engendré sur corps $F := \Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des
+fonctions rationnelles totalement symétriques par l'unique élément $P$
+(autrement dit, $E = F(P)$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour la première affirmation, on considère le polynôme
+\[
+P := \sum_{\sigma \in H} Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots Z_{\sigma(d)}^d
+\]
+Manifestement, il comporte bien $\#H$ monômes distincts, il est
+invariant par $H$, et toute permutation $\sigma$ des variables le
+laissant invariant doit envoyer $Z_1 Z_2^2 \cdots Z_d^d$ sur un des
+monômes $Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots Z_{\sigma(d)}^d$ de
+sorte que $\sigma \in H$.
+
+Supposons maintenant $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$ tel que
+$\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$.
+
+Le lemme d'Artin (\refext{CG}{lemme-d-Artin}) assure que
+$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est une extension galoisienne de $F =
+\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ de groupe de
+Galois $\mathfrak{S}_d$, et d'après la correspondance de Galois
+(\refext{CG}{correspondance Galois finie}), l'extension intermédiaire
+$E = \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est séparable de degré
+$(\mathfrak{S}_d:H) = d!/\#H$ sur $F$.
+
+L'hypothèse que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$ entraîne que l'orbite
+de $P$ par $\mathfrak{S}_d$ est de cardinal $d!/\#H$, c'est-à-dire,
+que $P$ a $d!/\#H$ conjugués, donc ce nombre est son degré sur $F$.
+Il s'ensuit que $F(P)$ est inclus dans $E$ et que leurs degrés sur $F$
+sont égaux, donc $E = F(P)$.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+La démonstration donnée ci-dessus est constructive, mais le polynôme
+$P = \sum_{\sigma \in H} Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots
+Z_{\sigma(d)}^d$ ainsi construit est généralement très loin d'être
+optimal ! Lorsqu'on cherche à trouver un polynôme tel que décrit
+ci-dessus, pour construire une résolvante
+(cf. \ref{definition-resolvante} plus bas), il convient généralement
+d'essayer de symétriser un monôme de petit degré.
+
+Deux cas particuliers sont fréquemment importants : d'une part,
+lorsque $H$ est le stabilisateur d'une partie $A$ de cardinal $r$ de
+$\{1,\ldots,d\}$ (peu importe laquelle, les sous-groupes
+correspondants sont de toute façon conjugués), un polynôme $P$ évident
+comme ci-dessus est donné par $\sum_{i \in A} Z_i$. D'autre part,
+lorsque $H$ est le stabilisateur d'un $r$-uplet $(i_1,\ldots,i_r)$
+d'éléments de $\{1,\ldots,d\}$ (de nouveau, les sous-groupes
+correspondants sont conjugués), si le corps $K$ a au moins $r+1$
+éléments et que $c_1,\ldots,c_r \in K$ sont deux à deux distincts et
+non nuls, alors $c_1 Z_{i_1} + \cdots + c_r Z_{i_r}$ fournit un
+polynôme comme proposé.
+\end{remarques2}
+
+\subsection{Résolvantes}
+
+\begin{definition2}\label{definition-resolvante}
+Soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ un polynôme en $d$ variables à
+coefficients dans un corps $K$, et soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} +
+\cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme (unitaire, de degré $d$) séparable
+à coefficients dans le même corps $K$ : si $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont
+les racines de $f$ dans son corps de décomposition noté $L$ (de sorte
+que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$). On définit la \emph{résolvante
+ relativement à $P$} de $f$ comme
+\[
+R_P(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
+(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}))
+\in L[X]
+\]
+où $H = \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \{\sigma\in\mathfrak{S}_d :
+F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
+stabilisateur de $F$ pour l'action de $\mathfrak{S}_d$ opérant sur
+$K[Z_1,\ldots,Z_d]$ par permutation des variables ; ce polynôme
+$R_P(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
+
+Avec les notations $P,H$ du paragraphe précédent, on appelle
+\emph{résolvante générale relativement à $P$} le polynôme
+\[
+R_P = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
+(X-P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}))
+\in K[X,Z_1,\ldots,Z_d]
+\]
+totalement symétrique dans les variables $Z_1,\ldots,Z_d$.
+
+Avec les notations $P,f$ introduites ci-dessus, si $\mathfrak{G}$ est
+un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ contenant le groupe de Galois
+$\Gal(L/K)$ de $f$ (vu comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ par la
+numérotation $\xi_1,\ldots,\xi_d$ choisie sur les racines), on définit
+la \emph{résolvante dans $\mathfrak{G}$ relativement à $P$} de $f$
+comme
+\[
+R_{\mathfrak{G},P}(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}/H}
+(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})) \in L[X]
+\]
+où $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(F) = \{\sigma\in\mathfrak{G} :
+F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
+stabilisateur de $F$ dans $\mathfrak{G}$ ; l'hypothèse que
+$\mathfrak{G}$ contient $\Gal(L/K)$ assure ce polynôme
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
+\end{definition2}
+
+Le fait que $R_P(f)$ et $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sont à coefficients
+dans $K$ est clair puisqu'ils sont invariants par $\Gal(L/K)$ (en
+effet, $\Gal(L/K)$ opère en permutant les $\xi_i$, donc les facteurs
+de $R_P(f)$, et aussi, grâce à l'hypothèse que $\Gal(L/K) \leq
+\mathfrak{G}$, de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$).
+
+Le fait que la résolvante générale $R_P$ est un polynôme totalement
+symétrique dans les $Z_1,\ldots,Z_d$ n'est pas moins clair : on le
+considérera donc, généralement, comme polynôme dans les fonctions
+symétriques élémentaires $\sigma_j$ en les $Z_i$ ; ceci permet de
+considérer $R_P(f)$ comme l'évaluation de $R_P$ en remplaçant
+$\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ (et ceci démontre de nouveau que $R_P(f)
+\in K[X]$). On pourrait définir de façon évidente une résolvante
+générale $R_{\mathfrak{G},P}$ dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$
+de $\mathfrak{S}_d$, mais le polynôme ainsi défini n'est pas
+totalement symétrique dans les $Z_i$.
+
+\begin{exemples2}
+\begin{itemize}
+\item Si $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est un polynôme totalement
+ symétrique en $Z_1,\ldots,Z_d$, alors $H :=
+ \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \mathfrak{S}_d$, si bien que $R_P$ est
+ simplement le polynôme linéaire $X - P(Z_1,\ldots,Z_d)$ et, pour
+ chaque $f \in K[X]$, le polynôme $R_P(f)$ vaut simplement $X-c$ où
+ $c$ est la valeur $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ obtenue en remplaçant
+ $\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ dans une écriture de $P$ au moyen des
+ fonctions symétriques élémentaires $\sigma_i$ des $Z_i$.
+\item Si $K$ est de caractéristique $\neq 2$ et si $P = \prod_{i<j}
+ (Z_i-Z_j)$ (cf. \refext{CG}{construction discriminant et
+ 2-distinguant}), alors $H = \mathfrak{A}_d$, et $R_P = X^2 -
+ \Delta_{2'}$ avec les notations de \refext{CG}{definition
+ discriminant et 2-distinguant}, c'est-à-dire que $R_P(f) = X^2 -
+ \Delta(f)$ où $\Delta(f)$ est le discriminant de $f$. En
+ particulier, la proposition \refext{CG}{caracterisation groupe Gal
+ alterne} assure que $f$ (un polynôme séparable quelconque) est
+ inclus dans le groupe alterné $\mathfrak{A}_d$ si et seulement si
+ $R_P(f)$ est scindé sur $K$.
+\item Considérons (pour $d=4$) le polynôme $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 \in
+ \QQ[Z_1,\ldots,Z_4]$. On a alors $H = \{\Id, (1\,3), (2\,4),
+ (1\,3)(2\,4), \penalty-100 (1\,2)(3\,4), (1\,4)(2\,3), (1\,2\,3\,4),
+ (1\,4\,3\,2)\}$ (groupe diédral du carré ont les sommets sont
+ cycliquement numérotés $1,2,3,4$), et l'ensemble des classes à
+ gauche $\mathfrak{S}_4/H$ a trois éléments, les deux autres images
+ correspondantes de $P$ étant $P' = Z_1 Z_2 + Z_3 Z_4$ et $P'' = Z_1
+ Z_4 + Z_2 Z_3$. Le polynôme $R_P = (X-P)(X-P')(X-P'')$ s'écrit $X^3
+ - \sigma_2 X^2 + (\sigma_1 \sigma_3 - 4 \sigma_4) X - \sigma_1 ^2
+ \sigma_4 - \sigma_3^2 + 4 \sigma_2 \sigma_4$ : c'est-à-dire que si
+ $f = X^4 + a_1 X^3 + a_2 X^2 + a_3 X + a_4$ alors $R_P(f) = X^3 -
+ a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X - a_1 ^2 a_4 - a_3^2 + 4 a_2 a_4$.
+ Remarquons notamment que si $f$ est de la forme $X^4 + a_2 X^2 +
+ a_4$ (c'est-à-dire $a_1 = a_3 = 0$) alors $R_P(f) = X^3 - a_2 X^2 -
+ 4 a_4 X + 4 a_2 a_4$ se factorise comme $(X - a_2)\, (X^2 - 4 a_4)$
+ dans $K[X]$.
+\item Si $P = Z_1$, alors $H$ est le fixateur de $1$
+ dans $\mathfrak{S}_d$, et $\mathfrak{S}_d/H$ s'identifie à
+ $\{1,\ldots,d\}$, si bien que $R_P(f)$ est simplement le polynôme
+ $f$ lui-même.
+\end{itemize}
+\end{exemples2}
+
+La proposition suivante justifie l'intérêt porté à la notion de
+résolvante pour le calcul de groupes de Galois :
+
+\begin{proposition2}
+Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
+(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$
+dont le groupe de Galois est contenu dans un sous-groupe
+$\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, et soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$
+dont on note $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(P)$ le stabilisateur dans
+$\mathfrak{G}$ opérant en permutant les indéterminées $Z_i$. Alors :
+\begin{itemize}
+\item si le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué
+ de $H$ (à l'intérieur de $\mathfrak{G}$), alors
+ $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine dans $K$,
+\item et réciproquement, \emph{en supposant que
+ $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable}, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
+ admet une racine dans $K$, le groupe de Galois $G$ de $f$ est
+ contenu dans un conjugué de $H$.
+\end{itemize}
+Plus précisément, en supposant $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ séparable, le
+groupe de Galois de ce dernier est isomorphe à $G/(G \cap
+\bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$ opérant sur
+l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à gauche de $H$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons d'abord que $G$ est contenu dans un conjugué $\sigma H
+\sigma^{-1}$ (pour $\sigma \in \mathfrak{G}$) de $H$. Alors, comme le
+polynôme $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$ est invariant par
+$\sigma H \sigma^{-1}$ (opérant en permutant les variables), l'élément
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de $L$ est invariant
+par $G$, donc appartient à $K$, de sorte que $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
+admet cette racine dans $K$.
