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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 0dc45ed..44e4723 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2989,11 +2989,11 @@ Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ évoqué plus haut pour le groupe $\Stab_{\mathfrak{S}_6}(P) = \mathfrak{S}_5$, et soit $R_P(f)$ la résolvante relativement à $P$ d'un polynôme $f \in k[X]$ irréductible -unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_P(f)$ est aussi de degré $6$). On -suppose $R_P(f)$ séparable. Alors l'action du groupe de Galois $G$ -de $f$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à son action (comme -groupe de permutation) sur les pentades synthématiques de racines -de $f$. En particulier : +séparable unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_P(f)$ est aussi de +degré $6$). On suppose $R_P(f)$ séparable. Alors l'action du groupe +de Galois $G$ de $f$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à son +action (comme groupe de permutation) sur les pentades synthématiques +de racines de $f$. En particulier : \begin{itemize} \item si $R_P(f)$ a une racine dans $k$, alors $G$ fixe une pentade, c'est-à-dire est inclus (à conjugaison près) dans $\mathfrak{S}_5$, @@ -3027,12 +3027,12 @@ qu'on a appelée $\mathscr{H}$ dans la discussion plus haut). D'après la proposition \ref{utilisation-des-resolvantes}, l'action de $G$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à celle de -$\mathfrak{S}_6/(\cap_{\sigma \in \mathfrak{S}_6} \sigma H +$\mathfrak{S}_6/(\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{S}_6} \sigma H \sigma^{-1})$ sur les classes à gauche de $H = \Stab_{\mathfrak{S}_6}(P)$. Mais $H$ est le stabilisateur d'une pentade : donc l'ensemble des classes à gauche de $H$ s'identifie (muni de son action de $\mathfrak{S}_6$) à l'ensemble des pentades, et -$\cap_{\sigma \in \mathfrak{S}_6} \sigma H \sigma^{-1} = 1$. +$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{S}_6} \sigma H \sigma^{-1} = 1$. Les affirmations qui suivent découlent de la façon dont les différents groupes déjà énumérés agissent sur les pentades. Enfin, la dernière @@ -3179,7 +3179,7 @@ Z_3 Z_5 + Z_2 Z_6 + Z_4 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ ou $Q_3 := Z_1 Z_3 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_6$, qui vérifient tous deux $\Stab_{\mathfrak{S}_6}(Q) = (\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$, et soit $R_Q(f)$ la résolvante relativement à $Q$ d'un polynôme $f \in k[X]$ -irréductible unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_Q(f)$ est de +irréductible séparable unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_Q(f)$ est de degré $10$). On suppose $R_Q(f)$ séparable. Alors l'action du groupe de Galois $G$ de $f$ sur les racines de $R_Q(f)$ est équivalente à son action (comme groupe de permutation) sur les partitions en deux blocs @@ -3406,7 +3406,7 @@ de $\FF_7$, regroupés en cinq orbites (une par ligne) : \heptagone{141.4}{38.6}{295.7} \end{proof} -\begin{proposition2} +\begin{proposition2}\label{lemme-orbites-de-sous-groupes-de-s-7-sur-les-trios-de-points} Si $\mathscr{T}$ désigne l'ensemble des ($\frac{7!}{4!\,3!}=35$) parties à $3$ éléments de $\{1,\ldots,7\}$, alors, pour chacun des groupes $G$ transitifs sur sept objets tels que listés ci-dessus, leur @@ -3457,6 +3457,51 @@ permutées cycliquement. Enfin $C_6$ est simplement le produit de $C_2$ et $C_3$ pour les mêmes actions. \end{proof} +La conséquence pour le calcul de groupes de Galois est la suivante : +\begin{proposition2}\label{galois-degre-7-resolvante-trios} +Soit $P$ le polynôme $Z_1 + Z_2 + Z_3$ en sept variables +$Z_1,\ldots,Z_7$ (dont le stabilisateur est donc $\mathfrak{S}_3 +\times \mathfrak{S}_4$), et soit $R_P(f)$ la résolvante relativement +à $P$ d'un polynôme $f \in k[X]$ irréductible séparable unitaire de +degré $7$ (ainsi, $R_P(f)$ est de degré $35$). On suppose $R_P(f)$ +séparable, ce qui est automatiquement le cas si la caractéristique +de $k$ est soit $0$ soit un nombre premier $\ell$ congru à $3$ ou $5$ +modulo $7$. Alors l'action du groupe de Galois $G$ de $f$ sur les +racines de $R_P(f)$ est équivalente à son action (comme groupe de +permutation) sur les ensembles à trois éléments (« trios ») de racines +de $f$. En particulier, d'après la +proposition \ref{lemme-orbites-de-sous-groupes-de-s-7-sur-les-trios-de-points}, +si les degrés des facteurs irréductibles de $R_P(f)$ sont : +\begin{itemize} +\item $35$ (i.e., $R_P(f)$ est irréductible), alors $G \cong + \mathfrak{S}_7$ ou $G \cong \mathfrak{A}_7$, +\item $7+28$, alors $G \cong \PGL_3(\FF_2)$, +\item $14+21$, alors $G \cong C_7 \rtimes C_6$, +\item $7+7+21$, alors $G \cong C_7 \rtimes C_3$, +\item $7+7+7+14$, alors $G \cong D_7$, +\item $7+7+7+7+7$, alors $G \cong C_7$, +\end{itemize} +et ce sont les seules factorisations possibles. +\end{proposition2} +\begin{proof} +D'après la proposition \ref{utilisation-des-resolvantes}, l'action de +$G$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à celle de +$\mathfrak{S}_7/(\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{S}_7} \sigma H +\sigma^{-1})$ sur les classes à gauche de $H = +\Stab_{\mathfrak{S}_7}(P)$. Mais $H$ est le stabilisateur d'un trio : +donc l'ensemble des classes à gauche de $H$ s'identifie (muni de son +action de $\mathfrak{S}_7$) à l'ensemble des trios, et +$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{S}_7} \sigma H \sigma^{-1} = 1$. + +La classification découle alors +de \ref{lemme-orbites-de-sous-groupes-de-s-7-sur-les-trios-de-points}. +\end{proof} + +Étant donné que le discriminant (ou, en caractéristique $2$, le +$2$-distinguant) permet de trancher entre les cas $G \cong +\mathfrak{S}_7$ et $G \cong \mathfrak{A}_7$, cette proposition fournit +un algorithme pour calculer le groupe de Galois en degré $7$. + \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} |