summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/calculs-galois.tex
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'chapitres/calculs-galois.tex')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex63
1 files changed, 54 insertions, 9 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 0dc45ed..44e4723 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2989,11 +2989,11 @@ Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 +
Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ évoqué plus haut pour le groupe
$\Stab_{\mathfrak{S}_6}(P) = \mathfrak{S}_5$, et soit $R_P(f)$ la
résolvante relativement à $P$ d'un polynôme $f \in k[X]$ irréductible
-unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_P(f)$ est aussi de degré $6$). On
-suppose $R_P(f)$ séparable. Alors l'action du groupe de Galois $G$
-de $f$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à son action (comme
-groupe de permutation) sur les pentades synthématiques de racines
-de $f$. En particulier :
+séparable unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_P(f)$ est aussi de
+degré $6$). On suppose $R_P(f)$ séparable. Alors l'action du groupe
+de Galois $G$ de $f$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à son
+action (comme groupe de permutation) sur les pentades synthématiques
+de racines de $f$. En particulier :
\begin{itemize}
\item si $R_P(f)$ a une racine dans $k$, alors $G$ fixe une pentade,
c'est-à-dire est inclus (à conjugaison près) dans $\mathfrak{S}_5$,
@@ -3027,12 +3027,12 @@ qu'on a appelée $\mathscr{H}$ dans la discussion plus haut).
D'après la proposition \ref{utilisation-des-resolvantes}, l'action de
$G$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à celle de
-$\mathfrak{S}_6/(\cap_{\sigma \in \mathfrak{S}_6} \sigma H
+$\mathfrak{S}_6/(\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{S}_6} \sigma H
\sigma^{-1})$ sur les classes à gauche de $H =
\Stab_{\mathfrak{S}_6}(P)$. Mais $H$ est le stabilisateur d'une
pentade : donc l'ensemble des classes à gauche de $H$ s'identifie
(muni de son action de $\mathfrak{S}_6$) à l'ensemble des pentades, et
-$\cap_{\sigma \in \mathfrak{S}_6} \sigma H \sigma^{-1} = 1$.
+$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{S}_6} \sigma H \sigma^{-1} = 1$.
Les affirmations qui suivent découlent de la façon dont les différents
groupes déjà énumérés agissent sur les pentades. Enfin, la dernière
@@ -3179,7 +3179,7 @@ Z_3 Z_5 + Z_2 Z_6 + Z_4 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ ou $Q_3 := Z_1 Z_3
Z_5 + Z_2 Z_4 Z_6$, qui vérifient tous deux $\Stab_{\mathfrak{S}_6}(Q)
= (\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$, et soit $R_Q(f)$
la résolvante relativement à $Q$ d'un polynôme $f \in k[X]$
-irréductible unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_Q(f)$ est de
+irréductible séparable unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_Q(f)$ est de
degré $10$). On suppose $R_Q(f)$ séparable. Alors l'action du groupe
de Galois $G$ de $f$ sur les racines de $R_Q(f)$ est équivalente à son
action (comme groupe de permutation) sur les partitions en deux blocs
@@ -3406,7 +3406,7 @@ de $\FF_7$, regroupés en cinq orbites (une par ligne) :
\heptagone{141.4}{38.6}{295.7}
\end{proof}
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{lemme-orbites-de-sous-groupes-de-s-7-sur-les-trios-de-points}
Si $\mathscr{T}$ désigne l'ensemble des ($\frac{7!}{4!\,3!}=35$)
parties à $3$ éléments de $\{1,\ldots,7\}$, alors, pour chacun des
groupes $G$ transitifs sur sept objets tels que listés ci-dessus, leur
@@ -3457,6 +3457,51 @@ permutées cycliquement. Enfin $C_6$ est simplement le produit de
$C_2$ et $C_3$ pour les mêmes actions.
\end{proof}
+La conséquence pour le calcul de groupes de Galois est la suivante :
+\begin{proposition2}\label{galois-degre-7-resolvante-trios}
+Soit $P$ le polynôme $Z_1 + Z_2 + Z_3$ en sept variables
+$Z_1,\ldots,Z_7$ (dont le stabilisateur est donc $\mathfrak{S}_3
+\times \mathfrak{S}_4$), et soit $R_P(f)$ la résolvante relativement
+à $P$ d'un polynôme $f \in k[X]$ irréductible séparable unitaire de
+degré $7$ (ainsi, $R_P(f)$ est de degré $35$). On suppose $R_P(f)$
+séparable, ce qui est automatiquement le cas si la caractéristique
+de $k$ est soit $0$ soit un nombre premier $\ell$ congru à $3$ ou $5$
+modulo $7$. Alors l'action du groupe de Galois $G$ de $f$ sur les
+racines de $R_P(f)$ est équivalente à son action (comme groupe de
+permutation) sur les ensembles à trois éléments (« trios ») de racines
+de $f$. En particulier, d'après la
+proposition \ref{lemme-orbites-de-sous-groupes-de-s-7-sur-les-trios-de-points},
+si les degrés des facteurs irréductibles de $R_P(f)$ sont :
+\begin{itemize}
+\item $35$ (i.e., $R_P(f)$ est irréductible), alors $G \cong
+ \mathfrak{S}_7$ ou $G \cong \mathfrak{A}_7$,
+\item $7+28$, alors $G \cong \PGL_3(\FF_2)$,
+\item $14+21$, alors $G \cong C_7 \rtimes C_6$,
+\item $7+7+21$, alors $G \cong C_7 \rtimes C_3$,
+\item $7+7+7+14$, alors $G \cong D_7$,
+\item $7+7+7+7+7$, alors $G \cong C_7$,
+\end{itemize}
+et ce sont les seules factorisations possibles.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+D'après la proposition \ref{utilisation-des-resolvantes}, l'action de
+$G$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à celle de
+$\mathfrak{S}_7/(\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{S}_7} \sigma H
+\sigma^{-1})$ sur les classes à gauche de $H =
+\Stab_{\mathfrak{S}_7}(P)$. Mais $H$ est le stabilisateur d'un trio :
+donc l'ensemble des classes à gauche de $H$ s'identifie (muni de son
+action de $\mathfrak{S}_7$) à l'ensemble des trios, et
+$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{S}_7} \sigma H \sigma^{-1} = 1$.
+
+La classification découle alors
+de \ref{lemme-orbites-de-sous-groupes-de-s-7-sur-les-trios-de-points}.
+\end{proof}
+
+Étant donné que le discriminant (ou, en caractéristique $2$, le
+$2$-distinguant) permet de trancher entre les cas $G \cong
+\mathfrak{S}_7$ et $G \cong \mathfrak{A}_7$, cette proposition fournit
+un algorithme pour calculer le groupe de Galois en degré $7$.
+
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}