+
+Montrons maintenant la dernière affirmation : comme les racines
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$, donc le corps de décomposition de ce dernier,
+sont contenues dans $L$, le groupe de Galois
+de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est un quotient de $G$, et il s'agit de
+comprendre l'action de $G$ sur $\mathscr{R} :=
+\{P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) : \sigma\in\mathfrak{G}\}$
+(le groupe de Galois de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sera le quotient de
+$G$ par le noyau de cette action). Posons $X = \mathfrak{G}/H$ : on
+définit une application $X \to \mathscr{R}$ envoyant $\sigma H$ sur
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ : celle-ci est bien
+définie (car si $\tau \in H$ alors
+$P(\xi_{\sigma\tau(1)},\ldots,\xi_{\sigma\tau(d)}) =
+P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ vu que $P$ est invariant
+par $\tau$). Cette application est une surjection par définition
+de $\mathscr{R}$, et une bijection car l'hypothèse de séparabilité
+de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ assure que $\mathscr{R}$ et $X$ ont même
+cardinal. Enfin, elle transporte l'action de $G$ sur $X$ par
+multiplication à gauche en l'action naturelle de $G$
+sur $\mathscr{R}$. Ceci montre bien l'affirmation recherchée : le
+noyau de l'action de $G$ sur $X$ par multiplication à gauche est $G/(G
+\cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$.
+
+Enfin, dans le cas particulier où $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une
+racine dans $K$, avec les notations ci-dessus ceci signifie que $G$
+fixe un élément $\sigma H$ de $X = \mathfrak{G}/H$, c'est-à-dire que
+$G \leq \sigma H\sigma^{-1}$.
+\end{proof}
+
+\XXX --- vérifier que je ne me suis pas trompé dans la latéralité des
+actions des trucs les uns sur les autres.
+
+On peut également signaler, toujours sous l'hypothèse que
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable, qu'il est scindé sur $K$ si et
+seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans
+$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (le plus
+grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
+
+
+\section{Notions sur les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_n$}
+
+\subsection{Généralités}
+
+\begin{definition2}
+On appelle \emph{groupe de permutations} sur $n$ objets (ou \emph{de
+ degré $n$}) un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ sur
+$n$ objets, considéré à conjugaison près dans $\mathfrak{S}_n$. De
+façon équivalente, un groupe de permutations sur $n$ objets est un
+groupe muni d'une action fidèle sur un ensemble de $n$ objets
+(généralement identifiés à $\{1,\ldots,n\}$), la notion d'isomorphisme
+considéré étant celle des ensembles munis d'une action de groupe.
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}\label{definitions-groupes-de-permutations}
+Un groupe de permutation $G$ de degré $n$ est dit :
+\begin{itemize}
+\item\emph{transitif} lorsque l'action sur les $n$ objets est
+ transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il
+ existe $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$) ;
+\item\emph{régulier} lorsque les $n$ objets forment un espace
+ principal homogène, c'est-à-dire lorsque l'action est simplement
+ transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il
+ existe un unique $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$, ou de façon
+ équivalente, lorsque $G$ est transitif et que le stabilisateur d'un
+ point est trivial) ;
+\item\emph{primitif} lorsque $G$ est transitif et que les seules
+ partitions $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservées par $G$ (au
+ sens que si $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma \in G$ alors
+ $\sigma(B) \in \mathscr{B}$) sont $\mathscr{B} = \{\{1,\ldots,n\}\}$
+ et $\mathscr{B} = \{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ ;
+\item\emph{$k$-transitif} (pour $1 \leq k \leq n$) lorsque l'action
+ sur les $k$-uplets d'éléments deux-à-deux distincts de
+ $\{1,\ldots,n\}$ est transitive, autrement dit si $(i_1,\ldots,i_k)$
+ sont deux-à-deux distincts et $(j_1,\ldots,j_k)$ de même, alors il
+ existe $\sigma\in G$ tel que $j_t = \sigma(i_t)$ pour tout $t$.
+\end{itemize}
+Une partition $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservée par $G$
+(dans le sens précisé après la définition de « primitif » ci-dessus)
+s'appelle un \emph{système de blocs} pour $G$, et il est dit trivial
+lorsque $\mathscr{B}$ est $ \{\{1,\ldots,n\}\}$ ou
+$\{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ : ainsi, un groupe de permutations transitif
+est dit primitif lorsqu'il n'admet pas de système de blocs
+non-trivial.
+\end{definition2}
+
+Toutes ces définitions sont faites pour un groupe de permutations,
+mais on se permettra, bien sûr, de les appliquer à une action de
+groupe (au moins une action fidèle, et parfois même quand elle ne
+l'est pas) pour dire que le groupe de permutations que cette action
+définit a la propriété correspondante : par exemple, on dit qu'un
+groupe $G$ opère primitivement sur un ensemble fini $X$ lorsque le
+sous-groupe de $\mathfrak{S}(X)$ image de $G$ par l'action en question
+est primitif, autrement dit lorsque $X$ n'admet pas de système de
+blocs non-trivial pour cette action.
+
+\begin{remarques2}\label{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}
+\begin{itemize}
+\item Un groupe de permutations $k$-transitif est $\ell$-transitif
+ pour tout $\ell\leq k$ (et « transitif » signifie
+ « $1$-transitif »).
+\item Un groupe de permutations ne préservant aucune partition de
+ $\{1,\ldots,n\}$ est nécessairement transitif, donc primitif (car la
+ décomposition en orbites forme un système de blocs, qui n'est
+ trivial que pour une action transitive ou bien une action triviale),
+ à la seule exception de l'action triviale sur $n=2$ éléments, qui ne
+ préserve aucune partition non triviale mais n'est néanmoins pas
+ primitive par convention.
+\item Les blocs (c'est-à-dire les éléments de $\mathscr{B}$) d'un
+ système de blocs pour un groupe de permutations $G$ forment
+ eux-mêmes un $G$-ensemble sous l'action de $G$ (en définissant pour
+ $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma\in G$ l'action $\sigma B$ comme
+ l'image $\sigma(B)$ de $B$ par $\sigma$). Lorsque $G$ opère
+ transitivement sur les objets, il opère aussi transitivement sur les
+ blocs, qui sont donc tous de même cardinal.
+\item Si $n$ est premier, tout groupe de permutations transitif de
+ degré $n$ est primitif (puisqu'on vient d'expliquer que les blocs
+ d'un système de blocs sont tous de même cardinal). C'est-à-dire
+ que, dans ce cas, « transitif » et « primitif » sont équivalents.
+\item On rappelle que si $G$ est un groupe de permutations transitif,
+ alors les stabilisateurs des éléments de $\{1,\ldots,n\}$ sont
+ conjugués dans $G$. Si $U$ est le stabilisateur d'un point $i$,
+ alors le $G$-ensemble $\{1,\ldots,n\}$ est isomorphe au $G$-ensemble
+ $G/U$ des classes à gauche de $U$ dans $G$ (sur lequel $G$ opère par
+ multiplication à gauche), en particulier $U$ est d'indice $n$
+ dans $G$. Par ailleurs, $G$ est $k$-transitif (pour $k\geq 2$)
+ lorsque $U$ est $(k-1)$-transitif sur les $n-1$ points restants
+ $\{1,\ldots,n\}\setminus\{i\}$.
+\item En particulier, dire qu'un groupe de permutations $G$ est
+ régulier signifie que l'action de $G$ sur les objets est isomorphe à
+ l'action de $G$ sur lui-même par multiplication à gauche. En
+ particulier, dans ce cas, le degré $n$ (le nombre d'objets) est égal
+ à l'ordre $\#G$ du groupe.
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
+\begin{proposition2}
+Un groupe de permutations $2$-transitif est primitif.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons par l'absurde qu'il existe un système de blocs $\mathscr{B}$
+non-trivial pour $G$. Alors il existe dans $\mathscr{B}$ deux blocs
+$B,B' \in \mathscr{B}$ distincts, et les blocs (qui ont tous le même
+cardinal) ne peuvent pas être des singletons donc il existe $x,x''\in
+B$. Si $x' \in B'$, l'action de $G$ ne peut pas envoyer le couple
+$(x,x'')$ sur $(x,x')$ (car $x,x''$ appartiennent au même bloc $B$, ce
+qui n'est pas le cas de $x,x'$).
+\end{proof}
+
+\begin{exemples2}\label{exemples-groupes-de-permutations}
+\begin{itemize}
+\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$
+ tout entier est un groupe de permutations de degré $n$ : il est
+ $n$-transitif (et c'est manifestement le seul groupe de permutations
+ $n$-transitif de degré $n$) et, en particulier, primitif. Il n'est
+ pas régulier (dès que $n \geq 3$).
+\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est un
+ groupe de permutations de degré $n$ : il est $(n-2)$-transitif
+ si $n\geq 3$ et, en particulier, primitif si $n\geq 4$. Il n'est
+ pas régulier (dès que $n \geq 4$).
+\item L'action à gauche d'un groupe fini $G$ sur lui-même définit un
+ groupe de permutations régulier (de degré $\#G$, donc). Dès que $G$
+ admet un sous-groupe $U$ non-trivial (autrement dit, dès que $G$
+ n'est pas cyclique d'ordre premier), le système de blocs
+ $\mathscr{B} = \{gU : g\in G\}$ montre que ce groupe de permutations
+ n'est pas primitif (et réciproquement, si $G$ est cyclique d'ordre
+ premier, il est clair que l'action régulière est primitive).
+\item Si $U$ est un sous-groupe d'un groupe fini $G$, l'ensemble des
+ classes à gauche de $U$ dans $G$, sous l'action de $G$ par
+ multiplication à gauche, définit un groupe de permutations transitif
+ dont le degré est l'indice de $U$ dans $G$, dès lors que le cœur
+ normal de $U$, c'est-à-dire l'intersection $N = \bigcap_{\sigma\in
+ G} \sigma U \sigma^{-1}$ des conjugués de $U$, est trivial
+ (lorsque ce n'est pas le cas, $N$ est le noyau de l'action sur les
+ clases à gauche, et alors $G/N$ sera un groupe de permutations
+ transitif en opérant sur les classes à gauche de $U/N$). Autrement
+ dit, la donnée d'un groupe de permutations transitif équivaut à
+ celle de la donnée d'un groupe fini $G$ et d'une classe de
+ conjugaison de sous-groupes ne contenant aucun sous-groupe
+ distingué de $G$.
+\item Si $\FF$ est un corps fini, l'action du groupe $\PGL_2(\FF)$ sur
+ $\PP^1(\FF)$ est $3$-transitive (et, en particulier, primitive), car
+ trois points distincts quelconques de $\PP^1(\FF)$ peuvent être
+ envoyés sur $0,\infty,1$ par l'action d'un élément de $\PGL_2(\FF)$
+ (qui est alors uniquement déterminé). Par ailleurs, pour tout $n
+ \geq 2$, l'action de $\PGL_n(\FF)$ sur $\PP^{n-1}(\FF)$ est
+ $2$-transitive (car deux points distincts quelconques de
+ $\PP^{n-1}(\FF)$ peuvent être complétés en une base projective de ce
+ dernier, et $\PGL_n(\FF)$ opère de façon simplement transitive sur
+ ces dernières). \XXX donner une référence pour les définitions.
+\end{itemize}
+\end{exemples2}
+
+\begin{definition2}
+Si $\mathscr{B}$ est un système de blocs pour un groupe de
+permutations transitif $G$, l'action de $G$ sur $\mathscr{B}$ donnée
+par $\sigma B = \sigma(B)$
+(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}) est appelée
+l'\emph{action sur les blocs}, le noyau $N = \bigcap_{\sigma\in G}
+\sigma U \sigma^{-1}$, où $U = \Stab_G(B)$ est le stabilisateur d'un
+bloc quelconque, est appelé le \emph{groupe de base} de $G$ pour le
+système de blocs $\mathscr{B}$, et si $N = \{1\}$, on dit que le
+groupe de permutations $G$ est une \emph{inflation} du groupe de
+permutations (isomorphe à $G$ comme groupe abstrait) défini par
+l'action sur les blocs (l'hypothèse $N=\{1\}$ signifiant justement que
+cette action est fidèle).
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $U$ le stabilisateur
+d'un point. Si $V$ est un sous-groupe quelconque de $U$, alors
+l'action de $G$ par multiplication à gauche sur les classes à gauche
+de $V$ est fidèle et transitive, et admet le système de blocs
+$\mathscr{B} = \{\{guV : u\in U\} : g\in G\}$ ; le groupe de
+permutations ainsi défini est une inflation de $G$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ soit
+transitive est trivial, et le fait qu'elle soit fidèle résulte du fait
+qu'elle l'est déjà pour $U$ (on a $\bigcap_{\sigma\in G} \sigma V
+\sigma^{-1} \subseteq \bigcap_{\sigma\in G} \sigma U \sigma^{-1}$).
+Si les ensembles $\{guV : u\in U\}$ et $\{g'uV : u\in U\}$
+s'intersectent, alors $guV = g'u'V$ pour certains $u,u'\in U$, auquel
+cas $gU = g'U$, et réciproquement lorsque $gU = g'U$ alors $\{guV :
+u\in U\} = \{g'uV : u\in U\}$ : l'ensemble $\mathscr{B}$ forme donc
+bien une partition de $G/V$, qui est visiblement un système de blocs,
+et le stabilisateur du bloc $\{uV : u\in U\}$ est $U$, ce qui montre
+tout ce qui était annoncé.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}
+Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $V$ le stabilisateur
+d'un point. Alors $G$ est primitif si et seulement si $V$ est un
+sous-groupe maximal de $G$ (c'est-à-dire, qu'il n'existe pas de
+sous-groupe strictement compris entre $V$ et $G$ pour l'inclusion).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour simplifier les notations, on peut supposer qu'on a affaire à
+l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$. Si $V$ n'est pas
+maximal et si $U$ est un sous-groupe strictement compris entre $V$
+et $G$, alors $\mathscr{B} = \{\{guV : u \in U\} : g\in G\}$ définit
+un système de blocs non-trivial (cf. la proposition précédente) qui
+montre que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ n'est pas
+primitive. Réciproquement, si $V$ est maximal et si $\mathscr{B}$ est
+un système de blocs, en appelant $U$ le stabilisateur du bloc
+contenant $V$, le sous-groupe $U$ contient $V$, donc doit être égal
+soit à $G$ soit à $V$, ce qui montre que le système de blocs est
+trivial (dans le premier cas $\#\mathscr{B} = 1$ et dans le second le
+bloc contenant $V$ ne contient que $V$).
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+Le groupe de Galois $\Gal(f)$ d'un polynôme séparable irréductible $f$
+(sur un corps $K$) opère transitivement sur les racines de $f$
+(\refext{CG}{action transitive de Galois si poly irréductible}), donc
+définit un groupe de permutations transitif de degré $\deg f$.
+
+Dans cette situation, la
+proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}
+montre que $\Gal(f)$ est primitif (comme groupe de permutation des
+racines de $f$) si et seulement si l'extension de rupture $K(x) \bo K$
+définie par une racine $x$ quelconque de $f$ ne contient aucun corps
+intermédiaire entre $K$ et $K(x)$ (puisque la correspondance de Galois
+fait correspondre ce corps $K(x)$ au stabilisateur d'un point
+dans $\Gal(f)$). Dans le cas contraire, si $E$ est un corps
+intermédiaire entre $K$ et $K(x)$, le système de blocs défini par $E$
+est tel que le bloc contenant $x$ est $\{\sigma(x) : \sigma \in
+\Gal(\dec(f)/E)\}$.
+\end{remarques2}
+
+\begin{proposition2}\label{critere-primitivite-par-connexite}
+Soit $G$ un groupe de permutations transitif de degré $n$ et $X$
+l'ensemble des $n$ objets sur lesquels il opère. Alors $G$ est
+primitif si et seulement si pour chaque orbite $R$ de $G$ agissant sur
+l'ensemble $\mathscr{P}_2(X)$ des parties à deux éléments de $X$, le
+graphe $(X,R)$ (dont l'ensemble des sommets est $X$, deux sommets
+$x,y$ étant adjacents lorsque $\{x,y\} \in R$) est connexe.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $R$ est une orbite de $\mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$,
+considérons l'ensemble $\mathscr{B}$ des composantes connexes de $X$.
+Tout élément $\sigma \in G$ définit un automorphisme du graphe $(X,R)$
+(c'est-à-dire une permutation de $X$ préservant la relation
+d'adjacence) puisque si $\{x,y\} \in R$ on a $\{\sigma(x),\sigma(y)\}
+\in R$ vu que $R$ est une orbite : par conséquent, l'image par
+$\sigma$ d'une composante connexe de $(X,R)$ est encore une composante
+connexe de $(X,R)$ : ceci montre que $\mathscr{B}$ est un système de
+blocs pour $G$ (opérant sur $X$). Comme $R$ contient au moins une
+paire $\{x,y\}$, les blocs ne sont pas des singletons : ainsi, si
+$(X,R)$ a au moins deux composantes connexes, $G$ admet un système de
+blocs non trivial, et n'est donc pas primitif.
+
+Réciproquement, supposons maintenant qu'il existe un système de blocs
+$\mathscr{B}$ non trivial pour $G$. Soient $x,y \in X$ appartenant à
+un même bloc $B$ pour $\mathscr{B}$, et soit $R$ l'orbite de $\{x,y\}
+\in \mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$. Alors $R$ ne contient
+aucune paire $\{x,z\}$ avec $x\in B$ et $z\not\in B$ : c'est-à-dire
+que dans le graphe $(X,R)$, les sommets appartenant à $B$ ne sont
+jamais reliés aux autres sommets (et il en existe, vu que $B$ n'est
+pas le seul bloc) : ce graphe n'est donc pas trivial.
+\end{proof}
+
+Ce critère de primitivité est pratique car il s'avère souvent plus
+simple à appliquer que la définition ou la
+proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}.
+
+\begin{exemple2}
+Le groupe $\mathfrak{S}_m$ opère primitivement sur les parties à $k$
+éléments de $\{1,\ldots,m\}$, sauf si $m=2k$ auquel cas il admet le
+système de blocs non trivial formé de toutes les façons de
+partitionner $m$ éléments en deux ensembles de $k$, mais il opère
+primitivement sur ces objets (blocs).
+
+En revanche, l'action de $\mathfrak{S}_m$ sur les $k$-uplets
+d'éléments distincts de $\{1,\ldots,m\}$, bien que transitive, n'est
+pas primitive : elle admet pour système de blocs non trivial la
+partition de $\{1,\ldots,m\}^k$ définie par la relation d'équivalence
+qui identifie deux $k$-uplets lorsque les ensembles à $k$ éléments
+qu'ils définissent sont les mêmes. (Cette action de $\mathfrak{S}_m$
+est donc une inflation de son action sur les parties à $k$ éléments.)
+\end{exemple2}
+\begin{proof}
+Si $x,y,x',y'$ sont des parties à $k$ éléments de $\{1,\ldots,m\}$, la
+condition pour qu'il existe $\sigma\in\mathfrak{S}_m$ tel que
+$\sigma(x)=x'$ et $\sigma(y)=y'$ est simplement que $\#(x\cap y) =
+\#(x'\cap y')$ (condition évidemment nécessaire, et suffisante car
+lorsque c'est le cas on peut choisir arbitrairement l'image des
+éléments de $x\cap y$, de $x\setminus y$, de $y\setminus x$ et de
+$\{1,\ldots,m\}\setminus(x\cup y)$ pour construire $\sigma$). Ainsi,
+les différents graphes considérés dans la
+proposition \ref{critere-primitivite-par-connexite} sont les graphes
+sur l'ensemble $\mathscr{P}_k(\{1,\ldots,m\})$ des parties à $k$
+éléments de $\{1,\ldots,m\}$ dans lesquels on a relié deux parties
+lorsque leur intersection est de cardinal $\ell$ (un paramètre du
+graphe, prenant les valeurs entre $0$ et $k-1$ incluses). On veut
+donc prouver que pour $k<\frac{1}{2}m$ (le cas $k>\frac{1}{2}m$ s'en
+déduisant par passage au complémentaire des parties considérées), ce
+graphe est connexe.
+
+Si $x \subset \{1,\ldots,m\}$ est une partie à $k$ éléments, et $i \in
+x$ et $j \not\in x$, on montre que $x$ est reliée à $x' := (x\setminus
+\{i\}) \cup \{j\}$ : en effet, en choisissant $\ell$ des $k-1$
+éléments de $x\setminus\{i\}$ et en les complétant arbitrairement avec
+$k-\ell$ éléments de l'ensemble $\{1,\ldots,m\} \setminus
+(x\cup\{j\})$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car $m-2k-1
+\geq 0$, on obtient une partie $y$ de $\{1,\ldots,m\}$ qui est
+d'intersection $\ell$ avec $x$ aussi bien qu'avec $x'$, ce qui montre
+que $x$ et $x'$ sont reliés dans le graphe considéré. Il est alors
+évident qu'en remplaçant un par un tous les éléments de $x$ souhaités
+par d'autres, on peut relier deux parties quelconques.
+
+Pour $m=2k$, un raisonnement analogue amène à considérer les graphes
+dont les sommets sont l'ensemble des manières de partitionner
+$\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de cardinal $k$, deux telles
+partitions $\{u,\hat u\}$ et $\{v,\hat v\}$ étant reliées par une
+arête lorsque $\#(u\cap v) \in \{\ell,k-\ell\}$ (où $\ell$ est, de
+nouveau, un paramètre du graphe, prenant les valeurs entre $1$ et
+$k-1$ incluses). Si $\{u,\hat u\}$ est une telle partition et $i \in
+u$ et $j \in \hat u$, on veut montrer que $\{u,\hat u\}$ est relié à
+$\{u',\hat u'\}$ où $u' = (u\setminus\{i\})\cup\{j\}$ et $\hat u' =
+(\hat u\setminus\{j\})\cup\{i\}$ est son complémentaire ; en
+choisissant $\ell$ des $k-1$ éléments de $u\setminus\{i\}$ et en les
+complétant arbitrairement avec $k-\ell$ éléments de l'ensemble $\hat
+u\setminus\{j\}$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car
+$m-2k+\ell-1 = \ell-1 \geq 0$, on obtient une partie $v$ de
+$\{1,\ldots,m\}$ qui est d'intersection $\ell$ avec $u$ aussi bien
+qu'avec $u'$, ce qui montre que $\{u,\hat u\}$ et $\{u',\hat u'\}$
+sont reliés dans le graphe considéré, et de nouveau il est alors clair
+que le graphe est connexe.
+\end{proof}
+
+\begin{remarques2}
+Ceci signifie (compte tenu
+de \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal})
+que pour tout $k$, le stabilisateur d'une partie à $k$ éléments de
+$\{1,\ldots,m\}$ est un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_m$, sauf
+lorsque $k = \frac{1}{2}m$ auquel cas il faut le remplacer par le
+stabilisateur d'une partition de $\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de
+$k$ éléments. Il faut se garder de croire qu'on a ainsi construit
+tous les sous-groupes maximaux de $\mathfrak{S}_m$ (autres que
+$\mathfrak{A}_m$) : par exemple, pour $m=5$, les sous-groupes maximaux
+de $\mathfrak{S}_5$ sont, outre $\mathfrak{A}_5$, le stabilisateur
+d'un point (définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$
+naturelle sur cinq objets) et celui d'une partie à deux éléments
+(définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$ les parties à deux
+éléments des cinq objets naturels), mais aussi les conjugués du
+sous-groupe à $20$ éléments donné par toutes les applications affines
+$t \mapsto at+b$ (pour $a \in (\ZZ/5\ZZ)^\times$ et $b \in \ZZ/5\ZZ$)
+de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ --- ceci définissant l'action
+de $\mathfrak{S}_5$ sur les $6$ façons de considérer $\{1,\ldots,5\}$
+comme une droite affine sur $\FF_5$.
+\end{remarques2}
+
+\subsection{Groupes de permutations primitifs}
+
+Dans cette section, $G$ désignera généralement un groupe de
+permutations primitif (cf. \ref{definitions-groupes-de-permutations}),
+et $U$ le stabilisateur d'un point
+(d'après \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal},
+il s'agit donc d'un sous-groupe maximal de $G$ ne contenant aucun
+sous-groupe distingué de $G$).
+
+Commençons par éclaircir certaines propriétés générales des groupes de
+permutations :
+
+\begin{proposition2}\label{sous-groupe-distingue-d-un-primitif-est-transitif}
+Si $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un
+sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, alors $N$ est transitif
+(comme groupe de permutations), et $NU = G$ où on a noté $U$ le
+stabilisateur d'un point dans $G$ (et $NU = \{nu : n \in N, u\in
+U\}$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Notons $U$ le stabilisateur d'un point dans $G$ : comme $G$ est
+primitif, il s'agit d'un sous-groupe maximal.
+
+Il s'agit de montrer que pour tout $g$, la classe à gauche $gU$ peut
+aussi s'écrire $nU$ avec $n \in N$. Remarquons que $NU = UN$ (en
+effet, si $n \in N$ et $u \in U$ alors $un \in uN = Nu$ peut aussi
+s'écrire $un'$ pour un certain $n'\in N$, ce qui montre $NU = UN$), et
+ceci est donc un sous-groupe de $G$ (le sous-groupe engendré par $U$
+et $N$). Par maximalité de $U$, on a donc soit $NU \leq U$ soit $NU =
+G$. Le premier cas signifie $N \leq U$, ce qui ne peut pas se
+produire car $U$ ne contient aucun sous-groupe distingué (puisqu'il
+s'agit du stabilisateur d'un point dans une action fidèle). Le second
+cas permet d'écrire tout $g \in G$ comme $g = nu$ avec $n \in N$ et
+$u \in U$, auquel cas $gU = nuU = nU$, comme on le voulait.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif}
+Soit $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un
+sous-groupe distingué autre que $\{1\}$ : alors son centralisateur
+$C_G(N) := \{g\in G : (\forall n\in N) gng^{-1} = n\}$ vérifie soit
+$C_G(N) = \{1\}$ soit $C_G(N)$ est régulier (comme groupe de
+permutations).
+
+En particulier, $\#C_G(N)$ est égal au nombre de points sur lesquels
+$G$ opère (c'est-à-dire $(G:U)$ si $U$ est le stabilisateur d'un
+point).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le sous-groupe $C_G(N)$ est lui-même distingué. Supposons
+$C_G(N) \neq \{1\}$. Alors la proposition précédente montre que $N$
+et $C_G(N)$ sont transitifs. L'ensemble des points fixes d'un élément
+de $C_G(N)$ est stable par $N$ : mais comme $N$ est transitif, ceci ne
+peut se produire que si cet ensemble est vide ou plein. On a donc
+prouvé que $C_G(N)$ opère transitivement et sans point fixe
+non-trivial, c'est-à-dire qu'il est régulier.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif}
+Soit $G$ un groupe de permutations primitif, et soient $N_1,N_2 \unlhd
+G$ deux sous-groupes distingués de $G$ autres que $\{1\}$ tels que
+tout élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$ (soit
+$N_2 \leq C_G(N_1)$). Alors $N_2$ est exactement le centralisateur
+$C_G(N_1)$ de $N_1$ (et vice versa).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Les deux propositions précédentes montrent que $N_2$ est transitif et
+que $C_G(N_1)$ est régulier. Mais $N_2 \leq C_G(N_1)$, et le seul
+d'un groupe de permutations régulier qui soit transitif est le groupe
+tout entier, donc $N_2 = C_G(N_1)$.
+\end{proof}
+
+Pour aller plus loin dans l'analyse, on va examiner certaines des
+propriétés des sous-groupes distingués minimaux d'un groupe fini $G$ :
+autrement dit, les sous-groupes distingués autres que $\{1\}$ et qui
+ne contiennent pas d'autre sous-groupe distingué (du groupe $G$ tout
+entier) que $\{1\}$ et eux-mêmes. Dans les quelques énoncés suivants,
+$G$ n'est plus nécessairement un groupe de permutations.
+
+\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent}
+Soit $G$ un groupe fini et $N_1$ et $N_2$ deux sous-groupes distingués
+minimaux distincts de $G$. Alors $N_1 \cap N_2 = \{1\}$ et tout
+élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le sous-groupe $N_1 \cap N_2$ est distingué dans $G$, et par
+minimalité de $N_1$ ou de $N_2$ il doit donc être égal à $\{1\}$.
+Mais tout commutateur $n_1 n_2 n_1^{-1} n_2^{-1}$ d'un élément $n_1$
+de $N_1$ et d'un élément $n_2$ de $N_2$ appartient à $N_1 \cap N_2$,
+donc vaut $1$, ce qu'on voulait prouver.
+\end{proof}
+
+En particulier, dans le contexte de cette proposition, on a $N_1 N_2 =
+N_1 \times N_2$. Plus généralement :
+
+\begin{lemme2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct}
+Soient $N_1,\ldots,N_\ell$ des sous-groupes distingués minimaux d'un
+groupe fini $G$. Alors il existe
+$i_1,\ldots,i_r \in \{1,\ldots,\ell\}$ (et on peut choisir $i_1$
+arbitrairement et $i_2$ arbitrairement dès que $N_{i_2} \neq N_{i_1}$)
+tels que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct dans $G$
+(c'est-à-dire que le groupe qu'ils engendrent soit le produit direct)
+et que chacun des $N_i$ soit inclus dans ce produit direct.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On construit par récurrence une suite $i_1, i_2, \ldots, i_r$, de
+sorte que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct de la
+façon suivante. On peut choisir $i_1$ arbitrairement, et $i_2$ de
+sorte que $N_{i_1}$ et $N_{i_2}$ soient distincts.
+
+Supposant les $n_j$ pour $j<t$ déjà connus, s'il existe $i$ tel que
+$N_i$ ne soit pas contenu dans $N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ (qui est
+un produit direct), on définit $i_t$ comme ce $i$, sinon on arrête la
+récurrence. Comme tout élément de $N_{i_t}$ commute à tous les
+éléments de $N_{i_j}$ pour $j<i$ (d'après la proposition précédente),
+il commute à tous les éléments du produit $N_{i_1} \cdots
+N_{i_{t-1}}$ ; comme de plus $N_{i_t}$ n'est pas inclus dans
+$N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ et qu'il est minimal, on a $N_{i_i} \cap
+N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}} = \{1\}$ (car c'est un sous-groupe
+distingué de $G$ strictement inclus dans $N_{i_t}$). Donc
+$N_{i_1} \cdots N_{i_t}$ sont encore en produit direct, ce qui
+justifie de continuer la récurrence.
+
+Une fois construits $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$, on voit que leur produit
+(qui est direct par la récurrence faite) contient chacun des $N_i$,
+sans quoi on aurait continué la récurrence.
+\end{proof}
+
+On rappelle qu'un sous-groupe $K$ d'un groupe $G$ est
+dit \emph{caractéristique} lorsque $K$ est laissé stable par tout
+automorphisme de $G$ (en particulier, $K$ est laissé stable par les
+automorphismes intérieurs, c'est-à-dire qu'il est distingué dans $G$).
+
+\begin{proposition2}\label{caracteristique-dans-normal-est-normal}
+Si $K$ est un sous-groupe caractéristique de $N$ qui est lui-même un
+sous-groupe distingué d'un groupe $G$, alors $K$ est un sous-groupe
+distingué de $G$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour tout $g \in G$, l'automorphisme intérieur $x \mapsto gxg^{-1}$
+défini par $g$ laisse $N$ stable, donc définit un automorphisme
+de $N$, qui n'est plus nécessairement intérieur mais qui doit
+néanmoins laisser $K$ stable, c'est-à-dire $gKg^{-1} = K$, ce qui
+montre que $K \unlhd G$.
+\end{proof}
+
+On dit qu'un groupe $G$ est \emph{caractéristiquement simple} lorsque
+tout sous-groupe caractéristique de $G$ est égal à $\{1\}$ ou $G$.
+
+\begin{proposition2}\label{structure-groupes-caracteristiquement-simples}
+Si $G$ est un groupe fini caractéristiquement simple, alors $G$ est
+isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe simple $H$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $H$ un sous-groupe distingué minimal de $G$. Pour tout
+automorphisme $\varphi$ de $H$, le sous-groupe $\varphi(H)$ est lui
+aussi distingué minimal. Appliquant le
+lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct} à
+l'ensemble de tous les $\varphi(H)$ pour $\varphi$ un automorphisme
+de $G$, on en déduit qu'il existe $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ de tels
+automorphismes (et on peut prendre $\varphi_1 = \Id_G$, ce qu'on fera)
+de sorte que $\varphi_1(H),\ldots,\varphi_r(H)$ soient en produit
+direct et que ce produit direct contienne $\varphi(H)$ pour tout
+automorphisme $\varphi$ de $G$. Par conséquent, ce produit est stable
+par tout automorphisme de $G$, et comme $G$ a été supposé
+caractéristiquement simple, on a $\varphi_1(H)\cdots\varphi_r(H) = G$,
+c'est-à-dire $G \cong H^r$.
+
+Enfin, $H$ est simple : en effet, si $N$ en est un sous-groupe
+distingué, $N$ est encore un sous-groupe distingué de $H^r \cong G$,
+et par minimalité de $H$, on a $N=\{1\}$ ou $N=H$.
+\end{proof}
+
+\begin{corollaire2}\label{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}
+Si $N$ est un sous-groupe distingué minimal d'un groupe fini $G$,
+alors $N$ est isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe
+simple $H$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+La proposition \ref{caracteristique-dans-normal-est-normal} montre que
+$N$ est caractéristiquement simple, et la
+proposition \ref{structure-groupes-caracteristiquement-simples}
+s'applique alors.
+\end{proof}
+
+\begin{definition2}
+Le \emph{socle} d'un groupe fini $G$ est le produit de ses
+sous-groupes distingués minimaux (il est évidemment distingué
+dans $G$ ; d'après le
+lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct},
+il s'agit du produit direct de certains d'entre eux ; et d'après la
+proposition \ref{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}, il
+s'agit d'un produit direct de sous-groupes simples de $G$).
+\end{definition2}
+
+En revenant au cas d'un groupe de permutations primitif, on peut
+affirmer :
+\begin{proposition2}\label{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}
+Soit $G \neq \{1\}$ un groupe de permutations primitif. Alors soit
+$G$ a un unique sous-groupe distingué minimal (qui est alors le socle
+de $G$), soit $G$ a exactement deux sous-groupes distingués minimaux,
+chacun égal au centralisateur de l'autre, et ils sont isomorphes et
+non-abéliens (et le socle de $G$ est alors leur produit direct).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+D'après la
+proposition \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent} et la
+proposition \ref{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif},
+si $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts $N_1,N_2$,
+chacun est le centralisateur de l'autre, et il y en a donc exactement
+deux. Comme ces sous-groupes ne contiennent pas leur centralisateur,
+ils ne sont pas abéliens.
+
+Reste à montrer que $N_1 \cong N_2$. On sait
+d'après \ref{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif}
+que $N_1,N_2$ sont tous deux réguliers. On définit alors un morphisme
+$\varphi\colon N_1 \to N_2$ de la façon suivante : une fois fixé
+arbitrairement un point $x_0$ (de l'ensemble sur lequel $G$ opère
+naturellement), si $n_1 \in N_1$, comme $N_2$ est régulier, il existe
+un unique $n_2 \in N_2$ tel que $n_2 x_0 = n_1 x_0$, et on pose
+$\varphi(n_1) = n_2$. Il est facile de vérifier que $\varphi$ est
+bien un morphisme, et même un isomorphisme.
+\end{proof}
+
+\subsection{Construction de quelques actions primitives}
+
+Nous allons définir et décrire quelques actions de groupes importantes
+qui, dans certains cas, seront primitives, et qui constitueront les
+classes énumérées par le théorème de O'Nan-Scott.
+
+\subsubsection{Groupes de permutations de type affine}\label{groupe-de-permutations-type-affine} Soit $V
+= \FF_p^d$ un espace vectoriel de dimension finie $d\geq 1$ sur un
+corps fini premier $\mathbb{F}_p$, et notons $\AGL(V) = \AGL_d(\FF_p)$
+le groupe affine $V$, c'est-à-dire le produit semi-direct
+$V \rtimes \GL(V)$ du groupe linéaire $\GL(V) = \GL_d(\FF_p)$ de cet
+espace vectoriel par $V$ lui-même vu comme groupe des translations (et
+sur lequel $\GL(V)$ opère naturellement). Plus généralement, si
+$G_0 \leq \GL(V)$ est un sous-groupe quelconque de $\GL(V)$
+(c'est-à-dire un groupe opérant linéairement sur $V$), on peut
+construire le produit semi-direct $G = V \rtimes G_0$, et tout
+sous-groupe $G$ tel que $V \leq G \leq \AGL(V)$ peut s'écrire sous
+cette forme avec $G_0$ le stabilisateur de $0 \in V$. Un groupe de
+permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à
+un tel $G$ opérant sur $V$ s'appelle \emph{groupe de permutations de
+type affine}. Le groupe $G$ (opérant sur $V$) est toujours transitif,
+et il est primitif précisément lorsque $V$ est irréductible sous
+l'action de $G_0$, c'est-à-dire lorsque $V$ ne possède pas de
+sous-espace stable par $G_0$ autre que $\{0\}$ et $V$ (en effet, si
+$G$ admet un système de blocs, le bloc contenant $0$ est un
+sous-espace vectoriel de $V$ puisque toute translation doit l'envoyer
+sur un autre bloc, et il est alors stable par $G_0$ ; et
+réciproquement, si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ stable
+par $G_0$, l'ensemble des translatés de $W$ constitue un sytème de
+blocs) ; ceci équivaut encore au fait que le sous-groupe distingué $V$
+de $G$ soit un sous-groupe distingué minimal (puisqu'un sous-groupe de
+$V$ est distingué dans $G$ précisément à condition qu'il soit stable
+par $G_0$).
+
+Dans cette situation (où $V$ est suppposé irréductible sous $G_0$,
+c'est-à-dire $G$ primitif), d'après la
+proposition \ref{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}, on peut alors
+affirmer que $V$ est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$, et
+il est donc son socle. On verra dans le cadre du théorème de
+O'Nan-Scott que cette situation est la seule pour laquelle un groupe
+de permutations primitif possède un socle abélien (i.e., il est
+automatiquement de type affine). Par ailleurs, dans cette situation,
+le socle est régulier ($V$ opère sur lui-même par translation).
+
+\subsubsection{Groupes de permutations de type diagonal}\label{groupe-de-permutations-type-diagonal} La
+construction qui va suivre, plus délicate que la précédente, possède
+néanmoins quelques similarités. On peut l'imaginer intuitivement en
+pensant que l'ensemble $\Omega$ ci-dessous est une sorte d'analogue de
+l'espace projectif de dimension $r-1$ sur un groupe $T$ non-abélien :
+il s'agit de $T^r$ quotienté par l'action à droite de $T$ (sur toutes
+les composantes), qu'on va munir d'une action à gauche de $T^r \cdot
+(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$.
+
+Soit $T$ un groupe simple non-abélien, et $r\geq 2$. On considère
+l'action sur $\Xi := T^r$ des trois groupes suivants : (a) $T^r$
+lui-même, par multiplication à gauche (donc régulièrement), (b) le
+groupe symétrique $\mathfrak{S}_r$, opérant par permutation sur les
+coordonnées, et (c) le groupe $\Aut(T)$ des automorphismes de $T$,
+opérant de la même façon sur toutes les coordonnées. Notons que les
+actions de $\mathfrak{S}_r$ et $\Aut(T)$ sur $T^r$ commutent. Les
+trois actions en question engendrent (en tant que sous-groupes de
+$\mathfrak{S}(\Xi)$) une action sur $\Xi$ de $T^r \rtimes
+(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$.
+
+Cette action n'est pas primitive : elle possède au moins le système de
+blocs $\Omega$ constitué des ensembles $\{(v_1 t, \ldots, v_r t) : t
+\in T\}$ (pour $v_1,\ldots,v_r \in T$), c'est-à-dire que $\Omega$ est
+l'ensemble des classes à gauche $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la
+diagonale $\Delta := \{(t, \ldots, t) : t \in T\}$ dans $T^r$.
+L'action de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ sur les
+blocs n'est plus fidèle : si $\upsilon \in \Aut(T)$ est
+l'automorphisme intérieur $x \mapsto u x u^{-1}$, alors $\upsilon$
+agit sur le bloc $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la même manière que
+$(u,\ldots,u)$. Autrement dit, le sous-groupe de $T^r \rtimes
+(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ formé des $(u^{-1},\ldots,u^{-1})
+\upsilon$ pour $\upsilon\colon x\mapsto uxu^{-1} \in \Int(T)$, opère
+trivialement sur $\Omega$. Notons $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
+\Out(T))$ le quotient de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$
+par ce sous-groupe (la notation rappelle que ce groupe a un
+sous-groupe distingué qu'on identifiera à $T^r$, le quotient par lequel est
+$\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$, où $\Out(T) = \Aut(T) / \Int(T)$ est
+le groupe des automorphismes modulo les automorphismes intérieurs).
+L'action de $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ sur $\Omega$
+est maintenant fidèle (on voit facilement qu'un élément qui opèrerait
+trivialement devrait avoir une composante triviale dans
+$\mathfrak{S}_r$ en la faisant agir sur $(1,\ldots,1,v,1,\ldots,1)$,
+puis dans $\Out(T)$, et enfin devrait être l'élément neutre) : ceci
+permet de considérer $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ comme
+le groupe des permutations de $\Omega$ engendré par (a) l'action de
+$T^r$ par translation à gauche, (b) l'action de $\mathfrak{S}_r$ par
+permutation des coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ (sachant que
+celle de $\Int(T)$ est déjà incluse grâce à (a)) opérant de la même
+façon sur toutes les coordonnées.
+
+Si $G$ est n'importe quel sous-groupe tel que $T^r \leq G \leq T^r
+\cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$, alors l'action de $G$ est
+transitive (puisque déjà celle de $T^r$ l'est, par définition même
+de $\Omega$). Remarquons que la donnée de $G$ est équivalente à celle
+de son image $G_0$ dans $\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$. Un groupe de
+permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à
+un tel $G$ opérant sur $\Omega$ s'appelle \emph{groupe de permutations
+ de type diagonal}.
+
+Le stabilisateur dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de
+$\Delta$ en tant que point de $\Omega$ est l'image dans $T^r \cdot
+(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de son stabilisateur en tant que
+partie de $\Xi$, qui vaut $T \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$
+avec l'action triviale de $\mathfrak{S}_r$ sur $T$, c'est-à-dire
+$\mathfrak{S}_r \times (T\rtimes\Aut(T))$ ; l'image de ce sous-groupe
+dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ est donc
+$\mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$. Par conséquent, le stabilisateur de
+$\Delta \in \Omega$ sous l'action de $G$ est l'image réciproque
+$\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq
+\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$ de $G$.
+
+\begin{proposition2}
+Avec les notations qui précèdent (i.e., $T$ est un groupe simple
+non-abélien, $T^r \leq G \leq T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
+\Out(T))$ opérant sur l'ensemble $\Omega$ des classes à gauche de la
+diagonale dans $T^r$), le groupe de permutations $G$ est primitif si
+et seulement si $r=2$ \emph{ou} l'image de $G$ (c'est-à-dire, de
+$G_0$) dans $\mathfrak{S}_r$ est primitive.
+
+Dans les deux cas (où $G$ est primitif), le socle de $G$ est $T^r$ (et
+en particulier, il n'est pas régulier). Plus précisément si l'image
+de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$ n'est pas primitive, $T^r$ est l'unique
+sous-groupe distingué minimal de $G$ (c'est donc le socle de $G$) ;
+dans le cas contraire ($r=2$ et l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$
+est triviale), $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts,
+à savoir $T \times 1$ et $1 \times T$ (et le socle de $G$ vaut donc de
+nouveau $T^r$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $S$ l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$. Montrons dans un
+premier temps que $r > 2$ et que $S$ n'est pas primitif
+sur $\{1,\ldots,r\}$, alors $G$ ne l'est pas sur $\Omega$. Soit
+$\mathscr{S}$ un système de blocs non-trivial pour $S$, qu'on
+considérera comme une relation d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$
+sur $\{1,\ldots,r\}$. Considérons la relation d'équivalence
+$\equiv_{\mathscr{B}}$ sur $\Omega$ définie par
+$(v_1,\ldots,v_r)\Delta \mathrel{\equiv_{\mathscr{B}}}
+(v'_1,\ldots,v'_r)\Delta$ si et seulement si $v_i v_j^{-1} = v'_i
+{v'_j}^{-1}$ pour tous $i,j$ tels que $i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}}
+j$ (il est clair que cette relation est bien définie, c'est-à-dire que
+$v_i v_j^{-1}$ ne dépend que de $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$). Cette
+relation d'équivalence est préservée par (a) l'action de $T^r$ par
+translation à gauche, (b) l'action de $S$ par permutation des
+coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ opérant de la même façon sur
+toutes les coordonnées : elle est donc préservée par $G$. Il est
+clair que $\equiv_{\mathscr{B}}$ est non-triviale car
+$\equiv_{\mathscr{S}}$ l'est. L'ensemble $\mathscr{B}$ des classes
+d'équivalences définit un système de blocs pour $G$ (dans $\Omega$),
+ce qui montre que $G$ n'est pas primitif.
+
+Supposons réciproquement que $G$ n'est pas primitif, et soit
+$\mathscr{B}$ un système de blocs non-trivial pour $G$ agissant
+sur $\Omega$. Considérons l'ensemble des $r$-uplets
+$(v_1,\ldots,v_r)$ tels que $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ appartienne au
+même bloc de $\mathscr{B}$ que $\Delta$ (autrement dit, le
+stabilisateur du bloc de $\Delta$ pour l'action de $T^r$) : il s'agit
+d'un sous-groupe $M$ de $T^r$, contenant la diagonale. Pour chaque
+$i$, soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments
+$(v_1,\ldots,v_r)$ de $M$ tels que $v_i = 1$. On définit une relation
+d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$ sur $\{1,\ldots,r\}$ par
+$i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}} j$ lorsque $M_i = M_j$ (en tant que
+sous-groupes de $M$).
+
+Montrons que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$. Si $\sigma
+\in S$, il existe $\lambda \in \Aut(T)$ tel que $(\sigma,\lambda)$
+appartienne à l'image réciproque $\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r
+\times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Out(T)$
+de $G$ ; c'est encore dire que la permutation $(v_1,\ldots,v_r)\Delta
+\mapsto (\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots,
+\lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))\Delta$ de $\Omega$ appartient à $G$.
+Supposons $M_i = M_j$. Si $(v_1,\ldots,v_r) \in M$ appartient à
+$M_{\sigma^{-1}(i)}$, c'est-à-dire $v_{\sigma^{-1}(i)} = 1$, alors
+$(\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots, \lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))$
+appartient à $M_i$, c'est-à-dire à $M_j$, donc $v_{\sigma^{-1}(j)} =
+1$, autrement dit $(v_1,\ldots,v_r) \in M_{\sigma^{-1}(j)}$. On a
+donc prouvé $M_{\sigma^{-1}(i)} = M_{\sigma^{-1}(j)}$ : ceci montre
+bien que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$.
+
+Reste à vérifier que $\equiv_{\mathscr{S}}$ n'est pas triviale. Si
+tous les $M_i$ sont égaux, cela signifie que lorsque $(v_1,\ldots,v_r)
+\in M$ on a $v_i = 1$ pour un $i$ exactement lorsque $v_i = 1$ pour
+tout $i$ : mais quitte à diviser à droite par l'élément diagonal
+$(v_i,\ldots,v_i)$ (on rappelle que $M$ contient la diagonale), on
+voit que cela implique que $M$ est réduit à la diagonale, et les blocs
+de $\mathscr{B}$ sont des singletons. À l'inverse, si tous les $M_i$
+sont distincts, le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits}
+permet de conclure que $M = T^r$ et l'unique bloc de $\mathscr{B}$ est
+$\Omega$ tout entier.
+
+Reste la dernière affirmation. Si $N$ est un sous-groupe distingué
+minimal de $G$, alors en particulier $N$ est distingué dans $T^r$, et
+le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
+montre qu'on peut l'écrire $N_1\times \cdots \times N_r$, où chaque
+$N_i$ vaut soit $1$ soit $T$ : si $S$ est transitif (notamment si $S$
+est primitif), on doit avoir $N_1=\ldots=N_r$, ce qui montre que $T^r$
+est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$ ; si $S$ est
+trivial, en revanche (et automatiquement $r=2$), $T\times 1$ et
+$1\times T$ sont les sous-groupes distingués minimaux de $G$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
+Soit $T$ un groupe simple fini non abélien. Alors tout sous-groupe
+distingué $N$ de $T^r$ est de la forme $N_1\times \cdots \times N_r$,
+où chaque $N_i$ vaut soit $1$ soit $T$. En particulier, les
+sous-groupes distingués minimaux de $T^r$ sont les $T_i :=
+1\times\cdots\times 1 \times T \times 1 \times \cdots \times 1$, et
+les seuls sous-groupes distingués maximaux sont les
+$T\times\cdots\times T \times 1 \times T \times\cdots\times T$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $\pi_r(N)$ de
+$N$ par la projection $\pi_r$ sur la dernière coordonnée : si
+$\pi_r(N) = 1$, on peut identifier $N$ à son image dans $T^{r-1}$ (par
+la projection sur les $r-1$ premières coordonnées) et l'hypothèse
+récurrence permet immédiatement de conclure. Dans le second cas, il
+existe $(t_1,\ldots,t_r) \in N$ tel que $t_r \neq 1$. On a alors
+aussi $(t_1,\ldots,xt_r x^{-1}) \in N$ pour tout $x \in T$ puisque $N$
+est distingué, donc $(1,\ldots,1, xt_r x^{-1}t_r^{-1}) \in N$. Comme
+$T$ n'est pas abélien, ceci prouve qu'il existe $z\in T$ différent
+de $1$ tel que $(1,\ldots,1,z) \in N$. L'ensemble des $z \in T$ tels
+que $(1,\ldots,1,z) \in N$ est un sous-groupe de $T$, manifestement
+distingué, dont on vient de voir qu'il n'est pas réduit à $1$ : c'est
+donc $T$ tout entier, et on vient de prouver que $(1,\ldots,1,z) \in
+N$ pour tout $z \in T$. Ceci prouve que le morphisme $\pi_r \colon N
+\to T$ a une section ; et si on note $N' = \{(t_1,\ldots,t_r)\in N :
+t_r = 1\}$ le noyau de $\pi_r$, qui est manifestement distingué
+dans $T^r$ et peut s'identifier à un sous-groupe distingué de
+$T^{r-1}$, l'hypothèse de récurrence montre que $N'$ s'écrit sous la
+forme $N_1\times \cdots \times N_{r-1}$ avec chaque $N_i$ valant $1$
+ou $T$. Comme la suite exacte courte $1\to N' \to N
+\buildrel\pi_r\over\to T \to 1$ est scindée d'après ce qu'on a dit, on
+a $N = N_1\times \cdots \times N_{r-1} \times T$, ce qui conclut.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits}
+Soit $T$ un groupe simple fini non abélien, et $M$ un sous-groupe de
+$T^r$, contenant le sous-groupe diagonal $\{(t,\ldots,t) : t\in T\}$.
+Soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments $(t_1,\ldots,t_r)$
+de $M$ tels que $t_i = 1$. Si les $M_i$ sont deux à deux distincts,
+alors $M = T^r$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $M^*$ de $M$
+par la projection sur les $r-1$ premières coordonnées (identifiée à un
+sous-groupe de $T^{r-1}$) : manifestement, $M^*$ contient le
+sous-groupe diagonal de $T^{r-1}$, et si $M_i^*$ (pour $1\leq i\leq
+r-1$) désigne le sous-groupe de $M^*$ formé des éléments
+$(t_1,\ldots,t_{r-1})$ de $M^*$ tels que $t_i = 1$, il s'agit bien de
+l'image de $M_i$ sur $T^{r-1}$ par les premières coordonnées. De
+plus, si on avait $M_i^* = M_j^*$ alors on aurait $M_i = M_j$ (car
+tout $(t_1,\ldots,t_r) \in M$ tel que $t_i = 1$ vérifierait
+$(t_1,\ldots,t_{r-1}) \in M_i^* = M_j^*$ donc $t_j = 1$). L'hypothèse
+de récurrence s'applique donc et assure $M^* = T^{r-1}$. Par
+ailleurs, la projection $M \to M^* = T^{r-1}$ sur les $r-1$ premières
+coordonnées ne peut pas être un isomorphisme car le
+lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
+ci-dessus appliqué à l'image de $M_r$ (sous-groupe distingué de $M$)
+par cet isomorphisme aboutirait à une contradiction. Il existe donc
+un élément non trivial de $M$ dans le noyau $K$ de $M \to M^*$,
+c'est-à-dire de la forme $(1,\ldots,1,z)$ avec $z\neq 1$. Puisque $M$
+contient la diagonale, on a $(x,\ldots,x,xz) \in M$ pour tout $x \in
+T$, donc $(1,\ldots,1,xzx^{-1}) \in K$, et comme $T$ est simple, les
+$xzx^{-1}$ pour $x\in T$ engendrent $T$. Ainsi, en fait,
+$(1,\ldots,1,z) \in M$ pour tout $z\in T$, et comme on sait déjà que
+l'image $M^*$ de $M$ sur les $r-1$ premières coordonnées
+vaut $T^{r-1}$, il est désormais clair que $M = T^r$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple}\label{groupe-de-permutations-type-presque-simple} Soit $T$
+un groupe simple. Un groupe $G$ tel que $T = \Int(T) \leq G \leq
+\Aut(T)$ est dit \emph{presque simple}. La donnée d'un sous-groupe
+maximal $U$ de $G$ permet
+(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations} et
+\ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}) de
+considérer $G$ comme un groupe de permutations primitif (en opérant
+sur les classes à gauche de $U$) : un tel groupe de permutations est
+dit \emph{presque simple}. Son socle est alors $T$, et il n'est pas
+régulier.
+
+\subsubsection{Produits en couronne} Si $K$ est un groupe fini, et $S$ un
+groupe de permutations dont on notera $\Gamma$ l'ensemble sur lequel
+il opère, on définit le \emph{produit en couronne} $K \wr_\Gamma S$
+(ou parfois $K \wr S$ lorsque $\Gamma$ est évident) de la façon
+suivante : il s'agit du produit semidirect $K^\Gamma \rtimes S$, où
+$K^\Gamma$ désigne l'ensemble des fonctions $\Gamma \to K$ et $S$
+opère sur $K^\Gamma$ par $(\sigma \cdot f)(i) = f(\sigma^{-1}(i))$
+pour $\sigma \in S$, $f\in K^\Gamma$ et $i \in \Gamma$.
+
+La définition précédente construit $K \wr_\Gamma S$ comme un groupe
+abstrait. Si $K$ est lui-même un groupe de permutation sur un
+ensemble $\Delta$, on peut considérer l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur
+$\Delta \times \Gamma$ définie par $(f,\sigma)\cdot (x,i) = (f(i)(x),
+\sigma(i))$ lorsque $f\in K^\Gamma$ et $\sigma \in S$ : cette action
+possède un système de blocs évident donné par $\{\{(x,i) : x \in
+\Delta\} : i \in \Gamma\}$, qui s'identifie à $\Gamma$, l'action de $K
+\wr_\Gamma S$ étant alors celle de $S$ : on dit qu'il s'agit de
+l'\emph{action imprimitive} (ou parfois de l'\emph{action standard})
+du produit en couronne.
+
+On va définir maintenant une autre action de $K \wr_\Gamma S$ qui sera
+souvent primitive. Pour cela, soit $\Omega = \Delta^\Gamma$
+l'ensemble des fonctions $\Gamma \to \Delta$. On construit une action
+de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega$ en définissant $(f,\sigma)\cdot w$
+comme la fonction $i \mapsto f(\sigma^{-1}(i)) (w(\sigma^{-1}(i)))$.
+Cette action est appelée l'\emph{action produit} du produit en
+couronne.
+
+\begin{proposition2}
+Soit $K$ un groupe de permutations sur un ensemble $\Delta$ et $S$ un
+groupe de permutations sur un ensemble $\Gamma$. Alors le produit en
+couronne $K \wr_\Gamma S$, muni de son action produit sur $\Omega =
+\Delta^\Gamma$ (définie plus haut) est primitif si et seulement si :
+\begin{itemize}
+\item $S$ est transitif (sur $\Gamma$),
+\item $K$ est primitif (sur $\Delta$), et
+\item $K$ n'est pas régulier (sur $\Delta$).
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Montrons que les trois conditions énumérées sont nécessaires pour que
+l'action produit du produit en couronne soit primitive. Si $S$ n'est
+pas transitif sur $\Gamma$, soit $\Gamma_0 \subsetneq \Gamma$ une
+orbite de $S$ : on considère la relation d'équivalence $\equiv$ sur
+$\Omega = \Delta^\Gamma$ définie par $w \equiv w'$ lorsque $w(i) =
+w'(i)$ pour tout $i \in \Gamma_0$ : lorsque c'est le cas, on a
+manifestement $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
+$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$, ce qui montre que l'ensemble
+$\mathscr{B}$ des classes d'équivalence pour $\equiv$ constitue un
+système de blocs pour $K \wr_\Gamma S$, qui est non-trivial car
+$\Gamma_0$ n'est ni $\varnothing$ ni $\Gamma$. Si $K$ n'est pas
+primitif sur $\Delta$, soit $\mathscr{K}$ un système de blocs
+non-trivial pour celui-ci (ou la décomposition en orbites si $K$ n'est
+même pas transitif) : on définit une relation d'équivalence $\equiv$
+sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant $w \equiv w'$ lorsque $w(i)
+\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} w'(i)$ pour tout $i$ (où $x
+\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} x'$ signifie que $x,x' \in \Delta$
+appartiennent au même $\mathscr{K}$-bloc) ; de nouveau, on a
+$(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout $(f,\sigma)
+\in K \wr_\Gamma S$. Enfin, si $K$ est régulier sur $\Delta$ (de
+sorte qu'une fois fixé $x_0 \in \Delta$, tout $x\in \Delta$ peut
+s'écrire $k\cdot x_0$ pour un unique $k\in K$), on définit une
+relation d'équivalence $\equiv$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant
+$w \equiv w'$ lorsqu'il existe $x_0,x'_0 \in \Delta$ et $g\in
+K^\Gamma$ tels que $w(i) = g(i)\cdot x_0$ et $w'(i) = g(i)\cdot x'_0$
+pour tout $i\in\Gamma$ (autrement dit, $w'$ se déduit de $w$ par une
+« translation à droite »\footnote{Si $\Delta$ est un espace principal
+ homogène sous $K$, on appelle \emph{translation à droite} envoyant
+ $x_0 \in\Delta$ sur $x_1 \in\Delta$ l'application $k\cdot x_0
+ \mapsto k\cdot x_1$. Le groupe des translations à droite de
+ $\Delta$ est isomorphe à $K$ mais de façon non canonique (le choix
+ d'une origine $x_0$ dans $\Delta$ permet d'identifier la translation
+ envoyant $x_0$ sur $x_1$ à la multiplication à droite par $x_0^{-1}
+ x_1$, mais le changement de choix de $x_0$ change cette
+ identification par un automorphisme intérieur de $K$).}) : de
+nouveau, on a $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
+$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$.
+
+Réciproquement, supposons vérifiées ces trois conditions, et montrons
+que l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ est
+primitive. La transitivité ne faisant aucun doute (puisque déjà
+$K^\Gamma$ est transitif sur $\Delta^\Gamma$), on veut montrer que le
+stabilisateur $U$ dans $K \wr_\Gamma S$ d'un élément (quelconque) de
+$\Omega$ est un sous-groupe maximal de $K \wr_\Gamma S$. Choisissons
+l'élément constant de valeur $x_0$, où $x_0 \in\Delta$. Le
+stabilisateur $U$ est donc l'ensemble des $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma
+S$ tels que $f(i) \in V$ pour tout $i$, où $V$ est le (sous-groupe
+maximal de $K$) stabilisateur de $x_0$ dans $\Delta$. Soit $H$ un
+sous-groupe de $K \wr_\Gamma S$ contenant strictement $U$ : on veut
+montrer que $H = K \wr_\Gamma S$.
+
+Tout d'abord, $H$ contient un élément $(f,\sigma)$ non contenu dans
+$U$, et, comme $\sigma$ (c'est-à-dire $(1,\sigma)$) appartient à $U$,
+l'élément $f \in K^\Gamma$ lui-même (c'est-à-dire $(f,\sigma)$)
+appartient à $H$ et non à $V^\Gamma$. Il existe donc $i_0$ tel que
+$f(i_0) \not\in V$.
+
+Le sous-groupe $V$ de $K$ est égal à son normalisateur $N_K(V)$ : en
+effet, $V \trianglelefteq N_K(V)$, et comme $V$ est maximal on doit
+avoir $N_K(V) = V$ ou $N_K(V) = K$. Or la seconde possibilité
+impliquerait $V \trianglelefteq K$, mais on
+sait (\ref{exemples-groupes-de-permutations}) que $V$ ne peut pas
+contenir de sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, donc on aurait
+$V=\{1\}$, c'est-à-dire que $K$ serait régulier, ce qu'on a exclu.
+Reste donc $N_K(V) = V$.
+
+On a donc $f(i_0) \not\in N_K(V)$, c'est-à-dire qu'il existe $v \in V$
+tel que $f(i_0)\, v\, f(i_0)^{-1} \not\in V$. Définissons $g \colon
+\Gamma \to K$ par $g(i_0) = v$ et $g(i) = 1$ pour tout $i\neq i_0$ :
+ainsi, $g \in V^\Gamma \leq U \leq H$. Le commutateur $h = f g f^{-1}
+g^{-1}$ appartient à $H$ et vaut $1$ en tout $i \neq i_0$ tandis qu'en
+$i_0$ on a $h(i_0) \not\in V$. Comme $V$ est maximal, $h(i_0)$ et $V$
+engendrent $K$, donc $H$ contient toute fonction $h\colon \Gamma \to
+K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_0$. Comme $S$ est (qui est
+contenu dans $U$ donc dans $H$) est transitif sur $\Gamma$, pour tout
+$i_1 \in \Gamma$, il est encore vrai que $H$ contient toute fonction
+$h\colon \Gamma \to K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_1$. Or ces
+fonctions engendrent manifestement $K^\Gamma$, et comme $H$ contient
+aussi $S$, on a prouvé $H = K \wr_\Gamma S$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Le théorème de O'Nan-Scott}
+
+Cette section fait suite à la précédente.
+
+Le théorème de O'Nan-Scott établit une sorte de classification des
+groupes de permutations primitifs. Nous nous contenterons dans cet
+ouvrage d'énoncer et de discuter ce théorème, pour la démonstration
+duquel nous renvoyons le lecteur à \cite[chap. 4]{Dixon-Mortimer}.
+
+\begin{theoreme2}
+Soit $G$ un groupe de permutations dont on note $\Omega$ l'ensemble
+sur lequel il opère. Alors l'une des affirmations suivantes est
+vraie :
+\begin{itemize}
+\item $G$ est un groupe de permutations de type affine, tel que décrit
+ à la section \ref{groupe-de-permutations-type-affine}. Ceci se
+ produit si et seulement si le socle de $G$ est abélien, et dans ce
+ cas le socle est régulier.
+\item $G$ est presque simple
+ (cf. \ref{groupe-de-permutations-type-presque-simple}), c'est-à-dire
+ qu'on a $T \leq G \leq \Aut(T)$ pour un certain groupe simple fini
+ non-abélien $T$ (sans affirmation particulière sur la façon dont $G$
+ opère). Dans ce cas, le socle de $G$ est $T$, et il n'est pas
+ régulier.
+\item $G$ est un groupe de permutation de type diagonal, tel que
+ décrit à la section \ref{groupe-de-permutations-type-diagonal} (avec
+ $r\geq 2$ dans les notations de cette section). Dans ce cas, le
+ socle de $G$ est $T^r$ (avec les notations en question) où $T$ est
+ un groupe simple fini non-abélien et $r\geq 2$, et le degré
+ $\#\Omega$ de $G$ est $(\#T)^{r-1}$. Si $r\geq 3$ alors $G$ a un
+ unique sous-groupe distingué minimal qui est son socle.
+\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
+ \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit sur
+ $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
+ sur $\Delta$ d'un des deux types précédents, et le socle de $G$ est
+ $H^\Gamma$ où $H$ est le socle de $K$. Dans ce cas, le socle en
+ question n'est pas régulier.
+\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
+ \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit sur
+ $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
+ sur $\Delta$ du type diagonal avec $r=2$ ayant deux sous-groupes
+ distingués minimaux $N_1,N_2$ (isomorphes) distincts, et le socle de
+ $G$ est isomorphe à $N_1^\Gamma$. Ceci se produit si et seulement
+ si le socle de $G$ est régulier mais non abélien.
+\end{itemize}
+\end{theoreme2}
+
+\XXX --- Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...
+
+\subsection{Un théorème de Jordan}
+
+On veut démontrer :
+
+\begin{theoreme2}\label{Jordan}
+Soit $G$ un sous-groupe transitif de $𝔖_n$ qui contient un $p$-cycle
+pour un nombre premier $p$ strictement compris entre $\frac{n}{2}$ et $n-2$.
+Alors $G$ contient $𝔄_n$.
+\end{theoreme2}
+
+Nous ferons usage de la terminologie suivante :
+
+\begin{dfn2}
+Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $𝔖_X$ agissant
+transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
+$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$
+sont $\vide,X$, et les singletons.
+\end{dfn2}
+De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de
+partition\footnote{En particulier, par définition,
+chaque constituant est non vide.}
+$\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable
+sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe
+un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$).
+
+Établissons quelques lemmes généraux.
+
+\begin{lemme2}
+Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif.
+\end{lemme2}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$,
+$H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$
+agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors,
+$G$ agit également transitivement sur $X$.
+\end{lemme2}
+
+Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe
+primitif de $𝔖_n$ contenant un $p$-cycle.
+
+\begin{lemme2}
+Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $𝔖_X$, $C$ un sous-groupe
+de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$.
+Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué
+\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement
+sur $F$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{lemme2}
+Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$.
+Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $𝔖_X$ tel que $G_F$ agisse
+transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive.
+(C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit
+transitivement sur $X-x$.)
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
+\begin{itemize}
+\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
+il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
+En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
+remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
+(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)
+
+\item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement
+sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.)
+
+\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
+sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{theoreme2}[Camille Jordan, 1870]
+Soit $G$ un sous-groupe primitif de $𝔖_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier
+et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$
+contient $𝔄_n$.
+\end{theoreme2}
+
+\begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.]
+La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes :
+$G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $𝔄_n$.
+Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que
+nous supposons satisfaite.
+En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$
+dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ;
+on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$).
+Notons $G_F=G\cap 𝔖_F\subset 𝔖_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement
+sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\
+Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\
+Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son
+normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants :
+\begin{itemize}
+\item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons
+que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N ↠ 𝔖_F$, via le morphisme
+de restriction, bien défini ici.
+\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait
+$N_{\pi}↠ 𝔖_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit
+transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$.
+\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $𝔖_{P}$
+est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne.
+\item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image
+de $D→ 𝔖_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$.
+\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre}
+
+Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme
+irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et
+$R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois
+$G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de
+$𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes. D'autre part,
+il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité \ssi $G$ n'est
+contenu dans aucun sous-groupe maximal (strict) de $𝔖_R$.
+
+\begin{proposition}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4}
+\begin{enumerate}
+\item Les sous-groupes maximaux de $𝔖₄$ sont $𝔄₄$, les stabilisateurs
+des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$
+(isomorphes au groupe diédral $D₄$).
+\item Les sous-groupes transitifs de $𝔖₄$ sont $𝔖₄$, $𝔄₄$,
+les $2$-Sylow, et ses sous-groupes d'ordre $4$, isomorphes
+à $C₄$ ou $V₄=𝐙/2×𝐙/2$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{démo}
+\begin{enumerate}
+\item Le cardinal $d$ d'un sous-groupe strict $H$ de $𝔖₄$ appartient à l'ensemble
+$\{12,8,6,4,3,2,1\}$. Étudions les différentes possibilités.
+\begin{itemize}
+\item [$d=12$.] $H$ est d'indice deux, donc distingué
+dans $𝔖₄$ ; $H=𝔄₄$.
+\item [$d=8$.] $H$ est un $2$-Sylow. Pour chaque énumération des côtés d'un
+carré, le groupe des isométries du carré, plongé dans $𝔖₄$, est un sous-groupe
+d'ordre huit, maximal car non contenu dans $𝔄₄$.
+Tous les $2$-Sylow étant conjugués, $H$ est l'un de ces groupes.
+\item [$d=6$.] Un groupe d'ordre $6$ n'agit pas transitivement.
+Ses orbites ne peuvent être de cardinal $2$ (sans quoi $H$ serait
+contenu dans un sous-groupe isomorphe à $𝔖₂×𝔖₂$ de $𝔖₄$, de cardinal $4$).
+Il existe donc une orbite ponctuelle : $H$ est le stabilisateur d'un
+point.
+\item [$d∈\{4,3,2,1\}$.] Un sous-groupe d'ordre deux ou quatre est contenu dans
+un $2$-Sylow donc non maximal. Un sous-groupe cyclique d'ordre trois est
+engendré par un $3$-cycle, contenu dans $𝔄₄$, donc non maximal également.
+\end{itemize}
+\item Un sous-groupe transitif $H$ de $𝔖₄$ est de cardinal $d$ divisible par
+$4$ ; on a donc $d∈\{24,12,8,4\}$. On vérifie immédiatement que les différentes
+possibilités sont celles de l'énoncé.
+\end{enumerate}
+\end{démo}
+
+Le théorème suivant est une généralisation de la proposition
+\ref{Gal(deg 3)=cyclique}.
+
+\begin{théorème}
+Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$
+un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et
+$G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant.
+\begin{enumerate}
+\item $G⊆𝔄_R$ \ssi $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et
+$Δ₂(f)$ est de la forme $x²+x$ ;
+\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine \ssi
+$f$ a une racine dans $k$ ;
+\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ \ssi la \emph{résolvante
+cubique}
+\[
+g=\big(Y-(x₁x₃+x₂x₄)\big)\big(Y-(x₁x₂+x₃x₄)\big)\big(Y-(x₁x₄+x₂x₃)\big)=
+Y³-c₂Y²+(c₁c₃-4c₄)Y-(c₃²-4c₂c₄+c₁²c₄)
+\]
+a une racine dans $k$. Le discriminant du polynôme $g$ est égal
+au discriminant, non nul, de $f$. En caractéristique deux, les
+pseudo-discriminants coïncident également.
+\end{enumerate}
+\end{théorème}
+
+
+\begin{démo}
+(i) Mis que pour mémoire (cf. \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}).
+(ii) Évident.
+(iii) L'égalité des discriminants résulte de la formule
+\[
+(x_ix_j+x_k x_l)-(x_ix_k+x_j x_l)=(x_i-x_l)(x_j-x_k).
+\]
+L'égalité des pseudo-discriminants en caractéristique deux
+résulte immédiatement de \refext{CG}{exemples discriminants} ou bien
+d'un calcul direct comme dans le cas du discriminant.
+
+Les expressions $X₁X₃+X₂X₄$, $X₁X₂+X₃X₄$ et $X₁X₄+X₂X₃$
+forment une orbite sous l'action de $𝔖₄$ sur $𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ dont les
+stabilisateurs sont précisément les $2$-Sylow (diédraux) de $𝔖₄$.
+Considérons le $2$-Sylow $D=⟨(1234),(12)(34)⟩$,
+correspondant à la numérotation $(1,2,3,4)$ des côtés d'un carré.
+Si $G⊆D$ (où l'on identifie $𝔖_R$ et $𝔖₄$), il agit trivialement sur $x₁x₃+x₂x₄$ qui appartient
+donc à $k$ et est une racine de $g$.
+Réciproquement, si $G$ n'est contenu
+dans aucun $2$-Sylow, il agit sans point fixe donc transitivement sur le
+sous-ensemble à trois éléments
+$\{X₁X₃+X₂X₄,X₁X₂+X₃X₄,X₁X₄+X₂X₃\}$ de
+$𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ et, \emph{a fortiori},
+sur le sous-ensemble (à trois éléments
+par séparabilité de $g$) $\{x₁x₃+x₂x₄,x₁x₂+x₃x₄,x₁x₄+x₂x₃\}$
+de $Ω$. Le polynôme $g$ n'a donc pas de racine dans $k$.
+\end{démo}
+
+Pour un complément, cf. \cite{Generic@JLY}, th. 2.2.3.
+
+\subsection{Exercices}
+\begin{exercice2}
+Soient $L=k(R)$ le corps de décomposition de $f$ et
+$K$ le corps de décomposition de $g$ contenu dans $L$.
+Montrer que
+\[
+G≃\left\{
+\begin{array}{ll}
+𝔖₄ & \textrm{si } [K:k]=6 \\
+𝔄₄ & \textrm{si } [K:k]=3 \\
+D₄ \textrm{ ou } 𝐙/4 & \textrm{si } [K:k]=2\\
+V₄ & \textrm{si } [K:k]=1 \\
+\end{array}
+\right.
+\]
+\end{exercice2}
+
+
+\begin{exercice2}
+Montrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tel que
+le polynôme $f_n=X⁴-nX-1$ soit irréductible et que
+le corps $𝐐_{f_n}=𝐐[X]/(f_n)$ n'ait pas de sous-extension
+non-triviale.
+(Indication : il suffit de vérifier que $G_f≃𝔖₄$.)
+\end{exercice2}
+
+\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré cinq}
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi